نظريات سيلو

في الرياضيات، وتحديدًا في مجال نظرية الزمر المنتهية ، تُعدّ نظريات سيلو مجموعة من النظريات التي سُمّيت نسبةً إلى عالم الرياضيات النرويجي بيتر لودفيج سيلو ^{[ 1 ]} ، والتي تُقدّم معلوماتٍ تفصيلية حول عدد الزمر الجزئية ذات الرتبة الثابتة التي تحتويها زمرة منتهية مُعطاة . تُشكّل نظريات سيلو جزءًا أساسيًا من نظرية الزمر المنتهية، ولها تطبيقات بالغة الأهمية في تصنيف الزمر البسيطة المنتهية .

بالنسبة للأعداد الأولية $p$ الزمرة p هي زمرة يكون فيها ترتيب كل عنصر قوة لـ $p$ بالنسبة للمجموعات المنتهية، فإن هذا يعادل كون عدد عناصر المجموعة قوة لـ $p$ . زمرة جزئية من نوع سيلو p من زمرة $G$ هو الحد الأقصى $p$ -مجموعة فرعية -أي مجموعة فرعية من الرتبة p من $G$ غير موجودة في أي زمرة فرعية أكبر من p . مجموعة جميع عناصر سيلو $p$ - مجموعات فرعية من $G$ لعدد أولي معين $p$ يُشار إليه بـ ${\text{Syl}}_{p}(G)$ .

تؤكد نظريات سيلو عكسًا جزئيًا لنظرية لاغرانج . تنص نظرية لاغرانج على أنه لأي مجموعة منتهية $G$ ترتيب (عدد العناصر) كل مجموعة فرعية من $G$ يقسم ترتيب $G$ تنص نظريات سيلو على أنه لكل عامل أولي $p$ من رتبة مجموعة منتهية $G$ يوجد سيلو $p$ -مجموعة فرعية من $G$ من النظام $p^{n}$ أعلى قوة $p$ ذلك يقسم ترتيب $G$ علاوة على ذلك، كل مجموعة فرعية من الرتبة $p^{n}$ هو سيلو $p$ -مجموعة فرعية من $G$ وسيلاو $p$ -المجموعات الفرعية لمجموعة (لعدد أولي معين) $p$ تكون هذه الأعداد مترافقة مع بعضها البعض. علاوة على ذلك، فإن عدد سيلو $p$ -المجموعات الفرعية لمجموعة ما لعدد أولي معين $p$ يطابق 1 (mod $p$ ).

النظريات

تحفيز

تُعدّ نظريات سيلو بيانًا قويًا حول بنية المجموعات بشكل عام، ولكنها أيضًا قوية في تطبيقات نظرية المجموعات المنتهية. وذلك لأنها تُقدّم طريقة لاستخدام التحليل الأولي لعدد عناصر المجموعة المنتهية. $G$ لتقديم بيانات حول بنية مجموعاتها الفرعية: فهي في جوهرها توفر تقنية لنقل المعلومات الأساسية المتعلقة بنظرية الأعداد حول مجموعة ما إلى بنيتها. انطلاقًا من هذه الملاحظة، يصبح تصنيف المجموعات المنتهية بمثابة لعبة بحث عن تركيبات/بنى مجموعات ذات رتبة أصغر يمكن تطبيقها لبناء مجموعة. على سبيل المثال، يتمثل أحد التطبيقات النموذجية لهذه النظريات في تصنيف المجموعات المنتهية ذات عدد عناصر ثابت، على سبيل المثال $|G|=60$ [ ²^]

إفادة

تُعدّ مجموعات الزمر الجزئية التي تكون كل منها قصوى بمعنى أو بآخر شائعة في نظرية الزمر. والنتيجة المفاجئة هنا هي أنه في حالة $\operatorname {Syl} _{p}(G)$ جميع الأعضاء متماثلون في الواقع مع بعضهم البعض ولهم أكبر ترتيب ممكن: إذا $|G|=p^{n}m$ مع $n>0$ إذا كان $p$ لا يقسم $m$ ، فإن كل زمرة جزئية من نوع سيلو $p$ - $P$ لها رتبة $|P|=p^{n}$ أي أن $P$ هي زمرة من الرتبة $p$ و ${\text{gcd}}(|G:P|,p)=1$ يمكن استغلال هذه الخصائص لمزيد من تحليل بنية $G.$

تم اقتراح النظريات التالية وإثباتها لأول مرة من قبل لودفيج سيلو في عام 1872، ونُشرت في مجلة Mathematische Annalen .

النظرية (1) - لكل عامل أولي $p$ ذي رتبة $n$ من رتبة زمرة منتهية $G$ ، توجد زمرة جزئية من نوع سيلو $p$ من $G$ ، من الرتبة $p^{n}$ .

تم إثبات النسخة الأضعف التالية من النظرية 1 لأول مرة بواسطة أوغسطين لويس كوشي ، وهي تُعرف باسم نظرية كوشي .

