تاريخ الرياضيات

يتناول تاريخ الرياضيات أصول الاكتشافات الرياضية والأساليب والرموز الرياضية القديمة . قبل العصر الحديث وانتشار المعرفة عالميًا، لم تظهر أمثلة مكتوبة للتطورات الرياضية الجديدة إلا في أماكن قليلة. فمنذ عام 3000 قبل الميلاد، بدأت دول بلاد ما بين النهرين ، سومر وأكاد وآشور ، ثم تلتها مصر القديمة ودولة إيبلا في بلاد الشام ، باستخدام الحساب والجبر والهندسة في الضرائب والتجارة وعلم الفلك ، لتسجيل الوقت وصياغة التقاويم .

أقدم النصوص الرياضية المتاحة تعود إلى بلاد ما بين النهرين ومصر، وهي : بليمبتون 322 ( بابلية ، حوالي 2000-1900 قبل الميلاد)، ^{[ 2 ]} وبردية رايند الرياضية ( مصرية ، حوالي 1800 قبل الميلاد)، ^{[ 3 ]} وبردية موسكو الرياضية (مصرية ، حوالي 1890 قبل الميلاد). تشير جميع هذه النصوص إلى ما يُعرف بالأثلاث الفيثاغورية ، ولذا، يُستنتج أن نظرية فيثاغورس هي أقدم وأوسع تطور رياضي، بعد الحساب والهندسة الأساسيين.

بدأ دراسة الرياضيات كعلمٍ تجريبي في القرن السادس قبل الميلاد على يد الفيثاغوريين ، الذين صاغوا مصطلح "الرياضيات" من الكلمة اليونانية القديمة μάθημα ( mathema )، والتي تعني "موضوع التعليم". ^{[ 4 ]} وقد حسّنت الرياضيات اليونانية أساليبها بشكلٍ كبير (خاصةً من خلال إدخال الاستدلال الاستنتاجي والدقة الرياضية في البراهين ) ووسّعت نطاق موضوعاتها. ^{[ 5 ]} استخدم الرومان القدماء الرياضيات التطبيقية في المسح ، والهندسة الإنشائية ، والهندسة الميكانيكية ، ومسك الدفاتر ، وإنشاء التقاويم القمرية والشمسية ، وحتى في الفنون والحرف . وقدّمت الرياضيات الصينية إسهاماتٍ مبكرة، بما في ذلك نظام القيمة المكانية والاستخدام الأول للأعداد السالبة . ^{[ 6 ] [ 7 ]} تطور نظام الأرقام الهندي العربي وقواعد استخدام عملياته، المستخدمة في جميع أنحاء العالم اليوم، على مدار الألفية الأولى الميلادية في الهند ، وانتقل إلى العالم الغربي عبر الرياضيات الإسلامية من خلال أعمال الخوارزمي . ^{[ 8 ] [ 9 ]} بدورها، طورت الرياضيات الإسلامية ووسعت نطاق الرياضيات المعروفة لهذه الحضارات. ^{[ 10 ]} بالتزامن مع هذه التقاليد، ولكن بشكل مستقل عنها، ظهرت الرياضيات التي طورتها حضارة المايا في المكسيك وأمريكا الوسطى ، حيث مُنح مفهوم الصفر رمزًا قياسيًا في أرقام المايا . تُرجمت العديد من النصوص اليونانية والعربية في الرياضيات إلى اللاتينية بدءًا من القرن الثاني عشر، مما أدى إلى مزيد من تطور الرياضيات في أوروبا في العصور الوسطى . من العصور القديمة وحتى العصور الوسطى ، غالبًا ما أعقبت فترات الاكتشافات الرياضية قرون من الركود. ^{[ 11 ]} بدءًا من عصر النهضة في إيطاليا في القرن الخامس عشر، تحققت تطورات رياضية جديدة، تفاعلت مع اكتشافات علمية جديدة، بوتيرة متسارعة.بوتيرة متزايدة تستمر حتى يومنا هذا. ويشمل ذلك العمل الرائد لكل من إسحاق نيوتن وجوتفريد فيلهلم لايبنتز في تطوير حساب التفاضل والتكامل خلال القرن السابع عشر والاكتشافات اللاحقة لعلماء الرياضيات الألمان مثل كارل فريدريش جاوس وديفيد هيلبرت .

تكمن أصول الفكر الرياضي في مفاهيم العدد ، والأنماط في الطبيعة ، والحجم ، والشكل . ^{[ 12 ]} وقد أظهرت الدراسات الحديثة للإدراك الحيواني أن هذه المفاهيم ليست حكرًا على البشر، بل كانت جزءًا من الحياة اليومية في مجتمعات الصيد وجمع الثمار . وتدعم فكرة تطور مفهوم "العدد" تدريجيًا عبر الزمن وجود لغات تحافظ على التمييز بين "واحد" و"اثنان" و"كثير"، ولكنها لا تُميّز بين الأعداد الأكبر من اثنين. ^{[ 12 ]}

