المتوسط ​​الدائري

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 29 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات والإحصاء ، المتوسط ​​الدائري أو المتوسط ​​الزاوي هو متوسط ​​مصمم للزوايا والكميات الدورية المماثلة، مثل أوقات اليوم ، والأجزاء الكسرية من الأعداد الحقيقية .

هذا ضروري لأن معظم الوسائل المعتادة قد لا تكون مناسبة للكميات الشبيهة بالزوايا. على سبيل المثال، المتوسط ​​الحسابي لـ 0° و360° هو 180°، وهو أمر مضلل لأن 360° تساوي 0° بتردد دورة كاملة. [ 1 ] كمثال آخر، يكون "المتوسط ​​الزمني" بين الساعة 11 مساءً والساعة 1 صباحًا إما منتصف الليل أو الظهر، اعتمادًا على ما إذا كان هذان الوقتان جزءًا من ليلة واحدة أو جزءًا من يوم واحد.

يُعدّ المتوسط ​​الدائري أحد أبسط الأمثلة على الإحصاءات الاتجاهية وإحصاءات الفضاءات غير الإقليدية . تُنتج هذه العملية الحسابية نتيجةً مختلفةً عن المتوسط ​​الحسابي، ويزداد هذا الاختلاف كلما اتسع نطاق توزيع الزوايا. على سبيل المثال، المتوسط ​​الحسابي للزوايا الثلاث 0° و0° و90° هو (0° + 0° + 90°) / 3 = 30°، بينما المتوسط ​​المتجهي هو arctan(1/2) = 26.565°. علاوةً على ذلك، يُحدد التباين الدائري في المتوسط ​​الحسابي ضمن نطاق ±180° فقط.

تعريف

بما أن المتوسط ​​الحسابي ليس مناسبًا دائمًا للزوايا، يمكن استخدام الطريقة التالية للحصول على كل من القيمة المتوسطة ومقياس تباين الزوايا :

حوّل جميع الزوايا إلى نقاط مقابلة لها على دائرة الوحدة ، على سبيل المثال،α{\displaystyle \alpha }ل(كوس⁡α،الخطيئة⁡α){\displaystyle (\cos \alpha ,\sin \alpha )}أي، حوّل الإحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية . ثم احسب المتوسط ​​الحسابي لهذه النقاط. ستقع النقطة الناتجة داخل قرص الوحدة ، ولكنها عمومًا لن تقع على دائرة الوحدة. حوّل تلك النقطة مرة أخرى إلى الإحداثيات القطبية. الزاوية هي متوسط ​​معقول للزوايا المُدخلة. سيكون نصف القطر الناتج 1 إذا كانت جميع الزوايا متساوية. إذا كانت الزوايا موزعة بانتظام على الدائرة، فسيكون نصف القطر الناتج 0، ولن يكون هناك متوسط ​​دائري. (في الواقع، من المستحيل تعريف عملية متوسط ​​متصلة على الدائرة). بعبارة أخرى، يقيس نصف القطر تركيز الزوايا.

بالنظر إلى الزواياα1،...،αن{\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}الصيغة الشائعة لحساب المتوسط ​​باستخدام صيغة atan2 من دالة الظل العكسي هي

α¯=atan2⁡(1ن∑ج=1نالخطيئة⁡αج،1ن∑ج=1نكوس⁡αج)=atan2⁡(∑ج=1نالخطيئة⁡αج،∑ج=1نكوس⁡αج){\displaystyle {\bar {\alpha }}=\operatorname {atan2} \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)=\operatorname {atan2} \left(\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)}
مثال على النتائج لاتجاهين ثابتين من النقطة O إلى النقطتين A و B واتجاه متغير إلى نقطة متحركة C: تمثل النقطة D متوسط ​​A و B و C، وتمثل النقطة E على دائرة اتجاه OD، وهو متوسط ​​دائري للاتجاهات OA و OB و OC.

باستخدام العمليات الحسابية المعقدة

يمكن صياغة تعريف مكافئ باستخدام الأعداد المركبة :

α¯=arg⁡(1ن∑ج=1نخبرة⁡(أنا⋅αج))=arg⁡(∑ج=1نخبرة⁡(أنا⋅αج)){\displaystyle {\bar {\alpha }}=\arg \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)=\arg \left(\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)}.

لتحقيق التطابق مع الاشتقاق أعلاه باستخدام المتوسطات الحسابية للنقاط، يجب قسمة المجاميع علىن{\displaystyle n}ومع ذلك، فإن المقياس لا يهم بالنسبة لـatan2{\displaystyle \operatorname {atan2} }وarg{\displaystyle \arg }وبالتالي يمكن حذفه.

