نظرية الاضطراب

في الرياضيات ، تتضمن نظرية الاضطراب طرقًا لإيجاد حل تقريبي لمسألة ما، انطلاقًا من الحل الدقيق لمسألة أبسط ذات صلة. ^{[ 1 ] [ 2 ]} ومن السمات الأساسية لهذه التقنية وجود خطوة وسيطة تُقسّم المسألة إلى جزأين: "قابل للحل" و"اضطرابي". ^{[ 3 ]} في نظرية الاضطراب المنتظمة ، يُعبّر عن الحل كمتسلسلة قوى بدلالة مُعامل صغير .${\displaystyle \varepsilon }$[ ^{1 ] [ 2 ]} الحد الأول هو الحل المعروف للمسألة القابلة للحل. الحدود المتتالية في المتسلسلة عند قوى أعلى ^من${\displaystyle \varepsilon }$عادة ما تصبح أصغر. يتم الحصول على "حل اضطراب" تقريبي عن طريق اقتطاع السلسلة، وغالبًا ما يتم الاحتفاظ فقط بالحدين الأولين، وحل المشكلة المعروفة وتصحيح الاضطراب "من الدرجة الأولى".

تُستخدم نظرية الاضطراب في مجالات واسعة، وتصل إلى أرقى صورها وأكثرها تطورًا في نظرية الحقل الكمومي . وتصف نظرية الاضطراب (ميكانيكا الكم) استخدام هذه الطريقة في ميكانيكا الكم . ولا يزال هذا المجال، بشكل عام، محل بحث مكثف ونشط في مختلف التخصصات.

تُطوّر نظرية الاضطراب تعبيرًا للحل المطلوب بدلالة متسلسلة قوى رسمية تُعرف بمتسلسلة الاضطراب ، وذلك بدلالة مُعامل "صغير" يُحدد مقدار الانحراف عن المسألة القابلة للحل بدقة. يُمثل الحد الرئيسي في هذه المتسلسلة حل المسألة القابلة للحل بدقة، بينما تصف الحدود اللاحقة الانحراف في الحل، نتيجةً للانحراف عن المسألة الأصلية. رسميًا، لدينا التقريب للحل الكامل.${\displaystyle \ A\ ,}$سلسلة في المعامل الصغير (يسمى هنا ε )، مثل ما يلي:

${\displaystyle A\equiv A_{0}+\varepsilon ^{1}A_{1}+\varepsilon ^{2}A_{2}+\varepsilon ^{3}A_{3}+\cdots }$

في هذا المثال،${\displaystyle \ A_{0}\ }$سيكون هذا هو الحل المعروف للمسألة الأولية القابلة للحل بدقة، والمصطلحات${\displaystyle \ A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \ }$تمثل الحدود من الرتبة الأولى والثانية والثالثة وما فوقها ، والتي يمكن إيجادها بشكل تكراري من خلال إجراء آلي ولكنه يزداد صعوبة. بالنسبة للقيم الصغيرة${\displaystyle \ \varepsilon \ }$تصبح هذه الحدود ذات الرتبة الأعلى في المتسلسلة أصغر تدريجيًا (ولكن ليس دائمًا). ويتم الحصول على "حل اضطرابي" تقريبي عن طريق اقتطاع المتسلسلة، غالبًا بالاحتفاظ بالحدين الأولين فقط، والتعبير عن الحل النهائي كمجموع الحل الأولي (الدقيق) والتصحيح الاضطرابي "من الرتبة الأولى".

