قانون تركيب جاوس

إطاران دوليان للجودة${\displaystyle g(x,y)}$و${\displaystyle h(x,y)}$يُقال إن الأعداد المتكافئة (أو بالأحرى المتكافئة) موجودة إذا وُجدت أعداد صحيحة α، β، γ، δ بحيث

${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =1}$و ${\displaystyle g(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=h(x,y).}$

الترميز${\displaystyle g(x,y)\sim h(x,y)}$يُستخدم للدلالة على أن الشكلين متكافئان. العلاقة "${\displaystyle \sim }$" هي علاقة تكافؤ في مجموعة جميع IBQFs. فئة التكافؤ التي ينتمي إليها IBQF${\displaystyle g(x,y)}$يُشار إلى الانتماء بـ${\displaystyle [g(x,y)]}$.

إطاران دوليان للجودة${\displaystyle g(x,y)}$و${\displaystyle h(x,y)}$يُقال إنها متكافئة بشكل غير صحيح إذا

${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =-1}$و ${\displaystyle g(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=h(x,y).}$

إن العلاقة في مجموعة IBQFs المتمثلة في كونها متكافئة بشكل غير صحيح هي أيضًا علاقة تكافؤ.

يمكن ملاحظة بسهولة أن IBQFs المتكافئة (بشكل صحيح أو غير صحيح) لها نفس المميز.

كانت المتطابقة التالية، والتي تسمى متطابقة براهمغوبتا ، معروفة لدى عالم الرياضيات الهندي براهمغوبتا (598-668) الذي استخدمها لحساب تقريبات كسرية أفضل بشكل متتابع للجذور التربيعية للأعداد الصحيحة الموجبة:

${\displaystyle (x^{2}+Dy^{2})(u^{2}+Dv^{2})=(xu+Dyv)^{2}+D(xv-yu)^{2}}$

كتابة${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+Dy^{2}}$يمكن وضع هذه الهوية على الشكل التالي

${\displaystyle f(x,y)f(u,v)=f(X,Y)}$أين${\displaystyle X=xu+Dyv,Y=xv-yu}$.

يعمم قانون تركيب جاوس لـ IBQFs هذه المتطابقة إلى متطابقة من الشكل${\displaystyle g(x,y)h(u,v)=F(X,Y)}$أين${\displaystyle g(x,y),h(x,y),F(X,Y)}$جميعها من أصناف الأرز الدولية (IBQFs) و${\displaystyle X,Y}$هي تركيبات خطية من المنتجات${\displaystyle xu,xv,yu,yv}$.

ضع في اعتبارك عوامل الجودة الدولية التالية:

${\displaystyle g(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

${\displaystyle h(x,y)=dx^{2}+exy+fy^{2}}$

${\displaystyle F(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$

إذا كان من الممكن إيجاد أعداد صحيحة${\displaystyle p,q,r,s}$و${\displaystyle p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime },s^{\prime }}$بحيث تكون الأرقام الستة التالية

${\displaystyle pq^{\prime }-qp^{\prime },pr^{\prime }-rp^{\prime },ps^{\prime }-sp^{\prime },qr^{\prime }-rq^{\prime },qs^{\prime }-sq^{\prime },rs^{\prime }-sr^{\prime }}$

ليس لها قواسم مشتركة أخرى غير ±1، بحيث إذا وضعنا

${\displaystyle X=pxu+qxv+ryu+syv}$

${\displaystyle Y=p^{\prime }xu+q^{\prime }xv+r^{\prime }yu+s^{\prime }yv}$

تتحقق العلاقة التالية بشكل متطابق

${\displaystyle g(x,y)h(u,v)=F(X,Y)}$،

ثم النموذج${\displaystyle F(x,y)}$ويُقال إنها مزيج من الأشكال${\displaystyle g(x,y)}$و${\displaystyle h(x,y)}$تجدر الإشارة إلى أن التركيب المكون من اثنين من IBQFs، إن وجد، ليس فريدًا.

