نظرية فروبينيوس للمحدد

في الرياضيات ، تنص نظرية فروبينيوس للمحدد على أنه إذا أخذنا جدول الضرب لمجموعة منتهية G واستبدلنا كل عنصر g بمتغير x ، ثم حسبنا المحدد ، فإن متعددة الحدود الناتجة متعددة المتغيرات تتحلل إلى حاصل ضرب n من _{متعددات} الحدود غير القابلة للاختزال، حيث n هو عدد فئات الترافق في G. علاوة على ذلك، في عملية التحليل، يظهر كل من هذه المتعددات غير القابلة للاختزال مرفوعًا إلى قوة تساوي درجته.

طُرح هذا لأول مرة كفرضية في رسالة عام 1896 من عالم الرياضيات ريتشارد ديديكيند إلى إف جي فروبينيوس ، الذي أثبتها بأساليب أسست فرعًا جديدًا من الرياضيات، وهو نظرية تمثيل المجموعات المنتهية . ^{[ 1 ]} انظر ( ديديكيند 1968 ) ، مع الترجمة الإنجليزية ( كورتيس 2003 ، ص 51) . 

ليكن زمرة منتهية${\displaystyle G}$يحتوي على عناصر${\displaystyle g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}}$ودع${\displaystyle x_{g_{i}}}$يرتبط بكل عنصر من عناصر${\displaystyle G}$عرّف المصفوفة${\displaystyle X_{G}}$مع إدخالات${\displaystyle a_{ij}=x_{g_{i}g_{j}}}$. ثم:

${\displaystyle \det X_{G}=\prod _{j=1}^{r}P_{j}(x_{g_{1}},x_{g_{2}},\dots ,x_{g_{n}})^{\deg P_{j}}}$

حيث${\displaystyle P_{j}}$'s هي كثيرات حدود غير قابلة للاختزال وغير متناسبة ثنائياً و${\displaystyle r}$يمثل عدد فئات الاقتران لـ G. ^{[ 2 ]} 

لو${\displaystyle G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} =\{e,g\}}$مع${\displaystyle g^{2}=e}$مع وجود فئتين من فئات الاقتران n = 2، ستكون المصفوفة كالتالي:

${\displaystyle X_{G}={\begin{bmatrix}x_{e}&x_{g}\\x_{g}&x_{e}\end{bmatrix}}.}$

محدد هذه المصفوفة له n = 2 من العوامل غير القابلة للاختزال من الدرجة 1، كل منها بتعددية 1:

${\displaystyle \det X_{G}=(x_{e}-x_{g})(x_{e}+x_{g}).}$

لو${\displaystyle G=S_{3}}$، بالنسبة للمجموعة المتناظرة من الرتبة 3، ستكون المصفوفة كالتالي:

${\displaystyle X_{G}={\begin{bmatrix}x_{e}&x_{(12)}&x_{(23)}&x_{(31)}&x_{(123)}&x_{(321)}\\x_{(12)}&x_{e}&x_{(321)}&x_{(123)}&x_{(31)}&x_{(23)}\\x_{(23)}&x_{(123)}&x_{e}&x_{(321)}&x_{(12)}&x_{(31)}\\x_{(31)}&x_{(321)}&x_{(123)}&x_{e}&x_{(23)}&x_{(12)}\\x_{(123)}&x_{(23)}&x_{(31)}&x_{(12)}&x_{(321)}&x_{e}\\x_{(321)}&x_{(31)}&x_{(12)}&x_{(23)}&x_{e}&x_{(123)}\end{bmatrix}}.}$

يمكن تحليل محدد هذه المصفوفة على النحو التالي:

${\displaystyle \textstyle \det X_{G}=\left(\sum _{\sigma \in S_{3}}x_{\sigma }\right)\left(\sum _{\sigma \in S_{3}}{\text{sign}}(\sigma )x_{\sigma }\right)\left(F(x_{e},x_{(123)},x_{(321)})-F(x_{(12)},x_{(23)},x_{(31)})\right)^{2}}$

أين${\displaystyle F(a,b,c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}$عدد عوامل كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال هو ثلاثة، وهو ما يساوي عدد فئات الاقتران لـ${\displaystyle S_{3}}$. عامل كثير الحدود من الدرجة الثانية له تعددية 2. ^{[ 3 ]}

يستند هذا البرهان إلى البرهان الذي قدمه إيفان تشين، والذي يتضمن نظرية التمثيل . ^{[ 3 ]} وهو يعتمد على اللمة التالية:

يترك${\displaystyle V=(V,\rho )=\mathbb {C} [G]}$كن التمثيل المنتظم للمجموعة${\displaystyle G}$لنفترض التحويل الخطي التالي :

${\displaystyle T=\sum _{g\in G}x_{g}\rho (g)}$،

مصفوفة هذه المصفوفة معطاة بـ${\displaystyle X_{G}}$نرغب في فحص${\displaystyle \det T}$.

