نظرية المجموعة الفرعية البؤرية

في الجبر المجرد ، تصف نظرية الزمرة الجزئية البؤرية اندماج العناصر في زمرة سيلو الجزئية لزمرة منتهية . وقد طُرحت هذه النظرية في ( هيغمان، 1953 ) ، وتُعدّ "أول تطبيق رئيسي للنقل" وفقًا لـ ( غورنشتاين، ليونز ، وسولومون، 1996 ، ص 90) . تربط نظرية الزمرة الجزئية البؤرية بين فكرتي النقل والاندماج كما وصفهما أوتو غرون في ( غرون، 1936 ) . تشمل التطبيقات المختلفة لهذه الأفكار معايير محلية للعدمية من الرتبة p، ومعايير أخرى غير معيارية للتبسيط ، تركز على إثبات أن الزمرة المنتهية لها زمرة جزئية طبيعية ذات دليل p .

خلفية

تربط نظرية المجموعة الفرعية البؤرية عدة خطوط بحث في نظرية المجموعة المنتهية: المجموعات الفرعية الطبيعية ذات الدليل a قوة من p ، وتماثل النقل، واندماج العناصر.

المجموعات الفرعية

تُعرَّف الزمر الجزئية الطبيعية الثلاث التالية، ذات الدليل a وقوة p ، تعريفًا طبيعيًا، وتنشأ كأصغر الزمر الجزئية الطبيعية التي يكون ناتج قسمتها زمرة p (نوعًا معينًا منها) . وهي، من الناحية الرسمية، نوى الانعكاس على الفئة الفرعية الانعكاسية لزمر p (على التوالي، زمر p الأبيلية الأولية ، وزمر p الأبيلية ).

E ^p ( G ) هو تقاطع جميع المجموعات الفرعية الطبيعية ذات المؤشر p ؛ G / E ^p ( G ) هي مجموعة تبديلية أولية ، وهي أكبر مجموعة تبديلية أولية p التي تتراكب عليها G.
الزمرة ^p ( G ) (الترميز مأخوذ من ( إسحاق 2008 ، 5D، ص 164) ) هي تقاطع جميع الزمر الجزئية الطبيعية K التي يكون فيها G / K زمرة تبديلية من الرتبة p (أي أن K دليل). $p^{k}$ المجموعة الفرعية الطبيعية التي تحتوي على المجموعة المشتقة $[G,G]$ ): G / A ^p ( G ) هي أكبر مجموعة تبديلية p (ليست بالضرورة أولية) التي تتراكب عليها G.
O ^p ( G ) هو تقاطع جميع الزمر الجزئية الطبيعية K من G بحيث تكون G / K زمرة p (ربما غير تبديلية) (أي أن K هو دليل $p^{k}$ الزمرة الجزئية الطبيعية: G / O ^p ( G ) هي أكبر زمرة من الرتبة p (ليست بالضرورة تبديلية) التي تتراكب عليها G. تُعرف O ^p ( G ) أيضًا باسممجموعة فرعية متبقية من النوع p .

أولاً، بما أن هذه شروط أضعف على المجموعات K، فإن المرء يحصل على المحتويات $\mathbf {E} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {A} ^{p}(G)\supseteq \mathbf {O} ^{p}(G).$ وترتبط هذه الأمور فيما يلي:

A ^p ( G ) = O ^p ( G )[ G , G ].

O ^p ( G ) لها التوصيف البديل التالي باعتبارها المجموعة الفرعية المتولدة بواسطة جميع مجموعات سيلو q الفرعية لـ G عندما q ≠ p تتراوح على القواسم الأولية من رتبة G المتميزة عن p .

يُستخدم O ^p ( G ) لتعريف سلسلة p السفليةمن G ، على غرار سلسلة p العليا الموصوفة في p-core .