ضع في اعتبارك الأشكال التربيعية الثنائية التالية:

${\displaystyle g(x,y)=2x^{2}+3xy-10y^{2}}$

${\displaystyle h(x,y)=5x^{2}+3xy-4y^{2}}$

${\displaystyle F(x,y)=10x^{2}+3xy-2y^{2}}$

يترك

${\displaystyle [p,q,r,s]=[1,0,0,2],\quad [p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime },s^{\prime }]=[0,2,5,3]}$

لدينا

${\displaystyle pq^{\prime }-qp^{\prime }=2,pr^{\prime }-rp^{\prime }=5,ps^{\prime }-sp^{\prime }=3,qr^{\prime }-rq^{\prime }=0,qs^{\prime }-sq^{\prime }=4,rs^{\prime }-sr^{\prime }=10}$.

لا يوجد لهذه الأعداد الستة قواسم مشتركة سوى ±1. ليكن

${\displaystyle X=pxu+qxv+ryu+syv=xu+2yv}$،

${\displaystyle Y=p^{\prime }xu+q^{\prime }xv+r^{\prime }yu+s^{\prime }yv=2xv+5yu+3yv}$.

عندئذٍ يمكن التحقق من ذلك

${\displaystyle g(x,y)h(u,v)=F(X,Y)}$.

لذلك${\displaystyle F(x,y)}$وهو مزيج من${\displaystyle g(x,y)}$و${\displaystyle h(x,y)}$.

بافتراض أن عوامل الجودة الأساسية التالية لها نفس المميز${\displaystyle \Delta }$:

${\displaystyle f_{1}(x,y)=a_{1}x^{2}+b_{1}xy+c_{1}y^{2}}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)=a_{2}x^{2}+b_{2}xy+c_{2}y^{2}}$

${\displaystyle \Delta =b_{1}^{2}-4a_{1}c_{1}=b_{2}^{2}-4a_{2}c_{2}}$

1. الحوسبة${\displaystyle \beta ={\frac {b_{1}+b_{2}}{2}}}$
2. الحوسبة${\displaystyle n=\gcd(a_{1},a_{2},\beta )}$
3. الحوسبة${\displaystyle t,u,v}$بحيث${\displaystyle a_{1}t+a_{2}u+\beta v=n}$
4. الحوسبة${\displaystyle A={\frac {a_{1}a_{2}}{n^{2}}}}$
5. الحوسبة${\displaystyle B={\frac {a_{1}b_{2}t+a_{2}b_{1}u+v(b_{1}b_{2}+\Delta )/2}{n}}}$
6. الحوسبة${\displaystyle C={\frac {B^{2}-\Delta }{4A}}}$
7. الحوسبة${\displaystyle F(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$
8. الحوسبة

${\displaystyle X=nx_{1}x_{2}+{\frac {(b_{2}-B)n}{2a_{2}}}x_{1}y_{2}+{\frac {(b_{1}-B)n}{2a_{1}}}y_{1}x_{2}+{\frac {[b_{1}b_{2}+\Delta -B(b_{1}+b_{2})]n}{4a_{1}a_{2}}}y_{1}y_{2}}$

${\displaystyle Y={\frac {a_{1}}{n}}x_{1}y_{2}+{\frac {a_{2}}{n}}y_{1}x_{2}+{\frac {b_{1}+b_{2}}{2n}}y_{1}y_{2}}$

ثم${\displaystyle F(X,Y)=f_{1}(x_{1},y_{1})f_{2}(x_{2},y_{2})}$لهذا السبب.${\displaystyle F(x,y)}$وهو مزيج من${\displaystyle f_{1}(x,y)}$و${\displaystyle f_{2}(x,y)}$.

يوجد المركب المكون من اثنين من IBQFs إذا وفقط إذا كان لهما نفس المميز.

