مجموعة p

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 8 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الزمر ، إذا كان لدينا عدد أولي p ، فإن الزمرة p هي زمرة يكون فيها ترتيب كل عنصر قوةً من قوى p . أي أنه لكل عنصر g في زمرة p - G ، يوجد عدد صحيح غير سالب n بحيث يكون حاصل ضرب pn نسخة من g ، وليس أقل، مساويًا للعنصر المحايد . وقد تكون ترتيبات العناصر المختلفة قوىً مختلفة من p .

تُسمى المجموعات الأبيلية p أيضًا بالمجموعات الأولية p أو ببساطة المجموعات الأولية .

تكون المجموعة المنتهية مجموعة من الرتبة p إذا وفقط إذا كانت رتبتها ( عدد عناصرها) قوةً للعدد p . وبالنظر إلى مجموعة منتهية G ، تضمن نظريات سيلو وجود مجموعة جزئية من G رتبتها pⁿ لكل قوة أولية pⁿ تقسم رتبة G.

كل مجموعة p منتهية هي مجموعة عديمة القوة .

يتناول الجزء المتبقي من هذه المقالة الزمر p المنتهية . للاطلاع على مثال لزمرة p تبديلية لانهائية ، انظر زمرة بروفر ، وللاطلاع على مثال لزمرة p بسيطة لانهائية ، انظر زمرة تارسكي الوحشية .

ملكيات

كل مجموعة من الرتبة p دورية لأن كل عنصر فيها له رتبة محدودة بحسب التعريف .

إذا كان p عددًا أوليًا و G زمرة من الرتبة p k ، فإن G تمتلك زمرة جزئية طبيعية من الرتبة p m لكل 1 ≤ m ≤ k . يُستنتج هذا بالاستقراء، باستخدام نظرية كوشي ونظرية التناظر للزمر. ملخص البرهان كما يلي: بما أن مركز Z في G غير تافه (انظر أدناه)، فإنه وفقًا لنظرية كوشي، يمتلك Z زمرة جزئية H من الرتبة p . ولأن H مركزية في G ، فهي بالضرورة زمرة جزئية طبيعية في G. يمكننا الآن تطبيق فرضية الاستقراء على G/H ، والنتيجة تتبع من نظرية التناظر.

مركز غير تافه

من أولى النتائج القياسية باستخدام معادلة الفئة أن مركز مجموعة p- غير تافهة منتهية لا يمكن أن يكون المجموعة الفرعية التافهة. [ 1 ]

يشكل هذا الأساس للعديد من الطرق الاستقرائية في مجموعات p .

على سبيل المثال، يحتوي المُعَيِّر N لمجموعة جزئية فعلية H من مجموعة p- منتهية G على H بشكل صحيح ، لأنه لأي مثال مضاد حيث H = N ، فإن المركز Z موجود في N ، وبالتالي موجود أيضًا في H ، ولكن يوجد مثال أصغر H / Z يكون مُعَيِّره في G / Z هو N / Z = H / Z ، مما يُنشئ انحدارًا لانهائيًا. وكنتيجة لذلك، فإن كل مجموعة p- منتهية هي مجموعة عديمة القوة .

من منظور آخر، تتقاطع كل زمرة جزئية طبيعية N من زمرة p منتهية مع المركز تقاطعًا غير تافه، ويمكن إثبات ذلك بالنظر إلى عناصر N الثابتة عندما تؤثر G على N بالاقتران. وبما أن كل زمرة جزئية مركزية طبيعية، فإن كل زمرة جزئية طبيعية صغرى من زمرة p منتهية تكون مركزية ولها رتبة p . في الواقع، قاعدة زمرة p منتهية هي الزمرة الجزئية للمركز التي تتكون من العناصر المركزية ذات الرتبة p .

إذا كانت G زمرة من الرتبة p ، فإن G / Z كذلك ، وبالتالي فإن لها مركزًا غير تافه. تُسمى الصورة العكسية في G لمركز G / Z بالمركز الثاني ، وتبدأ هاتان الزمرتان سلسلة المركز العلوي . بتعميم الملاحظات السابقة حول القاعدة، فإن الزمرة المنتهية من الرتبة p ذات الرتبة pⁿ تحتوي على زمر جزئية طبيعية من الرتبة pᵢ حيث 0 ≤ i ≤ n ، وأي زمرة جزئية طبيعية من الرتبة pᵢ تكون محتواة في المركز i ، Zᵢ . إذا لم تكن الزمرة الجزئية الطبيعية محتواة في Zᵢ ، فإن تقاطعها مع Zᵢ₊₁ يكون حجمه على الأقل pᵢ₊₁ .