يشير استخدام إنسان نياندرتال للخيوط قبل حوالي 40,000 عام في موقع أبري دو ماراس جنوب فرنسا إلى معرفتهم بمفاهيم أساسية في الرياضيات. ^{[ 13 ] [ 14 ]} أما عظمة إيشانغو ، التي عُثر عليها قرب منابع نهر النيل (شمال شرق الكونغو )، فقد يزيد عمرها عن 20,000 عام، وهي عبارة عن سلسلة من العلامات المنحوتة في ثلاثة أعمدة تمتد على طول العظمة. وتشير التفسيرات الشائعة إلى أن عظمة إيشانغو تُظهر إما عدّاً لأقدم دليل معروف على تسلسل الأعداد الأولية [ ^{15 ] أو} تقويماً قمرياً مدته ستة أشهر. ^{[ 16 ] [ 17 ]} ويرى بيتر رودمان أن تطور مفهوم الأعداد الأولية لم يكن ليحدث إلا بعد مفهوم القسمة، الذي يُرجّح أنه يعود إلى ما بعد 10,000 قبل الميلاد، حيث لم تكن الأعداد الأولية مفهومة على الأرجح حتى حوالي 500 قبل الميلاد. ويكتب أيضًا أنه "لم تُبذل أي محاولة لتفسير سبب احتواء عدّاد ما على مضاعفات العدد اثنين، وأعداد أولية بين 10 و20، وبعض الأعداد التي تكاد تكون مضاعفات للعدد 10". ^{[ 18 ]} ويُرجّح الباحث ألكسندر مارشاك أن عظمة إيشانغو قد أثّرت في التطور اللاحق للرياضيات في مصر، إذ أن الحساب المصري، كما هو الحال في بعض النقوش على عظمة إيشانغو، استخدم الضرب في 2؛ إلا أن هذا الأمر محل خلاف. ^{[ 19 ]}

صوّر المصريون في عصر ما قبل الأسرات، في الألفية الخامسة قبل الميلاد ، تصاميم هندسية. ويُزعم أن الآثار الضخمة في إنجلترا واسكتلندا ، التي يعود تاريخها إلى الألفية الثالثة قبل الميلاد، تتضمن أفكارًا هندسية مثل الدوائر والأهليجات والأثلاث الفيثاغورية في تصميمها. ^{[ 20 ]} ومع ذلك، فإن كل ما سبق محل خلاف، وأقدم الوثائق الرياضية التي لا جدال فيها حاليًا هي من مصادر بابلية ومصرية في عصر الأسرات. ^{[ 21 ]}

تشير الرياضيات البابلية إلى جميع أنواع الرياضيات التي امتلكتها شعوب بلاد ما بين النهرين ( العراق الحديث ) منذ عهد السومريين الأوائل وحتى العصر الهلنستي ، وقرب فجر المسيحية . ^{[ 22 ]} وينتمي معظم العمل الرياضي البابلي إلى فترتين متباعدتين: القرون القليلة الأولى من الألفية الثانية قبل الميلاد (العصر البابلي القديم) والقرون القليلة الأخيرة من الألفية الأولى قبل الميلاد ( العصر السلوقي ). ^{[ 23 ]} وقد سُميت بالرياضيات البابلية نسبةً إلى الدور المحوري الذي لعبته بابل كمركز للدراسة.

على النقيض من ندرة المصادر في الرياضيات المصرية ، فإن معرفة الرياضيات البابلية مستمدة من أكثر من 400 لوح طيني تم اكتشافها منذ خمسينيات القرن التاسع عشر. ^{[ 24 ]} كُتبت هذه الألواح بالخط المسماري ، ونُقشت بينما كان الطين رطبًا، ثم جُفّف في فرن أو تحت حرارة الشمس. ويبدو أن بعضها كان بمثابة واجبات منزلية مُصنّفة. ^{[ 25 ]}

تعود أقدم الأدلة على استخدام الرياضيات المكتوبة إلى السومريين القدماء ، الذين بنوا أقدم حضارة في بلاد ما بين النهرين. طور السومريون نظامًا معقدًا للقياسات منذ عام 3000 قبل الميلاد، وكان يُعنى بشكل أساسي بالحسابات الإدارية والمالية، مثل حصص الحبوب، والعمال، وأوزان الفضة، وحتى السوائل، وغيرها. ^{[ 26 ]} ومنذ حوالي عام 2500 قبل الميلاد فصاعدًا، كتب السومريون جداول الضرب على ألواح طينية، وتناولوا تمارين هندسية ومسائل قسمة . كما تعود أقدم آثار الأرقام البابلية إلى هذه الفترة. ^{[ 27 ]}

كُتبت الرياضيات البابلية باستخدام نظام العد الستيني (الأساس 60) . ^{[ 24 ]} ومن هذا النظام اشتُق الاستخدام الحديث لـ 60 ثانية في الدقيقة، و60 دقيقة في الساعة، و360 (60 × 6) درجة في الدائرة، بالإضافة إلى استخدام الثواني والدقائق القوسية للدلالة على كسور الدرجة. يُعتقد أن النظام الستيني استُخدم في البداية من قِبل الكتبة السومريين لأن العدد 60 يقبل القسمة بالتساوي على 2، 3، 4، 5، 6، 10، 12، 15، 20، و30، ^{[ 24 ]} ولأن قدرة الكتبة على الحساب اليدوي بسهولة كانت ضرورية (لتوزيع حصص الحبوب المذكورة، وتسجيل أوزان الفضة، وما إلى ذلك)، ولذلك يُعد النظام الستيني أسهل عمليًا في الحساب اليدوي. مع ذلك، ثمة احتمال أن يكون استخدام النظام الستيني ظاهرةً إثنيةً لغويةً (قد لا تُعرف أبدًا)، وليس قرارًا رياضيًا/عمليًا. ^{[ 28 ]} كذلك، وعلى عكس المصريين واليونانيين والرومان، امتلك البابليون نظامًا للقيمة المكانية، حيث تمثل الأرقام المكتوبة في العمود الأيسر قيمًا أكبر، كما هو الحال في النظام العشري . تكمن قوة نظام التدوين البابلي في إمكانية استخدامه لتمثيل الكسور بسهولة تمثيل الأعداد الصحيحة؛ وبالتالي، فإن ضرب عددين يحتويان على كسور لا يختلف عن ضرب الأعداد الصحيحة، على غرار التدوين الحديث. كان نظام التدوين البابلي الأفضل بين جميع الحضارات حتى عصر النهضة ، وسمحت له قوته بتحقيق دقة حسابية ملحوظة؛ فعلى سبيل المثال، يُعطي اللوح البابلي YBC 7289 تقريبًا لـ √2 بدقة تصل إلى خمسة منازل عشرية. ^{[ 29 ]} مع ذلك، افتقر البابليون إلى ما يُعادل الفاصلة العشرية، ولذا كان لا بد من استنتاج القيمة المكانية للرمز من السياق. ^{[ 23 ]} بحلول العصر السلوقي، طوّر البابليون رمز الصفر كرمزٍ للمواقع الفارغة؛ إلا أنه استُخدم فقط للمواقع الوسيطة. ^{[ 23 ]} لا يظهر رمز الصفر هذا في المواقع النهائية؛ وبالتالي، اقترب البابليون من تطوير نظام قيمة مكانية حقيقي، لكنهم لم يفعلوا. ^{[ 23 ]}

