جدول الضرب

في الرياضيات ، جدول الضرب (أو أحيانًا، بشكل أقل رسمية، جدول الضرب ) هو جدول رياضي يستخدم لتحديد عملية الضرب لنظام جبري.

كان جدول الضرب العشري يُدرَّس تقليديًا كجزء أساسي من الحساب الابتدائي في جميع أنحاء العالم، لأنه يُرسي الأساس للعمليات الحسابية على الأعداد العشرية. ويعتقد العديد من التربويين أنه من الضروري حفظ الجدول حتى 9 × 9. ^{[ 1 ]}

تاريخ

العصور ما قبل الحديثة

استخدم البابليون أقدم جداول الضرب المعروفة قبل حوالي 4000 عام. ^{[ 2 ]} ومع ذلك، فقد استخدموا أساسًا 60. ^{[ 2 ]} أما أقدم الجداول المعروفة التي تستخدم أساسًا 10 فهي جدول الضرب العشري الصيني المكتوب على شرائح من الخيزران ، والذي يعود تاريخه إلى حوالي 305 قبل الميلاد، خلال فترة الممالك المتحاربة في الصين . ^[²^]

يُنسب جدول الضرب أحيانًا إلى عالم الرياضيات اليوناني القديم فيثاغورس (570-495 قبل الميلاد). ويُعرف أيضًا باسم "جدول فيثاغورس" في العديد من اللغات (مثل الفرنسية والإيطالية والروسية)، وأحيانًا في الإنجليزية. ^{[ 4 ]} وقد أدرج عالم الرياضيات اليوناني الروماني نيكوماخوس (60-120 ميلادي)، وهو من أتباع الفيثاغورية الحديثة ، جدول ضرب في كتابه "مقدمة في الحساب" ، بينما يوجد أقدم جدول ضرب يوناني باقٍ على لوح شمعي يعود تاريخه إلى القرن الأول الميلادي، وهو محفوظ حاليًا في المتحف البريطاني . ^{[ 5 ]}

في عام 493 ميلادي، كتب فيكتوريوس الأكيتاني جدول ضرب مكون من 98 عمودًا، والذي أعطى ( بالأرقام الرومانية ) ناتج ضرب كل عدد من 2 إلى 50 مرة، وكانت الصفوف عبارة عن "قائمة من الأرقام تبدأ بألف، وتتناقص بالمئات إلى مائة، ثم تتناقص بالعشرات إلى عشرة، ثم بالآحاد إلى واحد، ثم الكسور وصولاً إلى 1/144." ^{[ 6 ]}

العصر الحديث

في كتابه "فلسفة الحساب" الصادر عام 1820 ، ^{[ 7 ]} نشر عالم الرياضيات جون ليزلي جدولًا لـ "أرباع المربعات" يمكن استخدامه، مع بعض الخطوات الإضافية، للضرب حتى 1000 × 1000. كما أوصى ليزلي التلاميذ الصغار بحفظ جدول الضرب حتى 50 × 50.

في عام 1897، نشر أوغسطس ليوبولد كريل جداول حسابية تعطي نواتج كل عددين من واحد إلى ألف ^{[ 8 ]} وهو جدول ضرب بسيط للمنتجات حتى 1000 × 10000.

تُعدّ الجداول التي تعرض جميع نواتج ضرب الأعداد من 1 إلى 10 أو من 1 إلى 12 هي الأحجام الأكثر شيوعًا في المدارس الابتدائية. يوضح الجدول أدناه نواتج الضرب حتى 12 × 12:

