مجموعة بسيطة

المجموعة الحلقية${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} ,+)=\mathbb {Z} _{3}}$إن حساب فئات التطابق بتردد 3 (انظر الحساب النمطي ) أمر بسيط. إذا${\displaystyle H}$إذا كانت مجموعة فرعية من هذه المجموعة، فيجب أن يكون ترتيبها (عدد عناصرها) قاسمًا لترتيب المجموعة الفرعية.${\displaystyle G}$وهو 3. وبما أن 3 عدد أولي، فإن قواسمه الوحيدة هي 1 و3، لذا إما${\displaystyle H}$يكون${\displaystyle G}$، أو${\displaystyle H}$هي المجموعة التافهة. من ناحية أخرى، المجموعة${\displaystyle G=(\mathbb {Z} /12\mathbb {Z} ,+)=\mathbb {Z} _{12}}$الأمر ليس بسيطاً. المجموعة${\displaystyle H}$تُعدّ مجموعة فئات التطابق للأعداد 0 و4 و8 بتردد 12 زمرة جزئية من الرتبة 3، وهي زمرة جزئية طبيعية لأن أي زمرة جزئية من زمرة تبديلية تكون طبيعية. وبالمثل، فإن الزمرة الجمعية للأعداد الصحيحة${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ليس الأمر بسيطاً؛ فمجموعة الأعداد الزوجية هي زمرة جزئية طبيعية حقيقية غير تافهة. ^{[ 1 ]}

يمكن استخدام نفس نوع الاستدلال لأي زمرة تبديلية، لاستنتاج أن الزمر التبديلية البسيطة الوحيدة هي الزمر الدورية ذات الرتبة الأولية . أما تصنيف الزمر البسيطة غير التبديلية فهو أقل وضوحًا بكثير. أصغر زمرة بسيطة غير تبديلية هي الزمرة المتناوبة .${\displaystyle A_{5}}$من الرتبة 60، وكل زمرة بسيطة من الرتبة 60 متماثلة مع${\displaystyle A_{5}}$[ ^{2 ]} ثاني أصغر زمرة بسيطة غير تبديلية هي الزمرة الخطية الخاصة الإسقاطية ^PSL (2,7) من الرتبة 168، وكل زمرة بسيطة من الرتبة 168 متماثلة مع PSL(2,7). ^{[ 3 ] [ 4 ]}

المجموعة المتناوبة اللانهائية${\displaystyle A_{\infty }}$أي مجموعة التباديل الزوجية ذات الدعم المحدود للأعداد الصحيحة، هي مجموعة بسيطة. ويمكن كتابة هذه المجموعة على أنها الاتحاد المتزايد للمجموعات البسيطة المحدودة.${\displaystyle A_{n}}$فيما يتعلق بالتضمينات القياسية${\displaystyle A_{n}\rightarrow A_{n+1}}$تُعطى عائلة أخرى من الأمثلة على المجموعات البسيطة اللانهائية بواسطة${\displaystyle PSL_{n}(F)}$، أين${\displaystyle F}$هو حقل لانهائي و${\displaystyle n\geq 2}$.

يُعدّ بناء الزمر البسيطة اللانهائية المولدة توليدًا منتهيًا أكثر صعوبة . أول نتيجة وجودية غير صريحة؛ وهي منسوبة إلى غراهام هيغمان وتتألف من كسور بسيطة لزمرة هيغمان . ^{[ 5 ]} تشمل الأمثلة الصريحة، والتي تبيّن أنها محدودة، زمر طومسون اللانهائية.${\displaystyle T}$و${\displaystyle V}$تم بناء مجموعات بسيطة لانهائية خالية من الالتواء ذات عرض محدود بواسطة برجر وموزيس. ^{[ 6 ]}

تُعدّ الزمر البسيطة المنتهية مهمة لأنها، بمعنى ما، تُشكّل "اللبنات الأساسية" لجميع الزمر المنتهية، على غرار كون الأعداد الأولية هي اللبنات الأساسية للأعداد الصحيحة . ويُعبّر عن ذلك بنظرية جوردان -هولدر التي تنص على أن أي سلسلتين تركيبيتين لزمرة معينة لهما نفس الطول ونفس العوامل، باستثناء التبديل والتشاكل . وفي جهد تعاوني ضخم، أُعلن عن إنجاز تصنيف الزمر البسيطة المنتهية عام 1983 على يد دانيال غورنشتاين ، على الرغم من ظهور بعض المشكلات (وتحديدًا في تصنيف الزمر شبه الرقيقة ، والتي تمّ حلّها عام 2004).

باختصار، يتم تصنيف المجموعات البسيطة المنتهية على أنها تقع في واحدة من 18 عائلة، أو أنها واحدة من 26 استثناءً:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$– مجموعة دورية من الرتبة الأولية
• ${\displaystyle A_{n}}$– مجموعة متناوبة لـ${\displaystyle n\geq 5}$

  يمكن اعتبار المجموعات المتناوبة مجموعات من نوع لي على الحقل مع عنصر واحد ، والذي يوحد هذه العائلة مع التالية ، وبالتالي يمكن اعتبار جميع عائلات المجموعات البسيطة المنتهية غير التبديلية من نوع لي.

• واحدة من 16 عائلة من مجموعات نوع لي أو مشتقاتها

  تعتبر مجموعة تيتس عمومًا من هذا النوع، على الرغم من أنها من الناحية الدقيقة ليست من نوع لاي، بل هي المؤشر 2 في مجموعة من نوع لاي.