التماثل التحويلي

التشاكل التحويلي هو تشاكل يمكن تعريفه من أي زمرة G إلى الزمرة الأبيلية H /[ H , H ] المعرفة بواسطة زمرة جزئية H ≤ G ذات دليل منتهٍ ، أي [ G : H ] < ∞. للدالة التحويلية من زمرة منتهية G إلى زمرتها الجزئية من نوع سيلو p نواة يسهل وصفها.

إن نواة التحويل من مجموعة منتهية G إلى مجموعتها الفرعية Sylow p - P لها A ^p ( G ) كنواة لها، ( Isaacs 2008 ، النظرية 5.20 ، ص. 165) .

بمعنى آخر، فإن التشاكل "الواضح" على مجموعة p الأبيلية هو في الواقع التشاكل الأكثر عمومية من هذا النوع.

الاندماج

نمط اندماج المجموعة الفرعية H في G هو علاقة التكافؤ بين عناصر H ، حيث يندمج عنصران h و k من H إذا كانا مترافقين بالنسبة لـ G ، أي إذا وُجد عنصر g في G بحيث يكون h = k ^g . يؤثر التركيب الطبيعي لـ G على نمط اندماج مجموعاتها الفرعية من نوع Sylow- p ، وبالعكس، يؤثر نمط اندماج مجموعاتها الفرعية من نوع Sylow -p على التركيب الطبيعي لـ G ( غورنشتاين، ليونز، وسولومون ، 1996 ، ص 89) .

المجموعة الفرعية البؤرية

يمكن تعريف المجموعة الفرعية البؤرية لـ H بالنسبة إلى G على النحو التالي، كما في ( إسحاق 2008 ، ص 165) :

Foc _G ( H ) = ⟨ x ⁻¹y | x , y in H and x is G -conjugate to y ⟩.

تقيس هذه المجموعة الفرعية البؤرية مدى اندماج عناصر المجموعة H في المجموعة G ، بينما كان التعريف السابق يقيس صورًا متماثلة معينة من زمر p الأبيلية للمجموعة G. ويكمن مضمون نظرية المجموعة الفرعية البؤرية في أن هذين التعريفين للمجموعة الفرعية البؤرية متوافقان.

يُبين ( غورنشتاين، 1980 ، ص 246) أن الزمرة البؤرية لـ P في G هي تقاطع P ∩ [ G , G ] للزمرة الجزئية سيلو p- P للزمرة المنتهية G مع الزمرة الجزئية المشتقة [ G , G ] من G. تُعد الزمرة البؤرية مهمة لأنها زمرة جزئية سيلو p- للزمرة المشتقة. ويُستنتج من ذلك أيضًا ما يلي:

توجد زمرة جزئية طبيعية K من G ، حيث G / K زمرة تبديلية من الرتبة p متماثلة مع P / P ∩[ G , G ] (حيث K ترمز إلى A ^p ( G ))، و

إذا كانت K مجموعة فرعية طبيعية من G مع G / K مجموعة p تبديلية، فإن P ∩[ G , G ] ≤ K ، و G / K هي صورة متماثلة لـ P / P ∩[ G , G ]، ( Gorenstein 1980 ، النظرية 7.3.1، ص. 90) .

بيان النظرية

تُعطى المجموعة الفرعية البؤرية لمجموعة منتهية G مع مجموعة فرعية من نوع Sylow p - P بالصيغة التالية:

P ∩[ G , G ] = P ∩ A ^p ( G ) = P ∩ ker( v ) = Foc _G ( P ) = ⟨x⁻¹y | ^x, y في P و x مرافق لـ y بالنسبة لـ G⟩

حيث v هو التحويل المتماثل من G إلى P /[ P , P ], ( Isaacs 2008 ، النظرية 5.21 ، ص. 165) .

