أقدام الوزغة

تتجاوز التفاعلات بين أقدام الوزغة وسطح التسلق مجرد تأثير مساحة السطح. إذ تحتوي أقدام الوزغة على العديد من الشعيرات المجهرية، أو الشعيرات الدقيقة (مفردها شعيرة)، مرتبة في صفائح تزيد من قوى فان دير فالس - وهي قوى التجاذب بين الذرات أو الجزيئات التي تعتمد على المسافة - بين أقدامها والسطح. هذه الشعيرات عبارة عن بروتينات هيكلية ليفية تبرز من البشرة ، المكونة من الكيراتين بيتا ^{[ 5 ]،} وهو مشابه للكيراتين ألفا الذي يُعدّ الوحدة البنائية الأساسية لجلد وأظافر الثدييات .

يتكون السطح السفلي لقدم الوزغة من ملايين الشعيرات الدقيقة التي تُسمى الأشواك. يبلغ طول هذه الأشواك 5 ميكرومترات، وهي أرق من شعرة الإنسان. تحتوي كل شعيرة على آلاف من التراكيب الدقيقة تُسمى الملاعق. تُولّد الوزغة قوة فان دير فالس من خلال ملامسة أسطح المواد باستخدام ملاعقها. كلما زاد عدد الملاعق، زادت مساحة السطح. تتميز الملاعق بحواف حادة، تنحني عند تطبيق ضغط بزاوية معينة، مما يزيد من مساحة التلامس مع السطح، وبالتالي يُتيح للوزغة التسلق عموديًا. وهكذا، تُولّد زيادة مساحة التلامس مع السطح قوة فان دير فالس أكبر لدعم جسم الوزغة بالكامل. يمكن لشعيرة واحدة أن تُولّد قوة متوسطة تبلغ 194 ميكرونيوتن. لو استطاعت الوزغة استخدام جميع أشواكها البالغ عددها 6.5 مليون شعيرة في آن واحد، لكانت قادرة على حمل لاعب كرة قدم أمريكية يزن 130 كيلوغرامًا (290 رطلًا) . ولكن في الواقع، لا تستطيع الوزغة رفع سوى 2 كيلوغرام (4.4 رطل) بأقدامها الأمامية. يبلغ قطر شعيرات الكيراتين بيتا حوالي 5 ميكرومتر . تتكون نهاية كل شعيرة من حوالي 1000 شعيرة سطحية على شكل مثلث متساوي الساقين . يبلغ طول كل شعيرة سطحية حوالي 200 نانومتر من جانب واحد، و10-30 نانومتر من الجانبين الآخرين. ^{[ 6 ]} تتراصف الشعيرات بشكل متوازٍ، ولكنها ليست عمودية على أصابع القدم. عند ملامسة الشعيرات لسطح آخر، يتحمل وزنها مركبتان: جانبية ورأسية. تُحدَّد المركبة الجانبية للحمل بتقشير الشعيرات السطحية، بينما تُحدَّد المركبة الرأسية بقوة القص .       

يمكن استخدام المعادلة التالية لوصف قوى فان دير فالس كمياً، وذلك بتقريب التفاعل على أنه بين سطحين مستويين:

${\displaystyle F=-{\frac {A_{\text{H}}}{12\pi D^{3}}}}$

حيث F هي قوة التفاعل، و _AH هو ثابت هامكر ، و D هي المسافة بين السطحين. شعيرات الوزغة أكثر تعقيدًا بكثير من سطح مستوٍ، إذ تحتوي كل قدم على ما يقارب 14000 شعيرة، كل منها مزودة بحوالي 1000 نتوء. تساعد هذه التفاعلات السطحية على تنعيم خشونة سطح الجدار، مما يُحسّن من تفاعل الوزغة مع سطح الجدار.

تؤثر عوامل عديدة على الالتصاق ، بما في ذلك:

• خشونة السطح
• المواد الممتصة ، مثل الجزيئات أو الرطوبة
• مساحة سطح التلامس لقدم الوزغة على السطح
• خصائص تدرج المادة (اعتماد معامل المرونة على العمق). ^{[ 7 ]}

باستخدام جهد التفاعل ثنائي القطب المشترك بين الجزيئين A و B:

${\displaystyle W_{\mathrm {AB} }=-{\frac {C_{\mathrm {AB} }}{D^{6}}}}$

حيث W _AB هي طاقة الوضع بين الجزيئات (بالجول ) ، و C _AB هو معامل التفاعل المشترك بين الجزيئات (بالجول/ ^متر  ) ، و D هي المسافة بين الجزيئاتs [بالمتر]. يمكن تقريب طاقة الوضع لجزيء واحد على مسافة عمودية D من السطح المستوي لمادة ممتدة بلا حدود على النحو التالي:

${\displaystyle W_{\mathrm {A,Plane}}=-\iiint \limits _{\text{كل المساحة}}\,{\frac {C_{\mathrm {AB} }\ \rho _{\mathrm {B} }}{(D')^{6}}}dV}$

حيث D′ هي المسافة بين الجزيء A وحجم متناهي الصغر من المادة B، و ρB هي الكثافة الجزيئية للمادة B (بوحدة جزيء/م³ ⁾ . ويمكن كتابة هذا التكامل في إحداثيات أسطوانية، حيث _x هي المسافة العمودية المقاسة من سطح B إلى الحجم المتناهي الصغر، و r هي المسافة الموازية.

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{\mathrm {A,Plane} }&=-C_{\mathrm {AB} }\rho _{\mathrm {B} }\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {2\pi r}{\left((D+x)^{2}+r^{2}\right)^{3}}}\,dr\,dx\\&=-{\frac {\pi C_{\mathrm {AB} }\rho _{\mathrm {B} }}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(D+x)^{4}}}\,dx\\&=-{\frac {\pi C_{\mathrm {AB} }\rho _{\mathrm {B} }}{6D^{3}}}\end{aligned}}}$

يمكن تحليل تفاعل الوزغة مع الجدار بتقريب ملعقة الوزغة على شكل أسطوانة طويلة نصف قطرها r _s . عندئذٍ يكون التفاعل بين ملعقة واحدة وسطح ما كما يلي:

${\displaystyle W_{\mathrm {seta,plane} }=-\iiint \limits _{\text{all space}}\,{\frac {\pi C_{\mathrm {AB} }\rho _{\mathrm {B} }\rho _{\mathrm {A} }}{6(D')^{6}}}\,dV}$

حيث D′ هي المسافة بين سطح المادة B وحجم متناهي الصغر من المادة A، و ρA هي الكثافة الجزيئية للمادة A (بوحدة جزيء/م³ ⁾ . باستخدام الإحداثيات الأسطوانية مرة أخرى، يمكننا إيجاد الجهد بين ملعقة الوزغة والمادة B، والذي يكون كالتالي _:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{\mathrm {s,p} }&=-{\frac {2\pi ^{2}C_{\mathrm {AB} }\rho _{\mathrm {A} }\rho _{\mathrm {B} }}{6}}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{r_{\mathrm {s} }}\,{\frac {r}{(D+x)^{3}}}\,dr\,dx\\&=-{\frac {\pi ^{2}C_{\mathrm {AB} }\rho _{\mathrm {A} }\rho _{\mathrm {B} }r_{\mathrm {s} }^{2}}{6}}\int _{0}^{\infty }\,{\frac {1}{(D+x)^{3}}}\,dx\\&=-{\frac {\pi ^{2}C_{\mathrm {AB} }\rho _{\mathrm {A} }\rho _{\mathrm {B} }r_{\mathrm {s} }^{2}}{12D^{2}}}\\&=-{\frac {A_{\mathrm {H} }r_{\mathrm {s} }^{2}}{12D^{2}}}\end{aligned}}}$

حيث أن A _H هو ثابت هامكر للمادتين A و B.

يمكن بعد ذلك حساب قوة فان دير فالس لكل ملعقة، F _s، عن طريق التفاضل بالنسبة إلى D ، فنحصل على:

${\displaystyle F_{\mathrm {s} }=-\left[{\frac {d}{dD}}(W_{\mathrm {s,p} })\right]=-{\frac {A_{\mathrm {H} }r_{\mathrm {s} }^{2}}{6D^{3}}}}$

يمكننا بعد ذلك إعادة ترتيب هذه المعادلة للحصول على r _s كدالة لـ A _H :

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{\mathrm {s} }&={\sqrt {\frac {6D^{3}F_{\mathrm {s} }}{A_{\mathrm {H} }}}}\approx {\sqrt {\frac {6(1.7\times 10^{-10}\ \mathrm {m} )^{3}(40\times 10^{-6}\ \mathrm {N} )}{A_{\mathrm {H} }}}}\\&=3.43\times 10^{-17}{\sqrt {\mathrm {N\ m^{3}} }}\times {\frac {1}{\sqrt {A_{\mathrm {H} }}}}\end{aligned}}}$

حيث تم استخدام مسافة نموذجية بين الذرات تبلغ 1.7  أنجستروم للمواد الصلبة المتلامسة وتم استخدام F _s بقيمة 40  ميكرونيوتن وفقًا لدراسة أجراها Autumn et al . ^{[ 5 ]}