• إحدى الاستثناءات الـ 26، وهي المجموعات المتفرقة ، منها 20 مجموعة فرعية أو أجزاء فرعية من مجموعة الوحوش ويشار إليها باسم "العائلة السعيدة"، بينما يشار إلى المجموعات الـ 6 المتبقية باسم المنبوذين .

دُرست الزمر البسيطة منذ بدايات نظرية غالوا على الأقل ، حيث أدرك إيفاريست غالوا أن كون الزمر المتناوبة على خمس نقاط أو أكثر بسيطة (وبالتالي غير قابلة للحل)، وهو ما أثبته عام 1831، كان السبب في عدم إمكانية حل المعادلة الخماسية في الجذور. كما بنى غالوا الزمرة الخطية الخاصة الإسقاطية لمستوى فوق حقل أولي منتهٍ، PSL(2, p ) ، ولاحظ أنها بسيطة عندما يكون p ليس 2 أو 3. ورد هذا في رسالته الأخيرة إلى شوفالييه، ^{[ 10 ]} وهي المثال التالي للزمر البسيطة المنتهية. ^{[ 11 ]}

كانت الاكتشافات التالية من قبل كاميل جوردان في عام 1870. ^{[ 12 ]} وجد جوردان 4 عائلات من مجموعات المصفوفات البسيطة على الحقول المنتهية ذات الرتبة الأولية، والتي تُعرف الآن باسم المجموعات الكلاسيكية .

في نفس الفترة تقريبًا، تبيّن أن مجموعة من خمس مجموعات، تُعرف باسم مجموعات ماثيو ، والتي وصفها إميل ليونارد ماثيو لأول مرة عامي 1861 و1873، هي أيضًا بسيطة. ولأن هذه المجموعات الخمس بُنيت بطرق لم تُنتج عددًا لا نهائيًا من الاحتمالات، فقد أطلق عليها ويليام بيرنسايد في كتابه المدرسي الصادر عام 1897 اسم " المجموعات المتفرقة " .

_{لاحقًا ،} عُممت نتائج جوردان حول الزمر الكلاسيكية لتشمل الحقول المنتهية العشوائية بواسطة ليونارد ديكسون ، وذلك باتباع تصنيف جبر لي البسيط المعقد بواسطة فيلهلم كيلينج . كما أنشأ ديكسون زمرًا استثنائية من النوعين G₂ _و E₆ ، ولكن ليس من الأنواع F₄ _أو E₇ _أو E₈ ₍ ويلسون 2009 ، ص 2) . في خمسينيات القرن العشرين، استمر العمل على زمر من نوع لي، حيث قدم كلود شوفالي بناءً موحدًا للزمر الكلاسيكية والزمر الاستثنائية في ورقة بحثية عام 1955. وقد أغفل هذا البناء بعض الزمر المعروفة (الزمر الوحدوية الإسقاطية)، والتي تم الحصول عليها عن طريق "تعديل" بناء شوفالي. أما الزمر المتبقية من نوع لي فقد أنتجها شتاينبرغ وتيتس وهيرزيج (الذين أنتجوا 3D₄(q) و2E₆ ⁽ q ) ) ^، وكذلك سوزوكي _وري ( _زمر سوزوكي -ري ). 

كان يُعتقد أن هذه المجموعات (مجموعات لي، بالإضافة إلى المجموعات الدورية، والمجموعات المتناوبة، ومجموعات ماثيو الخمس الاستثنائية) تُشكّل قائمةً كاملة، ولكن بعد فترة هدوء دامت قرابة قرن من الزمان منذ عمل ماثيو، تم اكتشاف أول مجموعة يانكو في عام 1964 ، ثم تم اكتشاف أو التكهن بالمجموعات العشرين المتبقية من المجموعات المتفرقة في الفترة ما بين 1965 و1975، وبلغت ذروتها في عام 1981، عندما أعلن روبرت غريس أنه قد أنشأ " مجموعة الوحش " لبيرند فيشر . تُعدّ مجموعة الوحش أكبر مجموعة بسيطة متفرقة، ويبلغ رتبتها 808,017,424,794,512,875,886,459,904,961,710,757,005,754,368,000,000,000. يمتلك الوحش تمثيلاً أميناً ذا 196883 بُعداً في جبر غريس ذي 196884 بُعداً ، مما يعني أنه يمكن التعبير عن كل عنصر من عناصر الوحش كمصفوفة 196883 × 196883.

يُعتبر التصنيف الكامل مقبولاً بشكل عام على أنه بدأ بنظرية فيت-تومسون في الفترة 1962-1963 واكتمل في عام 2004.

بعد فترة وجيزة من بناء "الوحش" عام 1981، قدّم دانيال غورنشتاين في عام 1983 برهانًا يزيد عن 10000 صفحة، زعم فيه أنه نجح في سرد ​​جميع الزمر البسيطة المنتهية . كان هذا سابقًا لأوانه، إذ اكتُشفت لاحقًا ثغرات في تصنيف الزمر شبه الرقيقة . سُدّت هذه الثغرات عام 2004 بتصنيف للزمر شبه الرقيقة مؤلف من 1300 صفحة، ويُعتبر البرهان الآن مكتملًا بشكل عام.

• كناب، أنتوني و. (2006)، الجبر الأساسي ، سبرينغر، رقم ISBN 978-0-8176-3248-9
• روتمان، جوزيف ج. (1995)، مقدمة في نظرية الزمر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  148، سبرينغر، ISBN 978-0-387-94285-8
• سميث، جيف؛ تاباشنيكوفا، أولغا (2000)، موضوعات في نظرية الزمر ، سلسلة سبرينغر للرياضيات الجامعية (  الطبعة الثانية)، سبرينغر، ISBN 978-1-85233-235-8