تشمل المواضيع الأخرى التي تناولتها الرياضيات البابلية الكسور والجبر والمعادلات التربيعية والتكعيبية، وحساب الأعداد المنتظمة ومقلوباتها . ^{[ 30 ]} كما تتضمن الألواح جداول الضرب وطرق حل المعادلات الخطية والتربيعية والتكعيبية ، وهو إنجازٌ بارزٌ في ذلك الوقت. ^{[ 31 ]} وتحتوي ألواح العصر البابلي القديم أيضًا على أقدم نص معروف لنظرية فيثاغورس . ^{[ 32 ]} ومع ذلك، وكما هو الحال في الرياضيات المصرية، لا تُظهر الرياضيات البابلية أي وعي بالفرق بين الحلول الدقيقة والتقريبية، أو قابلية حل المسألة، والأهم من ذلك، أنها لا تُشير صراحةً إلى الحاجة إلى البراهين أو المبادئ المنطقية. ^{[ 25 ]}

يشير مصطلح الرياضيات المصرية إلى الرياضيات المكتوبة باللغة المصرية القديمة . ومنذ العصر الهلنستي ، حلت اللغة اليونانية محل اللغة المصرية كلغة كتابة للعلماء المصريين . وتشير الأدلة الأثرية إلى أن نظام العد المصري القديم يعود أصله إلى أفريقيا جنوب الصحراء الكبرى . ^{[ 33 ]} كما أن تصاميم الهندسة الكسورية، المنتشرة على نطاق واسع بين ثقافات أفريقيا جنوب الصحراء الكبرى، موجودة أيضًا في العمارة المصرية والرموز الكونية. ^{[ 34 ]} وتضمنت المنشآت الضخمة الموجودة في نبتة بلايا ، بصعيد مصر ، ترتيبات فلكية وتقويمية متوافقة مع الشروق الهلالي لنجم الشعرى اليمانية ، ودعمت معايرة التقويم السنوي لفيضان النيل السنوي. ^{[ 35 ]}

يُعدّ بردية ريند (وتُسمى أحيانًا بردية أحمس نسبةً إلى مؤلفها) النص الرياضي المصري الأشمل، ويعود تاريخها إلى حوالي 1650 قبل الميلاد، ولكن يُرجّح أنها نسخة من وثيقة أقدم تعود إلى عصر الدولة الوسطى (حوالي 2000-1800 قبل الميلاد). ^{[ 36 ]} وهي بمثابة دليل تعليمي للطلاب في الحساب والهندسة. فبالإضافة إلى تقديمها صيغ حساب المساحات وطرق الضرب والقسمة والتعامل مع الكسور الوحدوية، فإنها تحتوي أيضًا على أدلة على معارف رياضية أخرى، ^{[ 37 ]} بما في ذلك الأعداد المركبة والأعداد الأولية ؛ والمتوسطات الحسابية والهندسية والتوافقية ؛ وفهم مبسط لكل من غربال إراتوستينس ونظرية الأعداد الكاملة (وتحديدًا العدد 6). ^{[ 38 ]} كما تُبيّن كيفية حل المعادلات الخطية من الدرجة الأولى ^{[ 39 ]} بالإضافة إلى المتسلسلات الحسابية والهندسية . ^{[ 40 ]}

ومن النصوص الرياضية المصرية الهامة الأخرى بردية موسكو ، التي تعود أيضاً إلى عصر الدولة الوسطى ، ويؤرخ تاريخها إلى حوالي 1890 قبل الميلاد. ^{[ 41 ]} وهي تتألف مما يُعرف اليوم بالمسائل اللفظية أو المسائل القصصية ، والتي كانت على ما يبدو تهدف إلى التسلية. وتُعتبر إحدى المسائل ذات أهمية خاصة لأنها تُقدم طريقة لإيجاد حجم المخروط الناقص (الهرم المقطوع).