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

تُقسّم خوارزميات الضرب الشائعة للأعداد متعددة الأرقام، التي تُدرّس في المدارس، هذه المسألة إلى سلسلة من مسائل ضرب الأعداد أحادية الرقم وجمع الأعداد متعددة الأرقام. يمكن تلخيص ضرب الأعداد أحادية الرقم في جدول من 100 خانة، يحتوي على جميع نواتج ضرب الأرقام من 0 إلى 9. ولأن $0 \times a = 0$ لأي عدد $a$ ، تُحذف عادةً الصفوف والأعمدة الخاصة بالضرب في 0. عملية ضرب الأعداد الصحيحة تبديلية ، $a \times b = b \times a$ . لذلك، يكون الجدول متناظرًا حول قطره الرئيسي، ويمكن اختزاله إلى 45 خانة بعرض الخانات $a \times b$ فقط حيث $a \geq b$ ، كما هو موضح أدناه. يمكن اختزال الجدول أكثر (إلى 36 خانة) بحذف الصفوف والأعمدة الخاصة بالضرب في 1، وهو العنصر المحايد للضرب ، والذي يحقق $a \times 1 = a$ .

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

كان التعلم التقليدي للضرب يعتمد على حفظ الأعمدة في الجدول، مرتبة على النحو التالي.


١ × ١ = ١ ٢ × ١ = ٢ ٣ × ١ = ٣ ٤ × ١ = ٤ ٥ × ١ = ٥ ٦ × ١ = ٦ ٧ × ١ = ٧ ٨ × ١ = ٨ ٩ × ١ = ٩ ١٠ × ١ = ١٠ ١١ × ١ = ١١ ١٢ × ١ = ١٢	١ × ٢ = ٢، ٢ × ٢ = ٤ ، ٣ × ٢ = ٦ ، ٤ × ٢ = ٨ ، ٥ × ٢ = ١٠ ، ٦ × ٢ = ١٢ ، ٧ × ٢ = ١٤ ، ٨ × ٢ = ١٦ ، ٩ × ٢ = ١٨ ، ١٠ × ٢ = ٢٠ ، ١١ × ٢ = ٢٢ ، ١٢ × ٢ = ٢٤	١ × ٣ = ٣ ٢ × ٣ = ٦ ٣ × ٣ = ٩ ٤ × ٣ = ١٢ ٥ × ٣ = ١٥ ٦ × ٣ = ١٨ ٧ × ٣ = ٢١ ٨ × ٣ = ٢٤ ٩ × ٣ = ٢٧ ١٠ × ٣ = ٣٠ ١١ × ٣ = ٣٣ ١٢ × ٣ = ٣٦	١ × ٤ = ٤ ٢ × ٤ = ٨ ٣ × ٤ = ١٢ ٤ × ٤ = ١٦ ٥ × ٤ = ٢٠ ٦ × ٤ = ٢٤ ٧ × ٤ = ٢٨ ٨ × ٤ = ٣٢ ٩ × ٤ = ٣٦ ١٠ × ٤ = ٤٠ ١١ × ٤ = ٤٤ ١٢ × ٤ = ٤٨
١ × ٥ = ٥ ٢ × ٥ = ١٠ ٣ × ٥ = ١٥ ٤ × ٥ = ٢٠ ٥ × ٥ = ٢٥ ٦ × ٥ = ٣٠ ٧ × ٥ = ٣٥ ٨ × ٥ = ٤٠ ٩ × ٥ = ٤٥ ١٠ × ٥ = ٥٠ ١١ × ٥ = ٥٥ ١٢ × ٥ = ٦٠	١ × ٦ = ٦ ٢ × ٦ = ١٢ ٣ × ٦ = ١٨ ٤ × ٦ = ٢٤ ٥ × ٦ = ٣٠ ٦ × ٦ = ٣٦ ٧ × ٦ = ٤٢ ٨ × ٦ = ٤٨ ٩ × ٦ = ٥٤ ١٠ × ٦ = ٦٠ ١١ × ٦ = ٦٦ ١٢ × ٦ = ٧٢	١ × ٧ = ٧ ٢ × ٧ = ١٤ ٣ × ٧ = ٢١ ٤ × ٧ = ٢٨ ٥ × ٧ = ٣٥ ٦ × ٧ = ٤٢ ٧ × ٧ = ٤٩ ٨ × ٧ = ٥٦ ٩ × ٧ = ٦٣ ١٠ × ٧ = ٧٠ ١١ × ٧ = ٧٧ ١٢ × ٧ = ٨٤	١ × ٨ = ٨ ٢ × ٨ = ١٦ ٣ × ٨ = ٢٤ ٤ × ٨ = ٣٢ ٥ × ٨ = ٤٠ ٦ × ٨ = ٤٨ ٧ × ٨ = ٥٦ ٨ × ٨ = ٦٤ ٩ × ٨ = ٧٢ ١٠ × ٨ = ٨٠ ١١ × ٨ = ٨٨ ١٢ × ٨ = ٩٦
١ × ٩ = ٩ ٢ × ٩ = ١٨ ٣ × ٩ = ٢٧ ٤ × ٩ = ٣٦ ٥ × ٩ = ٤٥ ٦ × ٩ = ٥٤ ٧ × ٩ = ٦٣ ٨ × ٩ = ٧٢ ٩ × ٩ = ٨١ ١٠ × ٩ = ٩٠ ١١ × ٩ = ٩٩ ١٢ × ٩ = ١٠٨	١ × ١٠ = ١٠، ٢ × ١٠ = ٢٠، ٣ × ١٠ = ٣٠، ٤ × ١٠ = ٤٠ ، ٥ × ١٠ = ٥٠ ، ٦ × ١٠ = ٦٠ ، ٧ × ١٠ = ٧٠ ، ٨ × ١٠ = ٨٠ ، ٩ × ١٠ = ٩٠ ، ١٠ × ١٠ = ١٠٠ ، ١١ × ١٠ = ١١٠ ، ١٢ × ١٠ = ١٢٠	١ × ١١ = ١١ ٢ × ١١ = ٢٢ ٣ × ١١ = ٣٣ ٤ × ١١ = ٤٤ ٥ × ١١ = ٥٥ ٦ × ١١ = ٦٦ ٧ × ١١ = ٧٧ ٨ × ١١ = ٨٨ ٩ × ١١ = ٩٩ ١٠ × ١١ = ١١٠ ١١ × ١١ = ١٢١ ١٢ × ١١ = ١٣٢	١ × ١٢ = ١٢، ٢ × ١٢ = ٢٤، ٣ × ١٢ = ٣٦، ٤ × ١٢ = ٤٨ ، ٥ × ١٢ = ٦٠ ، ٦ × ١٢ = ٧٢ ، ٧ × ١٢ = ٨٤ ، ٨ × ١٢ = ٩٦ ، ٩ × ١٢ = ١٠٨ ، ١٠ × ١٢ = ١٢٠ ، ١١ × ١٢ = ١٣٢ ، ١٢ × ١٢ = ١٤٤