يمكن التعبير عن ذلك بإيجاز أكبر من خلال إدراك أن البيانات الاتجاهية هي في الواقع متجهات ذات طول وحدة واحدة. في حالة البيانات أحادية البعد، يمكن تمثيل نقاط البيانات هذه بسهولة كأعداد مركبة ذات مقدار وحدة واحدة.z=كوس⁡(θ)+أناالخطيئة⁡(θ)=هـأناθ{\displaystyle z=\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )=e^{i\theta }}، أينθ{\displaystyle \theta }هي الزاوية المقاسة. ويكون متجه المحصلة المتوسط ​​للعينة هو:

ρ¯=1شمال∑ن=1شمالzن.{\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}.}

إذن، تكون زاوية المتوسط ​​للعينة هي وسيط المتوسط ​​المحصل:

θ¯=أرج⁡(ρ¯).{\displaystyle {\overline {\theta }}=\operatorname {Arg} ({\overline {\mathbf {\rho } }}).}

طول متجه متوسط ​​العينة الناتج هو:

R¯=|ρ¯|{\displaystyle {\overline {R}}=|{\overline {\mathbf {\rho } }}|}

وستكون قيمتها بين 0 و 1. وبالتالي، يمكن تمثيل متجه متوسط ​​العينة الناتج على النحو التالي:

ρ¯=R¯هـأناθ¯.{\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\overline {R}}\,e^{i{\overline {\theta }}}.}

تُستخدم حسابات مماثلة أيضًا لتحديد التباين الدائري .

ملكيات

المتوسط ​​الدائري،α¯{\displaystyle {\bar {\alpha }}}

α¯=أرجينينβ∑ج=1ند(αج،β)، أين د(φ،β)=1-كوس⁡(φ-β).{\displaystyle {\bar {\alpha }}={\underset {\beta }{\operatorname {argmin} }}\sum _{j=1}^{n}d(\alpha _{j},\beta ),{\text{ حيث }}d(\varphi ,\beta )=1-\cos(\varphi -\beta ).}
المسافةد(φ،β){\displaystyle d(\varphi ,\beta )}يساوي نصف مربع المسافة الإقليدية بين النقطتين على دائرة الوحدة المرتبطتين بـφ{\displaystyle \varphi }وβ{\displaystyle \beta }.

مثال

إحدى الطرق البسيطة لحساب متوسط ​​سلسلة من الزوايا (في الفترة [0°،  360°] ) هي حساب متوسط ​​جيب وجيب تمام كل زاوية، ثم الحصول على الزاوية بحساب معكوس الظل. لنأخذ الزوايا الثلاث التالية كمثال: 10، 20، و30 درجة. بديهيًا، يتضمن حساب المتوسط ​​جمع هذه الزوايا الثلاث وقسمة الناتج على 3، مما ينتج عنه في هذه الحالة متوسط ​​صحيح قدره 20 درجة. بتدوير هذا النظام عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار 15 درجة، تصبح الزوايا الثلاث 355 درجة، 5 درجات، و15 درجة. يصبح المتوسط ​​الحسابي الآن 125 درجة، وهو إجابة خاطئة، إذ يجب أن يكون 5 درجات.θ¯{\textstyle {\bar {\theta }}}يمكن حسابها بالطريقة التالية، باستخدام متوسط ​​الجيبs¯{\textstyle {\bar {s}}}ومتوسط ​​جيب التمامج¯≠0{\textstyle {\bar {c}}\not =0}:

s¯=13(الخطيئة⁡(355∘)+الخطيئة⁡(5∘)+الخطيئة⁡(15∘))=13(-0.087+0.087+0.259)≈0.086{\displaystyle {\bar {s}}={\frac {1}{3}}(\sin(355^{\circ })+\sin(5^{\circ })+\sin(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(-0.087+0.087+0.259)\approx 0.086}
ج¯=13(كوس⁡(355∘)+كوس⁡(5∘)+كوس⁡(15∘))=13(0.996+0.996+0.966)≈0.986{\displaystyle {\bar {c}}={\frac {1}{3}}(\cos(355^{\circ })+\cos(5^{\circ })+\cos(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(0.996+0.996+0.966)\approx 0.986}
θ¯={دالة الظل العكسي⁡(s¯ج¯)s¯>0، ج¯>0دالة الظل العكسي⁡(s¯ج¯)+180∘ج¯<0دالة الظل العكسي⁡(s¯ج¯)+360∘s¯<0، ج¯>0}=دالة الظل العكسي⁡(0.0860.986)=دالة الظل العكسي⁡(0.087)=5∘.{\displaystyle {\bar {\theta }}=\left.{\begin{cases}\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)&{\bar {s}}>0,\ {\bar {c}}>0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+180^{\circ }&{\bar {c}}<0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+360^{\circ }&{\bar {s}}<0,\ {\bar {c}}>0\end{cases}}\right\}=\arctan \left({\frac {0.086}{0.986}}\right)=\arctan(0.087)=5^{\circ }.}