التماثلات الذاتية

زمر التشاكل الذاتي للزمر من الرتبة p مدروسة جيدًا. وكما أن لكل زمرة منتهية من الرتبة p مركزًا غير تافه بحيث تكون زمرة التشاكل الذاتي الداخلية زمرة قسمة فعلية، فإن لكل زمرة منتهية من الرتبة p زمرة تشاكل ذاتي خارجية غير تافهة . كل تشاكل ذاتي في G يُولِّد تشاكلًا ذاتيًا على G /Φ( G )، حيث Φ( G ) هي زمرة فراتيني الجزئية من G. زمرة القسمة G/Φ( G ) هي زمرة أبيلية أولية ، وزمرة التشاكل الذاتي الخاصة بها هي زمرة خطية عامة ، لذا فهي مفهومة جيدًا. وقد درس بيرنسايد التطبيق من زمرة التشاكل الذاتي لـ G إلى هذه الزمرة الخطية العامة ، وأظهر أن نواة هذا التطبيق هي زمرة من الرتبة p .

أمثلة

لا تكون مجموعات p من نفس الرتبة بالضرورة متماثلة ؛ على سبيل المثال، المجموعة الدورية C 4 ومجموعة كلاين الرباعية V 4 كلاهما مجموعات 2 من الرتبة 4، لكنهما ليسا متماثلين.

ليس بالضرورة أن تكون المجموعة p تبديلية ؛ فالمجموعة ثنائية السطوح Dih 4 من الرتبة 8 هي مجموعة ثنائية غير تبديلية. مع ذلك، كل مجموعة من الرتبة p 2 هي تبديلية. [ ملاحظة 1 ]

تتشابه المجموعات ثنائية السطوح بشكل كبير مع مجموعات الكواترنيون ومجموعات شبه ثنائية السطوح، وتختلف عنها بشكل كبير أيضاً. تشكل المجموعات ثنائية السطوح وشبه ثنائية السطوح ومجموعات الكواترنيون معاً مجموعات من الرتبة 2 ذات الفئة القصوى ، أي تلك المجموعات من الرتبة 2n + 1 وفئة انعدام القوة n .

منتجات أكاليل متكررة

تُعدّ نواتج الإكليل المتكررة للمجموعات الدورية من الرتبة p أمثلةً بالغة الأهمية على مجموعات p . لنرمز للمجموعة الدورية من الرتبة p بالرمز W (1)، ولنرمز لنا بناتج إكليل W ( n ) مع W (1) بالرمز W ( n  +  1). عندئذٍ، تُمثّل W ( n ) زمرة سيلو p- الجزئية للمجموعة المتناظرة Sym( pn ) . الزمر الجزئية القصوى من الرتبة p للمجموعة الخطية العامة GL( n , Q ) هي نواتج مباشرة لمختلف عناصر W ( n ). رتبتها pk حيث k = ( pn - 1 )/( p - 1). ولها فئة انعدام القوة pn - 1 ، ومتسلسلاتها المركزية السفلى والعليا، ومتسلسلاتها المركزية ذات الأس p الأدنى  ، ومتسلسلاتها المركزية ذات الأس p الأعلى متساوية . وهي مُولّدة بعناصرها من الرتبة p ، ولكن أسّها هو pn . المجموعة الثانية من هذا النوع، W (2)، هي أيضًا مجموعة من الرتبة p ذات فئة قصوى، نظرًا لأن رتبتها p + 1 وفئة انعدام قوتها p ، ولكنها ليست مجموعة منتظمة من الرتبة p . وبما أن المجموعات من الرتبة p هي دائمًا مجموعات منتظمة، فإنها تُعد أيضًا مثالًا أدنى من هذا النوع .     