${\displaystyle A\to A_{0}+\varepsilon A_{1}\qquad {\mathsf {for}}\qquad \varepsilon \to 0}$

يستخدم بعض المؤلفين رمز Big O للإشارة إلى رتبة الخطأ في الحل التقريبي:${\displaystyle \;A=A_{0}+\varepsilon A_{1}+{\mathcal {O}}{\bigl (}\ \varepsilon ^{2}\ {\bigr )}~.}$^{[ 2 ]}

إذا كانت متسلسلة القوى في${\displaystyle \ \varepsilon \ }$إذا تقاربت متسلسلة الاضطراب بنصف قطر تقارب غير صفري، تُسمى مسألة الاضطراب مسألة اضطراب منتظمة . ^{[ 1 ]} في مسائل الاضطراب المنتظمة، يقترب الحل التقاربي بسلاسة من الحل الدقيق. ^{[ 1 ]} مع ذلك، قد تتباعد متسلسلة الاضطراب أيضًا، ويمكن أن تظل المتسلسلة المقتطعة تقريبًا جيدًا للحل الحقيقي إذا اقتُطعت عند نقطة تكون فيها عناصرها في أدنى قيمة لها. تُسمى هذه متسلسلة تقاربية . إذا كانت متسلسلة الاضطراب متباعدة أو ليست متسلسلة قوى (على سبيل المثال، إذا كان التوسع التقاربي يتضمن قوى غير صحيحة).${\displaystyle \ \varepsilon ^{\left(1/2\right)}\ }$أو قوى سلبية${\displaystyle \ \varepsilon ^{-2}\ }$إذا كان ( ) تُسمى مسألة الاضطراب مسألة اضطراب منفردة . ^{[ 1 ]} وقد طُوّرت العديد من التقنيات الخاصة في نظرية الاضطراب لتحليل مسائل الاضطراب المنفردة. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

كان أول استخدام لما يسمى الآن بنظرية الاضطراب هو التعامل مع المشكلات الرياضية التي لا يمكن حلها في الميكانيكا السماوية : على سبيل المثال مدار القمر ، الذي يتحرك بشكل مختلف بشكل ملحوظ عن القطع الناقص الكبلري البسيط بسبب جاذبية الأرض والشمس المتنافسة . ^{[ 5 ]}

تبدأ طرق الاضطراب بصيغة مبسطة للمسألة الأصلية، وهي صيغة بسيطة بما يكفي لحلها بدقة. في علم الميكانيكا السماوية ، يكون هذا عادةً قطعًا ناقصًا كبلريًا . في ظل الجاذبية النيوتونية ، يكون القطع الناقص صحيحًا تمامًا عندما يكون هناك جسمان فقط يجذبان بعضهما (مثل الأرض والقمر ) ، ولكنه ليس صحيحًا تمامًا عندما يكون هناك ثلاثة أجسام أو أكثر (مثل الأرض والقمر والشمس وبقية المجموعة الشمسية ) ، كما أنه ليس صحيحًا تمامًا عندما يُصاغ التفاعل الجاذبي باستخدام صيغ من النسبية العامة .

مع الأخذ بالمثال السابق في الاعتبار، نتبع طريقة عامة للحصول على متسلسلة الاضطراب. يتم إنشاء توسيع الاضطراب بإضافة تصحيحات متتالية إلى المسألة المبسطة. تُحصل هذه التصحيحات بفرض التوافق بين الحل غير المضطرب والمعادلات التي تصف النظام بالكامل. اكتب${\displaystyle \ D\ }$بالنسبة لهذه المجموعة من المعادلات؛ أي، ليكن الرمز${\displaystyle \ D\ }$يمثل هذا الحرف المشكلة المراد حلها. في كثير من الأحيان، تكون هذه معادلات تفاضلية، ومن هنا جاء الحرف "D".