يترك${\displaystyle g(x,y),h(x,y),g^{\prime }(x,y),h^{\prime }(x,y)}$لتكن IBQFs ولتكن هناك المكافئات التالية:

${\displaystyle g(x,y)\sim g^{\prime }(x,y)}$

${\displaystyle h(x,y)\sim h^{\prime }(x,y)}$

لو${\displaystyle F(x,y)}$وهو مزيج من${\displaystyle g(x,y)}$و${\displaystyle h(x,y)}$، و${\displaystyle F^{\prime }(x,y)}$وهو مزيج من${\displaystyle g^{\prime }(x,y)}$و${\displaystyle h^{\prime }(x,y)}$، ثم

${\displaystyle F(x,y)\sim F^{\prime }(x,y).}$

يترك${\displaystyle D}$ليكن عددًا صحيحًا ثابتًا ولنعتبر المجموعة${\displaystyle S_{D}}$من بين جميع الدوال الكمية الأولية الممكنة للتمييز${\displaystyle D}$. يترك${\displaystyle G_{D}}$لتكن مجموعة فئات التكافؤ في هذه المجموعة بموجب علاقة التكافؤ "${\displaystyle \sim }$". يترك${\displaystyle [g(x,y)]}$و${\displaystyle [h(x,y)]}$أن يكون عنصرين من${\displaystyle G_{D}}$. يترك${\displaystyle F(x,y)}$أن تكون مجموعة من معايير الجودة الدولية${\displaystyle g(x,y)}$و${\displaystyle h(x,y)}$في${\displaystyle S_{D}}$ثم المعادلة التالية

${\displaystyle [g(x,y)]\circ [h(x,y)]=[F(x,y)]}$

يُعرّف عملية ثنائية محددة جيدًا "${\displaystyle \circ }$" في${\displaystyle G_{D}}$.

• المجموعة${\displaystyle G_{D}}$هي زمرة أبيلية منتهية تحت العملية الثنائية${\displaystyle \circ }$.

• العنصر المهيمن في المجموعة${\displaystyle G_{D}}$=${\displaystyle {\begin{cases}[x^{2}-(D/4)y^{2}]&{\text{ if }}D\equiv 0\,(\mathrm {mod} \,\,4)\\[1mm][x^{2}+xy+((1-D)/4)y^{2}]&{\text{ if }}D\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,\,4)\end{cases}}}$

• عكس${\displaystyle [ax^{2}+bxy+cy^{2}]}$في${\displaystyle G_{D}}$يكون${\displaystyle [ax^{2}-bxy+cy^{2}]}$.

يترك${\displaystyle \mathbb {Z} }$لتكن مجموعة الأعداد الصحيحة. فيما يلي، في هذا القسم، عناصر من${\displaystyle \mathbb {Z} }$سيتم الإشارة إليها بالأعداد الصحيحة النسبية لتمييزها عن الأعداد الصحيحة الجبرية التي سيتم تعريفها أدناه.

عدد مركب${\displaystyle \alpha }$يُطلق على العدد اسم العدد الجبري التربيعي إذا كان يحقق معادلة من الشكل التالي:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$أين${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {Z} }$.

${\displaystyle \alpha }$يُطلق على العدد اسم عدد صحيح جبري تربيعي إذا كان يحقق معادلة من الشكل التالي:

${\displaystyle x^{2}+bx+c=0}$أين${\displaystyle b,c\in \mathbb {Z} }$

الأعداد الجبرية التربيعية هي أعداد على الصورة

${\displaystyle \alpha ={\frac {-b+e{\sqrt {d}}}{2a}}}$أين${\displaystyle a,b,d,e\in \mathbb {Z} }$و${\displaystyle d}$ليس له عوامل مربعة أخرى غير${\displaystyle 1}$.