التاريخ والتعميمات

يُعزى هذا الربط بين النقل والاندماج إلى ( هيغمان، 1953 ) ^{[ 1 ]} ، حيث تم إثبات نظرية المجموعة الفرعية البؤرية، إلى جانب تعميمات مختلفة، بصيغة أخرى. وقد تم التخلي عن شرط أن _تكونG / K تبديلية، فدرس هيغمان أيضًا المجموعة الفرعية O ^p ( G ) والباقي الصفري γ∞ ( G )، باعتبارها ما يُسمى بالمجموعات الفرعية فائقة البؤرية . كما لم يقتصر هيغمان على عدد أولي واحد p ، بل سمح بوجود مجموعات π لمجموعات الأعداد الأولية π ، واستخدم نظرية فيليب هول للمجموعات الفرعية لهول لإثبات نتائج مماثلة حول النقل إلى مجموعات هول الفرعية π ؛ فعندما تكون π = { p }، فإن مجموعة هول الفرعية π هي مجموعة سيلو الفرعية p ، ونتائج هيغمان هي كما هو موضح أعلاه.

تجددت الاهتمامات بالمجموعات الفرعية فائقة التركيز بفضل عمل ( Puig 2000 ) في فهم نظرية التمثيل النمطي لبعض الكتل ذات السلوك الجيد. يمكن تعريف المجموعة الفرعية فائقة التركيز لـ P في G على أنها P ∩ _γ∞ ( G )، أي كمجموعة فرعية من نوع Sylow p للمجموعة المتبقية الصفرية لـ G. إذا كانت P مجموعة فرعية من نوع Sylow p للمجموعة المنتهية G ، فإنه يمكن الحصول على نظرية المجموعة الفرعية البؤرية القياسية.

P ∩γ _∞ ( G ) = P ∩ O ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹y : x , y in P and y = x ^g for a g in G of the order a in orile to p ⟩

والوصف المحلي:

P ∩ O ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹y : x , y in Q ≤ P and y = x ^g for some g in N _G ( Q ) of order coprime to p ⟩.

وهذا يُقارن بالتوصيف المحلي للمجموعة الفرعية المحورية على النحو التالي:

P ∩ A ^p ( G ) = ⟨ x ⁻¹y : x , y in Q ≤ P and y = x ^g for some g in N _G ( Q ) ⟩.

يهتم بويغ بتعميم هذا الوضع ليشمل أنظمة الاندماج ، وهو نموذج تصنيفي لنمط اندماج زمرة سيلو الجزئية من الرتبة p بالنسبة إلى زمرة منتهية، والذي يُحاكي أيضًا نمط اندماج زمرة العيوب لكتلة من الرتبة p في نظرية التمثيل المعياري. في الواقع، وجدت أنظمة الاندماج عددًا من التطبيقات والإلهامات المدهشة في مجال الطوبولوجيا الجبرية المعروفة بنظرية التماثل المتغير . بعض النظريات الجبرية الرئيسية في هذا المجال لا تملك حاليًا سوى براهين طوبولوجية.

توصيفات أخرى

قدّم العديد من علماء الرياضيات طرقًا لحساب المجموعة الفرعية البؤرية من مجموعات أصغر. على سبيل المثال، يطوّر العمل المؤثر ( ألبيرين 1967 ) فكرة التحكم الموضعي في الاندماج، ويُظهر كمثال تطبيقي ما يلي:

يتم توليد P ∩ A ^p ( G ) بواسطة مجموعات التبديل [ Q , N _G ( Q )] حيث تتغير Q على عائلة C من المجموعات الفرعية لـ P

يمكن اختيار العائلة C بعدة طرق ( تُعرف C باسم "عائلة الاقتران الضعيف" في ( ألبيرين 1967 ) )، وقد ذُكرت عدة أمثلة: يمكن اعتبار C جميع الزمر الجزئية غير المحايدّة من P ، أو الخيار الأصغر المتمثل في التقاطعات Q = P ∩ P ^g لـ g في G حيث NP ₍ Q ) وNPg ₍ Q _⁾ كلاهما زمر جزئية من نوع سيلو p من NG ₍ Q ) . وقد تم اعتماد الخيار الأخير في ( غورنشتاين 1980 ، النظرية 7.4.1، ص 251) . كما درس ( غرون 1936 ) جوانب النقل والاندماج، مما أدى إلى نظرية غرون الأولى :