العملية آلية بشكل عام، وإن كانت شاقة. يبدأ المرء بكتابة المعادلات.${\displaystyle \ D\ }$بحيث تنقسم إلى جزأين: مجموعة من المعادلات${\displaystyle \ D_{0}\ }$والتي يمكن حلها بدقة، وبعض الأجزاء المتبقية الإضافية${\displaystyle \ \varepsilon D_{1}\ }$لبعض الصغار${\displaystyle \ \left|\;\!\varepsilon \;\!\right|\ll 1~.}$الحل${\displaystyle \ A_{0}\ }$(ل${\displaystyle \ D_{0}\ }$معروف، ويبحث المرء عن الحل العام${\displaystyle \ A\ }$ل${\displaystyle \ D=D_{0}+\varepsilon D_{1}~.}$

ثم التقريب${\displaystyle \ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\ }$يتم إدخالها في${\displaystyle \ \varepsilon D_{1}}$ينتج عن ذلك معادلة لـ${\displaystyle \ A_{1}\ ,}$والتي، في الحالة العامة، يمكن كتابتها بصيغة مغلقة كمجموع على التكاملات على${\displaystyle \ A_{0}~.}$وهكذا، تم الحصول على التصحيح من الدرجة الأولى${\displaystyle \ A_{1}\ }$وبالتالي${\displaystyle \ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\ }$يُعد تقريبًا جيدًا لـ${\displaystyle \ A~.}$إنه تقريب جيد، تحديدًا لأن الأجزاء التي تم تجاهلها كانت ذات حجم${\displaystyle \ \varepsilon ^{2}~.}$ويمكن بعد ذلك تكرار العملية للحصول على التصحيحات${\displaystyle \ A_{2}\ ,}$وهكذا دواليك.

عمليًا، تتفجّر هذه العملية بسرعة لتنتج عددًا هائلًا من الحدود، يصعب التعامل معها يدويًا. يُروى أن إسحاق نيوتن قال، بخصوص مشكلة مدار القمر: " إنها تُسبب لي صداعًا". ^{[ 6 ]} وقد أجبرت هذه الصعوبة نظرية الاضطراب على التطور إلى فنٍّ رفيع في إدارة وكتابة هذه الحدود ذات الرتب العليا. ومن أهم الإنجازات في ميكانيكا الكم للتحكم في هذا التوسع، مخططات فاينمان ، التي تسمح بتمثيل سلاسل اضطراب ميكانيكا الكم برسم تخطيطي.

استُخدمت نظرية الاضطراب في العديد من المجالات المختلفة في الفيزياء والرياضيات التطبيقية. ومن أمثلة "مجموعة المعادلات"${\displaystyle D}$وتشمل المعادلات الجبرية ، ^{[ 7 ]} المعادلات التفاضلية ^{[ 8 ]} (على سبيل المثال، معادلات الحركة ^{[ 9 ]} ومعادلات الموجة الشائعة )، والطاقة الحرة الديناميكية الحرارية في الميكانيكا الإحصائية ، ونقل الإشعاع، ^{[ 10 ]} ومؤثرات هاميلتون في ميكانيكا الكم .

تشمل أمثلة أنواع الحلول التي يتم العثور عليها بطريقة اضطرابية حل معادلة الحركة ( على سبيل المثال ، مسار الجسيم)، والمتوسط ​​الإحصائي لبعض الكميات الفيزيائية ( على سبيل المثال ، متوسط ​​المغنطة)، وطاقة الحالة الأرضية لمسألة ميكانيكية كمومية.

تشمل أمثلة المشكلات القابلة للحل بدقة والتي يمكن استخدامها كنقاط بداية المعادلات الخطية ، بما في ذلك المعادلات الخطية للحركة ( المذبذب التوافقي ، معادلة الموجة الخطية )، والأنظمة الإحصائية أو الكمومية للجسيمات غير المتفاعلة (أو بشكل عام، الهاميلتونيان أو الطاقات الحرة التي تحتوي فقط على حدود تربيعية في جميع درجات الحرية).

تشمل أمثلة الأنظمة التي يمكن حلها باستخدام الاضطرابات الأنظمة ذات المساهمات غير الخطية في معادلات الحركة، والتفاعلات بين الجسيمات، وحدود القوى العليا في الهاميلتوني / الطاقة الحرة.