لا يزال هذا الشكل من كتابة جدول الضرب في أعمدة مع جمل عددية كاملة مستخدمًا في بعض البلدان، مثل كولومبيا والبوسنة والهرسك، بدلاً من الشبكات الحديثة المذكورة أعلاه.

أنماط في الجداول

يوجد نمط في جدول الضرب يُسهّل على الناس حفظ الجدول. وهو يستخدم الأرقام التالية:

	4	5	6
→					→
↑	1	2	3	↓	↑	2		4	↓
	7	8	9			6		8
←					←
	0		5				0
الشكل 1: فردي					الشكل 2: زوجي

يُستخدم الشكل 1 لمضاعفات الأعداد 1 و3 و7 و9. ويُستخدم الشكل 2 لمضاعفات الأعداد 2 و4 و6 و8. يمكن استخدام هذه الأنماط لحفظ مضاعفات أي عدد من 0 إلى 10، باستثناء 5. عند الضرب في صفر، تبدأ من العدد المراد ضربه، فتبقى عند الصفر (الصفر عدد خارجي، لذا لا تؤثر الأسهم عليه، وإلا يُستخدم الصفر كحلقة وصل لإنشاء دورة مستمرة). يعمل النمط أيضًا مع مضاعفات العدد 10، وذلك بالبدء من 1 وإضافة صفر، ما يُعطي 10، ثم تطبيق كل عدد في النمط على خانة العشرات كما تفعل عادةً مع خانة الآحاد.