يتم توليد P ∩ A ^p ( G ) بواسطة P ∩ [ N , N ] و P ∩ [ Q , Q ] حيث N = N _G ( P ) و Q تتراوح على مجموعة Sylow p -supgers Q = P ^g من G ( Gorenstein 1980 ، Theorem 7.4.2 ، ص. 252) .

التطبيقات

تحتوي العروض التقديمية في الكتب المدرسية ( روز 1978 ، ص 254-264) ، ( إسحاق 2008 ، الفصل 5) ، ( هال 1959 ، الفصل 14) ، ( سوزوكي 1986 ، §5.2، ص 138-165) ، جميعها على تطبيقات متنوعة لنظرية المجموعة الفرعية البؤرية التي تربط الاندماج والنقل ونوعًا معينًا من الانقسام يسمى p -nilpotence .

أثناء تطبيق نظرية ألبيرين-براور-غورنشتاين لتصنيف الزمر البسيطة المنتهية ذات الزمر الفرعية شبه ثنائية السطوح من نوع سيلو 2، يصبح من الضروري التمييز بين أربعة أنواع من الزمر ذات الزمر الفرعية شبه ثنائية السطوح من نوع سيلو 2: الزمر ثنائية القوة الصفرية، وزمر النوع Q التي تكون زمرتها الفرعية البؤرية زمرة رباعية معممة من الرتبة 2، وزمر النوع D التي تكون زمرتها الفرعية البؤرية زمرة ثنائية السطوح من الرتبة 2، وزمر النوع QD التي تكون زمرتها الفرعية البؤرية الزمرة شبه ثنائية السطوح بأكملها. من حيث الاندماج، تمتلك الزمر ثنائية القوة الصفرية فئتين من الانعكاسات، وفئتين من الزمر الفرعية الدورية من الرتبة 4؛ بينما تمتلك زمر النوع Q فئتين من الانعكاسات وفئة واحدة من الزمر الفرعية الدورية من الرتبة 4. تحتوي المجموعات من النوع QD على فئة واحدة لكل من الانعكاسات والمجموعات الفرعية الدورية من الرتبة 4. بعبارة أخرى، يمكن تصنيف المجموعات المنتهية ذات المجموعات الفرعية شبه ثنائية السطوح من نوع سيلو 2 وفقًا لمجموعتها الفرعية المحورية، أو بشكل مكافئ، وفقًا لأنماط اندماجها. ترد القوائم الصريحة للمجموعات ذات كل نمط اندماج في ( ألبيرين، براور، وغورنشتاين 1970 ) .

ملحوظات

↑ تُعزى نظرية المجموعة الفرعية البؤرية، أو المجموعة الفرعية البؤرية نفسها، إلى ( هيغمان، 1953 ) وفقًا لـ ( غورنشتاين، ليونز ، وسولومون ، 1996 ، ص 90) ، و ( روز، 1978 ، ص 255) ، و ( سوزوكي، 1986 ، ص 141) ؛ مع ذلك، فإن نظرية المجموعة الفرعية البؤرية كما وردت هناك وهنا أقدم بكثير، وقد ظهرت بالفعل في شكل كتاب مدرسي في ( هول، 1959 ، ص 215) . هناك وفي ( بويغ، 2000 ) تُنسب الأفكار إلى ( غرون، 1936 ) ؛ قارن بـ ( غرون، 1936 ، الفرضية 5) في الحالة الخاصة للمجموعات الطبيعية من الرتبة p ، والنتيجة العامة في الفرضية 9 التي تُعد، بمعنى ما، تحسينًا لنظرية المجموعة الفرعية البؤرية.

