الشكل التربيعي الثنائي

إذا كانت f صيغة تربيعية، فإن المصفوفة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

في${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$يكون تماثلاً ذاتياً للدالة f إذا${\displaystyle f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=f(x,y)}$على سبيل المثال، المصفوفة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix}}}$

هو شكل ذاتي من الشكل${\displaystyle f=x^{2}-2y^{2}}$التشاكلات الذاتية لشكل ما هي مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$عندما تكون f محددة، تكون المجموعة منتهية، وعندما تكون f غير محددة، تكون المجموعة لانهائية ودورية .

تساءل ديوفانتوس عما إذا كان، بالنسبة لعدد صحيح فردي${\displaystyle n}$، من الممكن إيجاد أعداد صحيحة${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$والتي${\displaystyle n=x^{2}+y^{2}}$[ ^{2 ]} عندما^​${\displaystyle n=65}$لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}65&=1^{2}+8^{2},\\65&=4^{2}+7^{2},\end{aligned}}}$

لذلك نجد أزواجًا${\displaystyle (x,y)=(1,8){\text{ and }}(4,7)}$وهذا ما يفي بالغرض. نحصل على المزيد من الأزواج التي تعمل عن طريق تبديل قيم${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$و/أو عن طريق تغيير إشارة أحد أو كليهما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$إجمالاً، هناك ستة عشر زوجًا مختلفًا من الحلول. من ناحية أخرى، عندما${\displaystyle n=3}$المعادلة

${\displaystyle 3=x^{2}+y^{2}}$

ليس لها حلول صحيحة. ولتوضيح السبب، نلاحظ أن${\displaystyle x^{2}\geq 4}$إلا إذا${\displaystyle x=-1,0}$أو${\displaystyle 1}$. هكذا،${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$سيتجاوز 3 ما لم${\displaystyle (x,y)}$هو أحد الأزواج التسعة مع${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$كل منها يساوي${\displaystyle -1,0}$أو${\displaystyle 1}$يمكننا التحقق من هذه الأزواج التسعة مباشرةً لنرى أن أياً منها لا يحقق الشرط التالي:${\displaystyle 3=x^{2}+y^{2}}$لذا فإن المعادلة ليس لها حلول صحيحة.

وتُظهر حجة مماثلة أنه لكل${\displaystyle n}$المعادلة${\displaystyle n=x^{2}+y^{2}}$لا يمكن أن يكون لها سوى عدد محدود من الحلول لأن${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$سيتجاوز${\displaystyle n}$إلا إذا كانت القيم المطلقة${\displaystyle |x|}$و${\displaystyle |y|}$كلاهما أقل من${\displaystyle {\sqrt {n}}}$. يوجد عدد محدود فقط من الأزواج التي تحقق هذا القيد.

هناك مسألة قديمة أخرى تتعلق بالصيغ التربيعية، وهي تتطلب منا حل معادلة بيل . على سبيل المثال، قد نبحث عن عددين صحيحين x و y بحيث${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$تغيير إشارتي x و y في الحل يُعطي حلاً آخر، لذا يكفي البحث عن حلول في الأعداد الصحيحة الموجبة فقط. أحد هذه الحلول هو${\displaystyle (x,y)=(3,2)}$أي أن هناك مساواة${\displaystyle 1=3^{2}-2\cdot 2^{2}}$. لو${\displaystyle (x,y)}$هل يوجد حل لـ${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$، ثم${\displaystyle (3x+4y,2x+3y)}$وهناك زوج آخر من هذا القبيل. على سبيل المثال، من الزوج${\displaystyle (3,2)}$، نقوم بالحساب

${\displaystyle (3\cdot 3+4\cdot 2,2\cdot 3+3\cdot 2)=(17,12)}$،

ويمكننا التحقق من أن هذا يفي بالغرض.${\displaystyle 1=17^{2}-2\cdot 12^{2}}$بتكرار هذه العملية، نجد المزيد من الأزواج${\displaystyle (x,y)}$مع${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}(3\cdot 17+4\cdot 12,2\cdot 17+3\cdot 12)&=(99,70),\\(3\cdot 99+4\cdot 70,2\cdot 99+3\cdot 70)&=(577,408),\\&\vdots \end{aligned}}}$

ستستمر هذه القيم في النمو، لذا نرى أن هناك عددًا لا نهائيًا من الطرق لتمثيل الرقم 1 بالشكل التالي${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$تمت مناقشة هذا الوصف المتكرر في تعليق ثيون السمرني على كتاب العناصر لإقليدس .

تُعدّ مشكلة التمثيل أقدم مشكلة في نظرية الأشكال التربيعية الثنائية : وصف تمثيلات عدد مُعطى${\displaystyle n}$بواسطة شكل تربيعي معين f . يمكن أن تعني كلمة "وصف" أشياء مختلفة: إعطاء خوارزمية لتوليد جميع التمثيلات، أو صيغة مغلقة لعدد التمثيلات، أو حتى مجرد تحديد ما إذا كانت هناك أي تمثيلات موجودة.