بالنسبة للمشاكل الفيزيائية التي تنطوي على تفاعلات بين الجسيمات، يمكن عرض (ومعالجة) حدود سلسلة الاضطراب باستخدام مخططات فاينمان .

طُوِّرت نظرية الاضطراب في البداية لحلّ مسائل معقدة في حساب حركة الكواكب في النظام الشمسي. فعلى سبيل المثال، شرح قانون نيوتن للجاذبية الكونية الجاذبية بين جسمين فلكيين، ولكن عند إضافة جسم ثالث، برز التساؤل: "كيف يؤثر كل جسم على الآخر؟". ولا تُجدي معادلات كبلر المدارية نفعًا إلا في حلّ معادلات نيوتن للجاذبية عندما تقتصر الأخيرة على جسمين متفاعلين فقط. وقد أدّى التزايد التدريجي في دقة الرصد الفلكي إلى زيادة متطلبات دقة حلول معادلات نيوتن للجاذبية، ما دفع العديد من  علماء الرياضيات البارزين في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر، ولا سيما جوزيف لويس لاغرانج وبيير سيمون لابلاس ، إلى توسيع وتعميم أساليب نظرية الاضطراب.

تم اعتماد أساليب الاضطراب المتطورة هذه وتكييفها لحل المشكلات الجديدة التي ظهرت خلال تطور ميكانيكا الكم  في فيزياء الذرة ودون الذرة في القرن العشرين . طور بول ديراك نظرية الاضطراب الكمي عام 1927 لتقييم وقت انبعاث الجسيمات في العناصر المشعة. عُرفت هذه النظرية لاحقًا باسم قاعدة فيرمي الذهبية . ^{[ 12 ] [ 13 ]} تُعد نظرية الاضطراب في ميكانيكا الكم سهلة الفهم نسبيًا، ويرجع ذلك أساسًا إلى أن ميكانيكا الكم تقتصر على معادلات الموجة الخطية، فضلًا عن أن الترميز الكمي يسمح بكتابة التعبيرات بصيغة مختصرة، مما يُسهل فهمها. وقد أدى ذلك إلى طفرة هائلة في التطبيقات، بدءًا من تأثير زيمان وصولًا إلى الانقسام فائق الدقة في ذرة الهيدروجين .

على الرغم من بساطة الترميز، إلا أن تطبيق نظرية الاضطراب على نظرية الحقل الكمومي قد يُصبح مُعقدًا. طوّر ريتشارد فاينمان مخططات فاينمان الشهيرة من خلال ملاحظة تكرار العديد من الحدود بشكل منتظم. يُمكن استبدال هذه الحدود بنقاط أو خطوط أو أشكال مُتعرجة أو علامات مُشابهة، يُمثل كل منها حدًا أو مقامًا أو تكاملًا، وهكذا؛ وبالتالي يُمكن كتابة التكاملات المُركبة على شكل مخططات بسيطة، دون أي لبس في معناها. إن التطابق التام بين المخططات والتكاملات المُحددة هو ما يمنحها قوتها. على الرغم من أنها طُوّرت في الأصل لنظرية الحقل الكمومي، إلا أن تقنية المخططات قابلة للتطبيق على نطاق واسع على العديد من المتسلسلات الاضطرابية الأخرى (وإن لم يكن ذلك مُجديًا دائمًا).

في النصف الثاني من القرن العشرين  ، ومع تطور نظرية الفوضى ، اتضح أن الأنظمة غير المضطربة هي عمومًا أنظمة قابلة للتكامل تمامًا ، بينما الأنظمة المضطربة ليست كذلك. وقد أدى هذا مباشرةً إلى دراسة "الأنظمة شبه القابلة للتكامل"، والتي يُعد سطح KAM الحلقي مثالًا نموذجيًا عليها. في الوقت نفسه، اكتُشف أيضًا أن العديد من الأنظمة غير الخطية (الخاصة نوعًا ما) ، والتي كان من الممكن سابقًا دراستها فقط من خلال نظرية الاضطراب، هي في الواقع قابلة للتكامل تمامًا. كان هذا الاكتشاف بالغ الأهمية، إذ سمح بإيجاد حلول دقيقة. وهذا بدوره ساعد في توضيح معنى متسلسلة الاضطراب، حيث أصبح بالإمكان الآن مقارنة نتائج المتسلسلة بالحلول الدقيقة.