مراجع

ألبيرين، جيه إل (1967)، "تقاطعات سيلو والاندماج"، مجلة الجبر ، 6 (2): 222-241 ، doi : 10.1016/0021-8693(67)90005-1 ، ISSN 0021-8693 ، MR 0215913
ألبيرين، جيه إل ؛ براور، آر ؛ غورنشتاين، دي (1970)، "المجموعات المنتهية ذات المجموعات الفرعية شبه ثنائية السطوح والملتفة من نوع سيلو 2"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 151 (1)، الجمعية الرياضية الأمريكية : 1-261 ، doi : 10.2307/1995627 ، ISSN 0002-9947 ، JSTOR 1995627 ، MR 0284499
غورنشتاين، د. (1980)، المجموعات المنتهية ، نيويورك: تشيلسي، رقم ISBN 978-0-8284-0301-6، MR 0569209
غورنشتاين، د .؛ ليونز، ريتشارد؛ سولومون، رونالد (1996)، تصنيف الزمر البسيطة المنتهية. العدد 2. الجزء الأول. الفصل G ، سلسلة الدراسات والبحوث الرياضية، المجلد 40، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-0390-5MR 1358135
جرون، أوتو (1936)، “Beiträge zur Gruppentheorie. I.” , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (بالألمانية)، 174 : 1–14 ، doi : 10.1515/crll.1936.174.1 ، ISSN 0075-4102 ، Zbl 0012.34102
هول، مارشال الابن (1959)، نظرية المجموعات ، نيويورك: ماكميلان، MR 0103215
هيغمان، دونالد ج. (1953)، "المتسلسلات البؤرية في الزمر المنتهية"، المجلة الكندية للرياضيات ، 5 : 477-497 ، doi : 10.4153/cjm-1953-055-5 ، ISSN 0008-414X ، MR 0058597
إسحاق، آي. مارتن (2008)، نظرية الزمر المنتهية ، الجمعية الأمريكية للرياضيات ، رقم ISBN 978-0-8218-4344-4
بويغ، لويس (2000)، "الجبر الفرعي البؤري الفائق لكتلة"، Inventiones Mathematicae ، 141 (2): 365-397 ، Bibcode : 2000InMat.141..365P ، doi : 10.1007/s002220000072 ، ISSN 0020-9910 ، MR 1775217 ، S2CID 122330778
روز، جون س. (1978)، دورة في نظرية الزمر ، نيويورك: منشورات دوفر (نُشر عام 1994)، رقم ISBN 978-0-486-68194-8، MR 0498810
سوزوكي، ميشيو (1986)، نظرية المجموعة. II ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [المبادئ الأساسية للعلوم الرياضية]، المجلد. 248، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-10916-9، MR 0815926

[1] تُعزى نظرية المجموعة الفرعية البؤرية، أو المجموعة الفرعية البؤرية نفسها، إلى ( هيغمان، 1953 ) وفقًا لـ ( غورنشتاين، ليونز ، وسولومون ، 1996 ، ص 90) ، و ( روز، 1978 ، ص 255) ، و ( سوزوكي، 1986 ، ص 141) ؛ مع ذلك، فإن نظرية المجموعة الفرعية البؤرية كما وردت هناك وهنا أقدم بكثير، وقد ظهرت بالفعل في شكل كتاب مدرسي في ( هول، 1959 ، ص 215) . هناك وفي ( بويغ، 2000 ) تُنسب الأفكار إلى ( غرون، 1936 ) ؛ قارن بـ ( غرون، 1936 ، الفرضية 5) في الحالة الخاصة للمجموعات الطبيعية من الرتبة p ، والنتيجة العامة في الفرضية 9 التي تُعد، بمعنى ما، تحسينًا لنظرية المجموعة الفرعية البؤرية.

[ 1 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