توزيع غاوسي q

في الفيزياء الرياضية وعلم الاحتمالات والإحصاء ، يُعدّ التوزيع الغاوسي q عائلة من التوزيعات الاحتمالية التي تشمل، كحالات حدية ، التوزيع المنتظم والتوزيع الطبيعي (الغاوسي) . وقد قدّمه دياز وتيرويل. وهو نظير q للتوزيع الغاوسي أو الطبيعي .

التوزيع متناظر حول الصفر ومحدود، باستثناء حالة التوزيع الطبيعي الحدية. يقع التوزيع المنتظم الحدي على المدى من -1 إلى +1.

ليكن q عددًا حقيقيًا في الفترة [0،  1). دالة كثافة الاحتمال لتوزيع غاوس q معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{إذا كان }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{إذا كان }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{إذا كان }}x>\nu .\end{cases}}}$

أين

${\displaystyle \nu =\nu (q)={\frac {1}{\sqrt {1-q}}},}$

${\displaystyle c(q)=2(1-q)^{1/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}q^{m(m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{m}}}.}$

نظير العدد الحقيقي q [ t ] _q${\displaystyle t}$يُعطى بواسطة

${\displaystyle [t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.}$

الدالة الأسية q هي الدالة الأسية q ، E ^x _q ، والتي تُعطى بالعلاقة التالية :

${\displaystyle E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j]!}}}$

حيث أن نظير المضروب q هو المضروب q ، [ n ] _q !، والذي يُعطى بدوره بواسطة

${\displaystyle [n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_{q}\,}$

بالنسبة لعدد صحيح n  >  2 و [1] _q ! =  [0] _q !  =  1.

دالة التوزيع التراكمي لتوزيع غاوس q معطاة بالصيغة التالية:

${\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{إذا كان }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{إذا كان }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{إذا كان }}x>\nu \end{cases}}}$

حيث يرمز رمز التكامل إلى تكامل جاكسون .

الدالة G _q معطاة صراحةً بواسطة

${\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{إذا كان }}x<-\nu ,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1-q}{c(q)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n(n+1)}(q-1)^{n}}{(1-q^{2n+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{n}}}x^{2n+1}&{\text{إذا كان }}-\nu \leq x\leq \nu \\1&{\text{إذا كان }}\ x>\nu \end{cases}}}$

أين

${\displaystyle (a+b)_{q}^{n}=\prod _{i=0}^{n-1}(a+q^{i}b).}$

تُعطى عزوم توزيع غاوس q بالصيغة التالية :

${\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,}$

${\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,}$

حيث أن الرمز [2n − 1 ] !! هو النظير q للمضروب المزدوج المعطى بواسطة  

${\displaystyle [2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,}$

• عملية Q-Gaussian

• دياز، ر.؛ باريجوان، إ. (2009). "حول توزيع غاوس q". مجلة التحليل الرياضي وتطبيقاته . 358 : 1-9 . arXiv : 0807.1918 . doi : 10.1016/j.jmaa.2009.04.046 . S2CID 115175228 . 
• دياز، ر.؛ تيرويل، س. (2005). "دوال غاما وبيتا المعممة من النوع q,k" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء الرياضية غير الخطية . 12 (1): 118-134 . arXiv : math/0405402 . Bibcode : 2005JNMP...12..118D . doi : 10.2991/jnmp.2005.12.1.10 . S2CID 73643153 . 
• فان ليوين، هـ.؛ ماسن، هـ. (1995). " تشويه q لتوزيع غاوس" (ملف PDF) . مجلة الفيزياء الرياضية . 36 (9): 4743. Bibcode : 1995JMP....36.4743V . CiteSeerX 10.1.1.24.6957 . doi : 10.1063/1.530917 . hdl : 2066/141604 . S2CID 13934946 .  
• إكستون، هـ. (1983)، الدوال الهندسية الفائقة من النوع q وتطبيقاتها ، نيويورك: مطبعة هالستيد، تشيتشستر: إليس هوروود، 1983، رقم ISBN 0853124914، ISBN 0470274530، ISBN 978-0470274538