مجموعات ثنائية السطوح المعممة

عندما يكون p  =  2 و n  =  2، فإن W ( n ) هي المجموعة ثنائية السطوح من الرتبة 8، لذا تُقدّم W ( n ) نظيرًا للمجموعة ثنائية السطوح لجميع الأعداد الأولية p عندما n  =  2. مع ذلك، يصبح هذا التشابه غير دقيق بالنسبة للأعداد n الأعلى . توجد مجموعة أخرى من الأمثلة تُحاكي بشكلٍ أدق المجموعات ثنائية السطوح من الرتبة 2n ، ولكنها تتطلب بعض الإعداد الإضافي. لنفترض أن ζ جذر أولي من الرتبة p للوحدة في الأعداد المركبة، و Z [ζ] حلقة الأعداد الصحيحة الدائرية المولدة بواسطته، و P المثالي الأولي المولد بواسطة 1−ζ. ولتكن G مجموعة دورية من الرتبة p مولدة بواسطة العنصر z . كوّن حاصل الضرب شبه المباشر E ( p ) لـ Z [ζ] و G حيث يعمل z كضرب في ζ. الزمر الجزئية P <sub>n</sub> هي زمر جزئية طبيعية من E ( p )، ومثال على هذه الزمر هو E ( p , n )  = E ( p )/ P <sub>n</sub> . رتبة E ( p , n ) هي p <sub>n +1 </sub> وفئة انعدام القوة n ، لذا فهي زمرة p من الفئة القصوى. عندما p = 2، فإن E (2, n ) هي الزمرة ثنائية السطوح من الرتبة 2<sub> n </sub> . عندما يكون p فرديًا، فإن كلًا من W (2) و E ( p , p ) زمرتان غير منتظمتين من الفئة القصوى ورتبتهما p<sub> p +1 </sub>، لكنهما ليستا متماثلتين.   

مجموعات المصفوفات المثلثية الأحادية

تُعدّ زمر سيلو الفرعية للزمر الخطية العامة عائلة أساسية أخرى من الأمثلة. ليكن V فضاءً متجهيًا ذا بُعد n بقاعدة { e₁ , e₂ , ..., eₙ } ، ولنُعرّف Vi على أنه الفضاء المتجهي المُوَلَّد بواسطة { e₁ , e₁₊₁ , ... , eₙ } حيث 1 ≤ i ≤ n ، ولنُعرّف Vi = 0 عندما i > n . لكل 1 ≤ m ≤ n ، تُشكّل مجموعة التحويلات الخطية القابلة للعكس في V ، والتي تُحوّل كل Vi إلى Vi + m ، زمرة فرعية من Aut( V ) يُرمز لها بـ Uₘ . إذا كان V فضاءً متجهيًا على Z / pZ ، فإن Uₘ هي زمرة سيلو p- فرعية من Aut( V ) = GL( n , p ) ، وحدود متسلسلتها المركزية السفلى هي Uₘ . فيما يتعلق بالمصفوفات، فإن U <sub>m</sub> هي تلك المصفوفات المثلثية العلوية التي تحتوي على 1 على القطر الرئيسي و0 على الأقطار الفرعية m -1 الأولى. المجموعة U <sub>1</sub> لها رتبة p<sub>n </sub> · ( n -1)/2 ، وفئة انعدام القوة n ، والأس p <sub> k</sub> حيث k هو أصغر عدد صحيح أكبر من أو يساوي لوغاريتم n ذي الأساس p .

تصنيف

صُنِّفت الزمر من الرتبة pⁿ ، حيث 0 ≤ n ≤ 4، في بدايات تاريخ نظرية الزمر، [ 2 ] وقد وسّعت الدراسات الحديثة هذه التصنيفات لتشمل الزمر التي تقسم رتبتها pⁿ ، إلا أن العدد الهائل من عائلات هذه الزمر ينمو بسرعة كبيرة لدرجة أن المزيد من التصنيفات على هذا المنوال يُعتبر صعبًا على العقل البشري استيعابه. [ 3 ] على سبيل المثال، صنّف مارشال هول الابن وجيمس ك. سينيور الزمر من الرتبة 2ⁿ، حيث n ≤ 6، في عام 1964. [ 4 ]

بدلاً من تصنيف المجموعات حسب الترتيب، اقترح فيليب هول استخدام مفهوم التماثل بين المجموعات الذي جمع المجموعات p- المنتهية في عائلات بناءً على القسمة الكبيرة والمجموعات الفرعية. [ 5 ]

تُصنِّف طريقةٌ مختلفةٌ تمامًا الزمرَ p- المنتهية حسب فئتها المرافقة ، أي الفرق بين طول تركيبها وفئة انعدام قوتها . وقد وصفت ما يُسمى بتخمينات الفئة المرافقة مجموعة جميع الزمر p- المنتهية ذات الفئة المرافقة الثابتة على أنها اضطرابات لعدد محدود من زمر pro-p . وقد بُرهنت هذه التخمينات في ثمانينيات القرن العشرين باستخدام تقنياتٍ متعلقةٍ بجبر لي والزمر p- القوية . [ 6 ] وتُعزى البراهين النهائية لنظريات الفئة المرافقة إلى أ. شاليف، وبشكلٍ مستقلٍ إلى سي. آر. ليدهام-غرين، وكلاهما في عام 1994. وتُتيح هذه البراهين تصنيف الزمر p- المنتهية في رسوم بيانية موجهة للفئة المرافقة تتكون فقط من عدد محدود من أشجار الفئة المرافقة التي تتميز أعضاؤها (التي لا نهائية العدد) بعدد محدود من العروض المُعَلمة.

