طيف الحلقة

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 265 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، وتحديدًا في الجبر التبادلي والهندسة الجبرية ، الطيف الأولي (أو ببساطة الطيف ) لحلقة تبادليةR{\displaystyle R}هي مجموعة جميع المُثُل الأولية لـR،{\displaystyle R,}مُجهَّز بطوبولوجيا تُسمى طوبولوجيا زاريسكي . طيف الحلقة التبديلية مُزوَّدٌ بطبيعته بحزمة من الحلقات التبديلية، تُسمى حزمة البنية ، مما يجعلها فضاءً حلقيًا ؛ أي أن الحلقات التبديلية مُرتبطة بكل نقطة وكل مجموعة مفتوحة، والتي تُحقق بعض شروط التوافق. [ 1 ] تُسمى البنية المُشكَّلة من طيف الحلقة التبديلية والفضاء الحلقي المُرتبط بها مخططًا أفينيًا . طيف الحلقةR{\displaystyle R}ويرمز إلى كل من المخطط الأفيني المرتبط به بـالمواصفات⁡R{\displaystyle \operatorname {Spec} {R}}أو​المواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}[ 2 ]​​

تُعدّ المخططات الأفينية أداةً أساسيةً في الهندسة الجبرية الحديثة ، وتحديدًا في نظرية المخططات . في الواقع، تُبنى المخططات عن طريق "لصق" المخططات الأفينية معًا، بطريقةٍ تُشبه إلى حدٍ كبيرٍ بناءَ المتشعبات عن طريق لصق المجموعات الجزئية المفتوحة من الفضاء الإقليدي المُجهّز بحلقة الدوال المتصلة فوقها. وتأتي صفة "أفيني" في عبارة "مخطط أفيني" من حقيقة أنه يُمكن تعريف التنوع الجبري الأفيني بالمخطط الأفيني المبني على حلقة الدوال المنتظمة الخاصة به .

الدافع التاريخي

طُرح مفهوم طيف الحلقة تحت هذا الاسم من قِبل ألكسندر غروتينديك ، جامعًا بين عدة مسارات تاريخية متوازية. أحدها، الذي يُبرر استخدام كلمة "طيف"، ينبع من الجبر الخطي والتحليل الوظيفي الأكثر عمومية ، حيث يُستخدم الطيف للدلالة على القيم الذاتية للتحويل الخطي. أما المسار الآخر، فيأتي من الجبر التبادلي ، حيث استُخدم فضاء طوبولوجي (طوبولوجيا زاريسكي) لوصف بنية المُثُل الأولية. وكان التركيب النهائي هو إضافة حزمة البنية ، التي تُشفّر المعلومات الهندسية المحلية بالقرب من كل مُثُل أولية.

الدافع الأول يأتي من الجبر الخطي. التشكل الداخلي ⁠تي{\displaystyle T}من فضاء متجهي معقد محدود الأبعادV{\displaystyle V}يُنشئ الحلقة الفرعيةج[تي]{\displaystyle \mathbb {C} [T]}من حلقة التشكلات الداخلية لـV{\displaystyle V}هذه الحلقة تبديلية، ويوجد تشاكل حلقي قانوني شامل .ج[x]→ج[تي]{\displaystyle \mathbb {C} [x]\to \mathbb {C} [T]}تلك الخرائط​x{\displaystyle x}إلى​​تي{\displaystyle T}، حيث​ج[x]{\displaystyle \mathbb {C} [x]}هي حلقة كثيرات الحدود أحادية المتغير. نواة هذا التشاكل هي المثالي الرئيسي المتولد بواسطة كثير الحدود الأدنىمتي(x){\displaystyle m_{T}(x)}لتي.{\displaystyle T.}متعددة الحدودمتي(x){\displaystyle m_{T}(x)}تحليل العوامل إلى عوامل أولية من الشكل(x-λأنا){\displaystyle (x-\lambda _{i})}حيثλأنا{\displaystyle \lambda _{i}}هي القيم الذاتية لـتي.{\displaystyle T.}وهذا يُرسي علاقة تقابلية بين القيم الذاتية لـ ⁠تي{\displaystyle T}والمُثُل العليا لـج[تي].{\displaystyle \mathbb {C} [T].}وهذا يسمح بتحديد طيف التشكل الداخلي مع طيف حلقة معينة.

أحد العناصر المفقودة في مفهوم الطيف هو أنه لا يميز بين تعدد القيم الذاتية المختلفة. وبالتالي، فإن تعريف طيف الحلقة لا يشمل فقط المجموعة المجردة من المُثُل الأولية، بل يشمل أيضًا المعلومات البنيوية التي تحملها الحلقة .ج[تي]{\displaystyle \mathbb {C} [T]}، مما يسمح بتحديد التعددية (وأنواع أخرى من الخصائص الهندسية). على سبيل المثال، المؤثر الصفري غير الصفري له الصفر فقط كقيمة ذاتية، ومتعدد الحدود الأدنىمتي(x)=xك{\displaystyle m_{T}(x)=x^{k}}أينك>1{\displaystyle k>1}لكن الطيف كمجموعة نقاط هو العنصر الوحيد{(x)}{\displaystyle \{(x)\}}، المثالي الأولي الذي يحتويx{\displaystyle x}بغض النظر عن درجة انعدام القوةك{\displaystyle k}.

وبالتالي، يتضمن المفهوم الحديث للطيف حزمة هيكلية، تتكون من وصف للوظائف التي تقع فوق كل من المُثُل الأولية. في حالةج[x]/(xك){\displaystyle \mathbb {C} [x]/(x^{k})}، مجموعة النقاط للطيف هي المجموعة المفردة{(x)}،{\displaystyle \{(x)\},}لكن درجة انعدام القوة مشفرة بواسطة ساق حزمة البنية عند هذه النقطة،يا(x)=ج[x]/(xك){\displaystyle {\mathcal {O}}_{(x)}=\mathbb {C} [x]/(x^{k})}.

كان مفهوم الطيف في الجبر الخطي هذا مستخدمًا على نطاق واسع في موضوع نظرية الطيف الأوسع. في جبر باناخ المركب الموحدأ{\displaystyle A}، يتم توسيع الفكرة من خلال تحديد طيف عنصر ماأ{\displaystyle a}أن تكون مجموعة الأعداد المركبةλ{\displaystyle \lambda }بحيث​​أ-λ1{\displaystyle a-\lambda 1}ليست قابلة للعكس. في الحالة التبادلية، جعلت نظرية إسرائيل جيلفاند للحلقات المعيارية وجبر باناخ فضاء المُثُل القصوى، أو ما يُكافئها من الدوال الخطية الضربية، موضوعًا مركزيًا للدراسة. [ 3 ]

يُشتق الطيف الأولي لحلقة تبديلية بشكل منفصل في الجبر التبديلي والهندسة الجبرية . بالنسبة لمتنوعة جبرية أفينية على حقل مغلق جبريًا، تُعرّف نظرية نولستيلنساتز النقاط العادية بالمثاليّات القصوى في حلقة إحداثياتها. وبشكل أعم، تتوافق المتنوعات الفرعية غير القابلة للاختزال مع المثاليّات الأولية. وبالتالي، فإن الانتقال من المثاليّات القصوى إلى جميع المثاليّات الأولية يُعادل إلحاق نقطة عامة لكل متنوعة فرعية غير قابلة للاختزال. [ 4 ]

استبقت أعمال فولفغانغ كرول استخدام النقاط الهندسية لوصف المُثُل الأولية. وكانت ورقته البحثية التي نشرها عام ١٩٢٨ حول سلاسل المُثُل الأولية جزءًا من تطوير نظرية الأبعاد في الحلقات العامة. [ ٥ ] وظهر استخدام طوبولوجي مشابه للمُثُل الأولية في أعمال مارشال ستون حول الجبر البولياني والشبكات التوزيعية: إذ قدّم ستون طوبولوجيا للمُثُل الأولية في الشبكة التوزيعية، مُنتجًا ما يُعرف الآن بطيف الشبكة، ومؤديًا إلى مفهوم الفضاء الطيفي . [ ٦ ]

البناء الحديث لـالمواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}تم تقديم مفهوم الفضاء الحلقي المحلي بشكل منهجي من قبل ألكسندر غروتينديك في نظرية المخططات. وبهذا الشكل، لا يقتصر الطيف على كونه فضاءً طوبولوجيًا للمثاليّات الأولية فحسب، بل إنه مزود بحزمة هيكلية، مما يسمح بربط المخططات الأفينية لتشكيل مخططات عامة. [ 7 ]