وأخيرًا، تُظهر بردية برلين 6619 ( حوالي 1800 قبل الميلاد) أن المصريين القدماء كانوا قادرين على حل معادلة جبرية من الدرجة الثانية . ^{[ 42 ]}

يشير مصطلح الرياضيات اليونانية إلى الرياضيات المكتوبة باللغة اليونانية منذ عهد طاليس الملطي (حوالي 600 قبل الميلاد) وحتى إغلاق أكاديمية أثينا عام 529 ميلادي. ^{[ 43 ]} عاش علماء الرياضيات اليونانيون في مدن منتشرة في جميع أنحاء شرق البحر الأبيض المتوسط، من إيطاليا إلى شمال إفريقيا، ولكن جمعتهم الثقافة واللغة. تُسمى الرياضيات اليونانية في الفترة التي تلت الإسكندر الأكبر أحيانًا بالرياضيات الهلنستية . ^{[ 44 ]}

كانت الرياضيات اليونانية أكثر تطوراً بكثير من الرياضيات التي طورتها الحضارات السابقة. تُظهر جميع السجلات الباقية للرياضيات ما قبل اليونانية استخدام الاستدلال الاستقرائي ، أي الملاحظات المتكررة المستخدمة لوضع قواعد عامة. في المقابل، استخدم علماء الرياضيات اليونانيون الاستدلال الاستنتاجي . استخدم اليونانيون المنطق لاستخلاص النتائج من التعريفات والمسلمات، واستخدموا الدقة الرياضية لإثباتها. ^{[ 45 ]}

يُعتقد أن الرياضيات اليونانية بدأت مع طاليس الملطي ( حوالي 624 - 546 قبل الميلاد) وفيثاغورس الساموسي ( حوالي 582 - 507 قبل الميلاد). ورغم اختلاف الآراء حول مدى تأثيرهما، فمن المرجح أنهما استلهما من الرياضيات المصرية والبابلية . وتقول الأسطورة إن فيثاغورس سافر إلى مصر ليتعلم الرياضيات والهندسة والفلك من الكهنة المصريين.  

استخدم طاليس الهندسة لحل مسائل مثل حساب ارتفاع الأهرامات ومسافة السفن عن الشاطئ. ويُنسب إليه الفضل في أول استخدام للاستدلال الاستنتاجي في الهندسة، وذلك باستنباطه أربع نتائج لنظرية طاليس . ونتيجة لذلك، يُعتبر أول عالم رياضيات حقيقي وأول شخص معروف يُنسب إليه اكتشاف رياضي. ^{[ 46 ]} أسس فيثاغورس المدرسة الفيثاغورية ، التي كان مذهبها أن الرياضيات تحكم الكون، وكان شعارها "الكل عدد". ^{[ 47 ]} كان الفيثاغوريون هم من صاغوا مصطلح "الرياضيات"، وبدأ معهم دراسة الرياضيات لذاتها. يُنسب إلى الفيثاغوريين أول برهان لنظرية فيثاغورس ، ^{[ 48 ]} على الرغم من أن نص النظرية له تاريخ طويل، كما يُنسب إليهم برهان وجود الأعداد غير النسبية . ^{[ 49 ] [ 50 ]} على الرغم من أن البابليين والهنود والصينيين سبقوه ، ^{[ 51 ]} إلا أن عالم الرياضيات الفيثاغوري المحدث نيكوماخوس (60-120 م) قدّم أحد أقدم جداول الضرب اليونانية الرومانية ، بينما يوجد أقدم جدول ضرب يوناني موجود على لوح شمعي يعود تاريخه إلى القرن الأول الميلادي (موجود الآن في المتحف البريطاني ). ^{[ 52 ]} ويتضح ارتباط الفيثاغوريين المحدثين بالاختراع الغربي لجدول الضرب من خلال اسمه في العصور الوسطى المتأخرة : منسا فيثاغوريكا . ^{[ 53 ]}

يُعدّ أفلاطون (428/427 ق.م. - 348/347 ق.م.) شخصيةً بارزةً في تاريخ الرياضيات، إذ ألهمَ ووجّهَ غيره. ^{[ 54 ]} أصبحت أكاديميته الأفلاطونية في أثينا مركزًا رياضيًا عالميًا في القرن الرابع قبل الميلاد، ومن هذه المدرسة انطلق أبرز علماء الرياضيات في عصره، مثل إيدوكسوس الكنيدي ( حوالي 390 - حوالي 340 ق.م.). ^{[ 55 ]} كما ناقش أفلاطون أسس الرياضيات، ^{[ 56 ]} ووضّح بعض التعريفات (مثل تعريف الخط بأنه "طول بلا عرض"). 

طوّر إيدوكسوس طريقة الاستنفاد ، وهي مقدمة للتكامل الحديث ^{[ 57 ]} ، ونظرية النسب التي تجنّبت مشكلة المقادير غير القابلة للقياس . ^{[ 58 ]} سمحت الأولى بحساب مساحات وأحجام الأشكال المنحنية، ^{[ 59 ]} بينما مكّنت الثانية علماء الهندسة اللاحقين من تحقيق تقدّم كبير في الهندسة. على الرغم من أنه لم يُقدّم اكتشافات رياضية تقنية محددة، إلا أن أرسطو (384- حوالي 322 قبل الميلاد ) ساهم بشكل كبير في تطوير الرياضيات من خلال وضع أسس المنطق . ^{[ 60 ]}

في القرن الثالث قبل الميلاد ، كان متحف الإسكندرية المركز الأبرز للتعليم والبحث الرياضي . ^{[ 62 ]} هناك، قام إقليدس ( حوالي 300 قبل الميلاد ) بالتدريس وكتابة كتاب الأصول ، الذي يُعتبر على نطاق واسع أنجح وأكثر الكتب الدراسية تأثيرًا على مر العصور. ^{[ 1 ]} أدخل كتاب الأصول الدقة الرياضية من خلال المنهج البديهي ، وهو أقدم مثال على الصيغة المستخدمة حتى اليوم في الرياضيات، وهي التعريف، والبديهية، والنظرية، والبرهان. على الرغم من أن معظم محتويات كتاب الأصول كانت معروفة بالفعل، إلا أن إقليدس رتبها في إطار منطقي متماسك. ^{[ 63 ]} كان كتاب الأصول معروفًا لجميع المتعلمين في الغرب حتى منتصف القرن العشرين، ولا تزال محتوياته تُدرّس في دروس الهندسة حتى اليوم. ^{[ 64 ]} بالإضافة إلى النظريات المألوفة في الهندسة الإقليدية ، كان كتاب الأصول بمثابة كتاب تمهيدي لجميع المواضيع الرياضية في ذلك الوقت، مثل نظرية الأعداد والجبر والهندسة الفراغية ، ^{[ 63 ]} بما في ذلك براهين على أن الجذر التربيعي للعدد اثنين عدد غير نسبي وأن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. كما كتب إقليدس باستفاضة في مواضيع أخرى، مثل القطوع المخروطية والبصريات والهندسة الكروية والميكانيكا ^، ولكن لم يبقَ من كتاباته إلا نصفها. [ ^{65 ]}