تتناول الأمثلة أعلاه مشكلة تمثيل العددين 3 و 65 بالشكل التالي:${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$وبالنسبة للرقم 1 بالصيغة${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$نلاحظ أن العدد 65 يُمثَّل بـ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$بست عشرة طريقة مختلفة، بينما يتم تمثيل الرقم 1 بواسطة${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$بطرق لا حصر لها، والعدد 3 لا يُمثَّل بـ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$على الإطلاق. في الحالة الأولى، تم وصف التمثيلات الستة عشر بشكل صريح. كما تم إثبات أن عدد تمثيلات العدد الصحيح بواسطة${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$هي دائمًا محدودة. دالة مجموع المربعات${\displaystyle r_{2}(n)}$يعطي عدد تمثيلات n بواسطة${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$كدالة لـ n . توجد صيغة مغلقة ^{[ 3 ]}

${\displaystyle r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n)),}$

أين${\displaystyle d_{1}(n)}$هو عدد قواسم العدد n التي تتطابق مع 1 بتردد 4 و${\displaystyle d_{3}(n)}$هو عدد قواسم العدد n التي تتطابق مع 3 بتردد 4.

هناك العديد من الثوابت الخاصة بالفئات ذات الصلة بمشكلة التمثيل:

• مجموعة الأعداد الصحيحة التي يمثلها صنف ما. إذا كان العدد الصحيح n ممثلاً بصيغة معينة في صنف ما، فإنه يُمثل بجميع الصيغ الأخرى في ذلك الصنف.
• أصغر قيمة مطلقة تمثلها فئة ما. وهي أصغر قيمة غير سالبة في مجموعة الأعداد الصحيحة التي تمثلها تلك الفئة.
• فئات التطابق modulo المميز لفئة ممثلة بواسطة الفئة.

أصغر قيمة مطلقة تمثلها فئة ما هي صفر للفئات المنحلة، وموجبة للفئات المحددة وغير المحددة. جميع الأعداد التي تُمثل بصيغة محددة${\displaystyle f=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$يكون لهما نفس الإشارة: موجب إذا${\displaystyle a>0}$وسلبية إذا${\displaystyle a<0}$ولهذا السبب، تسمى الأولى بالصيغ الإيجابية المحددة ، وتسمى الأخيرة بالصيغ السلبية المحددة .

عدد تمثيلات العدد الصحيح n بالصيغة f يكون محدودًا إذا كانت f محددة، وغير محدود إذا كانت f غير محددة. وقد رأينا أمثلة على ذلك في الأمثلة السابقة. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$موجب محدد و${\displaystyle x^{2}-2y^{2}}$غير محدد.

يمكن توسيع مفهوم تكافؤ الأشكال ليشمل التمثيلات المتكافئة .${\displaystyle m=f(x_{1},y_{1})}$و${\displaystyle n=g(x_{2},y_{2})}$تكون متكافئة إذا وُجدت مصفوفة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}}$

بمدخلات صحيحة ومحدد يساوي 1 بحيث${\displaystyle f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=g(x,y)}$و

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\delta &-\beta \\-\gamma &\alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}}$

تُعطي الشروط المذكورة أعلاه تصرفاً (صحيحاً) للمجموعة${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$على مجموعة تمثيلات الأعداد الصحيحة بواسطة الأشكال التربيعية الثنائية. ويترتب على ذلك أن التكافؤ المعرّف بهذه الطريقة هو علاقة تكافؤ، وعلى وجه الخصوص أن الأشكال في التمثيلات المتكافئة هي أشكال متكافئة.

على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle f=x^{2}-2y^{2}}$وفكر في تمثيل${\displaystyle 1=f(x_{1},y_{1})}$يمثل هذا التمثيل حلاً لمعادلة بيل الموضحة في الأمثلة أعلاه. المصفوفة

${\displaystyle {\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix}}}$

لها محدد يساوي 1 وهي تشاكل ذاتي للدالة f . بالتأثير على التمثيل${\displaystyle 1=f(x_{1},y_{1})}$تُعطي هذه المصفوفة التمثيل المكافئ${\displaystyle 1=f(3x_{1}+4y_{1},2x_{1}+3y_{1})}$هذه هي خطوة التكرار في العملية الموضحة أعلاه لتوليد عدد لا نهائي من الحلول لـ${\displaystyle 1=x^{2}-2y^{2}}$. بتكرار عملية المصفوفة هذه، نجد أن المجموعة اللانهائية من تمثيلات 1 بواسطة f التي تم تحديدها أعلاه كلها متكافئة.

