مبدأ الديمومة

في تاريخ الرياضيات ، كان مبدأ الثبات ، أو قانون ثبات الأشكال المتكافئة ، هو الفكرة القائلة بأن العمليات الجبرية مثل الجمع والضرب يجب أن تتصرف بشكل متسق في كل نظام عددي ، وخاصة عند تطوير امتدادات للأنظمة العددية الراسخة . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

قبل ظهور الرياضيات الحديثة وتأكيدها على المنهج البديهي ، كان مبدأ الثبات يُعتبر أداةً مهمةً في الحجج الرياضية. أما في الرياضيات الحديثة، فقد حلت البراهين الدقيقة المبنية على البديهيات محل الحجج، ويُستخدم المبدأ الآن كطريقة استدلالية لاكتشاف بنى جبرية جديدة . ^{[ 3 ]} إضافةً إلى ذلك، تمّت صياغة المبدأ في فئة من النظريات تُسمى مبادئ النقل ، ^{[ 3 ]} والتي تنص على أن جميع عبارات لغة ما، إذا كانت صحيحةً لبنية معينة، فهي صحيحةٌ أيضًا لبنية أخرى.

وقد وصف جورج بيكوك هذا المبدأ في كتابه "رسالة في الجبر" (التشديد في الأصل): ^{[ 4 ]}

132. دعونا نعود مرة أخرى إلى هذا المبدأ أو القانون الخاص بثبات الأشكال المتكافئة ، وننظر فيه عندما يتم ذكره في شكل تناسب مباشر وعكسي .

" أي شكل مكافئ جبرياً لشكل آخر، عند التعبير عنه برموز عامة، يجب أن يكون صحيحاً، بغض النظر عما تدل عليه تلك الرموز. "

وعلى العكس من ذلك، إذا اكتشفنا شكلاً مكافئاً في الجبر الحسابي أو أي علم فرعي آخر، عندما تكون الرموز عامة في الشكل ولكنها محددة في طبيعتها، فيجب أن يكون الشكل نفسه مكافئاً، عندما تكون الرموز عامة في طبيعتها وكذلك في شكلها.

تم تنقيح المبدأ لاحقًا بواسطة هيرمان هانكل ^{[ 5 ] [ 6 ]} وتم اعتماده من قبل جوزيبي بيانو ، وإرنست ماخ ، وهيرمان شوبرت ، وألفريد برينغشيم ، وآخرين. ^{[ 7 ]}

في نفس الفترة الزمنية تقريبًا التي نُشر فيها كتاب "رسالة في الجبر" ، نشر أوغسطين لويس كوشي كتاب "دروس التحليل" ، الذي استخدم مصطلح " عمومية الجبر " ^{[ 8 ]} لوصف (وانتقاد) طريقة الحجاج التي استخدمها علماء الرياضيات في القرن الثامن عشر مثل أويلر ولاغرانج والتي كانت مشابهة لمبدأ الثبات.

تتمثل إحدى الاستخدامات الرئيسية لمبدأ الثبات في إثبات أن المعادلة الدالية التي تنطبق على الأعداد الحقيقية تنطبق أيضًا على الأعداد المركبة. ^{[ 9 ]}

على سبيل المثال، المعادلة${\displaystyle e^{s+t}-e^{s}e^{t}=0}$ينطبق هذا على جميع الأعداد الحقيقية s و t . وبحسب مبدأ الثبات للدوال ذات المتغيرين، فإن هذا يشير إلى أنه ينطبق على جميع الأعداد المركبة أيضًا. ^{[ 10 ]}

كمثال مضاد، ضع في اعتبارك الخصائص التالية

• خاصية التبادل في الجمع:${\displaystyle x+y=y+x}$للجميع${\displaystyle x,y}$،
• خاصية الحذف من اليسار في عملية الجمع: إذا${\displaystyle x+y=x+z}$، ثم${\displaystyle y=z}$للجميع${\displaystyle x,y,z}$.

تنطبق هاتان الخاصيتان على جميع الأعداد الطبيعية ، والصحيحة ، والنسبية ، والحقيقية ، والمركبة . مع ذلك، عند اتباع امتدادات جورج كانتور للأعداد الطبيعية إلى ما بعد اللانهاية، لا تحقق أيٌّ من الخاصيتين معًا.

• في الحساب الترتيبي ، يكون الجمع قابلاً للاختزال من اليسار، ولكنه لم يعد تبادليًا. على سبيل المثال،${\displaystyle 3+\omega =\omega \neq \omega +3}$.
• في الحساب الأصلي ، تكون عملية الجمع تبديلية، ولكنها لم تعد قابلة للاختزال من اليسار، لأن${\displaystyle x+y=max\{x,y\}}$حينما${\displaystyle x}$أو${\displaystyle y}$لا نهائي. على سبيل المثال،${\displaystyle \aleph _{0}+1=\aleph _{0}=\aleph _{0}+2}$، لكن${\displaystyle 1\neq 2}$[ ^{11 ]​}

وبالتالي فإن كلا النظامين، وهما نظاما الأعداد اللانهائية الصارمان المبكران، ينتهكان مبدأ الثبات.