أرخميدس ( حوالي 287-212 قبل الميلاد) السرقوسي ، الذي يُعتبر على نطاق واسع أعظم رياضيي العصور القديمة، ^{[ 66 ]} استخدم طريقة الاستنفاد لحساب المساحة تحت قوس القطع المكافئ بجمع متسلسلة لانهائية ، بطريقة لا تختلف كثيرًا عن حساب التفاضل والتكامل الحديث. ^{[ 67 ]} كما بيّن أنه يمكن استخدام طريقة الاستنفاد لحساب قيمة π بدقة عالية، وحصل على أدق قيمة معروفة لـ π آنذاك، وهي 3 + 10/71 < π < 3 + 10/70 . [ ⁶⁸ ] ^كما درس الحلزون الذي يحمل اسمه، وحصل على صيغ لأحجام أسطح الدوران ( القطع المكافئ، والقطع الناقص، والقطع الزائد ⁾ ، ^{[ 67} ] وطريقة بارعة ^للأس للتعبير عن الأعداد الكبيرة جدًا . ^{[ 69 ]} مع أنه معروفٌ أيضاً بإسهاماته في الفيزياء والعديد من الأجهزة الميكانيكية المتقدمة، إلا أن أرخميدس نفسه أولى قيمةً أكبر بكثير لنتاج فكره ومبادئه الرياضية العامة. ^{[ 70 ]} فقد اعتبر أعظم إنجازاته اكتشافه لمساحة سطح وحجم الكرة، والذي توصل إليه بإثبات أن هاتين القيمتين تساويان ثلثي مساحة سطح وحجم أسطوانة محيطة بالكرة. ^{[ 71 ]}

قدّم أبولونيوس البرغي ( حوالي 262-190 قبل الميلاد) إسهاماتٍ جليلة في دراسة القطوع المخروطية ، مُبيّنًا إمكانية الحصول على الأنواع الثلاثة للقطوع المخروطية بتغيير زاوية المستوى الذي يقطع مخروطًا مزدوج الرأس. ^{[ 72 ]} كما صاغ المصطلحات المُستخدمة اليوم للقطوع المخروطية، وهي: القطع المكافئ (الموضع بجانب أو "المقارنة")، والقطع الناقص (النقص)، والقطع الزائد (الامتداد إلى ما وراء). ^{[ 73 ]} يُعدّ كتابه "القطوع المخروطية " من أشهر الأعمال الرياضية وأكثرها حفظًا من العصور القديمة، وقد استنتج فيه العديد من النظريات المتعلقة بالقطوع المخروطية التي أثبتت قيمتها الكبيرة لعلماء الرياضيات والفلك اللاحقين الذين درسوا حركة الكواكب، مثل إسحاق نيوتن. ^{[ 74 ]} على الرغم من أن أبولونيوس ولا أي من علماء الرياضيات اليونانيين الآخرين لم ينتقلوا إلى الهندسة الإحداثية، إلا أن معالجة أبولونيوس للمنحنيات تشبه إلى حد ما المعالجة الحديثة، ويبدو أن بعض أعماله تستبق تطور الهندسة التحليلية على يد ديكارت بعد حوالي 1800 عام. ^{[ 75 ]}

في نفس الفترة تقريبًا، ابتكر إراتوستينس القيرواني ( حوالي 276-194 قبل الميلاد) غربال إراتوستينس لإيجاد الأعداد الأولية . ^{[ 76 ]} يُعتبر القرن الثالث قبل الميلاد عمومًا "العصر الذهبي" للرياضيات اليونانية، حيث شهدت الرياضيات البحتة بعد ذلك تراجعًا نسبيًا. ^{[ 77 ]} ومع ذلك، شهدت القرون اللاحقة تقدمًا ملحوظًا في الرياضيات التطبيقية، ولا سيما علم المثلثات ، وذلك لتلبية احتياجات علماء الفلك. ^{[ 77 ]} يُعتبر هيبارخوس النيقاوي ( حوالي 190-120 قبل الميلاد) مؤسس علم المثلثات لتجميعه أول جدول مثلثي معروف، ويُنسب إليه أيضًا الاستخدام المنهجي لدائرة 360 درجة. ^{[ 78 ]} يُنسب إلى هيرون الإسكندري ( حوالي 10-70 م) صيغة هيرون لحساب مساحة المثلث المختلف الأضلاع، كما يُنسب إليه الفضل في كونه أول من أدرك إمكانية وجود جذور تربيعية للأعداد السالبة. ^{[ 79 ]} رائد علم المثلثات الكروية من خلال نظرية مينلاوس الإسكندري ( حوالي 100 م ) هو من وضع أسس علم المثلثات الكروية . ^{[ 80 ]} يُعد كتاب المجسطي لبطليموس ( حوالي 90-168 م ) العمل الأكثر اكتمالًا وتأثيرًا في علم المثلثات في العصور القديمة ، وهو أطروحة فلكية بارزة استُخدمت جداولها المثلثية من قِبل علماء الفلك لألف عام تالية. ^{[ 81 ]} يُنسب إلى بطليموس أيضًا نظرية بطليموس لاستنتاج الكميات المثلثية، وأدق قيمة لـ π خارج الصين حتى العصور الوسطى، وهي 3.1416. ^{[ 82 ]}