طوبولوجيا زاريسكي

كمجموعة، الطيفالمواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}مجموعة المُثُل الأولية للحلقة التبديلية هي ⁠R{\displaystyle R}. يتم تحويله إلى فضاء طوبولوجي ، مع كل مثالي أوليص∈المواصفات⁡(R){\displaystyle {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)}باعتبارها نقطة في هذا الفضاء، من خلال تزويدها بطوبولوجيا زاريسكي ، وهي الطوبولوجيا التي تكون فيها المجموعة المغلقة هي مجموعة جميع المُثُل الأولية التي تحتوي على مجموعة جزئية معينة منR{\displaystyle R}بمعنى آخر ، لكل مجموعة جزئيةS{\displaystyle S}من​​R{\displaystyle R}، دعVS={ص∈المواصفات⁡(R):ص⊇S}.{\displaystyle V_{S}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R):{\mathfrak {p}}\supseteq S\}.}مجموعة الكلVS{\displaystyle V_{S}}تشكل المجموعات المغلقة لطوبولوجيا زاريسكي علىالمواصفات⁡(R).{\displaystyle \operatorname {Spec} (R).}نحصل على نفس المجموعات المغلقة تمامًا إذا قصرنا التعريف على المجموعات الجزئية .أنا{\displaystyle I}التي هي مُثُل ، لأنVأنا=VS{\displaystyle V_{I}=V_{S}}إذا​​أنا=(S){\displaystyle I=(S)}، المثال الذي تولدهS{\displaystyle S}في الواقع ، لا يلزم النظر إلا في المُثُل الراديكالية، كماVأنا=Vأنا{\displaystyle V_{I}=V_{\sqrt {I}}}لأي مثاليأنا{\displaystyle I}وتطرفها​أنا.{\displaystyle {\sqrt {I}}.}

بالنظر إلى مجموعة مغلقةV⊆Sصهـج(R){\displaystyle V\subseteq \mathrm {Spec} (R)}، المثاليج=⋂ص∈Vص{\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\in V}{\mathfrak {p}}}هو مثال جذري بحيثVج=V{\displaystyle V_{J}=V}يُرسّخ هذا تطابقًا تامًا بين المجموعات المغلقة والمُثُل الجذرية. وهذا يُقابل، في الهندسة الجبرية ، التطابق بين مجموعة جبرية ومجموعة جميع المعادلات متعددة الحدود التي تُحققها (انظر نظرية هيلبرت للأصفار لمزيد من التفاصيل) .

من بين المجموعات المفتوحة، أي المجموعات التي على شكلالمواصفات⁡(R)∖Vأنا،{\displaystyle \operatorname {Spec} (R)\setminus V_{I},}بعضها ذو أهمية خاصة: تلك التي على شكلدو=Sصهـج(R)∖V(و)={ص∈Sصهـج(R):و∉ص}،{\displaystyle D_{f}=\mathrm {Spec} (R)\setminus V_{(f)}=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (R):f\not \in {\mathfrak {p}}\},}لهذا السبب.أنا{\displaystyle I}يُعتبر مثالاً رئيسياً ناتجاً عن شيء ماو∈R؛{\displaystyle f\in R;}تُسمى أحيانًا بالمجموعات المفتوحة المتميزة [ 8 ] أو المجموعات المفتوحة الرئيسية . [ 9 ] لطالما كان المرءدو∩دز=دوز.{\displaystyle D_{f}\cap D_{g}=D_{fg}.}بما أن كل مجموعة مفتوحة تكون على الشكليو=Sصهـج(R)∖Vأنا=⋃و∈أنادو،{\textstyle U=\mathrm {Spec} (R)\setminus V_{I}=\bigcup _{f\in I}D_{f},}تشكل المجموعات المفتوحة الرئيسية أساسًا لطوبولوجيا زاريسكي. وبناءً على ذلك، لا ضرر عمومًا من الاقتصار على دراسة المجموعات المفتوحة من الشكل ⁠دو{\displaystyle D_{f}}أهمية​​دو{\displaystyle D_{f}}يكمن الأمر أساسًا في حقيقة أنه عندما يكون الشخص مثاليًاأنا{\displaystyle I}ليس رئيسيًا ، المجموعةالمفتوحةالمواصفات⁡(R)∖Vأنا{\displaystyle \operatorname {Spec} (R)\setminus V_{I}}ليس من السهل تعريفها من حيث مولدات المثالي.

المواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}هو فضاء مضغوط ، ولكنه نادرًا ما يكون هاوسدورف : [ أ ] في الواقع، المُثُل القصوى فيR{\displaystyle R}وهي تحديداً النقاط المغلقة في هذه الطوبولوجيا. وبناءً على نفس المنطق،المواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}ليس، بشكل عام، فضاءً من النوع T1 . [ 10 ] ومع ذلك،المواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}هو دائمًا فضاء كولموغوروف (يحقق بديهية T 0 )؛ وهو أيضًا فضاء طيفي .

مخططات أفين

بناء حزمة الهيكل

لكل حلقة تبديليةR{\displaystyle R}، الفضاء الطوبولوجيX=المواصفات⁡(R){\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}تتمتع ⁠ بشكل طبيعي بحزمة من الحلقات التبادلية، تسمى حزمة بنيتها ويرمز لها عادةً بـ ⁠ياX{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}وهذا يجعل​المواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}فضاء حلقي ، يُسمى مخططًا أفينيًا ويُرمز إليه أيضًا بـالمواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}⁠ .

حزمة من الحلقاتياX{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}على فضاء طوبولوجيX{\displaystyle X}يتكون من عائلة من الحلقاتياX(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}( صيغة بديلة:Γ(يو،ياX){\displaystyle \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}) مفهرسة بواسطة المجموعات المفتوحة ⁠يو{\displaystyle U}من​​X{\displaystyle X}لكل عنصر مُضافيو⊂V{\displaystyle U\subset V}بالنسبة للمجموعات المفتوحة، يوجدتماثل حلقي أساسي .ياX(V)→ياX(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(U)}. يجب أن تستوفي هذه التشاكلات الأساسية بعض شروط التوافق.

الشرط الأول للتوافق هو أن تتصرف التشاكلات القانونية كما هو متوقع فيما يتعلق بتكوين التضمينات. وهذا يعني أنه إذايو{\displaystyle {\mathcal {U}}}⁠ هي فئة المجموعات المفتوحة التي تتضمن عناصر كتشاكلات، ⁠ياX{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}⁠ هو عامل متعارض من ⁠يو{\displaystyle {\mathcal {U}}}إلى فئة الخواتم.

الشرط الثاني للتوافق هو أنياX(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}يمكن استعادتها بشكل فريد منياX(يوأنا){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{i})}إذا​​يو=⋃أنا∈جيوأنا{\displaystyle \textstyle U=\bigcup _{i\in C}U_{i}}⁠ هو غلاف مفتوح لـ ⁠يو{\displaystyle U}. من الناحية الفنية، يمكن التعبير عن ذلك على النحو التاليياX(يو)=ليم←أنا∈ج⁡يوأنا،{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\varprojlim _{i\in C}U_{i},}أين​ليم←{\displaystyle \varprojlim }يشير إلى النهاية العكسية .

في حالة المخطط الأفينيX=المواصفات⁡(R){\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}الخاتم​​ياX(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}يتم تعريف ⁠ أولاً للمجموعات المفتوحة الرئيسية من الشكل ⁠دو{\displaystyle D_{f}}⁠ كعملية توطينياX(دو)=Rو=S-1R،{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})=R_{f}=S^{-1}R,}أينS={1،و،و2،و3،...}{\displaystyle S=\{1,f,f^{2},f^{3},\dots \}}هي مجموعة القوى الصحيحة لـو{\displaystyle f}يلاحظ المرء أندز⊆دو⟺ز∈(و)،{\displaystyle D_{g}\subseteq D_{f}\iff g\in {\sqrt {(f)}},}لهذا السبب.زن=رو{\displaystyle g^{n}=rf}لبعض الأعداد الصحيحة الموجبةن{\displaystyle n}و​ر∈R{\displaystyle r\in R}و​​و{\displaystyle f}⁠ قابلة للعكس في ⁠Rز{\displaystyle R_{g}}وهذا يسمح بالتشاكل المتعارف عليه .ياX(دو)→ياX(دز){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})\to {\mathcal {O}}_{X}(D_{g})}يُعرَّف بأنه التوطينRو→Rز{\displaystyle R_{f}\to R_{g}}رسم الخرائطأ/وم↦أرم/زنم.{\displaystyle a/f^{m}\mapsto ar^{m}/g^{nm}.}

أما بالنسبة للمجموعات المفتوحة الأخرى ،ياX(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}يُعرَّف على النحو التالي:ياX(يو)=ليم←دو⊆يو⁡Rو،{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\textstyle \varprojlim _{D_{f}\subseteq U}R_{f},}وتُعرَّف تشاكلات الحلقات الأساسية وفقًا لذلك. هذه التعريفات، للمجموعات المفتوحة التي قد لا تكون مجموعات مفتوحة رئيسية، نادرًا ما تُستخدم عمليًا، باستثناء إثبات أن هذه التعريفات تُعرِّف فعليًا حزمة من الحلقات.