ساهم الفهم المحسّن للأنظمة الديناميكية، الناجم عن نظرية الفوضى، في تسليط الضوء على ما يُعرف بمشكلة المقام الصغير أو مشكلة القاسم الصغير . في  القرن التاسع عشر، لاحظ بوانكاريه (كما لاحظ علماء رياضيات سابقون على الأرجح) أن الحدود من الرتبة الثانية وما فوقها في متسلسلة الاضطراب قد يكون لها أحيانًا "مقامات صغيرة": أي أنها تأخذ الشكل العام التالي:${\displaystyle \ {\frac {\ \psi _{n}V\phi _{m}\ }{\ (\omega _{n}-\omega _{m})\ }}\ }$أين${\displaystyle \ \psi _{n}\ ,}$${\displaystyle \ V\ ,}$و${\displaystyle \ \phi _{m}\ }$هناك بعض التعبيرات المعقدة ذات الصلة بالمشكلة المراد حلها، و${\displaystyle \ \أوميغا _{n}\ }$و${\displaystyle \ \أوميغا _{م}\ }$هي أعداد حقيقية؛ وغالبًا ما تكون طاقة الأنماط الطبيعية . وتنشأ مشكلة القاسم الصغير عندما يكون الفرق${\displaystyle \ \omega _{n}-\omega _{m}\ }$صغير، مما يؤدي إلى " تضخم " التصحيح الاضطرابي، ليصبح مساويًا أو ربما أكبر من الحد ذي الرتبة الصفرية. تشير هذه الحالة إلى انهيار نظرية الاضطراب: فهي تتوقف عن العمل عند هذه النقطة، ولا يمكن توسيعها أو جمعها أكثر. من الناحية النظرية، تُعد متسلسلة الاضطراب متسلسلة تقاربية : تقريب مفيد لعدد قليل من الحدود، لكنها تصبح أقل دقة عند إضافة المزيد من الحدود. كان الاختراق الذي حققته نظرية الفوضى هو تفسير سبب حدوث ذلك: تظهر القواسم الصغيرة كلما طُبقت نظرية الاضطراب على نظام فوضوي. يشير أحدهما إلى وجود الآخر.

يُقدَّم العرض القياسي لنظرية الاضطراب من حيث رتبة الاضطراب المُطبَّق: نظرية الاضطراب من الرتبة الأولى أو نظرية الاضطراب من الرتبة الثانية، وما إذا كانت الحالات المضطربة متحللة، الأمر الذي يتطلب اضطرابًا شاذًا . في الحالة الشاذة، يجب توخي مزيد من الحذر، وتكون النظرية أكثر تفصيلًا بعض الشيء.

• فان دن إيجندن، إريك . "مقدمة في نظرية الاضطراب المنتظم" (ملف PDF) . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 20-09-2004.
• تشاو، كارسون سي. (23 أكتوبر 2007). "طريقة الاضطراب للمقاييس المتعددة" . سكولاربيديا . 2 (10): 1617. doi : 10.4249/scholarpedia.1617 .
• نهج بديل لنظرية الاضطراب الكمومي. مارتينيز-كارانزا، ج.؛ سوتو-إيغيبار، ف.؛ مويا-سيسا، هـ. (2012). "تحليل بديل لنظرية الاضطراب في ميكانيكا الكم". المجلة الأوروبية للفيزياء D. 66 ( 1): 22. arXiv : 1110.0723 . Bibcode : 2012EPJD...66...22M . doi : 10.1140/epjd/e2011-20654-5 . S2CID 117362666 .