النتيجة - إذا ^كانت لدينا مجموعة منتهية $G$ وعدد أولي $p$ يقسم رتبة $G$ ، فإنه يوجد عنصر (وبالتالي مجموعة فرعية دورية مولدة بواسطة هذا العنصر) من الرتبة $p$ في $G.$ [ ^{3 ]}

النظرية (2) - إذا كانت لدينا زمرة منتهية $G$ وعدد أولي $p$ ، فإن جميع الزمر الجزئية من نوع سيلو $p-$ في $G$ تكون مترافقة مع بعضها البعض. أي، إذا كانت $H$ و $K$ زمرتين جزئيتين من نوع سيلو $p-$ في $G$ ، فإنه يوجد عنصر $g\in G$ مع $g^{-1}Hg=K$ .

النظرية (3) - ليكن $p$ عاملًا أوليًا بتعدد $n$ من رتبة زمرة منتهية $G$ ، بحيث يمكن كتابة رتبة $G على النحو التالي$ $p^{n}m$ ، أين $n>0$ و $p$ لا يقسم $m$ . ليكن $n_{p}$ ليكن عدد الزمر الجزئية من نوع سيلو $p$ في $G.$ عندئذٍ تتحقق الشروط التالية:

$n_{p}$ يقسم $m$ ، وهو دليل المجموعة الفرعية $p$ من نوع Sylow في $G.$
$n_{p}\equiv 1{\pmod {p}}$
$n_{p}=|G:N_{G}(P)|$ حيث $P$ هي أي مجموعة فرعية من نوع Sylow $p$ من $G$ و $N_{G}$ يشير إلى المُعَيِّر .

عواقب

لو $p^{m}$ أي قوة أولية تقسم ترتيب $G$ إذن، توجد مجموعة فرعية من $G$ من النظام $p^{m}$ يمكن إثبات صحة ذلك بسهولة بالنسبة للمجموعات p ، وتضمن نظرية سيلو الأولى وجود مجموعة فرعية p كبيرة بما يكفي من $G$ .

تشير نظريات سيلو إلى أنه بالنسبة لعدد أولي $p$ كل سيلو $p$ - مجموعات فرعية من $G$ بنفس الترتيب، $p^{n}$ أعلى قوة $p$ تقسيم ترتيب $G$ . وعلى العكس من ذلك، فإن جميع المجموعات الفرعية من الرتبة $p^{n}$ سيلو $p$ إنها زمرة فرعية، وبالتالي فهي جميعها مترافقة مع بعضها البعض. علاوة على ذلك، وبسبب شرط الحد الأقصى، فإن أي $p$ -مجموعة فرعية من $G$ هي مجموعة فرعية من أ $p$ -مجموعة فرعية من $G$ من النظام $p^{n}$ .

من النتائج المهمة للنظرية 2 أن الشرط $n_{p}=1$ وهو ما يعادل الشرط الذي يكون فيه سيلو $p$ -مجموعة فرعية من $G$ هي زمرة جزئية طبيعية (يمكن استخدام النظرية 3 غالبًا لإثبات ذلك). $n_{p}=1$ ومع ذلك، توجد مجموعات لها مجموعات فرعية طبيعية صحيحة وغير تافهة، ولكن ليس لها مجموعات فرعية طبيعية من نوع سيلو، مثل $S_{4}$ المجموعات التي تكون من رتبة القوة الأولية ليس لها سيلو مناسب $p$ -المجموعات الفرعية.

تترتب على النقطة الثالثة من النظرية الثالثة نتيجة مباشرة لما يلي: $n_{p}$ يقسم $|G|$ .

نظريات سيلو للمجموعات اللانهائية

توجد نظرية مماثلة لنظريات سيلو للمجموعات اللانهائية. تُعرَّف مجموعة سيلو الجزئية من الرتبة $p$ في مجموعة لانهائية بأنها مجموعة جزئية من الرتبة p (أي أن كل عنصر فيها له رتبة قوة $p$ ) تكون قصوى للاحتواء بين جميع المجموعات الجزئية من الرتبة $p$ في المجموعة. $\operatorname {Cl} (K)$ يرمز إلى مجموعة المرافقات لمجموعة جزئية $K\subset G$ .

نظرية — إذا كانت $K$ زمرة جزئية من نوع سيلو $p$ من $G$ ، و $n_{p}=|\operatorname {Cl} (K)|$ إذا كانت المجموعة K محدودة، فإن كل مجموعة فرعية من نوع Sylow $p$ تكون مترافقة مع $K$ ، و $n_{p}\equiv 1\ (\mathrm {mod} \ p)$ .

أمثلة

من الأمثلة البسيطة على زمر سيلو ونظريات سيلو، الزمرة ثنائية السطوح للمضلع ذي n ضلعًا، D _{2 n} . عندما يكون n فرديًا، فإن 2 = 2 ¹ هو أعلى قوة للعدد 2 تقسم الرتبة، وبالتالي فإن الزمر الجزئية من الرتبة 2 هي زمر سيلو. هذه هي الزمر المتولدة عن انعكاس، وعددها n ، وهي جميعها مترافقة تحت الدوران؛ هندسيًا، تمر محاور التناظر برأس وضلع.