لمساحة محاطة بحلقة(X،ياX){\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}الساق عند نقطة​​x{\displaystyle x}هو الحد المباشرياX،x=ليم→x∈يو⁡ياX(يو)،{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\textstyle \varinjlim _{x\in U}{\mathcal {O}}_{X}(U),}أين​يو{\displaystyle U}يمر فوق المجموعات المفتوحة منX{\displaystyle X}يحتوي على​x{\displaystyle x}في حالة المخطط الأفينيX=المواصفات⁡(R){\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}الساق​ياX،ص{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,{\mathfrak {p}}}}عند نقطة ماص∈X{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in X}⁠ هي الحلقة المحلية ⁠Rص{\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}لذلك ، فإن المخطط الأفيني هو فضاء حلقي محليًا . تُسمى عناصر الساق بالجراثيم . جرثومةفيx{\displaystyle x}يجسد السلوك المحلي المتناهي الصغر لعنصر منياX(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}حوالي​x{\displaystyle x}⁠ .

أجزاء من حزمة الهيكل

عناصر ⁠ياX(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}تُعرف باسم أقسام حزمة الهيكل فوقيو{\displaystyle U}حلقة الأقسام​ياX(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}بالنسبة للمخطط الأفينيX{\displaystyle X}يمكن اعتبارها تعميمًا لحلقة الدوال المنتظمة على مجموعة جزئية مفتوحةتي⊆V{\displaystyle T\subseteq V}من نوع متقاربV⊆كشمال{\displaystyle V\subseteq k^{N}}(​ك=ك¯{\displaystyle k={\overline {k}}}حقل مغلق جبريًا)، ومقاطعs∈ياX(يو){\displaystyle s\in {\mathcal {O}}_{X}(U)}يمكن اعتبارها تعميمات للدوال المنتظمة؛ أي الدوالو:تي→ك{\displaystyle f:T\to k}بحيث يكون لكلص∈تي{\displaystyle p\in T}، هناك مجموعة فرعية مفتوحةدبليو⊆تي{\displaystyle W\subseteq T}يحتوي علىص{\displaystyle p}حتى​و(w)=ز(w)/ح(w){\displaystyle f(w)=g(w)/h(w)}بالنسبة للبعضز،ح∈ك[V]، ح(w)≠0،{\displaystyle g,h\in k[V],\ h(w)\neq 0,}للجميعw∈دبليو.{\displaystyle w\in W.} هنا،ك[V]{\displaystyle k[V]}هي حلقة الدوال متعددة الحدود علىV{\displaystyle V}، والمعروفة باسم حلقة إحداثياتها ؛ إذاأنا⁡(V){\displaystyle \operatorname {I} (V)}هو المثال الأمثل لجميع كثيرات الحدود التي تساوي صفرًا علىV{\displaystyle V}ثم​ك[V]=ك[x1،...،xشمال]/أنا⁡(V).{\displaystyle k[V]=k[x_{1},\dots ,x_{N}]/\operatorname {I} (V).}في الواقع، تشكل حلقات الدوال المنتظمة فوق المجموعات الفرعية المفتوحة من صنف أفيني حزمة منك{\displaystyle k}الجبر - الذي يُسمى حزمة البنية للتنوع. تُعمم حزمة البنية للمخططات الأفينية هذا البناء؛ لمزيد من التفاصيل، انظر التنوع الأفيني#حزمة البنية .

تُحدد حقيقتان أساسيتان من نظرية المتنوعات الأفينية ماهية حلقة المقاطع العامة لمخطط أفيني: 1) حلقة الدوال المنتظمة العامةو:V→ك{\displaystyle f:V\to k}من النوع المتقاربV{\displaystyle V}هو مجرد حلقة الإحداثياتك[V]؛{\displaystyle k[V];}2) تُثبت نظرية Nullstellensatz وجود تطابق تام بين نقاط التنوع الأفيني ⁠V{\displaystyle V}والمثاليات القصوى لحلقة إحداثياتها​ك[V]{\displaystyle k[V]}وبالتالي ، فإن حلقة الإحداثياتك[V]{\displaystyle k[V]}يُعطينا هذا جميع الوظائف العامة المسموح بها علىV{\displaystyle V}، في حين أن مجموعة مُثُلها القصوىماكس سبيك⁡(ك[V]){\displaystyle \operatorname {MaxSpec} (k[V])}يمكن تحديدها بـV{\displaystyle V}نفسها . من خلال النظر في الحلقات التبادلية العشوائية بدلاً من حلقات الإحداثيات فقط (أي المختزلة، والمولدة نهائياً).ك{\displaystyle k}(الجبر) وأخذ جميع المُثُل الأولية في حلقة، وليس فقط المُثُل القصوى، تُحفز هذه الحقائق تعريف حلقة المقاطع العالمية للمخطط الأفينيالمواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}أن تكون ببساطةR{\displaystyle R}⁠ :ياالمواصفات⁡(R)(المواصفات⁡(R))=R.{\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} (R)}(\operatorname {Spec} (R))=R.}

في الحالة العامة، أقسام حزمة هيكلية لمخطط أفينيX=المواصفات⁡(R){\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}لا يمكن اعتبارها "وظائف" حقيقية. ومع ذلك، من المفيد التفكير في عنصرو∈ياX(X)=R{\displaystyle f\in {\mathcal {O}}_{X}(X)=R}ككائن يتصرف بشكل مشابه لـ "دالة" علىX{\displaystyle X}من خلال تحديد قيمتها عندص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}في مجال الكسورالتكسير⁡(R/ص){\displaystyle \operatorname {Frac} (R/{\mathfrak {p}})}مثل

و(ص)=وتعديل⁡ص1.{\displaystyle f({\mathfrak {p}})={\frac {f\operatorname {mod} {\mathfrak {p}}}{1}}.}

في حالة خاصةR=ج[x]{\displaystyle R=\mathbb {C} [x]}مع الطيفالمواصفات⁡(R)={مأ:أ∈ج}∪{(0)}،{\displaystyle \operatorname {Spec} (R)=\{{\mathfrak {m}}_{a}:a\in \mathbb {C} \}\cup \{(0)\},}تقييمو∈R{\displaystyle f\in R}في الوضع المثالي الأقصىمأ=(x-أ){\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}=(x-a)}يتوافق هذا التعريف مع التقييم متعدد الحدود عند ⁠أ{\displaystyle a}،​​و↦و(أ){\displaystyle f\mapsto f(a)}، كما هو متوقع.

هذا التخصيص لقيمةو(ص){\displaystyle f({\mathfrak {p}})}يسمح لنا ذلك بإعادة صياغة تعريف المجموعة الفرعية المفتوحة الرئيسية لـX{\displaystyle X}كما​

دو={ص∈المواصفات⁡(R):و(ص)≠0}،{\displaystyle D_{f}=\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R):f({\mathfrak {p}})\neq 0\},}

وهو ما يشبه الآن بشكل واضح تعريف المجموعة الفرعية المفتوحة الرئيسية لمجموعة متنوعة أفينية .V{\displaystyle V}⁠ :دV،و={x∈V:و(x)≠0}.{\displaystyle D_{V,f}=\{x\in V:f(x)\neq 0\}.}حلقة الدوال المنتظمة علىدV،و{\displaystyle D_{V,f}}يكونك[V]و،{\displaystyle k[V]_{f},}تحديد موقع ⁠​ك[V]{\displaystyle k[V]}في​{1،و،و2،...}.{\displaystyle \{1,f,f^{2},\ldots \}.}وبالمثل، عناصر الشكلأ/ون (أ∈R){\displaystyle a/f^{n}\ (a\in R)}فيRو{\displaystyle R_{f}}يمكن اعتبارها "وظائف" مسموح بها علىدو،{\displaystyle D_{f},}تحفيز المهمةياX(دو)=Rو{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})=R_{f}}كنقطة انطلاق للتعريف المجرد لحزمة البنية للمخططات الأفينية الواردة في القسم الفرعي السابق.

