النقطة المحورية (نظرية الألعاب)

يجادل ستال وويلسون بأن نقطة التركيز تتشكل لأن اللاعبين يحاولون التنبؤ بكيفية تصرف اللاعبين الآخرين. ويقومان بنمذجة مستوى "التوقع العقلاني" لدى اللاعبين من خلال قدرتهم على

1. تكوين افتراضات مسبقة (نماذج) حول سلوك اللاعبين الآخرين؛
2. اختر أفضل الإجابات بناءً على هذه المعلومات المسبقة.

يختار اللاعب من المستوى صفر أفعاله بغض النظر عن أفعال اللاعبين الآخرين. ويعتقد اللاعب من المستوى 1 أن جميع اللاعبين الآخرين من المستوى صفر. بينما يُقدّر اللاعب من المستوى ن أن جميع اللاعبين الآخرين من المستويات صفر، 1، 2، ...، ن  -  1. وبناءً على البيانات التجريبية، يستخدم معظم اللاعبين نموذجًا واحدًا فقط للتنبؤ بسلوك جميع اللاعبين الآخرين. ورغم أن تسلسل أنواع اللاعبين قد يكون غير محدد، فإن فوائد المستويات الأعلى ستتضاءل بشكل كبير مع تكبّد تكلفة أكبر بكثير. ^{[ 4 ]} ونظرًا لمحدودية مستوى توقعات اللاعبين ومعتقداتهم المسبقة، فمن الممكن الوصول إلى حالة توازن في الألعاب التي لا تتطلب تواصلًا.

جادل باخاراك بأن الناس يستطيعون إيجاد نقطة محورية لأنهم يتصرفون كأعضاء في فريق بدلاً من أفراد في لعبة تعاونية. ^{[ 6 ]} ومع تغيير الهوية، يتبع اللاعب توجيهات قائد مجموعة وهمي لتعظيم مصلحة المجموعة.

فيما يلي مجموعة فرعية من الأسئلة التي طرحها شيلينغ لإثبات وجود نقطة محورية. ^{[ 2 ]}

1. لعبة الرأس والذيل: سمِّ "الرأس" أو "الذيل". إذا سمّى اللاعبان نفس الشيء، يفوز أحدهما بجائزة، وإلا فلا يحصلان على شيء.
2. لعبة ترتيب الحروف: قم بترتيب الحروف A و B و C. إذا قام اللاعبون الثلاثة بإعطاء نفس الترتيب، فإنهم يفوزون بجائزة، وإلا فلن يحصلوا على شيء.
3. لعبة تقسيم المال: يتقاسم لاعبان 100 دولار. يكتب كل منهما أولاً مطالبته الفردية على ورقة. إذا كان مجموع مطالباتهما 100 دولار أو أقل، فسيحصل كل منهما على المبلغ الذي طالب به بالضبط، أما إذا كان المجموع أكثر من 100 دولار، فلن يحصل أي منهما على شيء.

نتائج التجارب غير الرسمية هي

1. بالنسبة للاعبين، أ و ب، في لعبة الصورة والذيل. اختار أ 16 من أصل 22 ورقة، واختار ب 15 من أصل 22 ورقة "الصورة".
2. بالنسبة للاعبين الثلاثة، أ، ب، وج، في لعبة ترتيب الحروف، كتب 9 من أصل 12 لاعبًا من أ، و10 من أصل 12 لاعبًا من ب، و14 من أصل 16 لاعبًا من ج "ABC".
3. لكي يحصل اللاعبون على جزء من مبلغ الـ 100 دولار، اختار 36 من أصل 40 مبلغ 50 دولارًا. واختار اثنان من الباقين مبلغ 49 دولارًا و49.99 دولارًا.

تشير هذه الألعاب إلى أن النقاط المحورية تتمتع بأهمية معينة. هذه الخصائص تجعلها خيارات مفضلة لدى الناس. علاوة على ذلك، يفترض الناس أن بعضهم البعض قد لاحظ هذه الأهمية ويتخذون القرار نفسه. ^{[ 3 ]}

في مثال بسيط، يُعرض على شخصين غير قادرين على التواصل لوحة من أربعة مربعات، ويُطلب منهما اختيار مربع واحد. إذا اختارا المربع نفسه ، فسيحصل كل منهما على جائزة. ثلاثة من المربعات زرقاء وواحد أحمر. بافتراض أن كليهما لا يعرف شيئًا عن الآخر، لكنهما يرغبان في الفوز بالجائزة، فمن المنطقي أن يختارا المربع الأحمر.

المربع الأحمر ليس بالضرورة مربعًا أفضل ؛ إذ يمكن لأي لاعب الفوز باختيار أي مربع، ومن هذا المنطلق، تُعتبر جميع المربعات توازن ناش من الناحية النظرية . المربع الأحمر هو المربع "الصحيح" للاختيار فقط إذا كان بإمكان اللاعب التأكد من أن اللاعب الآخر قد اختاره، ولكن بحسب الفرضية، لا يمكن لأي منهما التأكد. مع ذلك، فهو المربع الأبرز والأكثر أهمية، لذا - لعدم وجود خيار آخر - سيختاره معظم اللاعبين، وهذا ما سينجح في أغلب الأحيان.

يمكن أن يكون لنقاط التركيز تطبيقات عملية في الحياة الواقعية. على سبيل المثال، تخيل دراجتين تتجهان نحو بعضهما البعض وتواجهان خطر الاصطدام. يصبح تجنب الاصطدام لعبة تنسيق، حيث يعتمد اختيار كل لاعب للفوز على اختيار اللاعب الآخر. في هذه الحالة، يمتلك كل لاعب خيار الاستمرار في السير بشكل مستقيم، أو الانحراف إلى اليسار، أو الانحراف إلى اليمين. يرغب كلا اللاعبين في تجنب الاصطدام، لكن لا أحد منهما يعرف ما سيفعله الآخر. ^{[ 7 ]} في هذه الحالة، يمكن أن يكون قرار الانحراف إلى اليمين بمثابة نقطة تركيز تؤدي إلى نتيجة الفوز بالانحراف يمينًا. ويبدو أنها نقطة تركيز طبيعية في الأماكن التي تسير فيها حركة المرور على اليمين .

تتجلى فكرة لعبة عدم التنسيق هذه أيضًا في لعبة "الجبان" ، التي تتضمن سيارتين تتسابقان باتجاه بعضهما البعض على مسار تصادمي، حيث يُنظر إلى السائق الذي يقرر أولاً الانحراف على أنه جبان، بينما يؤدي عدم انحراف أي سائق إلى تصادم مميت لكليهما.

The Guess 2/3 of the average game shows the level-n theory in practice. In this game, players are tasked with guessing an integer from 0 to 100 inclusive which they believe is closest to 2/3 of the average of all players’ guesses. A Nash equilibrium can be found by thinking through each level:

• Level 0: The average can be in [0, 100].
• Level 1: The average can be in [0, 67], which is 2/3 of the maximum average of level 0.
• Level 2: The average can be in [0, 45], which is 2/3 of the maximum average of level 1.
• Level N: Assuming all other players reason similarly, 2/3 of the maximum average will never be higher than ${\displaystyle 100\cdot (2/3)^{N}.}$

As N grows, 2/3 of the average will trend towards zero. At this point, the only Nash equilibrium is for all players to guess 0.

Adding repetition to the game introduces a focal point at the Nash equilibrium solution of 0. This was shown by Camerer as, “[when] the game is played multiple times with the same group, the average moves close to 0”.^[5] Introducing the iterative aspect to the game forces all players onto higher levels of thinking, which allows them all to play guesses trending towards 0.