على النقيض من ذلك، إذا كان n زوجيًا، فإن 4 يقسم رتبة المجموعة، وبالتالي فإن المجموعات الفرعية من الرتبة 2 لم تعد مجموعات سيلو، بل تنقسم هندسيًا إلى فئتين من الاقتران، وفقًا لما إذا كانت تمر برأسين أو وجهين. وترتبط هاتان الفئتان بتشاكل خارجي ، يمكن تمثيله بدوران حول π/ n ، وهو نصف الدوران الأدنى في المجموعة ثنائية السطوح.

مثال آخر هو الزمر الجزئية من نوع سيلو p لـ GL ₂ ( F _q )، حيث p و q عددان أوليان ≥ 3 و $p \equiv 1 (mod q)$ ، وهي جميعها زمر تبديلية . رتبة GL ₂ ( F _q ) هي $(q 2 - 1)(q 2 - q) = (q)(q + 1)(q - 1) 2$ . بما أن $q = p n m + 1$ ، فإن رتبة $GL 2 (F q) = p 2 n m'$ . بالتالي، وفقًا للنظرية 1، فإن رتبة الزمر الجزئية من نوع سيلو p هي p ^{2 n} .

إحدى هذه المجموعات الفرعية P هي مجموعة المصفوفات القطرية ${\begin{bmatrix}x^{im}&0\\0&x^{jm}\end{bmatrix}}$ x هو أي جذر أولي لـ Fq _. بما أن رتبة Fq هي $q$ $-$ $1 ،$ _فإن جذورها الأولية لها رتبة ^q - 1، مما يعني أن $x$ $($ $q$ $-$ $1)/$ $pn$ أو $xm$ وجميع قواها لها رتبة هي قوة للعدد p . إذن، P هي زمرة جزئية حيث جميع عناصرها لها رتب هي قوى للعدد p . يوجد pn خيارًا لكل من a و b ، مما يجعل $|$ $P$ $| =$ $p²n$ . هذا يعني أن P هي زمرة جزئية ^من نوع سيلو p ، وهي زمرة $تبديلية$ ، لأن جميع المصفوفات القطرية فيها تبادلية، ولأن النظرية 2 تنص على أن جميع الزمر الجزئية من نوع سيلو $p$ مترافقة مع بعضها البعض، فإن الزمر الجزئية من نوع سيلو _p_لـGL² ( Fq ) كلها تبديلية.

تطبيقات نموذجية

بما أن نظرية سيلو تضمن وجود زمر جزئية من الرتبة p لزمرة منتهية، فمن المفيد دراسة الزمر ذات الرتبة الأسية الأولية بمزيد من التفصيل. تستخدم معظم الأمثلة نظرية سيلو لإثبات أن زمرة من رتبة معينة ليست بسيطة . بالنسبة للزمر ذات الرتبة الصغيرة، غالبًا ما يكون شرط التطابق في نظرية سيلو كافيًا لإثبات وجود زمرة جزئية طبيعية . تنص نظرية بيرنسايد p ^a q ^b على أنه إذا كانت رتبة زمرة ما هي حاصل ضرب قوة عدد أولي واحد أو قوتين أوليتين ، فإنها قابلة للحل ، وبالتالي ليست بسيطة (إلا إذا كانت دورية من رتبة أولية).

أوامر المجموعات الدورية

بعض الأعداد غير الأولية n بحيث تكون كل زمرة من الرتبة n دورية. يمكن إثبات أن n = 15 هو أحد هذه الأعداد باستخدام نظريات سيلو: لتكن G زمرة من الرتبة 15 = 3 × 5، وليكن n عدد الزمر الجزئية من الرتبة ₃ في نظرية سيلو. عندئذٍ n ≥ ₃ $\mid$ _{بما أن 3} و n ≡ 1 (mod 3)، فإن القيمة الوحيدة التي تحقق هذه الشروط هي 1؛ لذا، توجد زمرة جزئية واحدة فقط من الرتبة 3، ويجب أن تكون زمرة طبيعية (لأنها لا تملك مرافقات مميزة). وبالمثل، يجب أن يقسم n _{≡ 5 العدد}_{3 ، ويجب أن يساوي}n ≡ 1 (mod 5)؛ وبالتالي يجب أن يكون لها أيضًا زمرة جزئية طبيعية واحدة من الرتبة 5. وبما أن 3 و 5 أوليان فيما بينهما ، فإن تقاطع هاتين الزمرتين الجزئيتين تافه، وبالتالي يجب أن تكون G هي حاصل الضرب الداخلي المباشر لزمرتين من الرتبتين 3 و 5، أي الزمرة الدورية من الرتبة 15. إذن، توجد زمرة واحدة فقط من الرتبة 15 ( حتى التشاكل).

بشكلٍ أعم، يمكن إثبات، باستخدام حجة مماثلة، أنه إذا كان n = pq ، حيث p و q عددان أوليان مختلفان بحيث لا يقسم p العدد q-1 ، فإن كل زمرة من الرتبة n تكون دورية. شرط عدم قسمة p للعدد q-1 شرطٌ ضروري: على سبيل المثال، الزمرة ثنائية السطوح D _p ، حيث p عدد أولي فردي، رتبتها 2p ولكنها ليست دورية.

المجموعات الصغيرة ليست بسيطة

يتمثل أحد التطبيقات الأكثر تعقيدًا في إيجاد رتبة أصغر زمرة بسيطة غير دورية . تستبعد نظرية بيرنسايد p ^a q ^b كل زمرة حتى الرتبة 30 = 2 · 3 · 5 .