قيمو(ص){\displaystyle f({\mathfrak {p}})}قد يكون ذلك في مجالات مختلفةالتكسير⁡(R/ص){\displaystyle \operatorname {Frac} (R/{\mathfrak {p}})}تختلف هذه النقاط باختلاف النقطةص.{\displaystyle {\mathfrak {p}}.}علاوة على ذلك، قيمة غير صفريةو∈R{\displaystyle f\in R}قد تكون قيمتها صفرًا في كلص∈X؛{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in X;}وبشكل عام ،و{\displaystyle f}لا يتم تحديدها بقيمها. وبالتالي،و∈R{\displaystyle f\in R}(وبشكل أعم، أقسام)s∈ياX(يو){\displaystyle s\in {\mathcal {O}}_{X}(U)}لا يمكن تفسير ) على أنها "دوال" حقيقية، إلا في حالات خاصة. بدلاً من ذلك، عناصر ⁠ياX(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}يمكن تعريفها على أنها مجموعات معينة مسموح بها من الكائنات، تتصرف مثل "أجزاء من الدوال"، والتي تجسد السلوك المحلي للقسم حول كل نقطة. على وجه التحديد، قسم منياX(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}ستكون مجموعة من الجراثيم المتوافقة محليًا ، تتكون من جرثومةsص∈Rص{\displaystyle s_{\mathfrak {p}}\in R_{\mathfrak {p}}}لكلص∈يو{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U}هنا، تعني عبارة "متوافق محليًا " أنه حول كلص∈يو،{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U,}بذور قسمs∈ياX(يو){\displaystyle s\in {\mathcal {O}}_{X}(U)}تتطابق مع جميع جراثيم قسم محلي ماتα∈Rوα{\displaystyle t_{\alpha }\in R_{f_{\alpha }}}على مجموعة فرعية مفتوحة رئيسيةدوα{\displaystyle D_{f_{\alpha }}}وارد فييو{\displaystyle U}ويحتوي علىص.{\displaystyle {\mathfrak {p}}.}لإنشاء مقطع(sص)ص∈يو،{\displaystyle (s_{\mathfrak {p}})_{{\mathfrak {p}}\in U},}المجموعات الفرعية المفتوحة الرئيسية{دوα}{\displaystyle \{D_{f_{\alpha }}\}}والأقسام المحلية{تα}{\displaystyle \{t_{\alpha }\}}يتم اختيارها بحيثدوα{\displaystyle D_{f_{\alpha }}}غطاءيو{\displaystyle U}وتα{\displaystyle t_{\alpha }}تحفيز اختيار واحد متسق للجراثيمsص{\displaystyle s_{\mathfrak {p}}}في كلص∈يو.{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U.}بشكل رسمي، ضع

ياX(يو)={s=(sص)ص∈يو∈∏ص∈يوRص   |   ∀ص∈يو، ∃((دوα∋ص)⊆يو أند تα∈Rوα)s.ت.   ∀q∈دوα، sq=(تα)q}،{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {O}}_{X}(U)={\Big \{}s=(s_{\mathfrak {p}})_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}\ \ \ {\Big |}\ \ \ &\forall {\mathfrak {p}}\in U,\ \exists {\big (}(D_{f_{\alpha }}\!\!\ni {\mathfrak {p}})\subseteq U\ \;\mathrm {and} \ \;t_{\alpha }\!\in R_{f_{\alpha }}{\big )}\\&\mathrm {s.t.} \ \ \ \forall {\mathfrak {q}}\in D_{f_{\alpha }},\ s_{\mathfrak {q}}=(t_{\alpha })_{\mathfrak {q}}{\Big \}},\end{aligned}}}

أين(تα)q∈Rq{\displaystyle (t_{\alpha })_{\mathfrak {q}}\in R_{\mathfrak {q}}}هي صورةتα{\displaystyle t_{\alpha }}تحت الخريطة الطبيعيةRوα→Rq.{\displaystyle R_{f_{\alpha }}\to R_{\mathfrak {q}}.}يمكن إثبات أن هذا التعريف يعطيياX(دو)≅Rو،{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{f})\cong R_{f},}بما يتفق مع التصميم السابق. إذايو′⊆يو{\displaystyle U'\subseteq U}، التشاكل المتعارف عليهياX(يو)→ياX(يو′){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(U')}يُعطى ببساطة بواسطةs↦s|يو′{\displaystyle s\mapsto s|_{U'}}أين(s|يو′)ص=sص{\displaystyle (s|_{U'})_{\mathfrak {p}}=s_{\mathfrak {p}}}للجميعص∈يو′.{\displaystyle {\mathfrak {p}}\in U'.}

القيمةs(ص){\displaystyle s({\mathfrak {p}})}يُعرَّف بأنه صورةsص{\displaystyle s_{\mathfrak {p}}}تحت الخريطة الطبيعيةRص→Rص/مص،{\displaystyle R_{\mathfrak {p}}\to R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {m}}_{\mathfrak {p}},}أينمص=صRص{\displaystyle {\mathfrak {m}}_{\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}هو المثال الأعظمي للحلقة المحليةRص.{\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}

لوR{\displaystyle R}هو مجال تكاملي ، مع حقل من الكسورك=التكسير⁡(R)،{\displaystyle K=\operatorname {Frac} (R),}عندها يمكننا وصف الحلقةياX(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}وبشكل أكثر تحديدًا كما يلي. نقول إن عنصرًا ماو{\displaystyle f}فيك{\displaystyle K}يكون منتظماً عند نقطة معينةص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}فيX=المواصفات⁡R{\displaystyle X=\operatorname {Spec} {R}}إذا أمكن تمثيلها ككسرو=أ/ب{\displaystyle f=a/b}معب∉ص.{\displaystyle b\notin {\mathfrak {p}}.} لاحظ أن هذا يتوافق مع مفهوم الدالة المنتظمة في الهندسة الجبرية. باستخدام هذا التعريف، يمكننا وصف ⁠ياX(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}باعتبارها مجموعة عناصرك{\displaystyle K}التي تكون منتظمة في كل نقطةص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}فييو،{\displaystyle U,}أو، بشكل أكثر وضوحاً،

ياX(يو)={أ/ب∈ك | ∀ص∈يو، ب∉ص}.{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\{a/b\in K\ |\ \forall {\mathfrak {p}}\in U,\ b\notin {\mathfrak {p}}\}.}

هذا يعادل وصف ⁠ياX(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}باعتبارها تقاطع حلقات محلية⋂ص∈يوRص{\textstyle \bigcap _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{\mathfrak {p}}}مع كل حلقة محليةRص{\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}مضمن فيك{\displaystyle K}⁠ .

التكافؤ الفئوي بين الحلقات والمخططات الأفينية

تشكل المخططات الأفينية فئةً تكون فيها التشكلات تشكلات للفضاءات الحلقية . في هذا السياق ،المواصفات{\displaystyle \operatorname {Spec} }⁠ دالة متغايرة من فئة الحلقات التبديلية إلى فئة المخططات الأفينية. وعلى العكس، إذا أُعطي مخطط أفيني، فيمكن استعادة الحلقة المُعرِّفة على النحو التالي: ⁠ياX(X){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(X)}⁠ . هذا يُعرّف دالة في الاتجاه المعاكس، وهاتان الدالتان تجعلان الفئتين متكافئتين بشكل مزدوج .

مورفولوجيات المخططات الأفينية

تشاكل الفضاءات الحلقية منو:(X،ياX)→(Y،ياY){\displaystyle f:(X,{\mathcal {O}}_{X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y})}يتم تشكيلها بواسطة دالة متصلةو{\displaystyle f}من​​X{\displaystyle X}إلى​​Y{\displaystyle Y}، ولكل مجموعة جزئية مفتوحةV{\displaystyle V}من​​Y{\displaystyle Y}، تماثل حلقيياY(V)→ياX(و-1(يو)){\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))}علاوة على ذلك ، يجب أن تتبادل هذه التشاكلات مع التشاكلات المحددة بواسطة تضمين المجموعات المفتوحة.

لصنع​المواصفات{\displaystyle \operatorname {Spec} }الدالة ، يجب تعريفها على تماثلات الحلقة.