يوجد عمومًا عدد محدود من فئات التكافؤ لتمثيلات عدد صحيح n بواسطة أشكال مميزة غير صفرية معطاة${\displaystyle \Delta }$يمكن تقديم مجموعة كاملة من الممثلين لهذه الفئات بصيغ مختصرة محددة في القسم أدناه. عندما${\displaystyle \Delta <0}$كل تمثيل مكافئ لتمثيل فريد بواسطة شكل مُختزل، لذا فإن مجموعة كاملة من الممثلين تُعطى بواسطة عدد محدود من تمثيلات n بواسطة أشكال مُختزلة للمُميز${\displaystyle \Delta }$. متى${\displaystyle \Delta >0}$أثبت زاغير أن كل تمثيل لعدد صحيح موجب n بواسطة شكل من أشكال المميز${\displaystyle \Delta }$وهو ما يعادل تمثيلاً فريداً${\displaystyle n=f(x,y)}$حيث يتم اختزال f بالمعنى الذي وضعه زاغير و${\displaystyle x>0}$،${\displaystyle y\geq 0}$[ ^{4 ]} تشكل مجموعة جميع هذه التمثيلات مجموعة كاملة من الممثلين لفئات التكافؤ للتمثيلات ^.

قُدِّمت تعريفاتٌ عديدةٌ لتركيب الأشكال، غالبًا في محاولةٍ لتبسيط التعريف التقني والعام للغاية لغوس. نعرض هنا طريقة أرندت، لأنها تظل عامةً إلى حدٍّ ما، وفي الوقت نفسه بسيطةٌ بما يكفي لإجراء الحسابات يدويًا. يُشرح تعريفٌ بديلٌ في مكعبات بهارجافا .

لنفترض أننا نرغب في تكوين نماذج${\displaystyle f_{1}=A_{1}x^{2}+B_{1}xy+C_{1}y^{2}}$و${\displaystyle f_{2}=A_{2}x^{2}+B_{2}xy+C_{2}y^{2}}$، كل منها بدائي وله نفس المميز${\displaystyle \Delta }$نقوم بالخطوات التالية:

1. الحوسبة${\displaystyle B_{\mu }={\tfrac {B_{1}+B_{2}}{2}}}$و${\displaystyle e=\gcd(A_{1},A_{2},B_{\mu })}$، و${\displaystyle A={\tfrac {A_{1}A_{2}}{e^{2}}}}$
2. حل نظام التطابقات

   ${\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv B_{1}{\pmod {2{\tfrac {A_{1}}{e}}}}\\x&\equiv B_{2}{\pmod {2{\tfrac {A_{2}}{e}}}}\\{\tfrac {B_{\mu }}{e}}x&\equiv {\tfrac {\Delta +B_{1}B_{2}}{2e}}{\pmod {2A}}\end{aligned}}}$

   يمكن إثبات أن هذا النظام يمتلك دائمًا حلًا صحيحًا فريدًا بتردد${\displaystyle 2A}$نختار حلاً كهذا بشكل عشوائي ونسميه B.
3. احسب قيمة C بحيث${\displaystyle \Delta =B^{2}-4AC}$يمكن إثبات أن C عدد صحيح.

النموذج${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$هو تكوين "الـ"${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle f_{2}}$نلاحظ أن معاملها الأول مُعرَّف جيدًا، لكن المعاملين الآخرين يعتمدان على اختيار B و C. إحدى طرق جعل هذه العملية مُعرَّفة جيدًا هي وضع اصطلاح اعتباطي لكيفية اختيار B، على سبيل المثال، اختيار B ليكون أصغر حل موجب لنظام التطابقات أعلاه. بدلاً من ذلك، يمكننا النظر إلى نتيجة التركيب، ليس كشكل، بل كفئة تكافؤ للأشكال modulo تأثير مجموعة المصفوفات من الشكل

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}}}$،

حيث n عدد صحيح. إذا نظرنا إلى فئة${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$في ظل هذا الإجراء، تشكل المعاملات الوسطى للأشكال في الفئة فئة تطابق للأعداد الصحيحة modulo 2 A. وبالتالي، فإن التركيب يعطي دالة محددة جيدًا من أزواج الأشكال التربيعية الثنائية إلى هذه الفئات.

يمكن إثبات أنه إذا${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle f_{2}}$تعادل${\displaystyle g_{1}}$و${\displaystyle g_{2}}$على التوالي، ثم تكوين${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle f_{2}}$وهو ما يعادل تركيب${\displaystyle g_{1}}$و${\displaystyle g_{2}}$ويترتب على ذلك أن التركيب يُحدث عملية محددة جيدًا على الفئات الأولية للمميز${\displaystyle \Delta }$وكما ذُكر أعلاه، أثبت غاوس أن هذه الفئات تُشكّل زمرة أبيلية منتهية. فئة المحايد في الزمرة هي الفئة الوحيدة التي تحتوي على جميع الأشكال${\displaystyle x^{2}+Bxy+Cy^{2}}$أي، بمعامل أول يساوي 1. (يمكن إثبات أن جميع هذه الأشكال تقع في فئة واحدة، والتقييد)${\displaystyle \Delta \equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}}$(يشير ذلك إلى وجود شكل كهذا لكل مميز.) لعكس فئة، نأخذ ممثلاً${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}}$وتشكل فئة${\displaystyle Ax^{2}-Bxy+Cy^{2}}$أو بدلاً من ذلك، يمكننا تشكيل فئة من${\displaystyle Cx^{2}+Bxy+Ay^{2}}$منذ ذلك الحين و${\displaystyle Ax^{2}-Bxy+Cy^{2}}$متكافئان.