مجال الدالة (نظرية المخططات)

تُعدّ حزمة الدوال الكسرية K_{_X} لمخطط X تعميمًا لمفهوم حقل الدوال لمتنوعة جبرية في الهندسة الجبرية الكلاسيكية، وذلك في نظرية المخططات . في حالة المتنوعات الجبرية ، تربط هذه الحزمة بكل مجموعة مفتوحة U حلقة جميع الدوال الكسرية على تلك المجموعة؛ بعبارة أخرى، K _{_X} ( U ) هي مجموعة كسور الدوال المنتظمة على U. على الرغم من اسمها، فإن K _{_X} لا تُعطي دائمًا حقلًا لمخطط X عام .

في أبسط الحالات، يكون تعريف KX واضحًا. إذا كانت X منوعًا جبريًا أفينيًا ( غير قابل للاختزال ) ، وكانت U مجموعة جزئية مفتوحة من X ، فإن KX ( U ) ستكون حقل الكسور لحلقة الدوال المنتظمة على U. ولأن _X أفينية، فإن حلقة الدوال المنتظمة على U _ستكون موضعًا للمقاطع العامة لـ X ، وبالتالي ستكون KX هي الحزمة الثابتة التي قيمتها هي حقل الكسور للمقاطع العامة لـ _X.

إذا كانت X مجموعة صحيحة وليست مجموعة أفينية، فإن أي مجموعة أفينية مفتوحة غير فارغة ستكون كثيفة في X. هذا يعني أنه لا يوجد مجال كافٍ لدالة منتظمة للقيام بأي شيء مثير للاهتمام خارج U ، وبالتالي فإن سلوك الدوال الكسرية على U يجب أن يحدد سلوك الدوال الكسرية على X. في الواقع، ستكون حقول الكسور لحلقات الدوال المنتظمة على أي مجموعة أفينية مفتوحة متطابقة، لذلك نُعرّف، لأي U ، KX ( U ) على أنه حقل الكسور المشترك لأي حلقة من الدوال المنتظمة على أي مجموعة أفينية مفتوحة جزئية من X. بدلاً من ذلك، يمكن تعريف حقل الدالة في هذه الحالة على أنه _الحلقة المحلية للنقطة العامة .

تبدأ المشكلة عندما لا يكون X عددًا صحيحًا. حينها، يصبح من الممكن وجود قواسم صفرية في حلقة الدوال المنتظمة، وبالتالي يختفي حقل الكسور. الحل البسيط هو استبدال حقل الكسور بحلقة القسمة الكلية ، أي عكس كل عنصر ليس قاسمًا صفريًا. لسوء الحظ، لا تُنتج حلقة القسمة الكلية عمومًا حزمة جزئية، فضلًا عن حزمة كاملة. تُقدم مقالة كلايمان الشهيرة، المذكورة في قائمة المراجع، مثالًا على ذلك.

الحل الصحيح هو اتباع الخطوات التالية:

لكل مجموعة مفتوحة U ، ليكن S  U  مجموعة جميع العناصر في Γ( U , OX ) التي لا تُقسّم أي ساق OX ,x على الصفر . ولتكن K<sub> X pre  الحزمة المسبقة التي تكون مقاطعها على U عبارة عن توطينات S U -1 Γ( U , OX ) والتي تُستنتج خرائط تقييدها من خرائط تقييد OX بواسطة الخاصية العامة للتوطين. عندئذٍ، K  X  هي الحزمة المرتبطة بالحزمة المسبقة K <sub> X pre .

بمجرد تعريف K _X ، يصبح من الممكن دراسة خصائص X التي تعتمد فقط على K _X. وهذا هو موضوع الهندسة الثنائية النسبية .

إذا كان X تنوعًا جبريًا على حقل k ، فإنه على كل مجموعة مفتوحة U يوجد امتداد حقل K _X ( U ) لـ k . سيكون بُعد U مساويًا لدرجة التجاوز لهذا الامتداد الحقل. جميع امتدادات الحقول ذات درجة التجاوز المحدودة لـ k تُقابل حقل الدوال الكسرية لتنوع ما.

في الحالة الخاصة لمنحنى جبري C ، أي البعد 1، يترتب على ذلك أن أي دالتين غير ثابتتين F و G على C تحققان معادلة متعددة الحدود P ( F , G ) = 0.

• قاسم كارتييه ، وهو مفهوم يُعرَّف بدلالة حقل الدالة

• كلايمان، س.، "مفاهيم خاطئة حول K _X "، مجلة التربية الرياضية 25 (1979)، 203-206، متاح على الرابط التالي: https://www.e-periodica.ch/cntmng?pid=ens-001:1979:25::101