لذا، دعوناو:R→S{\displaystyle f:R\to S}ليكن ⁠ تشاكلاً بين حلقتين تبديليتين، ولنرمز لهما على التوالي بـ ⁠X=المواصفات⁡(R){\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}و​​Y=المواصفات⁡(S){\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (S)}الفضاءات الطوبولوجية المرتبطة بها. وبما أن نقاط هذه الفضاءات هي مثاليات أولية، فيمكن تعريف تطبيق ⁠و*:Y→X{\displaystyle f^{*}:Y\to X}بواسطة ​​و*(q)=و-1(q){\displaystyle f^{*}({\mathfrak {q}})=f^{-1}({\mathfrak {q}})}لكل مثال أوليq{\displaystyle {\mathfrak {q}}}من​​S{\displaystyle S}بما أن الصورة العكسية لمثالي أولي بواسطة تشاكل حلقي هي دائمًا مثالي أولي، فإن هذا التطبيق متصل: لإثبات ذلك، يجب إثبات أن الصورة العكسية لمجموعة جزئية مغلقةV(أنا){\displaystyle V(I)}من​​X{\displaystyle X}( حيث​أنا{\displaystyle I}⁠ هو أي مثال لـ ⁠R{\displaystyle R}) هي المجموعة المغلقةV(و(أنا)){\displaystyle V(f(I))}( ينتج هذا مباشرةً عن رتابة الدوال بالنسبة لاحتواء المجموعة). ومن النتائج المهمة لهذه الحقيقة أنالمواصفات⁡(Rت){\displaystyle \operatorname {Spec} (R_{t})}متماثلة شكليًا مع المجموعة المفتوحة الرئيسيةدت{\displaystyle D_{t}}وهذا دافع آخر لتحديدياX(دت){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D_{t})}أن يكونRت{\displaystyle R_{t}}⁠ .

لكي يكون لدينا تشاكل للفضاءات الحلقية، يجب تعريف لكل مجموعة جزئية مفتوحةيو{\displaystyle U}من​​X{\displaystyle X}⁠ تماثل حلقي ⁠ياX(يو)→ياY(و*-1(يو)){\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)\to {\mathcal {O}}_{Y}(f^{*-1}(U))}في الواقع ، يكفي تعريف هذا التشاكل على المجموعات المفتوحة الرئيسية، عندمايو=دت{\displaystyle U=D_{t}}في هذه الحالة، يكون هذا التشاكل هو التشاكل الحلقي المتعارف عليه .Rت→Sو(ت){\displaystyle R_{t}\to S_{f(t)}}. من السهل، وإن كان مطولاً نوعاً ما، التحقق من جميع شروط التوافق المطلوبة لتشكل الفضاءات الحلقية.

أصناف جبرية أفينية

تُقدّم المتنوعات الجبرية الأفينية أمثلةً تأسيسيةً للمخططات الأفينية، إذ قدّم ألكسندر غروتينديك نظرية المخططات لتوفير إطارٍ لإعادة صياغة وحلّ المشكلات التي عالجتها النظرية الكلاسيكية للمتنوعات بشكلٍ سيئ أو غير أنيق، وذلك بوضوحٍ ودقة. ومن بين القضايا التي تمّ تناولها: التعامل مع التعددية ، وتطوير منهجٍ لا يعتمد على الإحداثيات، ودراسة النقاط العقلانية على حقلٍ غير مغلقٍ جبريًا، وإنشاء إطارٍ موحّدٍ للمتنوعات الجبرية الأفينية والإسقاطية والمجردة.

مجموعة جبرية أفينية ⁠V{\displaystyle V}في مجال الأعداد المركبةج{\displaystyle \mathbb {C} }⁠ هي مجموعة الأصفار المشتركة في ⁠جن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}مجموعة من كثيرات الحدود فين{\displaystyle n}غير المحددات، أي كثيرات الحدود فيج[x1،...،xن]{\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}[ ب ] تبقى مجموعة الأصفار المشتركة كما هي إذا تم استبدالكثيرات الحدود بالمثالي .أنا{\displaystyle I}⁠ يُولِّدون . حلقة القسمة ⁠R=ج[x1،...،xن]/أنا{\displaystyle R=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]/I}، والتي تسمى حلقة الدوال المنتظمة علىV{\displaystyle V}، متماثلة مع حلقة الدوال متعددة الحدود ذات القيم فيج{\displaystyle \mathbb {C} }، معرفة حتى المساواة علىج{\displaystyle \mathbb {C} }في الواقع ،تُثبت نظرية هيلبرت الصفرية وجود تماثل طوبولوجي لطوبولوجيا زاريسكي بين نقاطV{\displaystyle V}والمُثُل العليا لـR{\displaystyle R}أي النقاط المغلقة لـالمواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}إذن ، نقاطV{\displaystyle V}يمكن تحديدها مع المثل العليا لـR{\displaystyle R}، وتتكون الدالة المنتظمة من تقييم عنصر من ⁠R{\displaystyle R}على النقاط المغلقة للطيف.

باختصار، يمكن ترجمة كل عبارة تتعلق بالمجموعات الجبرية الأفينية والمتنوعات الجبرية الأفينية إلى لغة المخططات الأفينية. وهذا له مزايا عديدة، ولا سيما:

  • لا حاجة لافتراض أن الحقل الأساسي مغلق جبريًا، ولا حتى لافتراض وجود حقل أرضي (عند التعامل مع ⁠المواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}، ليس هناك حاجة للافتراض أنR{\displaystyle R}يحتوي على حقل.
  • لا داعي للافتراض أنR{\displaystyle R}⁠ هو مجال تكاملي، كما هو الحال عادةً في الهندسة الجبرية الكلاسيكية. على وجه الخصوص، فإن تقاطع صنفين أفينيين ليس، بشكل عام، صنفًا؛ بل هو مجموعة جبرية ذات تعددات . على سبيل المثال، تقاطع الدائرة ⁠x2+y2-1=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}والخط​​x=1{\displaystyle x=1}هو​​المواصفات⁡([x،y]/⟨y2⟩){\displaystyle \operatorname {Spec} ([x,y]/\langle y^{2}\rangle )}، ويتم ترميز التقاطع في المخطط الأفيني، بينما لا يتم ترميزه في التعريف النظري للمجموعات الجبرية.

الدافع من الهندسة الجبرية

استكمالاً للمثال، في الهندسة الجبرية، يدرس المرء المجموعات الجبرية ، أي المجموعات الجزئية منكن{\displaystyle K^{n}}(أينك{\displaystyle K}( هو حقل مغلق جبريًا ) تُعرَّف على أنها الأصفار المشتركة لمجموعة من كثيرات الحدود فين{\displaystyle n}المتغيرات. إذاأ{\displaystyle A}إذا كانت هذه مجموعة جبرية، فسيتم النظر في الحلقة التبديليةR{\displaystyle R}من جميع الدوال متعددة الحدودأ→ك{\displaystyle A\to K}المثل العليا لـR{\displaystyle R}تتوافق مع نقاطأ{\displaystyle A}(لأنك{\displaystyle K}(مغلقة جبريًا)، والمُثُل الأولية لـR{\displaystyle R}تتوافق مع الأنواع الفرعية غير القابلة للاختزال منأ{\displaystyle A}(تسمى المجموعة الجبرية غير قابلة للاختزال إذا لم يكن من الممكن كتابتها كاتحاد مجموعتين جزئيتين جبريتين مناسبتين).

طيفR{\displaystyle R}وبالتالي تتكون من نقاطأ{\displaystyle A}بالإضافة إلى عناصر لجميع الأنواع الفرعية غير القابلة للاختزال منأ{\displaystyle A}نقاطأ{\displaystyle A}تكون العناصر مغلقة في الطيف، بينما يكون للعناصر المقابلة للأصناف الفرعية إغلاق يتكون من جميع نقاطها وأصنافها الفرعية. إذا نظرنا فقط إلى نقاطأ{\displaystyle A}أي المثل العليا فيR{\displaystyle R}إذاً، فإن طوبولوجيا زاريسكي المعرّفة أعلاه تتطابق مع طوبولوجيا زاريسكي المعرّفة على المجموعات الجبرية (والتي تحتوي تحديداً على المجموعات الجبرية كمجموعات مغلقة). وبالتحديد، فإن المُثُل القصوى فيR{\displaystyle R}، أيماكس سبيك⁡(R){\displaystyle \operatorname {MaxSpec} (R)}، بالإضافة إلى طوبولوجيا زاريسكي، متماثلة شكليًا معأ{\displaystyle A}وكذلك مع طوبولوجيا زاريسكي.