// إذا كانت الزاوية الناتجة سالبة، أضف 360 لجعلها ضمن النطاق القياسي من 0 إلى 360، كما يلي: إذا كانت النتيجة < 0 فإن النتيجة  := النتيجة + 360؛

تطبيق

في هذا الكود المكتوب بلغة بايثون، نستخدم ساعات النهار لإيجاد المتوسط ​​الدائري لها:

استيراد الرياضياتدالة حساب المتوسط ​​الدائري ( الساعات : قائمة [ أعداد صحيحة ]) -> عدد عشري : """تحويل الساعات إلى راديان""" # لتحويل الساعات إلى درجات، نحتاج إلى # ضرب الساعة في 360/24 = 15. راديان = [ math . radians ( hour * 15 ) for hour in hours ]# حساب مجموع قيم الجيب وجيب التمام sin_sum = sum ([ math . sin ( rad ) for rad in radians ]) cos_sum = sum ([ math . cos ( rad ) for rad in radians ])# حساب المتوسط ​​الدائري باستخدام دالة arctan2 : mean_rad = math.atan2 ( sin_sum , cos_sum )# تحويل المتوسط ​​إلى ساعات mean_hour = ( math . degrees ( mean_rad ) / 15 ) % 24إرجاع متوسط ​​الساعة# مثال على الاستخدام: hours = [ 0 , 12 , 18 ] mean_hour = circular_mean ( hours ) print ( "المتوسط ​​الدائري الأول: " , round ( mean_hour , 2 ))الساعات = [ 0 ، 12 ] متوسط_الساعة = المتوسط_الدائري ( الساعات ) اطبع ( "المتوسط_الدائري_الثاني:" , تقريب ( متوسط_الساعة ، 2 ))الساعات = [ 0 , 0 , 12 , 12 , 24 ] متوسط_الساعة = المتوسط_الدائري ( الساعات ) طباعة ( "المتوسط_الدائري_الثالث: " , تقريب ( متوسط_الساعة , 2 ))

لاحظ أن الدالة المذكورة أعلاه قد تم تنفيذها بالفعل بواسطة دالة SciPycircmean .

التعميمات

المتوسط ​​الكروي

سلسلة من N متجهات وحدة مستقلةxأنا{\displaystyle x_{i}}يتم سحبها من توزيع فون ميزس-فيشر. تقديرات الاحتمال الأقصى للاتجاه المتوسطμ{\displaystyle \mu }هو ببساطة المتوسط ​​الحسابي المعياري ، وهو إحصائية كافية : [ 2 ]μ=x¯/R¯،أين x¯=1شمال∑أناشمالxأنا،و R¯=‖x¯‖،{\displaystyle \mu ={\bar {x}}/{\bar {R}},{\text{where }}{\bar {x}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}^{N}x_{i},{\text{and }}{\bar {R}}=\|{\bar {x}}\|,}

المتوسط ​​الكروي المرجح

يمكن تعريف المتوسط ​​الكروي المرجح بناءً على الاستيفاء الخطي الكروي . [ 3 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كريستوفر م. بيشوب: التعرف على الأنماط والتعلم الآلي (علوم المعلومات والإحصاء) ، رقم ISBN 0-387-31073-8
  2. ↑ مارديا، كانتي ؛ جوب، بي إي (1999). الإحصاءات الاتجاهية . جون وايلي وأولاده المحدودة. ISBN 978-0-471-95333-3.
  3. ↑ بوس، صموئيل ر.؛ فيلمور، جاي ب. (2001). "المتوسطات الكروية وتطبيقاتها على الدوال التكعيبية الكروية والاستيفاء". معاملات ACM في الرسومات . 20 (2). رابطة آلات الحوسبة (ACM): 95-126 . doi : 10.1145/502122.502124 . ISSN 0730-0301 . 

للمزيد من القراءة

  • جامالاما دكا، إس. راو وسينغوبتا، أ. (2001). موضوعات في الإحصاءات الدائرية ، القسم 1.3، دار النشر العالمية العلمية، سنغافورة. ISBN 981-02-3778-2
  • هوتز، توماس (2013). "الوسائل الخارجية مقابل الوسائل الداخلية على الدائرة". سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب . المجلد  8085. برلين، هايدلبرغ: سبرينغر برلين هايدلبرغ. الصفحات 433-440 . doi : 10.1007/978-3-642-40020-9_47 . ISBN  978-3-642-40019-3ISSN 0302-9743​​