العدد الصحيح${\displaystyle d}$يُطلق عليه اسم جذر العدد الصحيح الجبري${\displaystyle \alpha }$معيار العدد الجبري التربيعي${\displaystyle \alpha }$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle N(\alpha )=(b^{2}+e^{2}d)/4a^{2}}$.

يترك${\displaystyle \mathbb {Q} }$ليكن حقل الأعداد النسبية. أصغر حقل يحتوي على${\displaystyle \mathbb {Q} }$وعدد جبري تربيعي${\displaystyle \alpha }$هو الحقل التربيعي الذي يحتوي${\displaystyle \alpha }$ويرمز إليه بـ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$يمكن إثبات أن هذا الحقل

${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\{t+u{\sqrt {d}}\,|\,t,u\in \mathbb {Q} \}}$

التمييز​${\displaystyle \Delta }$في هذا المجال${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle \Delta ={\begin{cases}4d&{\text{ if }}d\equiv 2{\text{ or }}3\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)\\[1mm]d&{\text{ if }}d\equiv 1\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)\end{cases}}}$

يترك${\displaystyle d\neq 1}$ ليكن عددًا صحيحًا نسبيًا بدون عوامل مربعة (باستثناء 1). مجموعة الأعداد الجبرية التربيعية ذات الجذر${\displaystyle d}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$تُعطى هذه المجموعة بواسطة

${\displaystyle O({\sqrt {d}})={\begin{cases}\{a+b{\sqrt {d}}\,|\,a,b\in \mathbb {Z} \}&{\text{ if }}d\equiv 2{\text{ or }}3\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)\\[1mm]\{(a+b{\sqrt {d}})/2\,|\,a,b\in \mathbb {Z} ,a\equiv b\,\,\mathrm {mod} \,\,2)\}&{\text{ if }}d\equiv 1\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)\}\end{cases}}}$

${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$هي حلقة تحت عمليتي الجمع والضرب العاديتين. إذا افترضنا

${\displaystyle \delta ={\begin{cases}-{\sqrt {d}}&{\text{ if }}\delta {\text{ is even}}\\[1mm](1-{\sqrt {d}})/2&{\text{ if }}\delta {\text{ is odd}}\end{cases}}}$

ثم

${\displaystyle O({\sqrt {d}})=\{a+b\delta \,|\,a,b\in \mathbb {Z} \}}$.

يترك${\displaystyle \mathbf {a} }$ليكن مثالياً في حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$أي، دع${\displaystyle \mathbf {a} }$لتكن مجموعة جزئية غير فارغة من${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$بحيث يكون لأي${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbf {a} }$وأي${\displaystyle \lambda ,\mu \in O({\sqrt {d}})}$،${\displaystyle \lambda \alpha +\mu \beta \in \mathbf {a} }$(مثالي)${\displaystyle \mathbf {a} }$يُشار أحيانًا إلى هذا المفهوم، كما هو مُعرّف هنا، باسم " المثالي التكاملي" للتمييز بينه وبين "المثالي الكسري" الذي سيتم تعريفه لاحقًا.${\displaystyle \mathbf {a} }$يُعدّ مثالاً يُحتذى به في${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$عندها يمكن للمرء أن يجد${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}\in O({\sqrt {d}})}$مثل هذا العنصر في${\displaystyle \mathbf {a} }$يمكن تمثيلها بشكل فريد في الشكل${\displaystyle \alpha _{1}x+\alpha _{2}y}$مع${\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} }$. مثل هذا الزوج من العناصر في${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$يُطلق عليه أساس المثل الأعلى${\displaystyle \mathbf {a} }$ويُشار إلى ذلك بكتابة${\displaystyle \mathbf {a} =\langle \alpha _{1},\alpha _{2}\rangle }$. معيار​${\displaystyle \mathbf {a} =\langle \alpha _{1},\alpha _{2}\rangle }$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle N(\mathbf {a} )=|\alpha _{1}{\overline {\alpha _{2}}}-{\overline {\alpha _{1}}}\alpha _{2}|/{\sqrt {\Delta }}}$.