وبالتالي يمكن للمرء أن ينظر إلى الفضاء الطوبولوجيالمواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}باعتبارها "إثراءً" للفضاء الطوبولوجيأ{\displaystyle A}(مع طوبولوجيا زاريسكي): لكل مجموعة فرعية غير قابلة للاختزال منأ{\displaystyle A}تم إدخال نقطة إضافية غير مغلقة ، وتتولى هذه النقطة "تتبع" الصنف الفرعي غير القابل للاختزال المقابل. ويمكن اعتبار هذه النقطة بمثابة النقطة العامة للصنف الفرعي غير القابل للاختزال. علاوة على ذلك، فإن حزمة البنية علىالمواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}وحزمة الدوال متعددة الحدود علىأ{\displaystyle A}متطابقة بشكل أساسي. من خلال دراسة أطياف حلقات كثيرات الحدود بدلاً من المجموعات الجبرية باستخدام طوبولوجيا زاريسكي، يمكن تعميم مفاهيم الهندسة الجبرية إلى الحقول غير المغلقة جبريًا وما بعدها، وصولاً في النهاية إلى لغة المخططات .

أمثلة

  • طيف الأعداد الصحيحة: المخطط الأفينيالمواصفات⁡(Z){\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}هو الكائن النهائي في فئة المخططات الأفينية لأنZ{\displaystyle \mathbb {Z} }هو العنصر الأولي في فئة الحلقات التبديلية. كمجموعة،المواصفات⁡(Z){\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}يتكون من النقاط(0){\displaystyle (0)}و(ص){\displaystyle (p)}للأعداد الأوليةص{\displaystyle p}. المجموعات المفتوحة لـالمواصفات⁡(Z){\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}نكون∅{\displaystyle \emptyset }ومجموعات فرعية من الشكليو=المواصفات⁡(Z)∖{(ص1)،...،(صن)}{\displaystyle U=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )\setminus \{(p_{1}),\dots ,(p_{n})\}}لعدد محدود من الأعداد الأوليةص1،...،صن.{\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}.}أقسامياالمواصفات⁡(Z)(يو){\displaystyle {\mathcal {O}}_{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}(U)}هي الأعداد النسبيةأ/ب∈سؤال{\displaystyle a/b\in \mathbb {Q} }أينب=ص1هـ1⋯صنهـن{\displaystyle b=p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{n}^{e_{n}}}للأسس الصحيحة غير السالبةهـ1،...،هـن.{\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}.} السيقان في(ص){\displaystyle (p)}هي الحلقات المحليةZ(ص)؛{\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)};}الساق في(0){\displaystyle (0)}يكونسؤال.{\displaystyle \mathbb {Q} .}
  • طيف كثيرات الحدود علىZ:{\displaystyle \mathbb {Z} المخطط الأفيني المواصفات⁡(Z[x]){\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])}يتكون من أربعة أنواع من النقاط: 1) المثالي الصفري(0)؛{\displaystyle (0);}2) المُثُل الرئيسية(ص){\displaystyle (p)}مولدة بواسطة الأعداد الأوليةص؛{\displaystyle p;}3) المُثُل الرئيسية(و){\displaystyle (f)}مولدة بواسطة كثيرات الحدود غير القابلة للاختزالو؛{\displaystyle f;}و 4) المُثُل العليا(ص،و){\displaystyle (p,f)}مولدة بواسطة الأعداد الأوليةص{\displaystyle p}وكثيرات الحدودو{\displaystyle f}تعديل التخفيض الخاص بهص{\displaystyle p}فيFص[x]{\displaystyle \mathbb {F} _{p}[x]}غير قابل للاختزال. بعض السمات الطوبولوجية والهندسية لـالمواصفات⁡(Z[x]){\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])}وقد تم توضيح ذلك في رسم تخطيطي شهير لديفيد مامفورد ، والمعروف الآن باسم "خريطة كنز مامفورد"، الموجودة في كتابه التمهيدي "الكتاب الأحمر للأصناف والمخططات" . [ 11 ]
  • النظير النظري للمخطط لـجن{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}المخطط الأفينيأجن=المواصفات⁡(ج[x1،...،xن]){\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n}=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}])}من منظور دالة النقاط ، النقطة(α1،...،αن)∈جن{\displaystyle (\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {C} ^{n}}يمكن تحديدها باستخدام شكل التقييمج[x1،...،xن]→هـv(α1،...،αن)ج{\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]{\xrightarrow[{ev_{(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}}]{}}\mathbb {C} }هذه الملاحظة الأساسية تسمح لنا بإضفاء معنى على المخططات الأفينية الأخرى.
  • الصليب:المواصفات⁡(ج[x،y]/(xy)){\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,y]/(xy))}يبدو من الناحية الطوبولوجية مثل التقاطع العرضي لمستويين معقدين عند نقطة (على وجه الخصوص، هذا المخطط ليس غير قابل للاختزال)، على الرغم من أنه عادةً ما يتم تصويره على أنه+{\displaystyle +}، لأن التشكلات المحددة جيدًا الوحيدة إلىج{\displaystyle \mathbb {C} }هل تمثل هذه التشكلات التقييمية المرتبطة بالنقاط{(α1،0)،(0،α2):α1،α2∈ج}{\displaystyle \{(\alpha _{1},0),(0,\alpha _{2}):\alpha _{1},\alpha _{2}\in \mathbb {C} \}}.
  • الطيف الأولي لحلقة منطقية (مثل حلقة مجموعة القوى ) هو فضاء هاوسدورف مضغوط ومنفصل تمامًا (أي فضاء ستون ). [ 12 ]
  • ( م. هوخستر ) يكون الفضاء الطوبولوجي متماثلًا مع الطيف الأولي لحلقة تبديلية (أي الفضاء الطيفي ) إذا وفقط إذا كان مضغوطًا وشبه منفصل ورصينًا . [ 13 ]

أمثلة غير خطية

فيما يلي بعض الأمثلة على المخططات التي ليست مخططات خطية. يتم بناؤها من خلال لصق المخططات الخطية معًا.

  • الإسقاطي​ن{\displaystyle n}-فضاءPكن=مشروع⁡ك[x0،...،xن]{\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}=\operatorname {Proj} k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}فوق حقلك{\displaystyle k}يمكن تعميم هذا بسهولة على أي حلقة أساسية، انظر بناء الإسقاط (في الواقع، يمكننا تعريف الفضاء الإسقاطي لأي مخطط أساسي).ن{\displaystyle n}-مساحة لـن≥1{\displaystyle n\geq 1}ليس خطيًا مثل حلقة المقاطع العالمية لـPكن{\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{n}}يكونك{\displaystyle k}.
  • المستوى الأفيني مطروحًا منه نقطة الأصل. [ 14 ] في الداخلأك2=المواصفات⁡ك[x،y]{\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}=\operatorname {Spec} k[x,y]}تتميز المخططات الفرعية المفتوحة الأفينيةدx،دy{\displaystyle D_{x},D_{y}}اتحادهمدx∪دy=يو{\displaystyle D_{x}\cup D_{y}=U}هو المستوى الأفيني بعد إزالة نقطة الأصل. المقاطع العالمية لـيو{\displaystyle U}هي أزواج من كثيرات الحدود علىدx،دy{\displaystyle D_{x},D_{y}}التي تقتصر على نفس متعددة الحدود علىدxy{\displaystyle D_{xy}}، والتي يمكن إثبات أنهاك[x،y]{\displaystyle k[x,y]}، الأقسام العالمية لـأك2{\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}.يو{\displaystyle U}ليس خطيًا مثلV(x)∩V(y)=∅{\displaystyle V_{(x)}\cap V_{(y)}=\varnothing }فييو{\displaystyle U}.

الطوبولوجيات غير زاريسكي على طيف أولي

بعض المؤلفين (ولا سيما م. هوخستر) ينظرون في الطوبولوجيا على الأطياف الأولية بخلاف طوبولوجيا زاريسكي.

أولاً، هناك مفهوم الطوبولوجيا القابلة للإنشاء : بالنظر إلى حلقة A ، فإن المجموعات الجزئية منالمواصفات⁡(أ){\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}من الشكلφ*(المواصفات⁡ب)،φ:أ→ب{\displaystyle \varphi ^{*}(\operatorname {Spec} B),\varphi :A\to B}تحقق البديهيات الخاصة بالمجموعات المغلقة في الفضاء الطوبولوجي. هذه الطوبولوجيا علىالمواصفات⁡(أ){\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}يُطلق عليها اسم الطوبولوجيا القابلة للإنشاء. [ 15 ] [ 16 ]

في كتاب هوخستر (1969) ، يتناول هوخستر ما يسميه طوبولوجيا الرقعة على طيف أولي. [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] وبحسب التعريف، فإن طوبولوجيا الرقعة هي أصغر طوبولوجيا تكون فيها مجموعات الأشكالV(أنا){\displaystyle V(I)}والمواصفات⁡(أ)-V(و){\displaystyle \operatorname {Spec} (A)-V(f)}مغلقة.