كل مجموعة من الرتبة p 5 هي مجموعة ميتابيلية . [ 7 ]

حتى الصفحة 3

المجموعة التافهة هي المجموعة الوحيدة من الرتبة 1، والمجموعة الدورية C<sub> p</sub> هي المجموعة الوحيدة من الرتبة p . يوجد مجموعتان فقط من الرتبة p<sup> 2 </sup>، وكلاهما تبديلي، وهما C<sub> p</sub> ² و C <sub>p</sub>  ×  C <sub>p</sub> . على سبيل المثال، المجموعة الدورية C<sub> 4 </sub> ومجموعة كلاين الرباعية V<sub> 4</sub> ، وهي C<sub> 2</sub>  ×  C<sub> 2</sub> ، كلتاهما مجموعتان ثنائيتان من الرتبة 4.

توجد ثلاث مجموعات أبيلية من الرتبة p 3 ، وهي C p 3 و C p 2  ×  C p و C p  ×  C p  ×  C p . كما توجد مجموعتان غير أبيلية.

عندما يكون p  ≠  2، يكون أحدهما ناتج ضرب شبه مباشر لـ C p  ×  C p مع C p ، والآخر ناتج ضرب شبه مباشر لـ C p 2 مع C p . يمكن وصف الأول بعبارات أخرى على أنه زمرة UT(3, p ) من المصفوفات المثلثية الأحادية على حقل منتهٍ يحتوي على p عنصرًا، وتُسمى أيضًا زمرة هايزنبرغ modulo p .

بالنسبة لـ p  =  2، فإن كلا المنتجين شبه المباشرين المذكورين أعلاه متماثلان مع المجموعة ثنائية السطوح Dih 4 من الرتبة 8. المجموعة غير التبديلية الأخرى من الرتبة 8 هي مجموعة الكواترنيون Q 8 .

انتشار

بين المجموعات

تنص صيغة هيغمان -سيمز التقاربية على أن عدد فئات التشاكل للمجموعات من الرتبة p n ينمو كـص227ن3+يا(ن8/3){\displaystyle p^{{\frac {2}{27}}n^{3}+O(n^{8/3})}}وتُهيمن على هذه الفئات الفئات التي تُعدّ عديمة القوة من خطوتين. [ 8 ] وبسبب هذا النمو السريع، توجد فرضية شائعة مفادها أن جميع الزمر المنتهية تقريبًا هي زمر ثنائية: يُعتقد أن نسبة فئات التشاكل للزمر الثنائية بين فئات التشاكل للزمر من الرتبة n على الأكثر تقترب من 1 عندما تقترب n من اللانهاية. على سبيل المثال، من بين 49,910,529,484 زمرة مختلفة من الرتبة 2000 على الأكثر، فإن 49,487,367,289 زمرة ، أو ما يزيد قليلاً عن 99%، هي زمر ثنائية من الرتبة 1024. [ 9 ]

ضمن مجموعة

كل زمرة منتهية رتبتها قابلة للقسمة على p تحتوي على زمرة جزئية هي زمرة p غير تافهة ، أي زمرة دورية من الرتبة p مولدة بواسطة عنصر من الرتبة p تم الحصول عليه من نظرية كوشي . في الواقع، تحتوي على زمرة p ذات رتبة قصوى ممكنة: إذا|جي|=ن=صكم{\displaystyle |G|=n=p^{k}m}إذا كان p لا يقسم m، فإن G تحتوي على زمرة جزئية P من الرتبةصك،{\displaystyle p^{k},}تُسمى هذه المجموعة الفرعية زمرة سيلو من الرتبة p . لا يشترط أن تكون هذه المجموعة الفرعية فريدة، ولكن أي زمر فرعية من هذه الرتبة تكون مترافقة، وأي زمرة فرعية من الرتبة p في G تحتوي على زمرة سيلو من الرتبة p . وقد تم إثبات هذه الخاصية وغيرها في نظريات سيلو .

