q-Gaussian process

q-Gaussian processes are deformations of the usual Gaussian distribution. There are several different versions of this; here we treat a multivariate deformation, also addressed as q-Gaussian process, arising from free probability theory and corresponding to deformations of the canonical commutation relations. For other deformations of Gaussian distributions, see q-Gaussian distribution and Gaussian q-distribution.

The q-Gaussian process was formally introduced in a paper by Frisch and Bourret^[1] under the name of parastochastics, and also later by Greenberg^[2] as an example of infinite statistics. It was mathematically established and investigated in papers by Bozejko and Speicher^[3] and by Bozejko, Kümmerer, and Speicher^[4] in the context of non-commutative probability.

It is given as the distribution of sums of creation and annihilation operators in a q-deformed Fock space. The calculation of moments of those operators is given by a q-deformed version of a Wick formula or Isserlis formula. The specification of a special covariance in the underlying Hilbert space leads to the q-Brownian motion,^[4] a special non-commutative version of classical Brownian motion.

In the following ${\displaystyle q\in [-1,1]}$ is fixed. Consider a Hilbert space ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. On the algebraic full Fock space

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\text{alg}}({\mathcal {H}})=\bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {H}}^{\otimes n},}$

where ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0}=\mathbb {C} \Omega }$ with a norm one vector $أوميغا$, called vacuum, we define a q-deformed inner product as follows:

${\displaystyle \langle h_{1}\otimes \cdots \otimes h_{n},g_{1}\otimes \cdots \otimes g_{m}\rangle _{q}=\delta _{nm}\sum _{\sigma \in S_{n}}\prod _{r=1}^{n}\langle h_{r},g_{\sigma (r)}\rangle q^{i(\sigma )},}$

where ${\displaystyle i(\sigma )=\#\{(k,\ell )\mid 1\leq k<\ell \leq n;\sigma (k)>\sigma (\ell )\}}$ is the number of inversions of ${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$.

The q-Fock space^[5] is then defined as the completion of the algebraic full Fock space with respect to this inner product

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{q}({\mathcal {H}})={\overline {\bigoplus _{n\geq 0}{\mathcal {H}}^{\otimes n}}}^{\langle \cdot ,\cdot \rangle _{q}}.}$

For ${\displaystyle -1<q<1}$ the q-inner product is strictly positive.^[3][6] For ${\displaystyle q=1}$ and ${\displaystyle q=-1}$ it is positive, but has a kernel, which leads in these cases to the symmetric and anti-symmetric Fock spaces, respectively.

For ${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$ we define the q-creation operator${\displaystyle a^{*}(h)}$, given by

${\displaystyle a^{*}(h)\Omega =h,\qquad a^{*}(h)h_{1}\otimes \cdots \otimes h_{n}=h\otimes h_{1}\otimes \cdots \otimes h_{n}.}$

Its adjoint (with respect to the q-inner product), the q-annihilation operator${\displaystyle a(h)}$, is given by

${\displaystyle a(h)\Omega =0,\qquad a(h)h_{1}\otimes \cdots \otimes h_{n}=\sum _{r=1}^{n}q^{r-1}\langle h,h_{r}\rangle h_{1}\otimes \cdots \otimes h_{r-1}\otimes h_{r+1}\otimes \cdots \otimes h_{n}.}$

Those operators satisfy the q-commutation relations^[7]

${\displaystyle a(f)a^{*}(g)-qa^{*}(g)a(f)=\langle f,g\rangle \cdot 1\qquad (f,g\in {\mathcal {H}}).}$

For ${\displaystyle q=1}$, ${\displaystyle q=0}$, and ${\displaystyle q=-1}$ويؤدي هذا إلى علاقات CCR، وعلاقات Cuntz، وعلاقات CAR، على التوالي. باستثناء الحالة${\displaystyle q=1,}$المشغلين${\displaystyle a^{*}(f)}$محدودة.

عوامل التشغيل من الشكل${\displaystyle s_{q}(h)={a(h)+a^{*}(h)}}$ ل${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$وتسمى هذه العناصر عناصر q-Gaussian ^{[ 5 ]} (أو q-semicircular ^{[ 8 ]} ).

على${\displaystyle {\mathcal {F}}_{q}({\mathcal {H}})}$نعتبر حالة التوقع الفراغي${\displaystyle \tau (T)=\langle \Omega ,T\Omega \rangle }$، ل${\displaystyle T\in {\mathcal {B}}({\mathcal {F}}({\mathcal {H}}))}$.

يُعرَّف التوزيع الغاوسي q (متعدد المتغيرات) أو عملية q-غاوسية ^{[ 4 ] [ 9 ]} بأنه التوزيع غير التبادلي لمجموعة من التوزيعات الغاوسية q بالنسبة لحالة التوقع الفراغي.${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{p}\in {\mathcal {H}}}$التوزيع المشترك لـ${\displaystyle s_{q}(h_{1}),\dots ,s_{q}(h_{p})}$بالنسبة إلى${\displaystyle \tau }$يمكن وصفها بالطريقة التالية: ^{[ 1 ] [ 3 ]} لأي${\displaystyle i\{1,\dots ,k\}\rightarrow \{1,\dots ,p\}}$لدينا

${\displaystyle \tau \left(s_{q}(h_{i(1)})\cdots s_{q}(h_{i(k)})\right)=\sum _{\pi \in {\mathcal {P}}_{2}(k)}q^{cr(\pi )}\prod _{(r,s)\in \pi }\langle h_{i(r)},h_{i(s)}\rangle ,}$

أين${\displaystyle cr(\pi )}$يشير إلى عدد تقاطعات تقسيم الزوج${\displaystyle \pi }$هذه نسخة مشوهة من صيغة ويك/إيسرليس.

عندما تكون قيمة p  تساوي  1، فإن توزيع q-Gaussian هو مقياس احتمالي على الفترة${\displaystyle [-2/{\sqrt {1-q}},2/{\sqrt {1-q}}]}$، مع صيغ تحليلية لكثافتها. ^{[ 10 ]} بالنسبة للحالات الخاصة${\displaystyle q=1}$،${\displaystyle q=0}$، و${\displaystyle q=-1}$، وهذا يختزل إلى التوزيع الغاوسي الكلاسيكي، وتوزيع ويغنر نصف الدائري ، وتوزيع برنولي المتناظر على${\displaystyle \pm 1}$. يتم تحديد الكثافة من النتائج القديمة ^{[ 11 ]} على كثيرات الحدود المتعامدة المقابلة .

جبر فون نيومان الناتج عن${\displaystyle s_{q}(h_{i})}$، ل${\displaystyle h_{i}}$يمر عبر نظام متعامد${\displaystyle (h_{i})_{i\in I}}$من المتجهات في${\displaystyle {\mathcal {H}}}$، يقلل لـ${\displaystyle q=0}$إلى عوامل المجموعة الحرة الشهيرة${\displaystyle L(F_{\vert I\vert })}$لقد كان فهم بنية جبر فون نيومان لقيم q العامة مصدرًا للعديد من الدراسات. ^{[ 12 ]} ومن المعروف الآن، بفضل أعمال غيونيه وشلياختينكو، ^{[ 13 ]} أنه على الأقل بالنسبة لقيم I المحدودة وقيم q الصغيرة، يكون جبر فون نيومان متماثلًا مع عامل المجموعة الحرة المقابل.