المواصفات العالمية أو النسبية

يوجد إصدار نسبي من الدالةالمواصفات{\displaystyle \operatorname {Spec} }يُطلق عليه عالميًاالمواصفات{\displaystyle \operatorname {Spec} }أو ما شابهالمواصفات{\displaystyle \operatorname {Spec} }. لوS{\displaystyle S}إذا كان مخططًا، فهو نسبيالمواصفات{\displaystyle \operatorname {Spec} }يُرمز إليه بـالمواصفات_S{\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}}أوSصهـجS{\displaystyle \mathbf {Spec} _{S}}. لوS{\displaystyle S}إذا كان ذلك واضحًا من السياق، فيمكن الإشارة إلى المواصفات النسبية بواسطةالمواصفات_{\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}}أوSصهـج{\displaystyle \mathbf {Spec} }. من أجل مخططS{\displaystyle S}وحزمة شبه متماسكة منياS{\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}الجبرأ{\displaystyle {\mathcal {A}}}هناك خطةالمواصفات_S(أ){\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})}وتشكلو:المواصفات_S(أ)→S{\displaystyle f:{\underline {\operatorname {Spec} }}_{S}({\mathcal {A}})\to S}بحيث يكون لكل خط أفيني مفتوحيو⊆S{\displaystyle U\subseteq S}، هناك تماثلو-1(يو)≅المواصفات⁡(أ(يو)){\displaystyle f^{-1}(U)\cong \operatorname {Spec} ({\mathcal {A}}(U))}، بحيث يكون ذلك بالنسبة للتحويلات الأفينية المفتوحةV⊆يو{\displaystyle V\subseteq U}، الإدراجو-1(V)→و-1(يو){\displaystyle f^{-1}(V)\to f^{-1}(U)}يتم تحفيزها بواسطة خريطة التقييدأ(يو)→أ(V){\displaystyle {\mathcal {A}}(U)\to {\mathcal {A}}(V)}أي، بما أن التماثلات الحلقية تحفز خرائط معاكسة للأطياف، فإن خرائط التقييد لحزمة من الجبر تحفز خرائط التضمين للأطياف التي تشكل Spec للحزمة .

تتمتع خاصية Global Spec بخاصية شاملة مماثلة للخاصية الشاملة لخاصية Spec العادية. وبشكل أدق، كما أن Spec ودالة المقطع الشاملة هما مرافقان يمينيان متغايران بين فئة الحلقات التبادلية والمخططات، فإن خاصية Global Spec ودالة الصورة المباشرة لخريطة البنية هما مرافقان يمينيان متغايران بين فئة التبديلية.ياS{\displaystyle {\mathcal {O}}_{S}}-الجبر والمخططات علىS{\displaystyle S} في الصيغ ،

هومياS-alg⁡(أ،π*ياX)≅هوممدرسة/S⁡(X،Sصهـج(أ))،{\displaystyle \operatorname {Hom} _{{\mathcal {O}}_{S}{\text{-alg}}}({\mathcal {A}},\pi _{*}{\mathcal {O}}_{X})\cong \operatorname {Hom} _{{\text{Sch}}/S}(X,\mathbf {Spec} ({\mathcal {A}})),}

أينπ:X→S{\displaystyle \pi \colon X\to S}هو شكل من أشكال المخططات.

مثال على المواصفات النسبية

تُعدّ المواصفات النسبية الأداة الصحيحة لضبط معلمات مجموعة الخطوط التي تمر عبر نقطة الأصل.أج2{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{2}}زيادةX=Pأ،ب1.{\displaystyle X=\mathbb {P} _{a,b}^{1}.}لننظر إلى حزمة الجبرأ=ياX[x،y]،{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x,y],}ودعأنا=(أy-بx){\displaystyle {\mathcal {I}}=(ay-bx)}كن حزمة من مُثُلأ.{\displaystyle {\mathcal {A}}.}ثم المواصفات النسبيةالمواصفات_X(أ/أنا)→Pأ،ب1{\displaystyle {\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}({\mathcal {A}}/{\mathcal {I}})\to \mathbb {P} _{a,b}^{1}}يُحدد المعلمات العائلة المطلوبة. في الواقع، الألياف فوق[α:β]{\displaystyle [\alpha يمثل الخط الذي يمر بنقطة الأصل :\beta ]} أ2{\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}يحتوي على النقطة(α،β).{\displaystyle (\alpha ,\beta ).}بافتراضα≠0،{\displaystyle \alpha \neq 0,}يمكن حساب الألياف من خلال النظر إلى تكوين مخططات السحب العكسي

المواصفات⁡(ج[x،y](y-βαx))→المواصفات⁡(ج[بأ][x،y](y-بأx))→المواصفات_X(ياX[x،y](أy-بx))↓↓↓المواصفات⁡(ج)→المواصفات⁡(ج[بأ])=يوأ→Pأ،ب1{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{\left(y-{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)}}\right)&\to &\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right][x,y]}{\left(y-{\frac {b}{a}}x\right)}}\right)&\to &{\underline {\operatorname {Spec} }}_{X}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{X}[x,y]}{\left(ay-bx\right)}}\right)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\\operatorname {Spec} (\mathbb {C} )&\to &\operatorname {Spec} \left(\mathbb {C} \left[{\frac {b}{a}}\right]\right)=U_{a}&\to &\mathbb {P} _{a,b}^{1}\end{matrix}}}

حيث تكوين الأسهم السفلية

المواصفات⁡(ج)→[α:β]Pأ،ب1{\displaystyle \operatorname {Spec} (\mathbb {C} ){\xrightarrow {[\alpha :\beta ]}}\mathbb {P} _{a,b}^{1}}

يعطي الخط الذي يحتوي على النقطة(α،β){\displaystyle (\alpha ,\beta )}والأصل. يمكن تعميم هذا المثال لتمثيل عائلة الخطوط التي تمر عبر أصلأجن+1{\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} }^{n+1}}زيادةX=Pأ0،...،أنن{\displaystyle X=\mathbb {P} _{a_{0},...,a_{n}}^{n}}عن طريق السماحأ=ياX[x0،...،xن]{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{X}[x_{0},...,x_{n}]}وأنا=(2×2 قاصرون من (أ0⋯أنx0⋯xن)).{\displaystyle {\mathcal {I}}=\left(2\times 2{\text{ minors of }}{\begin{pmatrix}a_{0}&\cdots &a_{n}\\x_{0}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}\right).}

منظور نظرية التمثيل

من منظور نظرية التمثيل ، يُقابل المثالي الأولي I وحدة نمطية R / I ، ويُقابل طيف الحلقة تمثيلات دورية غير قابلة للاختزال لـ R ، بينما تُقابل الأصناف الفرعية الأكثر عمومية تمثيلات قابلة للاختزال، والتي قد لا تكون دورية بالضرورة. تجدر الإشارة إلى أن نظرية تمثيل المجموعة ، بشكل مجرد، هي دراسة الوحدات النمطية على جبر المجموعة .

يصبح الارتباط بنظرية التمثيل أكثر وضوحًا إذا نظرنا إلى حلقة كثيرات الحدودR=ك[x1،...،xن]{\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}أو بدون أساس،R=ك[V].{\displaystyle R=K[V].}كما توضح الصيغة الأخيرة، فإن حلقة كثيرات الحدود هي جبر أحادي على فضاء متجهي ، ويمكن كتابتها بدلالةxأنا{\displaystyle x_{i}}يتوافق ذلك مع اختيار أساس للفضاء المتجهي. ثم المثالي I، أو ما يعادله وحدة نمطيةR/أنا،{\displaystyle R/I,}هو تمثيل دوري لـ R ( الدورية تعني أنها ناتجة عن عنصر واحد كوحدة نمطية R ؛ وهذا يعمم التمثيلات أحادية البعد).