بعد فترة من الركود عقب بطليموس، يُشار أحيانًا إلى الفترة بين عامي 250 و350 ميلاديًا باسم "العصر الفضي" للرياضيات اليونانية. ^{[ 83 ]} خلال هذه الفترة، حقق ديوفانتوس تقدمًا ملحوظًا في الجبر، ولا سيما التحليل غير المحدد ، المعروف أيضًا باسم "التحليل الديوفانتي". ^{[ 84 ]} ولا تزال دراسة المعادلات الديوفانتية والتقريبات الديوفانتية مجالًا بحثيًا هامًا حتى يومنا هذا. وكان عمله الرئيسي هو كتاب "الحساب" ، وهو عبارة عن مجموعة من 150 مسألة جبرية تتناول الحلول الدقيقة للمعادلات المحددة وغير المحددة . ^{[ 85 ]} وكان لكتاب "الحساب" تأثير كبير على علماء الرياضيات اللاحقين، مثل بيير دي فيرما ، الذي توصل إلى نظريته الأخيرة الشهيرة بعد محاولته تعميم مسألة قرأها في كتاب "الحساب" (وهي مسألة تقسيم مربع إلى مربعين). ^{[ 86 ]} كما حقق ديوفانتوس تقدماً كبيراً في مجال التدوين، حيث كانت كتاباته الحسابية أول مثال على الرمزية الجبرية والإيقاع المتقطع. ^{[ 85 ]}

يُعدّ بابوس الإسكندري (القرن الرابع الميلادي) من بين آخر علماء الرياضيات اليونانيين العظام . اشتهر بنظرية السداسي ونظرية مركز الثقل ، بالإضافة إلى تكوين بابوس ورسم بابوس البياني . تُشكّل مجموعته مصدرًا رئيسيًا للمعرفة في الرياضيات اليونانية، إذ نجا معظمها. ^{[ 87 ]} يُعتبر بابوس آخر المُجدّدين الرئيسيين في الرياضيات اليونانية، حيث اقتصرت أعماله اللاحقة في الغالب على شروحٍ لأعمالٍ سابقة.

كانت هيباتيا الإسكندرية (350-415 م) أول عالمة رياضيات مسجلة ، وقد ألّفت العديد من الأعمال في الرياضيات التطبيقية. وبسبب نزاع سياسي، قامت الطائفة المسيحية في الإسكندرية بتجريدها من ملابسها علنًا وإعدامها. ^{[ 88 ]} يُعتبر موتها أحيانًا نهاية عصر الرياضيات اليونانية في الإسكندرية، على الرغم من استمرار العمل في أثينا لقرن آخر مع شخصيات مثل بروكلس وسيمبليكيوس وإيوتوكيوس . ^{[ 89 ]} مع أن بروكلس وسيمبليكيوس كانا أقرب إلى الفلاسفة منهما إلى علماء الرياضيات، إلا أن تعليقاتهما على الأعمال السابقة تُعدّ مصادر قيّمة في الرياضيات اليونانية. ويُعتبر إغلاق أكاديمية أثينا الأفلاطونية المحدثة على يد الإمبراطور جستنيان عام 529 م تقليديًا نهاية عصر الرياضيات اليونانية، على الرغم من استمرار التقاليد اليونانية دون انقطاع في الإمبراطورية البيزنطية مع علماء رياضيات مثل أنثيميوس التراليسي وإيسيدور الميليتي ، مهندسي آيا صوفيا . ^{[ 90 ]} ومع ذلك، كانت الرياضيات البيزنطية تتألف في الغالب من شروح، مع القليل من الابتكار، وكانت مراكز الابتكار الرياضي موجودة في أماكن أخرى بحلول ذلك الوقت. ^{[ 91 ]}

على الرغم من استمرار وجود علماء الرياضيات اليونانيين في ظل حكم الجمهورية الرومانية المتأخرة والإمبراطورية الرومانية اللاحقة ، لم يكن هناك علماء رياضيات لاتينيون بارزون بالمقارنة. ^{[ 92 ] [ 93 ]} اعتقد الرومان القدماء ، مثل شيشرون (106-43 قبل الميلاد)، وهو رجل دولة روماني مؤثر درس الرياضيات في اليونان، أن المساحين والحاسبين الرومان كانوا أكثر اهتمامًا بالرياضيات التطبيقية من الرياضيات النظرية والهندسة التي كان اليونانيون يقدرونها. ^{[ 94 ]} من غير الواضح ما إذا كان الرومان قد استمدوا نظامهم العددي مباشرةً من النموذج اليوناني أو من الأرقام الأترورية التي استخدمتها الحضارة الأترورية التي تمركزت في ما يُعرف الآن بتوسكانا ، وسط إيطاليا . ^{[ 95 ]}