على سبيل المثال، لتذكر جميع مضاعفات العدد 7:

انظر إلى الرقم 7 في الصورة الأولى واتبع السهم.
الرقم التالي في اتجاه السهم هو 4. لذا فكر في الرقم التالي بعد 7 والذي ينتهي بـ 4، وهو 14.
الرقم التالي في اتجاه السهم هو 1. لذا فكر في الرقم التالي بعد 14 والذي ينتهي بـ 1، وهو 21.
بعد الوصول إلى أعلى هذا العمود، ابدأ من أسفل العمود التالي، وتحرك في نفس الاتجاه. الرقم هو 8. لذا فكّر في الرقم التالي بعد 21 والذي ينتهي بـ 8، وهو 28.
استمر بنفس الطريقة حتى تصل إلى الرقم الأخير، 3، الذي يقابل الرقم 63.
بعد ذلك، استخدم الرقم 0 في الأسفل. إنه يقابل الرقم 70.
ثم ابدأ مرة أخرى بالرقم 7. هذه المرة سيتوافق مع 77.
استمر على هذا المنوال.

في الجبر المجرد

يمكن للجداول أيضاً تعريف العمليات الثنائية على المجموعات والحقول والحلقات والأنظمة الجبرية الأخرى . وفي هذه السياقات ، تُسمى جداول كايلي .

لكل عدد طبيعي n ، تُوصف عمليتا الجمع والضرب في Zⁿ _، وهي حلقة الأعداد الصحيحة بتردد n ، بجدول من _الرتبة n × n . على سبيل المثال، جداول Zⁿ هي:

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

×	1	2	3	4
0	0	0	0	0
1	1	2	3	4
2	2	4	1	3
3	3	1	4	2
4	4	3	2	1

للاطلاع على أمثلة أخرى، انظر المجموعة .

أعداد فائقة التعقيد

تُظهر جداول ضرب الأعداد المركبة الفائقة النتائج غير التبادلية لضرب وحدتين تخيليتين مركبتين فائقتين. وأبسط مثال على ذلك هو جدول ضرب الكواترنيون :

جدول ضرب الكواتيرنيون
↓ × →	$1$	$أنا$	$ج$	$ك$
$1$	$1$	$أنا$	$ج$	$ك$
$أنا$	$أنا$	$-1$	$ك$	$-j $
$ج$	$ج$	$- ك$	$-1$	$أنا$
$ك$	$ك$	$ج$	$- i$	$-1$

جداول الضرب الصينية واليابانية

يتكون جدول الضرب الصيني من واحد وثمانين حدًا. وكان يُعرف تاريخيًا بجدول التسعة-تسعة ، لأنه في العصور القديمة كان يبدأ بـ 9 × 9: تسعة تسعات تُعطي واحدًا وثمانين، وثماني تسعات تُعطي اثنين وسبعين، وهكذا. عُرف هذا الجدول في الصين منذ عهد الربيع والخريف ، واستمر استخدامه حتى عصر المعداد؛ ولا يزال على تلاميذ المدارس الابتدائية اليوم حفظه. وهناك نسخة مختصرة من الجدول تتكون من خمسة وأربعين جملة فقط.

九九乘法口诀表 (جدول ضرب التسعة والتسعة)
×	1 نعم	2 二èr	3 三سان	4 四嬉	5 五w	6 سنوات	7 سنوات	8 سنوات	9 九ji
1 نعم	一一得一
2 二èr	一二得二	二二得四
3 三سان	一三得三	二三得六	三三得九
4 四嬉	一四得四	二四得八	三四十二	四四十六
5 五w	一五得五	二五一十	هذا هو السبب	شكرا جزيلا	هذا هو السبب
6 سنوات	一六得六	في الواقع	三六十八	四六二十四	五六三十	六六三十六
7 سنوات	一七得七	في الواقع	هذا هو السبب	شكرا جزيلا	هذا هو السبب	شكرا جزيلا	七七四十九
8 سنوات	一八得八	شكرا جزيلا	أفضل ما في الأمر	四八三十二	شكرا جزيلا	六八四十八	هذا هو السبب	八八六十四
9 九ji	一九得九	二九十八	三九二十七	四九三十六	五九四十五	شكرا جزيلا	七九六十三	لا يوجد شيء آخر	لا يوجد شيء آخر