بحسب نظرية ماشكه ،${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$هي جبر شبه بسيط ، لذا من الممكن تقسيمها${\displaystyle V}$إلى مجموع مباشر من التمثيلات غير القابلة للاختزال ،

${\displaystyle V=\bigoplus _{i=1}^{r}V_{i}^{\oplus \dim V_{i}}}$

حيث كل${\displaystyle V_{i}}$هو تمثيل لا يمكن اختزاله لـ${\displaystyle V}$وهذا يسمح لنا بالكتابة:

${\displaystyle \det T=\prod _{i=1}^{r}\left(\det(T|_{V_{i}})\right)^{\dim V_{i}},}$

حيث كل${\displaystyle \det(T|_{V_{i}})}$هو عامل متعدد الحدود لـ${\displaystyle \det T}$.

تنص إحدى نتائج نظرية الخصائص على أن عدد التمثيلات غير القابلة للاختزال غير المتماثلة للتمثيل المنتظم${\displaystyle V}$يساوي عدد فئات الاقتران لـ${\displaystyle G}$وهذا يفسر لماذا يتساوى عدد عوامل كثير الحدود مع عدد فئات الترافق.

بالإضافة إلى،${\displaystyle \dim V_{i}}$يمثل كل من درجة وتعدد كثير الحدود${\displaystyle \det(T|_{V_{i}})}$وهذا يفسر سبب تساوي درجة وتعدد كل عامل من عوامل كثير الحدود.

لإكمال البرهان، نريد أن نبين أن كثيرات الحدود${\displaystyle \det(T|_{V_{i}})}$غير قابلة للاختزال وغير متناسبة مع بعضها البعض.

إثبات عدم الاختزال : بحسب نظرية كثافة جاكوبسون ، لأي مصفوفة${\displaystyle M\in {\text{Mat}}(V_{i})}$يوجد اختيار محدد للأعداد المركبة لكل${\displaystyle x_{g}\in G}$بحيث:

${\displaystyle M=\sum _{g\in G}x_{g}\rho _{i}(g)=T|_{V_{i}}(\{x_{g}\})}$

هذا يدل على أن${\displaystyle T|_{V_{i}}}$عند النظر إليها كمصفوفة ذات عناصر متعددة الحدود، يجب أن تحتوي على عناصر مستقلة خطيًا. وبالتالي، بجعل كل عنصر من هذه العناصر متغيرًا مستقلاً${\displaystyle y_{ij}}$ويترتب على ذلك، وفقًا للنتيجة المذكورة أعلاه، أن${\displaystyle \det T|_{V_{i}}}$هي متعددة حدود غير قابلة للاختزال.

إثبات عدم التناسب : ويتضح ذلك من خلال ملاحظة أنه يمكننا قراءة الحرف${\displaystyle \chi _{V_{i}}}$من معاملات${\displaystyle \det T|_{V_{i}}}$، باستخدام حقيقة أنه بالنسبة للجميع${\displaystyle g\in G}$، معامل${\displaystyle x_{g}x_{1_{G}}^{k-1}}$في${\displaystyle \det T|_{V_{i}}}$يساوي${\displaystyle \chi _{V_{i}}(g)}$بما أن الشخصيات مستقلة خطيًا عن بعضها البعض، فإنه يترتب على ذلك أن${\displaystyle \det T|_{V_{i}}}$لا يتناسب مع أي عامل آخر من عوامل كثير الحدود.

• تشين، إيفان. "منديل كبير بلا حدود" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 3 سبتمبر 2025 .
• كورتيس، تشارلز و. (2003)، رواد نظرية التمثيل: فروبينيوس، بيرنسايد، شور، وبراور ، تاريخ الرياضيات، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، doi : 10.1090/S0273-0979-00-00867-3 ، ISBN 978-0-8218-2677-5MR 1715145​ مراجعة
• ديديكيند، ريتشارد (1968) [1931]، فريك، روبرت؛ نويثر, إيمي ; خام ، أويستين (محرران)، Gesammelte mathematische Werke. باندي الأول – الثالث ، نيويورك: شركة تشيلسي للنشر، JFM 56.0024.05 ، السيد 0237282  
• إيتينغوف، بافيل (2005). "محاضرات في نظرية التمثيل" (PDF) .
• فروبينيوس، فرديناند جورج (1968)، سيري، J.-P. (محرر)، جيسامليت أبهاندلونجن. Bände I، II، III ، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-04120-7، MR 0235974