إذا كانت | G | = 30 وكانت G بسيطة، فإن n³ > 1 لتجنب وجود زمرة جزئية عادية من الرتبة 3، ويجب _أن يقسم n³ _{العدد 10 = 2 × 5 وأن يساوي 1 (mod 3)، وبالتالي}n³ = 10. إذن _، تحتوي الزمرة على 10 زمر جزئية دورية مختلفة من الرتبة 3، كل منها تحتوي على عنصرين من الرتبة 3. هذا يعني أن G تحتوي على 20 عنصرًا مختلفًا على الأقل من الرتبة 3. وبالمثل، n⁵ = 6، لأن n⁵ > 1 يجب أن يقسم _العدد 6 = 2 × 3، ويجب أن يساوي n⁵ _{1 (mod 5). وبالتالي}_{، تحتوي}G أيضًا على 24 عنصرًا مختلفًا من الرتبة 5. لكن رتبة G هي 30 فقط، لذا لا يمكن أن توجد زمرة بسيطة من الرتبة 30.

لنفترض الآن أن | G | = 42 = 2 × 3 × 7 وأن G عدد بسيط. هنا _{، يجب أن يقسم}n7 > 1 العدد 6 = 2 × 3، ويجب أن يساوي n7 ₁ (باقي قسمة 7)، وهو أمر مستحيل.

من جهة أخرى، إذا كان عدد عناصر المجموعة ( _G_{) يساوي 60 (2 × 2 × 3 × 5)، فإن n³}= 10 ^و n⁵ = 6 ممكنان تمامًا. في الواقع، أصغر مجموعة بسيطة غير دورية هي A⁵ ، وهي المجموعة المتناوبة المكونة من 5 عناصر. رتبتها 60، ولها 24 _{تبديلًا}دوريًا من الرتبة 5، و20 تبديلًا من الرتبة 3. في الواقع، إذا كان _عدد عناصر المجموعة ( G ) يساوي 60 و n⁵ > 1، فإن G مجموعة بسيطة.

نظرية ويلسون

ينص جزء من نظرية ويلسون على أن

(p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}

لكل عدد أولي p . يمكن إثبات هذه النظرية بسهولة باستخدام نظرية سيلو الثالثة. في الواقع، لاحظ أن عدد زمر سيلو الجزئية من الرتبة _p في المجموعة المتناظرة S _p  يساوي 1 / ( p - 1 ) مضروبًا في عدد الدورات من الرتبة p في S _p ، أي $($ $p$ $-$ $2)!.$ من جهة أخرى، $n$ $p$ $ \equiv 1 (mod$ $p$ $)$ . بالتالي، $($ $p$ $-$ $2)! \equiv 1 (mod$ $p$ $)$ . إذن، $($ $p$ $-$ $1)! \equiv$ $-1$ $(mod$ $p$ $)$ .

نتائج الاندماج

تُبيّن حجة فراتيني أن زمرة سيلو الجزئية لزمرة جزئية طبيعية تُوفّر تحليلًا إلى عوامل لزمرة منتهية. وينص تعميم بسيط يُعرف بنظرية بيرنسايد للدمج على أنه إذا كانت G زمرة منتهية ذات زمرة سيلو جزئية من الرتبة p، ومجموعتين جزئيتين A و B مُعَيَّرتين بواسطة P ، فإن A و B تكونان مترافقتين بالنسبة لـ G إذا وفقط إذا كانتا مترافقتين بالنسبة _{لـ NG} ( P ) ^. والبرهان هو تطبيق بسيط لنظرية سيلو: إذا كانت B = Ag ، فإن مُعَيِّرة B لا تحتوي على P فقط، بل تحتوي أيضًا ^{على Pg} ( لأن Pg موجودة في مُعَيِّرة Ag ⁾ . وبحسب نظرية سيلو، ^فإن P و Pg مترافقتان ليس فقط في G ، بل في مُعَيِّرة B ^أيضًا . وبالتالي، فإن gh ⁻¹ يُعَيِّر P لبعض h التي تُعَيِّر B ، ومن ثم A ^gh^⁻¹ = B ^h^⁻¹ = B ، بحيث يكون A و B مترافقين من _{النوع NG} ( P ) . يمكن استخدام نظرية بيرنسايد للدمج لإعطاء تحليل أكثر قوة يُسمى الضرب شبه المباشر : إذا كانت G زمرة منتهية تحتوي زمرتها الجزئية من النوع p من نوع سيلو P في مركز مُعَيِّرها، فإن G لها زمرة جزئية طبيعية K من رتبة أولية نسبية مع P ، و G = PK و P ∩ K = {1}، أي أن G زمرة من النوع p عديمة القوة .

تشمل التطبيقات الأقل وضوحًا لنظريات سيلو نظرية المجموعة الفرعية البؤرية ، التي تدرس تأثير مجموعة سيلو الفرعية من الرتبة p للمجموعة الفرعية المشتقة على بنية المجموعة بأكملها. يُستغل هذا التأثير في مراحل متعددة من تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية ، ويُحدد، على سبيل المثال، تقسيمات الحالات المستخدمة في نظرية ألبيرين-براور-غورنشتاين لتصنيف المجموعات البسيطة المنتهية التي تكون مجموعتها الفرعية من الرتبة 2 في نظرية سيلو مجموعة شبه ثنائية السطوح . وتعتمد هذه التقسيمات على تعزيز جيه إل ألبيرين لجزء الاقتران في نظرية سيلو للتحكم في أنواع العناصر المستخدمة في الاقتران.

