التكامل الوظيفي

التكامل الوظيفي هو مجموعة من النتائج في الرياضيات والفيزياء حيث لا يقتصر نطاق التكامل على منطقة عادية من الفضاء، بل يصبح فضاءً للدوال . تظهر التكاملات الوظيفية في الاحتمالات ، ودراسة المعادلات التفاضلية الجزئية ، وفي صياغة التكامل المساري لميكانيكا الكم للجسيمات والحقول. ورغم أن المصطلح يوحي بامتداد للتكامل العادي، إلا أن غياب مقياس ثابت تحت الإزاحة في الفضاءات اللانهائية الأبعاد يعني ضرورة تعريف التكاملات الوظيفية بطرق أكثر دقة أو تفسيرها تفسيراً شكلياً.

في التكامل العادي (بمعنى تكامل لوبيغ )، توجد دالةٌ يُراد تكاملها (الدالة المراد تكاملها) ومنطقةٌ من الفضاء يُجرى عليها التكامل (مجال التكامل). يُمثل التكامل نهاية مجموعٍ يُحسب بتقسيم المنطقة إلى أجزاءٍ أصغر، ثم حساب قيمة الدالة على كل جزء، وجمع النتائج. في كل منطقةٍ صغيرة، لا تتغير قيمة الدالة المراد تكاملها كثيرًا، لذا يُمكن استبدالها بقيمةٍ واحدة. أما في التكامل الدالي، فمجال التكامل هو فضاء الدوال. لكل دالة، تُعيد الدالة المراد تكاملها قيمةً تُجمع. إن جعل هذه العملية دقيقةً يُمثل تحدياتٍ لا تزال موضوعًا للبحث العلمي.

طُوِّر التكامل الوظيفي على يد بيرسي جون دانييل في مقال نُشر عام ١٩١٩ ^{[ ١ ]} ، ونوربرت وينر في سلسلة من الدراسات التي تُوِّجت بمقالاته عام ١٩٢١ حول الحركة البراونية . وقد طوّرا طريقة دقيقة (تُعرف الآن باسم مقياس وينر ) لتحديد احتمالية المسار العشوائي للجسيم. كما طوّر ريتشارد فاينمان تكاملاً وظيفياً آخر، هو تكامل المسار ، وهو مفيد لحساب الخصائص الكمومية للأنظمة. في تكامل المسار لفاينمان، يُستبدل المفهوم الكلاسيكي للمسار الفريد للجسيم بمجموع لانهائي من المسارات الكلاسيكية، لكل منها وزن مختلف وفقًا لخصائصه الكلاسيكية.

يُعد التكامل الوظيفي أساسيًا لتقنيات التكميم في الفيزياء النظرية. وتُستخدم الخصائص الجبرية للتكاملات الوظيفية لتطوير متسلسلات تُستخدم لحساب الخصائص في الديناميكا الكهربائية الكمومية والنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات.

بينما يجمع تكامل ريمان القياسي دالة f ( x ) على نطاق متصل من قيم x ، يجمع التكامل الوظيفي دالة G [ f ]، والتي يمكن اعتبارها "دالة لدالة" على نطاق (أو فضاء) متصل من الدوال f . لا يمكن حساب معظم التكاملات الوظيفية بدقة، بل يجب حسابها باستخدام طرق الاضطراب . التعريف الرسمي للتكامل الوظيفي هو $${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G[f]\prod _{x}df(x)\;.}$$مع ذلك، في معظم الحالات، يمكن كتابة الدوال f ( x ) بدلالة سلسلة لانهائية من الدوال المتعامدة مثل${\displaystyle f(x)=f_{n}H_{n}(x)}$ثم يصبح التعريف $${\displaystyle \int G[f]\;{\mathcal {D}}[f]\equiv \int _{\mathbb {R} }\cdots \int _{\mathbb {R} }G(f_{1};f_{2};\ldots )\prod _{n}df_{n}\;,}$$وهذا أكثر وضوحًا. يُظهر التكامل أنه تكامل دالي بحرف كبير.${\displaystyle {\mathcal {D}}}$أحيانًا تُكتب الحجة بين قوسين مربعين.${\displaystyle {\mathcal {D}}[f]}$^{[ 2 ]} ، للإشارة إلى التبعية الوظيفية للدالة في مقياس التكامل الوظيفي.

معظم التكاملات الوظيفية تكون في الواقع لانهائية، ولكن غالبًا ما تكون نهاية حاصل قسمة تكاملين وظيفيين مرتبطين محدودة. تبدأ التكاملات الوظيفية التي يمكن حسابها بدقة عادةً بالتكامل الغاوسي التالي :

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)\cdot K^{-1}(x;y)\cdot J(y)\,dx\,dy\right\rbrace \,,}$

في أي${\displaystyle K(x;y)=K(y;x)}$بإجراء التفاضل الوظيفي لهذا بالنسبة إلى J ( x ) ثم جعله يساوي صفرًا، يصبح الناتج دالة أسية مضروبة في حد أحادي في f . ولتوضيح ذلك، دعونا نستخدم الترميز التالي:

