عمومية الجبر

في تاريخ الرياضيات ، كانت عمومية الجبر عبارة استخدمها أوغستين لويس كوشي لوصف طريقة الحجة التي استخدمها في القرن الثامن عشر علماء الرياضيات مثل ليونهارد أويلر وجوزيف لويس لاجرانج ، ^[1] وخاصة في التلاعب بالمتسلسلات اللانهائية . وفقًا لكوتسييه، ^[2] افترض مبدأ عمومية الجبر، تقريبًا، أن القواعد الجبرية التي تنطبق على فئة معينة من التعبيرات يمكن تمديدها لتنطبق بشكل عام على فئة أكبر من الأشياء، حتى لو لم تعد القواعد صالحة بشكل واضح. ونتيجة لذلك، اعتقد علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر أنهم يمكنهم استخلاص نتائج ذات مغزى من خلال تطبيق قواعد الجبر وحساب التفاضل والتكامل المعتادة التي تنطبق على التوسعات المحدودة حتى عند التلاعب بالتوسعات اللانهائية.

في أعمال مثل Cours d'Analyse ، رفض كوشي استخدام أساليب "عمومية الجبر" وسعى إلى أساس أكثر صرامة للتحليل الرياضي .

مثال ^[2] هو اشتقاق أويلر للسلسلة

${\displaystyle {\frac {\pi -x}{2}}=\sin x+{\frac {1}{2}}\sin 2x+{\frac {1}{3}}\sin 3x+\cdots }$

( 1 )

لقد قام أولاً بتقييم الهوية ${\displaystyle 0<x<\pi }$

${\displaystyle {\frac {1-r\cos x}{1-2r\cos x+r^{2}}}=1+r\cos x+r^{2}\cos 2x+r^{3}\cos 3x+\cdots }$

( 2 )

للحصول على ${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle 0={\frac {1}{2}}+\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots .}$

( 3 )

تتباعد السلسلة اللانهائية على الجانب الأيمن من ( 3 ) لجميع الأعداد الحقيقية . ولكن مع ذلك، فإن تكامل هذا الحد تلو الحد يعطي ( 1 )، وهي هوية معروفة بأنها صحيحة من خلال تحليل فورييه . ^{[ مطلوب مثال ]}${\displaystyle x}$

• مبدأ الاستمرارية
• مبدأ النقل