معنى كلمة Fréchet

بالنسبة للأعداد الحقيقية، فإن المتوسط ​​الحسابي هو متوسط ​​فريشيه، باستخدام المسافة الإقليدية المعتادة كدالة للمسافة.

الوسيط هو أيضًا متوسط ​​فريشيه، إذا تم تعميم تعريف الدالة Ψ إلى الدالة غير التربيعية

${\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}d^{\alpha }(p,x_{i}),}$

أين${\displaystyle \alpha =1}$والمسافة الإقليدية هي دالة المسافة d . ^{[ 3 ]} في الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى، يصبح هذا هو الوسيط الهندسي .

على الأعداد الحقيقية الموجبة، دالة المسافة (الزائدية)${\displaystyle d(x,y)=|\log(x)-\log(y)|}$يمكن تعريفه. المتوسط ​​الهندسي هو المتوسط ​​المقابل لـ "فريشيه". في الواقع ${\displaystyle f:x\mapsto e^{x}}$إذن، يكون هذا تحويلاً متساوي القياس من الفضاء الإقليدي إلى هذا الفضاء "الزائدي"، ويجب أن يحترم متوسط ​​فريشيه: متوسط ​​فريشيه لـ${\displaystyle x_{i}}$الصورة من تصميم${\displaystyle f}$من فريشيه تعني (بالمعنى الإقليدي) من${\displaystyle f^{-1}(x_{i})}$أي أنه يجب أن يكون:

${\displaystyle f\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f^{-1}(x_{i})\right)=\exp \left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\log x_{i}\right)={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}}$.

في الأعداد الحقيقية الموجبة ، المقياس (دالة المسافة):

${\displaystyle d_{\operatorname {H} }(x,y)=\left|{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}\right|}$

يمكن تعريفها. المتوسط ​​التوافقي هو متوسط ​​فريشيه المقابل.

بفرض عدد حقيقي غير صفري${\displaystyle m}$يمكن الحصول على المتوسط ​​الأسي كمتوسط ​​فريشيه عن طريق إدخال المقياس

${\displaystyle d_{m}(x,y)=\left|x^{m}-y^{m}\right|}$

بفرض دالة قابلة للعكس ومتصلة${\displaystyle f}$، يمكن تعريف المتوسط ​​f بأنه متوسط ​​فريشيه الذي تم الحصول عليه باستخدام المقياس:

${\displaystyle d_{f}(x,y)=\left|f(x)-f(y)\right|}$

يُطلق على هذا أحيانًا اسم المتوسط ​​العام f أو المتوسط ​​شبه الحسابي .

يمكن استخدام التعريف العام لمتوسط ​​فريشيه (الذي يتضمن إمكانية ترجيح الملاحظات) لاستخلاص نسخ مرجحة لجميع أنواع المتوسطات المذكورة أعلاه.

بالنسبة للمتوسط ​​الحسابي، يتم تعيين أوزان wᵢ _{للمتغيرات} xᵢ . بعد ذلك، يتم تعريف تباينات فريشيه ومتوسط ​​فريشيه على النحو التالي _:

${\displaystyle \Psi (p)=\sum _{i=1}^{N}w_{i}\,d^{2}(p,x_{i}),\;\;\;\;m=\mathop {\text{arg min}} _{p\in M}\sum _{i=1}^{N}w_{i}d^{2}(p,x_{i}).}$