تطبيق على بنية المجموعة

تُعدّ الزمر من الرتبة p أدوات أساسية في فهم بنية الزمر وفي تصنيف الزمر البسيطة المنتهية . تنشأ الزمر من الرتبة p كزمر جزئية وكزمر خارج القسمة. كزمر جزئية، بالنسبة لعدد أولي مُعطى p، لدينا زمر سيلو الجزئية من الرتبة p، وهي P (أكبر زمرة جزئية من الرتبة p ليست وحيدة ولكن جميعها مترافقة) واللب من الرتبة p.ياص(جي){\displaystyle O_{p}(G)}(أكبر مجموعة فرعية طبيعية فريدة من نوعها من الرتبة p )، وغيرها. أما بالنسبة لأكبر ناتج قسمة لمجموعة من الرتبة p ، فهو ناتج قسمة G على المجموعة الفرعية المتبقية من الرتبة p.ياص(جي).{\displaystyle O^{p}(G).}ترتبط هذه المجموعات ببعضها البعض (لأعداد أولية مختلفة)، وتمتلك خصائص مهمة مثل نظرية المجموعة الفرعية البؤرية ، وتسمح بتحديد العديد من جوانب بنية المجموعة.

التحكم المحلي

يتم نقل جزء كبير من بنية المجموعة المنتهية في بنية ما يسمى بالمجموعات الفرعية المحلية ، وهي المجموعات المعيارية للمجموعات الفرعية غير المحايد من الرتبة p . [ 10 ]

تُمارس الزمر الأبيلية الأولية الكبيرة لزمرة منتهية سيطرة على الزمرة التي استُخدمت في برهان نظرية فيت-تومسون . وتساعد بعض الامتدادات المركزية للزمر الأبيلية الأولية، والتي تُسمى الزمر الخاصة الإضافية، في وصف بنية الزمر باعتبارها تعمل على فضاءات متجهة تماثلية .

قام ريتشارد براور بتصنيف جميع المجموعات التي تكون مجموعاتها الفرعية من نوع Sylow 2 هي الناتج المباشر لمجموعتين دوريتين من الرتبة 4، وقام جون والتر ، ودانيال غورنشتاين ، وهيلموت بيندر ، وميشيو سوزوكي ، وجورج غلاوبرمان ، وآخرون بتصنيف تلك المجموعات البسيطة التي كانت مجموعاتها الفرعية من نوع Sylow 2 تبديلية، أو ثنائية السطوح، أو شبه ثنائية السطوح، أو رباعية.

انظر أيضاً

الحواشي

ملحوظات

  1. ↑ لإثبات أن مجموعة من الرتبة p 2 هي مجموعة تبديلية، لاحظ أنها مجموعة من الرتبة p وبالتالي لها مركز غير تافه، لذلك إذا تم إعطاء عنصر غير تافه من المركز g، فإن هذا إما يولد المجموعة (لذا فإن G دورية، وبالتالي تبديلية:جي=جص2{\displaystyle G=C_{p^{2}}}أو أنها تولد زمرة جزئية من الرتبة p، لذا فإن g وعنصرًا ما h ليس في مدارها يولدان G، (لأن الزمرة الجزئية التي يولدانها يجب أن تكون من الرتبة p).ص2{\displaystyle p^{2}}لكنها تتبادل لأن g مركزية، لذا فإن المجموعة تبديلية، وفي الواقعجي=جص×جص.{\displaystyle G=C_{p}\times C_{p}.}

الاقتباسات

مراجع

للمزيد من القراءة

  • بيركوفيتش ، ياكوف (2008)، مجموعات من ترتيب السلطة الأولية ، معارض دي جرويتر في الرياضيات 46، المجلد.  1، برلين: Walter de Gruyter GmbH، ISBN 978-3-1102-0418-6
  • بيركوفيتش، ياكوف؛ يانكو ، زفونيمير (2008)، مجموعات من ترتيب السلطة الأولية ، معارض دي جرويتر في الرياضيات 47، المجلد.  2، برلين: Walter de Gruyter GmbH، ISBN 978-3-1102-0419-3
  • بيركوفيتش، ياكوف؛ يانكو ، زفونيمير (2011/06/16)، مجموعات من ترتيب السلطة الأولية ، معارض دي جرويتر في الرياضيات 56، المجلد.  3، برلين: Walter de Gruyter GmbH، ISBN 978-3-1102-0717-0