برهان نظريات سيلو

لقد تم إثبات نظريات سيلو بعدة طرق، وتاريخ البراهين نفسها هو موضوع العديد من الأوراق البحثية، بما في ذلك ووترهاوس، ^{[ 4 ]} وشارلاو، ^{[ 5 ]} وكاساديو وزابا، ^{[ 6 ]} وجاو، ^{[ 7 ]} وإلى حد ما ميو. ^{[ 8 ]}

يستغل أحد براهين نظريات سيلو مفهوم تأثير المجموعة بطرق إبداعية متنوعة. تؤثر المجموعة $G$ على نفسها أو على مجموعة زمرها الجزئية من الرتبة p بطرق مختلفة، ويمكن استغلال كل تأثير من هذه التأثيرات لإثبات إحدى نظريات سيلو. تستند البراهين التالية إلى حجج فيلاندت التوافقية. ^{[ 9 ]} فيما يلي، نستخدم $a\mid b$ كرمز لـ "أ يقسم ب" و $a\nmid b$ لنفي هذا البيان.

النظرية (1) — مجموعة منتهية G رتبتها $|G|$ يقبل القسمة على قوة عدد أولي p ^k، وله مجموعة جزئية من الرتبة p ^k .

دليل

ليكن $| G | = pkm = pk + ru بحيث $ $p\nmid u$ ولتكن Ω مجموعة المجموعات الجزئية من $G$ ذات الحجم p ^k . تؤثر $G$ على Ω بالضرب من اليسار: لكل $g$ $\in$ $G$ و $ω$ $\in Ω$ ، فإن $g$ $\cdot$ $ω$ $= {$ $g$ $x$ $|$ $x$ $\in$ $ω$ $}$ . بالنسبة لمجموعة معينة $ω$ $\in Ω$ ، نكتب G _ω لمجموعة التثبيت الجزئية ${$ $g$ $\in$ $G$ $|$ $g$ $\cdot$ $ω$ $=$ $ω$ $}$ و G ω لمدارها ${$ $g$ $\cdot$ $ω$ | $g$ $\in$ $G$ $}$ $في$ Ω.

ستُثبت البرهنة وجود عنصر $ω \in Ω$ بحيث تحتوي _{$المجموعة$} $Gω على$ pk ^عنصرًا ، مما يُوفر المجموعة الجزئية المطلوبة. هذا هو الحجم الأقصى الممكن لمجموعة التثبيت $Gω$ _$،$ لأنه لأي عنصر ثابت $α$ $\in$ $ω$ $\subseteq$ $G$ $،$ _{$فإن المجموعة$} $المشاركة$ اليمنى $Gωα$ مُحتواة $في$ $ω$ ؛ وبالتالي $،$ $|$ $Gω$ $|$ $=$ $|$ $Gωα$ $|$ $\leq$ $|$ $ω$ $|$ $=$ $pk$ $.$

بحسب $نظرية$ مُثبِّت المدار، $لدينا |Gω$ | $= | G | لكل ω \in$ Ω $،$ $وبالتالي$ $باستخدام$ $التقييم$ الجمعي $p$ _- adic νp $،$ $الذي$ يحسب عدد العوامل p ، يكون لدينا $νp (| Gω |) + νp ( | Gω |) = νp (| G |) = k + r$ . هذا يعني أنه بالنسبة لقيم $ω$ $التي$ تحقق $|$ $Gω$ $|$ $=$ $\sqrtk$ $،$ وهي القيم التي نبحث عنها، يكون لدينا $νp$ $(|$ $Gω$ $|$ $)$ $=$ $r$ $،$ بينما بالنسبة لأي $قيمة$ $ω$ $أخرى$ $يكون$ لدينا $νp (| Gω |) >$ $r$ $($ لأن $0$ $<$ $|$ $Gω$ $|$ $<$ $\sqrtk$ يستلزم $νp ($ $|$ $Gω$ $|$ $)$ $<$ $k$ $)$ $.$ بما $أن$ $|$ $Ω$ $|$ $هو$ مجموع $|$ $Gω$ $|$ على جميع المدارات المتميزة $G$ $ω$ ، يمكن إثبات وجود ω من النوع الأول بإثبات أن $ν p (| Ω |) = r$ (إذا لم يكن موجودًا، فإن هذه القيمة ستتجاوز r ). هذه حالة من حالات نظرية كومر (بما أن العدد $|$ $G$ $|$ في الترميز ذي الأساس p ينتهي بـ k + r خانة صفرية بالضبط، فإن طرح p ^k منه يتضمن عملية حمل في r خانة)، ويمكن إثبات ذلك أيضًا بحساب بسيط:

|\Omega |={p^{k}m \choose p^{k}}=\prod _{j=0}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k}mj}{p^{k}-j}}=m\prod _{j=1}^{p^{k}-1}{\frac {p^{k-\nu _{p}(j)}mj/p^{\nu _{p}(j)}}{p^{k-\nu _{p}(j)}-j/p^{\nu _{p}(j)}}}

ولا تبقى أي قوة لـ p في أي من العوامل داخل حاصل الضرب على اليمين. ومن ثمّ فإنّ $ν p (| Ω |) = ν p (m) = r$ ، وبذلك يكتمل البرهان.