في حالة كون الحقل مغلقًا جبريًا (مثلًا، الأعداد المركبة)، فإن كل مثالي أعظمي يقابل نقطة في فضاء ذي n بُعد، وذلك وفقًا لنظرية نولستيلينساتز (المثالي الأعظمي الناتج عن(x1-أ1)،(x2-أ2)،...،(xن-أن){\displaystyle (x_{1}-a_{1}),(x_{2}-a_{2}),\ldots ,(x_{n}-a_{n})}يتوافق مع النقطة(أ1،...،أن){\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}هذه التمثيلات لـك[V]{\displaystyle K[V]}ثم يتم تحديدها بواسطة الفضاء الثنائيV*،{\displaystyle V^{*},}يتم إعطاء المتجه المتجه عن طريق إرسال كلxأنا{\displaystyle x_{i}}إلى المقابلأأنا{\displaystyle a_{i}}وبالتالي فإن تمثيلكن{\displaystyle K^{n}}( خرائط K الخطية)كن→ك{\displaystyle K^{n}\to K}يُعطى ) بمجموعة من n عدد، أو ما يعادلها متجه مشترككن→ك.{\displaystyle K^{n}\to K.}

وبالتالي، تُعتبر النقاط في الفضاء ذي البعد n بمثابة أقصى مواصفات لـR=ك[x1،...،xن]،{\displaystyle R=K[x_{1},\dots ,x_{n}],}تُطابق هذه القيم تمثيلات أحادية البُعد لـ R بدقة ، بينما تُطابق مجموعات النقاط المحدودة تمثيلات محدودة الأبعاد (وهي قابلة للاختزال، وتُطابق هندسيًا كونها اتحادًا، وجبريًا كونها ليست مثاليًا أوليًا). ثم تُطابق المُثُل غير القصوى تمثيلات لا نهائية الأبعاد.

منظور التحليل الوظيفي

يُستمد مصطلح "الطيف" من استخدامه في نظرية المؤثرات . إذا كان لدينا مؤثر خطي T على فضاء متجهي V ذي أبعاد منتهية ، فيمكن اعتبار هذا الفضاء المتجهي مع المؤثر وحدة نمطية على حلقة كثيرات الحدود في متغير واحد R = K [ T ]، كما في نظرية البنية للوحدات النمطية المولدة نهائيًا على مجال مثالي رئيسي . عندئذٍ، يكون طيف K [ T ] (كحلقة) مساويًا لطيف T (كمؤثر).

علاوة على ذلك، فإن البنية الهندسية لطيف الحلقة (أو ما يعادلها، البنية الجبرية للوحدة) تُجسد سلوك طيف المؤثر، مثل التعدد الجبري والتعدد الهندسي. على سبيل المثال، مصفوفة الوحدة 2×2 لها وحدة مقابلة:

ك[تي]/(تي-1)⊕ك[تي]/(تي-1){\displaystyle K[T]/(T-1)\oplus K[T]/(T-1)}

المصفوفة الصفرية 2×2 لها وحدة

ك[تي]/(تي-0)⊕ك[تي]/(تي-0)،{\displaystyle K[T]/(T-0)\oplus K[T]/(T-0),}

يُظهر ذلك التعدد الهندسي 2 للقيمة الذاتية الصفرية ، بينما تحتوي مصفوفة نيلبوتنت غير تافهة 2×2 على وحدة نمطية

ك[تي]/تي2،{\displaystyle K[T]/T^{2},}

يُظهر تعددًا جبريًا قدره 2 ولكن تعددًا هندسيًا قدره 1.

بمزيد من التفصيل:

  • تتوافق القيم الذاتية (مع التعدد الهندسي) للمؤثر مع النقاط (المختزلة) للتنوع، مع التعدد؛
  • يتوافق التفكيك الأساسي للوحدة مع النقاط غير المختزلة للتنوع؛
  • يتوافق عامل قابل للقطر (شبه بسيط) مع مجموعة متنوعة مختزلة؛
  • يتوافق الموديول الدوري (مولد واحد) مع المؤثر الذي يحتوي على متجه دوري (متجه يمتد مداره تحت T عبر الفضاء)؛
  • العامل الثابت الأخير للوحدة يساوي متعدد الحدود الأدنى للمؤثر، وحاصل ضرب العوامل الثابتة يساوي متعدد الحدود المميز .

مفاهيم مماثلة

يمكن أيضًا دراسة الطيف بالنسبة لجبر C* في نظرية المؤثرات ، مما ينتج عنه مفهوم طيف جبر C* . والجدير بالذكر، بالنسبة لفضاء هاوسدورف مضغوطX{\displaystyle X}، حلقة الدوال المتصلة (ذات القيم المركبة)ج(X){\displaystyle C(X)}هي جبر C* تبادلي أحادي ، حيث يتم استعادة الفضاء كفضاء طوبولوجي منماكس سبيك⁡ج(X){\displaystyle \operatorname {MaxSpec} C(X)}بل إنها دالةٌ كذلك؛ هذا هو مضمون نظرية باناخ-ستون . في الواقع، يمكن تمثيل أي جبر C* تبادلي أحادي كحلقة من الدوال المتصلة لفضاء هاوسدورف متراص بهذه الطريقة، مما يُعطي نفس التطابق بين الحلقة وطيفها. ويؤدي التعميم إلى جبر C* غير تبادلي إلى طوبولوجيا غير تبادلية .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ تشير أدبيات الهندسة الجبرية عادةً إلى فضاء متراص (بالمعنى الطوبولوجي العام لكل غطاء مفتوح غطاءً فرعيًا محدودًا) دون أن يكون بالضرورة فضاء هاوسدورف (على سبيل المثال،المواصفات⁡(R){\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}في معظم الحالات) باعتبارها شبه مضغوطة ، بينما يُطلق على الفضاء اسم مضغوط فقط عندما يكون شبه مضغوط وهاوسدورف.
  2. ↑ كل ما قيل هنا يبقى ساري المفعول إذا ⁠ج{\displaystyle \mathbb {C} }يتم استبدالها بأي حقل مغلق جبريًا آخر .

الاقتباسات

  1. ↑ هارتشورن (1977) ، ص 70. خطأ في sfnp: أهداف متعددة (2×): CITEREFHartshorne1977 ( مساعدة )
  2. ↑ شارب (2001) ، ص 44، تعريف 3.26.
  3. ^ جلفاند، آي إم (1941). "نورميرتي رينجي". ماتيماتشيسكي سبورنيك . سلسلة جديدة. 9 (51): 3- 24.
  4. ↑ هارتشورن، روبن (1977). الهندسة الجبرية . سبرينغر-فيرلاغ. ص 70-71 . ISBN  978-0-387-90244-9.
  5. ^ كرول ، وولفجانج (1928). "Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen". Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften، Mathematics-Naturwissenschaftliche Klasse (7): 3– 14. doi : 10.11588/diglit.43549 .
  6. ↑ ديكمان، ماكس؛ شوارتز، نيلز؛ تريسل، ماركوس (2019). الفضاءات الطيفية . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 13-14 . ISBN  978-1-107-14672-3.
  7. ^ ألكسندر جروتينديك (1960). "عناصر الهندسة الجبريّة I: لغة المخططات". منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 4 : 5 – 228. دوى : 10.1007/BF02684778 .
  8. ↑ فاكيل ، الفصل 3، القسم 3.5. خطأ في sfnp: لا يوجد هدف: CITEREFVakil ( مساعدة )
  9. ^ جورتز، أولريش. ويدهورن، تورستن. الهندسة الجبرية 1 . ص. 43. 
  10. ^ أرخانجيلسكي وبونترياجين (1990) ، السابق. 21 ثانية. 2.6.
  11. ↑ مامفورد، ديفيد (2004). الكتاب الأحمر للأصناف والمخططات: يتضمن محاضرات ميشيغان (1974) حول المنحنيات ومصفوفات جاكوبي الخاصة بها . سلسلة محاضرات في الرياضيات ( الطبعة الثانية الموسعة). برلين: سبرينغر. ص 75. ISBN   978-3-540-63293-1.
  12. ↑ Atiyah & Macdonald (1969) ، الفصل 1 ، التمرين 23 (رابعاً).
  13. ↑ هوشستر (1969)
  14. ↑ فاكيل ، الفصل 4، التمرين 4.4.1. خطأ في sfnp: لا يوجد هدف: CITEREFVakil ( مساعدة )
  15. ↑ عطية وماكدونالد (1969) ، الفصل 5، التمرين 27.
  16. ↑ تاري زاده (2019)
  17. ↑ كوك (2007)
  18. ↑ فونتانا ولوبير (2008)
  19. ↑ براندال (1979)

مراجع

  • براندال، ويلي (1979). الحلقات التبادلية التي تتحلل وحداتها المولدة نهائيًا . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  723. سبرينغر برلين، هايدلبرغ. ISBN 978-3-540-09507-1.
  • تاريزاده، أبو الفضل (2019). "الطوبولوجيا المسطحة وجوانبها المزدوجة". الاتصالات في الجبر . 47 (1): 195-205 . doi : 10.1080/00927872.2018.1469637 .

للمزيد من القراءة