تشير المخطوطات المكتشفة في قصر هيجو إلى أن جدول الضرب ربما يكون قد دخل إلى اليابان عبر مؤلفات رياضية صينية مثل كتاب سونزي سوانجينغ ، إذ تشترك اللغتان في استخدام الحرف如للتعبير عن جدول الضرب في النواتج الأقل من عشرة. ^{[ 9 ]} تشترك اللغتان الصينية واليابانية في نظام مماثل يتألف من واحد وثمانين جملة قصيرة سهلة الحفظ تُدرَّس للطلاب لمساعدتهم على تعلم جدول الضرب حتى 9 × 9. في الاستخدام الحالي، تتضمن الجمل التي تعبر عن النواتج الأقل من عشرة حرفًا إضافيًا في كلتا اللغتين. في اللغة الصينية الحديثة، يكون هذا الحرف得( dé )، وفي اللغة اليابانية يكونが( ga ). يُفيد هذا الأمر من يتدربون على الحساب باستخدام آلة سوانبان أو سوروبان ، لأن هذه الجمل تُذكِّرهم بتحريك عمود واحد إلى اليمين عند إدخال ناتج لا يبدأ برقم العشرات . على وجه الخصوص، يستخدم جدول الضرب الياباني نطقًا غير قياسي للأرقام في بعض الحالات المحددة (مثل استبدال san roku بـ saburoku ؛ المشار إليه بالخط العريض أدناه).

جدول الضرب الياباني
×	1 إيتشي	2 ني	3 سان	4 شي	5 انطلق	6 أجهزة روكو	7 شيتشي	8 هكتارات	9 كيلو
1 بوصة	in'ichi جا إيتشي	إيني جا ني	إنسان جا سان	إنشي جا شي	إنجو جا جو	inroku ga roku	inshichi جا شيشي	inhachi جا هاتشي	إنكو جا كو
2 ني	ني إيتشي جا ني	ني نين* جا شي*	ني سان جا روكو	ني شي جا هاتشي	ni go jū	ني روكو جوني	ني شيشي جوشي	ني هاتشي جيروكو	ni ku jūhachi
3 سان	سان إيتشي جا سان	سان ني جا روكو	sazan ga ku	سان شي جوني	سان جو جوجو	سابوروكو جوهاتشي	سان شيشي نيجويتشي	سانبا نيجوشي	سان كو نيجوشيشي
4 شي	شي إيتشي جا شي	شي ني جا هاتشي	شي سان جوني	شي شي جيروكو	شي غو نيجو	شي روكو نيجوشي	شي شيشي نيجوهاتشي	shi ha sanjūni	shi ku sanjūroku
5 انطلق	اذهب إيتشي جا اذهب	go ni jū	اذهب سان جوجو	اذهب شي نيجو	go go nijūgo	go roku sanjū	اذهب شيشي سانجوغو	اذهب ها شيجو	غوكو شيجوغو
6 أجهزة روكو	روكو إيتشي جا روكو	روكو ني جوني	روكو سان جوهاتشي	روكو شي نيجوشي	roku go sanjū	roku roku sanjūroku	روكو شيشي شيجوني	روكو ها شيجوهاتشي	روكو غوجوشي
7 شيتشي	شيشي إيتشي جا شيشي	شيشي ني جوشي	شيشي سان نيجويتشي	شيتشي شي نيجوهاتشي	شيتشي جو سانجوغو	شيتشي روكو شيجوني	شيشي شيشي شيجوكو	شيشي ها غوجوروكو	شيتشي كو rokujūsan
8 هاتشي	هاتشي إيتشي جا هاتشي	هاتشي ني جيروكو	هاتشي سان نيجوشي	hachi shi sanjūni	هاتشي جو شيجو	هاتشي روكو شيجوهاتشي	هاتشي شيشي جوجوروكو	هابا روكوجوشي	هاكو شيتشيجوني
9 كيلو	كو إيتشي جا كو	كو ني جوهاتشي	كو سان نيجوشيشي	ku shi sanjūroku	كو جو شيجوجو	ku roku gojūshi	كو شيتشي روكوجوسان	كو ها شيتشيجوني	كو كو هاتشيجويتشي