تجدر الإشارة إلى أنه على العكس من ذلك، فإن كل مجموعة فرعية H من الرتبة p ^k تؤدي إلى مجموعات $ω \in Ω$ التي يكون فيها G _ω = H ، أي أي من المجموعات الفرعية m المتميزة Hg .

اللمة — ليكن $H$ زمرة منتهية من الرتبة $p$ ، ولتكن Ω مجموعة منتهية تؤثر عليها $H$ ، ولتكن Ω₀ _مجموعة $نقاط$ Ω الثابتة تحت تأثير $H.$ عندئذٍ $| Ω | \equiv | Ω₀ | (mod p)$ .

دليل

أي عنصر $x \in Ω$ غير مثبت بواسطة $H$ سيقع في مدار من الرتبة $| H | / | Hx |$ (حيث $Hx$ يرمز إلى المُثبِّت ) ، وهو مضاعف لـ $p بافتراضنا$ $.$ وتُستنتج النتيجة مباشرةً بكتابة $| Ω |$ كمجموع $| Hx |$ على جميع المدارات $المتميزة$ Hx $واختزالها$ بتردد $p$ _.

النظرية (2) - إذا كانت H زمرة جزئية من الرتبة p في $G$ ، وكانت P زمرة جزئية من الرتبة p في $G$ ^وفقًا لنظرية سيلو ، فإنه يوجد عنصر g في $G$ بحيث يكون g⁻¹Hg ≤ P. وبالتحديد، فإن جميع زمر سيلو الجزئية من الرتبة p في $G$ مترافقة (وبالتالي متماثلة )، أي إذا كانت H و K زمرتين جزئيتين من الرتبة p في G وفقًا $لنظرية$ ^سيلو ، فإنه يوجد عنصر g في $G$ بحيث يكون g⁻¹Hg = K.

دليل

ليكن Ω مجموعة المشاركات اليسرى لـ P في $G$ $،$ وليكن H عاملاً على Ω بالضرب من اليسار. بتطبيق اللمة على H على Ω، نرى أن $| Ω₀ | \equiv | Ω | = [G : P] (mod p)$ . الآن $p\nmid [G:P]$ بحسب التعريف، كذلك $p\nmid |\Omega _{0}|$ وبالتالي، فإن $| Ω₀ | \neq 0 ،$ لذا يوجد $gP \in Ω₀ .$ مع هذا gP ، لدينا hgP = gP لكل $h \in H$ ، لذا g⁻¹HgP = P، ومن ثم g⁻¹Hg ≤ P. علاوة $على$ $ذلك ،$ إذا كانت H زمرة جزئية ^من^نوعسيلو p ، فإن $|$ $g⁻¹Hg$ | $=$ $|$ $H$ $|$ $=$ $|$ $P$ $|$ ^، وبالتالي g⁻¹Hg $=$ P.

النظرية (3) - ليكن q رتبة أي زمرة جزئية $من$ $نوع$ سيلو- p، P، _من زمرة منتهية G. وليكن np عدد الزمر الجزئية من نوع سيلو- p في G. عندئذٍ: (أ) $np$ $= [$ $G$ $:$ $NG$ $($ $P$ $)]$ (حيث NG ( P ) هو مُعَيِّر P ) ، (ب) $np$ $يقسم$ | $G$ $|$ $/$ $q$ $،$ و(ج) $np$ $\equiv$ $1 ($ _mod $p$ $)$ .

دليل

ليكن Ω مجموعة جميع الزمر الجزئية من نوع سيلو- p للزمرة $G$ ، ولتكن $G$ مؤثرة على Ω بالاقتران. ولتكن $P \in Ω$ زمرة جزئية من نوع سيلو- p . بحسب النظرية 2، فإن مدار P له حجم n _p ، وبالتالي، بحسب نظرية المدار-المثبت، $فإن$ $n p = [G : G P]$ 2 . بالنسبة لهذا التأثير الزمري، يُعطى المثبت $G$ P بالعلاقة ${$ _g $\in G | gPg -1 = P} = NG (P) ،$ وهو المعيار لـ P في G. بالتالي، $n p = [G : NG (P)]$ 2، ومن ثم فإن هذا العدد قاسم لـ $[G : P] = | G | / q$ .

لنفترض الآن أن P تؤثر على Ω بالاقتران، ولنرمز مجددًا إلى Ω₀ _{بمجموعة} النقاط الثابتة لهذا التأثير. ليكن $Q \in Ω₀ ،$ $ونلاحظ$ أن $Q = xQx⁻¹$ لكل $x \in P$ بحيث P ≤ NG ( _Q ) . وبحسب النظرية 2، فإن P و Q مترافقتان في NG ( Q ) تحديدًا، و Q عنصر طبيعي في _NG ( _Q ) ، وبالتالي P = Q. ويترتب على ذلك أن Ω₀ ₌ { P } ، وبالتالي، بحسب اللمة، $|$ $Ω$ $|$ $\equiv$ $|$ $Ω₀$ $|$ $= 1 ($ $mod$ $p$ $)$ .