برع الرومان في استخدام الحساب، فكانوا بارعين في كل من التحريض على الاحتيال المالي وكشفه ، فضلاً عن إدارة الضرائب للخزانة . ^{[ 96 ]} كتب سيكولوس فلاكوس ، أحد المساحين الرومان (أي مساحي الأراضي)، كتاب " فئات الحقول" ، الذي ساعد المساحين الرومان في قياس مساحات الأراضي والمناطق المخصصة. ^{[ 97 ]} وإلى جانب إدارة التجارة والضرائب، استخدم الرومان الرياضيات بانتظام لحل المشكلات الهندسية ، بما في ذلك تشييد المباني كالجسور ، وبناء الطرق ، والتحضير للحملات العسكرية . ^{[ 98 ]} أما الفنون والحرف ، كالفسيفساء الرومانية المستوحاة من التصاميم اليونانية السابقة ، فقد ابتكرت أنماطًا هندسية آسرة ومشاهد غنية بالتفاصيل تطلبت قياسات دقيقة لكل قطعة من قطع الفسيفساء ، حيث بلغ متوسط ​​مساحة قطع "أوبوس تيسيلاتوم" ثمانية ملليمترات مربعة، بينما بلغ متوسط ​​مساحة قطع "أوبوس فيرميكولاتوم" الأكثر دقة أربعة ملليمترات مربعة. ^{[ 99 ] [ 100 ]}

استلزم وضع التقويم الروماني أيضًا معرفة أساسية بالرياضيات. يُزعم أن أول تقويم يعود تاريخه إلى القرن الثامن قبل الميلاد خلال عهد المملكة الرومانية ، وكان يتألف من 356 يومًا بالإضافة إلى سنة كبيسة كل سنتين. ^{[ 101 ]} في المقابل، احتوى التقويم القمري في العصر الجمهوري على 355 يومًا، أي أقصر بنحو عشرة أيام وربع من السنة الشمسية ، وهو اختلاف تم حله بإضافة شهر إضافي إلى التقويم بعد الثالث والعشرين من فبراير. ^{[ 102 ]} وقد حل محل هذا التقويم التقويم اليولياني ، وهو تقويم شمسي وضعه يوليوس قيصر (100-44 قبل الميلاد) وابتكره سوسيجينس الإسكندري ليتضمن يومًا كبيسًا كل أربع سنوات في دورة مدتها 365 يومًا. ^{[ 103 ]} تم تصحيح هذا التقويم، الذي احتوى على خطأ قدره 11 دقيقة و14 ثانية، لاحقًا بواسطة التقويم الغريغوري الذي وضعه البابا غريغوري الثالث عشر ( حكم من 1572 إلى 1585 )، وهو تقريبًا نفس التقويم الشمسي المستخدم في العصر الحديث كتقويم دولي قياسي. ^{[ 104 ]}

في نفس الفترة تقريبًا، اخترع كل من الصينيين الهان والرومان جهاز عداد المسافات ذي العجلات لقياس المسافات المقطوعة، وقد وصف المهندس المعماري الروماني فيتروفيوس ( حوالي 80 ق.م. - حوالي 15 ق.م. ) النموذج الروماني لأول مرة. ^{[ 105 ]} استُخدم الجهاز على الأقل حتى عهد الإمبراطور كومودوس ( حكم من 177 إلى 192 م )، ولكن يبدو أن تصميمه قد فُقد حتى أُجريت تجارب عليه خلال القرن الخامس عشر في أوروبا الغربية. ^{[ 106 ]} ربما بالاعتماد على آلية تروس وتقنية مماثلة لتلك الموجودة في آلية أنتيكيثيرا ، تميز عداد المسافات الخاص بفيتروفيوس بعجلات عربة يبلغ قطرها 1.2 متر (4 أقدام ) تدور 400 مرة في الميل الروماني الواحد (حوالي 1400 متر/4590 قدمًا). مع كل دورة، يقوم جهاز ذو دبوس ومحور بتشغيل عجلة مسننة ذات 400 سن ، والتي بدورها تدير ترسًا ثانيًا مسؤولًا عن إسقاط الحصى في صندوق، حيث تمثل كل حصاة ميلًا واحدًا تم قطعه. ^{[ 107 ]}      

أظهر تحليل الرياضيات الصينية المبكرة تطورها الفريد مقارنةً بأجزاء أخرى من العالم، ما دفع الباحثين إلى افتراض تطور مستقل تمامًا. ^{[ 108 ]} يُعدّ كتاب "تشوبي سوانجينغ " (周髀算經) أقدم نص رياضي باقٍ من الصين ، ويُؤرّخ له تاريخٌ مُختلف بين 1200 و100 قبل الميلاد، مع أن تاريخًا يعود إلى حوالي 300 قبل الميلاد خلال فترة الممالك المتحاربة يبدو منطقيًا. ^{[ 109 ]} مع ذلك، فإنّ " شرائح الخيزران من تسينغهوا" ، التي تحتوي على أقدم جدول ضرب عشري معروف (مع أن البابليين القدماء كان لديهم جداول ضرب أساسها 60)، يُؤرّخ لها حوالي 305 قبل الميلاد، وربما تكون أقدم نص رياضي باقٍ من الصين. ^{[ 51 ]}

من الجدير بالذكر استخدام نظام الترقيم العشري الموضعي في الرياضيات الصينية، والمعروف باسم "الأرقام العصوية"، حيث استُخدمت رموز مميزة للأعداد من 1 إلى 10، ورموز إضافية لقوى العشرة. ^{[ 110 ]} فعلى سبيل المثال، يُكتب العدد 123 باستخدام رمز "1"، متبوعًا برمز "100"، ثم رمز "2"، متبوعًا برمز "10"، ثم رمز "3". كان هذا النظام العددي الأكثر تطورًا في العالم آنذاك، ويبدو أنه كان مستخدمًا قبل عدة قرون من الميلاد وقبل ظهور نظام الأرقام الهندي. ^{[ 111 ]} سمحت الأرقام العصوية بتمثيل أعداد كبيرة كما سمح بإجراء العمليات الحسابية على "السوان بان" ، أو المعداد الصيني. تاريخ اختراع آلة سوان بان غير مؤكد، لكن أقدم ذكر مكتوب لها يعود إلى عام 190 ميلادي، في ملاحظات شو يو التكميلية حول فن الأشكال .