الضرب العشري في دول الحرب

تُعد حزمة من 21 شريحة من الخيزران مؤرخة بعام 305 قبل الميلاد في فترة الممالك المتحاربة، والموجودة في مجموعة شرائح الخيزران تسينغهوا (清華簡)، أقدم مثال معروف في العالم لجدول الضرب العشري. ^{[ 10 ]}

تمثيل حديث لجدول الضرب العشري المستخدم في فترة الممالك المتحاربة لحساب 12 × 34.5

إصلاح الرياضيات القائم على المعايير في الولايات المتحدة

في عام ١٩٨٩، وضع المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات (NCTM) معايير جديدة استندت إلى الاعتقاد بضرورة اكتساب جميع الطلاب مهارات التفكير العليا، وأوصت هذه المعايير بتقليل التركيز على أساليب التدريس التقليدية التي تعتمد على الحفظ عن ظهر قلب، كجداول الضرب. وقد أغفلت كتبٌ شائعة الاستخدام، مثل كتاب "دراسات في الأعداد والبيانات والفضاء" (المعروف اختصارًا بـ TERC نسبةً إلى الجهة المنتجة له، مراكز أبحاث التعليم التقني)، وسائلَ مساعدةً كجداول الضرب في طبعاتها الأولى. وأوضح المجلس في نقاطه المحورية لعام ٢٠٠٦ ضرورةَ تعلّم حقائق الرياضيات الأساسية، مع عدم وجود إجماع حول ما إذا كان الحفظ عن ظهر قلب هو الأسلوب الأمثل. وفي السنوات الأخيرة، طُوّرت عدة أساليب غير تقليدية لمساعدة الأطفال على تعلّم حقائق الضرب، بما في ذلك تطبيقاتٌ شبيهة بألعاب الفيديو وكتبٌ تهدف إلى تعليم جداول الضرب من خلال قصصٍ مبنية على شخصياتٍ كرتونية.

في عام 2024، تم حذف التوصية بتعلم جدول الضرب من إطار مناهج الرياضيات في كاليفورنيا. ^{[ 11 ]}

انظر أيضاً

المربع الفيدي
جهاز IBM 1620 ، وهو حاسوب مبكر استخدم جداول مخزنة في الذاكرة لإجراء عمليات الجمع والضرب