المعيار مستقل عن اختيار الأساس.

• نتاج مثاليين​${\displaystyle \mathbf {a} =\langle \alpha _{1},\alpha _{2}\rangle }$و${\displaystyle \mathbf {b} =\langle \beta _{1},\beta _{2}\rangle }$، ويرمز إليه بـ${\displaystyle \mathbf {a} \mathbf {b} }$، هو المثال الذي تولده${\displaystyle \mathbb {Z} }$- توليفات خطية من${\displaystyle \alpha _{1}\beta _{1},\alpha _{1}\beta _{2},\alpha _{2}\beta _{1},\alpha _{2}\beta _{2}}$.

• المثالي الكسري هو مجموعة جزئية${\displaystyle I}$من الحقل التربيعي${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$ والتي تنطبق عليها الخاصيتان التاليتان:

1. لأي${\displaystyle \alpha ,\beta \in I}$ولأي${\displaystyle \lambda ,\mu \in O({\sqrt {d}})}$،${\displaystyle \lambda \alpha +\mu \beta \in I}$.
2. يوجد عدد صحيح جبري ثابت${\displaystyle \nu }$بحيث يكون لكل${\displaystyle \alpha \in I}$،${\displaystyle \nu \alpha \in O({\sqrt {d}})}$.

• مثالي${\displaystyle \mathbf {a} }$يُطلق عليه اسم مثالي رئيسي إذا وُجد عدد صحيح جبري${\displaystyle \alpha }$بحيث${\displaystyle \mathbf {a} =\{\lambda \alpha \,|\,\lambda \in O({\sqrt {d}})\}}$يُرمز إلى هذا المثال الرئيسي بـ${\displaystyle (\alpha )}$.

هناك هذه النتيجة المهمة: "بالنظر إلى أي مثالي (صحيح أو كسري)${\displaystyle \mathbf {a} }$، يوجد مثالي متكامل${\displaystyle \mathbf {b} }$بحيث يكون المنتج مثالياً${\displaystyle \mathbf {ab} }$"هو مبدأ أساسي."

مثاليان (صحيح أو كسري)${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {b} }$يقال إنها متكافئة ، ويرمز لها بـ${\displaystyle \mathbf {a} \sim \mathbf {b} }$إذا كان هناك مثال رئيسي${\displaystyle (\alpha )}$بحيث${\displaystyle \mathbf {a} =(\alpha )\mathbf {b} }$تكون هذه المُثُل متكافئة بشكل ضيق إذا كان معيار${\displaystyle \alpha }$ هي علاقة إيجابية. إن العلاقة، في مجموعة المُثُل، بين التكافؤ أو التكافؤ الضيق كما هو مُعرَّف هنا، هي في الواقع علاقة تكافؤ.

فئات التكافؤ (أو فئات التكافؤ الضيقة) للمثاليّات الكسرية لحلقة من الأعداد الصحيحة الجبرية التربيعية${\displaystyle O({\sqrt {d}})}$ تشكل زمرة تبديلية تحت ضرب المُثُل. عنصر العنصر المحايد في الزمرة هو فئة جميع المُثُل الرئيسية (على التوالي، فئة جميع المُثُل الرئيسية).${\displaystyle (\alpha )}$مع${\displaystyle N(\alpha )>0}$تُسمى مجموعات فئات المُثُل ومجموعات الفئات الضيقة للمُثُل بمجموعات الفئات ومجموعات الفئات الضيقة على التوالي .${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$.

يمكن الآن صياغة النتيجة الرئيسية التي تربط بين الأطر المثالية للكميات وفئات المُثُل على النحو التالي:

"مجموعة فئات الأشكال التربيعية الثنائية للمميز${\displaystyle \Delta }$متماثل مع مجموعة الفئات الضيقة لحقل الأعداد التربيعية${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})}$"