الخوارزميات

تُعد مشكلة إيجاد مجموعة سيلو الفرعية لمجموعة معينة مشكلة مهمة في نظرية المجموعات الحسابية .

أحد البراهين على وجود زمر سيلو الجزئية من الرتبة p هو برهان بنائي: إذا كانت H زمرة جزئية من الرتبة p في G ، وكان الدليل [ G : H ] يقبل القسمة على p ، فإن المُعَيِّر N = NG ( _H ) لـ H في G يكون أيضًا بحيث يكون [ N : H ] يقبل القسمة على p . بعبارة أخرى، يمكن إيجاد نظام توليد متعدد الحلقات لزمرة سيلو الجزئية من الرتبة p بالبدء من أي زمرة جزئية من الرتبة p، H (بما في ذلك العنصر المحايد)، وأخذ العناصر ذات الرتبة p الموجودة في مُعَيِّر H ولكن ليس في H نفسها. تم وصف النسخة الخوارزمية لهذا (والعديد من التحسينات) في كتاب بتلر، ^[¹⁰^] بما في ذلك الخوارزمية الموصوفة في كانون. ^[¹¹^] لا تزال هذه النسخ مستخدمة في نظام الجبر الحاسوبي GAP .

في زمر التبديل ، ثبت في أعمال كانتور ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} وكانتور وتايلور ^{[ 15 ]} أنه يمكن إيجاد زمرة سيلو الجزئية من الرتبة p ومُعَيِّرها في زمن متعدد الحدود للمدخلات (درجة الزمرة مضروبة في عدد المولدات). وُصفت هذه الخوارزميات بشكل مُفصَّل في كتاب سيريس ^{[ 16 ]} ، وهي الآن تُصبح عملية مع تحقُّق التعرُّف البنّاء على الزمر البسيطة المنتهية. على وجه الخصوص، تُستخدم نسخ من هذه الخوارزمية في نظام الجبر الحاسوبي ماجما .

انظر أيضاً

ملحوظات

^ سيلو، ل. (1872). "نظريات حول مجموعات البدائل" . الرياضيات. آن. (باللغة الفرنسية). 5 (4): 584-594 . دوى : 10.1007 / BF01442913 . جي اف ام 04.0056.02 . S2CID 121928336 .
↑ غراسيا-ساز، ألفونسو. "تصنيف الزمر من الرتبة 60" (ملف PDF) . math.toronto.edu . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 28 أكتوبر 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2021 .
^ فرالي ، جون ب. (2004). الدورة الأولى في الجبر التجريدي . بمساهمة من فيكتور ج. كاتز . تعليم بيرسون. ص. 322. ردمك 9788178089973.
↑ ووترهاوس 1980 .
↑ شارلاو 1988 .
↑ كاساديو وزابا 1990 .
↑ غاو 1994 .
↑ ميو 2004 .
↑ ويلاندت 1959 .
↑ بتلر 1991 ، الفصل 16.
↑ كانون 1971 .
↑ كانتور 1985أ .
↑ كانتور 1985ب .
↑ كانتور 1990 .
↑ كانتور وتايلور 1988 .
↑ سيريس 2003 .

مراجع

البراهين

كاساديو، جوزيبينا؛ زابا، جويدو (1990). “تاريخ نظرية سيلو وبرهانها”. بول. ستوريا العلوم. حصيرة. (باللغة الإيطالية). 10 (1): 29-75 . ISSN 0392-4432 . السيد 1096350 . زبل 0721.01008 .
غاو، رود (1994). "برهان سيلو لنظرية سيلو" . نشرة الجمعية الرياضية الأيرلندية. 0033 ( 33): 55-63 . doi : 10.33232/BIMS.0033.55.63 . ISSN 0791-5578 . MR 1313412. Zbl 0829.01011 .
كامولر، فلوريان؛ بولسون، لورانس سي. (1999). "برهان رسمي لنظرية سيلو: تجربة في الجبر المجرد باستخدام إيزابيل هول" ( ملف PDF) . مجلة الاستدلال الآلي ، 23 (3): 235-264 . doi : 10.1023/A:1006269330992 . ISSN 0168-7433 . MR 1721912. S2CID 1449341. Zbl 0943.68149 . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 3 يناير 2006.
ميو، م . (2004). "الحياة الرياضية لنظرية كوشي للمجموعات" . تاريخ الرياضيات. 31 (2): 196-221 . doi : 10.1016/S0315-0860(03)00003-X . ISSN 0315-0860 . MR 2055642. Zbl 1065.01009 .
شارلاو، وينفريد (1988). "Die Entdeckung der Sylow-Sätze" . الرياضيات التاريخية. (باللغة الألمانية). 15 (1): 40-52 . دوى : 10.1016 / 0315-0860 (88)90048-1 . ISSN 0315-0860 . السيد 0931678 . زبل 0637.01006 .
ووترهاوس، ويليام سي. ( 1980). "البراهين المبكرة لنظرية سيلو". أرشيف التاريخ والعلوم الدقيقة ، 21 (3 ) : 279-290 . doi : 10.1007/BF00327877 . ISSN 0003-9519 . MR 0575718. S2CID 123685226. Zbl 0436.01006 .
فيلاندت، هيلموت [بالألمانية] (1959). "Ein Beweis für die Existenz der Sylowgruppen". قوس. الرياضيات. (باللغة الألمانية). 10 (1): 401-402 . دوى : 10.1007 / BF01240818 . ISSN 0003-9268 . السيد 0147529 . S2CID 119816392 . زبل 0092.02403 .