${\displaystyle G[f,J]=-{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left[\int _{\mathbb {R} }f(x)K(x;y)f(y)\,dy+J(x)f(x)\right]dx\,\quad ,\quad W[J]=\int \exp \lbrace G[f,J]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;.}$

باستخدام هذه الرموز، يمكن كتابة المعادلة الأولى على النحو التالي:

${\displaystyle {\dfrac {W[J]}{W[0]}}=\exp \left\lbrace {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}J(x)K^{-1}(x;y)J(y)\,dx\,dy\right\rbrace .}$

والآن، بأخذ المشتقات الوظيفية إلى تعريف${\displaystyle W[J]}$ثم التقييم في${\displaystyle J=0}$، فيحصل المرء على:

${\displaystyle {\dfrac {\delta }{\delta J(a)}}W[J]{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}W[J]}{\delta J(a)\delta J(b)}}{\Bigg |}_{J=0}=\int f(a)f(b)\exp \lbrace G[f,0]\rbrace {\mathcal {D}}[f]\;,}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots }$

وهي النتيجة المتوقعة. علاوة على ذلك، باستخدام المعادلة الأولى، نصل إلى النتيجة المفيدة التالية:

${\displaystyle {\dfrac {\delta ^{2}}{\delta J(a)\delta J(b)}}\left({\dfrac {W[J]}{W[0]}}\right){\Bigg |}_{J=0}=K^{-1}(a;b)\;;}$

بجمع هذه النتائج والرجوع إلى الترميز الأصلي، نحصل على:

${\displaystyle {\frac {\displaystyle \int f(a)f(b)\exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}{\displaystyle \int \exp \left\lbrace -{\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x)K(x;y)f(y)\,dx\,dy\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]}}=K^{-1}(a;b)\,.}$

ومن التكاملات المفيدة الأخرى دالة دلتا الوظيفية :

${\displaystyle \int \exp \left\lbrace \int _{\mathbb {R} }f(x)g(x)dx\right\rbrace {\mathcal {D}}[f]=\delta [g]=\prod _{x}\delta {\big (}g(x){\big )},}$

وهو أمر مفيد لتحديد القيود. ويمكن أيضًا إجراء التكاملات الوظيفية على الدوال ذات القيم في فضاء غراسمان.${\displaystyle \psi (x)}$، أين${\displaystyle \psi (x)\psi (y)=-\psi (y)\psi (x)}$، وهو أمر مفيد في الديناميكا الكهربائية الكمومية لإجراء حسابات تتضمن الفرميونات .

يمكن تعريف التكاملات الوظيفية التي يتكون فضاء تكاملها من مسارات ( ν = 1) بطرقٍ عديدة. تنقسم هذه التعريفات إلى فئتين رئيسيتين: الأولى هي تلك المستمدة من نظرية وينر، والتي تُنتج تكاملاً قائماً على مقياس ، بينما لا تُنتجه تلك المستمدة من تكامل المسار لفينمان. وحتى ضمن هاتين الفئتين، لا تتطابق التكاملات، أي أنها تُعرَّف بشكلٍ مختلف لفئات الدوال المختلفة.

• تكامل مسار فاينمان
• دالة التقسيم (نظرية الحقل الكمومي)
• تقريب نقطة السرج

• جان زين جوستين (2009)، سكولاربيديا 4 (2):8674 .
• كلاينرت، هاجن ، تكاملات المسار في ميكانيكا الكم، والإحصاء، وفيزياء البوليمرات، والأسواق المالية ، الطبعة الرابعة، دار النشر العالمية (سنغافورة، 2004)؛ غلاف ورقي، رقم ISBN 981-238-107-4(متوفر أيضاً عبر الإنترنت: ملفات PDF )
• لاسكين، نيك (2000). "ميكانيكا الكم الكسرية". مجلة Physical Review E. 62 ( 3): 3135-3145 . arXiv : 0811.1769 . Bibcode : 2000PhRvE..62.3135L . doi : 10.1103/PhysRevE.62.3135 . PMID : 11088808. S2CID : 15480739 .  
• لاسكين، نيك (2002). "معادلة شرودنغر الكسرية". مجلة Physical Review E. 66 ( 5) 056108. arXiv : quant-ph/0206098 . Bibcode : 2002PhRvE..66e6108L . doi : 10.1103/PhysRevE.66.056108 . PMID 12513557. S2CID 7520956 .  
• مينلوس، ر. أ. (2001) [1994]، "التكامل على المسارات" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• أو جي سموليانوف، إي تي شافغوليدزه. التكاملات المستمرة . موسكو، مطبعة جامعة موسكو الحكومية، 1990. (باللغة الروسية). http://lib.mexmat.ru/books/5132
• فيكتور بوبوف ، التكاملات الوظيفية في نظرية الحقل الكمومي والفيزياء الإحصائية، سبرينغر 1983
• سيرجيو ألبيفيريو ، سونيا مازوتشي، نهج موحد للتكامل اللانهائي الأبعاد، مراجعات في الفيزياء الرياضية، 28، 1650005 (2016)
• كلاودر، جون . " محاضرات في التكامل الوظيفي ". جامعة فلوريدا. مؤرشف في 8 يوليو 2024.