مراجع

↑ تريفيت، جون (1980)، "جدول الضرب: هل يُحفظ أم يُتقن؟"، من أجل تعلم الرياضيات ، 1 (1): 21-25 ، JSTOR 40247697 .
1 2 3 كيو، جين (7 يناير 2014). "جدول الضرب القديم مخبأ في شرائح الخيزران الصينية" . أخبار الطبيعة . doi : 10.1038/nature.2014.14482 . S2CID 130132289 .
^ ويكي مصدر: الصفحة: المجلد الشهري للعلوم الشعبية 26.djvu/467
↑ على سبيل المثال في كتاب "رسالة تمهيدية في الحساب" لجون فارار
↑ ديفيد إي. سميث (1958)، تاريخ الرياضيات، المجلد الأول: مسح عام لتاريخ الرياضيات الابتدائية . نيويورك: منشورات دوفر (طبعة مُعاد طباعتها من منشور عام 1951)، رقم ISBN 0-486-20429-4، الصفحات 58، 129.
↑ ديفيد دبليو ماهر وجون إف ماكوفسكي. "أدلة أدبية على الحساب الروماني مع الكسور". فقه اللغة الكلاسيكية ، 96/4 (أكتوبر 2001)، ص 383.
↑ ليزلي، جون (1820). فلسفة الحساب؛ عرض رؤية تقدمية لنظرية وممارسة الحساب، مع جداول لضرب الأعداد حتى ألف . إدنبرة: أبيرنيثي ووكر.
↑ "جداول حسابية تعطي نواتج ضرب كل عددين من واحد إلى ألف وتطبيقها على ضرب وقسمة جميع الأعداد التي تزيد عن ألف" . 1897.
↑ "「九九」は中国伝来...平城宮跡から木簡出土" . يوميوري شيمبون. 4 ديسمبر 2010. مؤرشفة من الأصلي في 7 ديسمبر 2010.
↑ مقال في مجلة نيتشر : المصفوفة التي يبلغ عمرها 2300 عام هي أقدم جدول ضرب عشري في العالم
↑ سورنسن، سوجي؛ مارغوليس، ديفيد؛ ماليون، مايكل. "كاليفورنيا تلغي حفظ جداول الضرب" . ذا ويل نيوز . تاريخ الاسترجاع: ٢٤ نوفمبر ٢٠٢٥ .

[1] تريفيت، جون (1980)، "جدول الضرب: هل يُحفظ أم يُتقن؟"، من أجل تعلم الرياضيات ، 1 (1): 21-25 ، JSTOR 40247697 .

[Qiu-2] 1 2 3 كيو، جين (7 يناير 2014). "جدول الضرب القديم مخبأ في شرائح الخيزران الصينية" . أخبار الطبيعة . doi : 10.1038/nature.2014.14482 . S2CID 130132289 .

[3] ويكي مصدر: الصفحة: المجلد الشهري للعلوم الشعبية 26.djvu/467

[4] على سبيل المثال في كتاب "رسالة تمهيدية في الحساب" لجون فارار

[5] ديفيد إي. سميث (1958)، تاريخ الرياضيات، المجلد الأول: مسح عام لتاريخ الرياضيات الابتدائية . نيويورك: منشورات دوفر (طبعة مُعاد طباعتها من منشور عام 1951)، رقم ISBN 0-486-20429-4، الصفحات 58، 129.

[6] ديفيد دبليو ماهر وجون إف ماكوفسكي. "أدلة أدبية على الحساب الروماني مع الكسور". فقه اللغة الكلاسيكية ، 96/4 (أكتوبر 2001)، ص 383.

[7] ليزلي، جون (1820). فلسفة الحساب؛ عرض رؤية تقدمية لنظرية وممارسة الحساب، مع جداول لضرب الأعداد حتى ألف . إدنبرة: أبيرنيثي ووكر.

[8] "جداول حسابية تعطي نواتج ضرب كل عددين من واحد إلى ألف وتطبيقها على ضرب وقسمة جميع الأعداد التي تزيد عن ألف" . 1897.

[9] "「九九」は中国伝来...平城宮跡から木簡出土" . يوميوري شيمبون. 4 ديسمبر 2010. مؤرشفة من الأصلي في 7 ديسمبر 2010.

[10] مقال في مجلة نيتشر : المصفوفة التي يبلغ عمرها 2300 عام هي أقدم جدول ضرب عشري في العالم

[11] سورنسن، سوجي؛ مارغوليس، ديفيد؛ ماليون، مايكل. "كاليفورنيا تلغي حفظ جداول الضرب" . ذا ويل نيوز . تاريخ الاسترجاع: ٢٤ نوفمبر ٢٠٢٥ .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1
2	2	4
3	3	6	9
4	4	8	12	16
5	5	10	15	20	25
6	6	12	18	24	30	36
7	7	14	21	28	35	42	49
8	8	16	24	32	40	48	56	64
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81