الخوارزميات

باتلر، ج. (1991). الخوارزميات الأساسية لمجموعات التبديل . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب . المجلد 559. برلين، مدينة نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . doi : 10.1007/3-540-54955-2 . ISBN 9783540549550. السيد 1225579 . S2CID 395110 . زبل 0785.20001 .
كانون، جون ج. (1971). "حساب البنية المحلية للمجموعات المنتهية الكبيرة". الحوسبة في الجبر ونظرية الأعداد ( وقائع ندوة SIAM-AMS للرياضيات التطبيقية ، مدينة نيويورك، 1970) . وقائع SIAM-AMS . المجلد 4. بروفيدنس، رود آيلاند: AMS . الصفحات 161-176 . ISSN 0160-7634 . MR 0367027. Zbl 0253.20027 .
كانتور، ويليام م. (1985أ). "خوارزميات زمنية متعددة الحدود لإيجاد عناصر ذات رتبة أولية ومجموعات سيلو الفرعية" (ملف PDF) . مجلة الخوارزميات . 6 (4): 478-514 . CiteSeerX 10.1.1.74.3690 . doi : 10.1016/0196-6774(85)90029-X . ISSN 0196-6774 . MR 0813589. Zbl 0604.20001 .
كانتور، ويليام م. (1985 ب ). "نظرية سيلو في زمن متعدد الحدود" . مجلة علوم الحاسوب والأنظمة ، 30 (3): 359-394 . doi : 10.1016/0022-0000(85)90052-2 . ISSN 1090-2724 . MR 0805654. Zbl 0573.20022 .
كانتور، ويليام م.؛ تايلور، دونالد إي. (1988). "صيغ نظرية سيلو ذات زمن متعدد الحدود". مجلة الخوارزميات . 9 (1): 1-17 . doi : 10.1016 / 0196-6774(88)90002-8 . ISSN 0196-6774 . MR 0925595. Zbl 0642.20019 .
كانتور، ويليام م. (1990). "إيجاد مُعَيِّرات سيلو في وقت متعدد الحدود". مجلة الخوارزميات . 11 (4): 523-563 . doi : 10.1016/0196-6774(90)90009-4 . ISSN 0196-6774 . MR 1079450. Zbl 0731.20005 .
سيريس، أكوس (2003). خوارزميات مجموعة التبديل . سلسلة كامبريدج في الرياضيات. المجلد 152. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 9780521661034. السيد 1970241 . زبل 1028.20002 .

روابط خارجية

"نظريات سيلو" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
الجبر المجرد/نظرية الزمر/نظريات سيلو في ويكي بوكس
وايسشتاين، إريك دبليو. "مجموعة سيلو الفرعية من النوع p" . عالم الرياضيات .
وايسشتاين، إريك دبليو. "نظريات سيلو" . عالم الرياضيات .

[Sylow1872-1] سيلو، ل. (1872). "نظريات حول مجموعات البدائل" . الرياضيات. آن. (باللغة الفرنسية). 5 (4): 584-594 . دوى : 10.1007 / BF01442913 . جي اف ام 04.0056.02 . S2CID 121928336 .

[GraciaSaz_WebPDF-2] غراسيا-ساز، ألفونسو. "تصنيف الزمر من الرتبة 60" (ملف PDF) . math.toronto.edu . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 28 أكتوبر 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 8 مايو 2021 .

[Fraleigh_2004_322-3] فرالي ، جون ب. (2004). الدورة الأولى في الجبر التجريدي . بمساهمة من فيكتور ج. كاتز . تعليم بيرسون. ص. 322. ردمك 9788178089973.

[FOOTNOTEWaterhouse1980-4] ووترهاوس 1980 .

[FOOTNOTEScharlau1988-5] شارلاو 1988 .

[FOOTNOTECasadioZappa1990-6] كاساديو وزابا 1990 .

[FOOTNOTEGow1994-7] غاو 1994 .

[FOOTNOTEMeo2004-8] ميو 2004 .

[FOOTNOTEWielandt1959-9] ويلاندت 1959 .

[FOOTNOTEButler1991Chapter_16-10] بتلر 1991 ، الفصل 16.

[FOOTNOTECannon1971-11] كانون 1971 .

[FOOTNOTEKantor1985a-12] كانتور 1985أ .

[FOOTNOTEKantor1985b-13] كانتور 1985ب .

[FOOTNOTEKantor1990-14] كانتور 1990 .

[FOOTNOTEKantorTaylor1988-15] كانتور وتايلور 1988 .

[FOOTNOTESeress2003-16] سيريس 2003 .

[ 1 ]

2

كانت

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