أقدم عمل باقٍ في الهندسة في الصين يعود إلى كتاب " مو جينغ " الفلسفي ، الذي جُمِعَ حوالي عام 330 قبل الميلاد ، على يد أتباع موزي (470-390 قبل الميلاد). وصف كتاب "مو جينغ" جوانبَ مختلفةً من العديد ^{من المجالات المرتبطة بالعلوم الفيزيائية ،} وقدّم عددًا قليلًا من النظريات الهندسية أيضًا. ^{[ 112 ]} كما عرّف مفاهيم المحيط والقطر ونصف القطر والحجم . [ ¹¹³ ]

في عام ٢١٢ قبل الميلاد، أمر الإمبراطور تشين شي هوانغ بحرق جميع الكتب في إمبراطورية تشين باستثناء الكتب المعتمدة رسميًا. لم يُمتثل لهذا الأمر بشكل كامل، ولكن نتيجةً لذلك، لا يُعرف الكثير عن الرياضيات الصينية القديمة قبل هذا التاريخ. بعد حرق الكتب عام ٢١٢ قبل الميلاد، أنتجت أسرة هان (٢٠٢ قبل الميلاد - ٢٢٠ ميلادي) أعمالًا في الرياضيات يُفترض أنها توسعت في أعمال مفقودة الآن. أهم هذه الأعمال هو كتاب "الفصول التسعة في الفن الرياضي" ، الذي ظهر عنوانه الكامل بحلول عام ١٧٩ ميلادي، ولكنه كان موجودًا جزئيًا تحت عناوين أخرى قبل ذلك. يتألف الكتاب من ٢٤٦ مسألة لفظية تتعلق بالزراعة، والتجارة، واستخدام الهندسة لحساب ارتفاعات ونسب أبعاد أبراج الباغودا الصينية ، والهندسة، والمساحة ، ويتضمن موادًا عن المثلثات القائمة الزاوية . ^{[ ١٠٩ ]} وقد قدم برهانًا رياضيًا لنظرية فيثاغورس ، ^{[ ١١٤ ]} وصيغة رياضية لحذف غاوس . ^{[ 115 ]} كما يقدم الكتاب قيمًا لـ π ، ^{[ 109 ]} والتي قام علماء الرياضيات الصينيون بتقريبها في الأصل إلى 3 حتى قدم ليو شين (توفي عام 23 م) رقمًا قدره 3.1457، وبعد ذلك قام تشانغ هنغ (78-139) بتقريب π إلى 3.1724، ^{[ 116 ]} وكذلك 3.162 عن طريق أخذ الجذر التربيعي لـ 10. ^{[ 117 ] [ 118 ]} علق ليو هوي على الفصول التسعة في القرن الثالث الميلادي وأعطى قيمة لـ π دقيقة إلى 5 منازل عشرية (أي 3.14159). ^{[ 119 ] [ 120 ]} على الرغم من أن الأمر كان يتعلق بالقدرة الحسابية أكثر من الفهم النظري، فقد قام زو تشونغ تشي في القرن الخامس الميلادي بحساب قيمة π بدقة سبعة أرقام عشرية (بين 3.1415926 و3.1415927)، والتي ظلت القيمة الأكثر دقة لـ π لما يقرب من ألف عام تالية. ^{[ 119 ] [ 121 ]} كما وضع طريقة عُرفت لاحقًا بمبدأ كافالييري لإيجاد حجم الكرة . ^{[ 122 ]}

بلغت الرياضيات الصينية ذروتها في القرن الثالث عشر الميلادي، خلال النصف الثاني من عهد أسرة سونغ (960-1279)، مع تطور الجبر الصيني. يُعد كتاب " المرآة الثمينة للعناصر الأربعة" لتشو شيجي (1249-1314) أهم نص من تلك الفترة ، إذ يتناول حل المعادلات الجبرية المتزامنة من الرتب العليا باستخدام طريقة مشابهة لطريقة هورنر . ^{[ 119 ]} يحتوي كتاب "المرآة الثمينة " أيضًا على رسم تخطيطي لمثلث باسكال مع معاملات مفكوك ذات الحدين حتى القوة الثامنة، على الرغم من ظهور كليهما في مؤلفات صينية تعود إلى عام 1100. ^{[ 123 ]} كما استخدم الصينيون الرسم التخطيطي التوافقي المعقد المعروف باسم المربع السحري والدوائر السحرية ، والذي وُصف في العصور القديمة وأتقنه يانغ هوي (1238-1298 م). ^{[ 123 ]}

حتى بعد ازدهار الرياضيات الأوروبية خلال عصر النهضة ، ظلت الرياضيات الأوروبية والصينية تقاليد منفصلة، ​​مع تراجع ملحوظ في الإنتاج الرياضي الصيني بدءًا من القرن الثالث عشر. وقد نقل المبشرون اليسوعيون ، مثل ماتيو ريتشي، الأفكار الرياضية بين الثقافتين ذهابًا وإيابًا من القرن السادس عشر إلى القرن الثامن عشر، مع أن عدد الأفكار الرياضية التي دخلت الصين في ذلك الوقت كان يفوق بكثير عدد الأفكار التي خرجت منها. ^{[ 123 ]}

يُنظر تقليديًا إلى الرياضيات اليابانية والكورية والفيتنامية على أنها مشتقة من الرياضيات الصينية وتنتمي إلى المجال الثقافي لشرق آسيا القائم على الكونفوشيوسية . [ ^{124 ] تأثرت} الرياضيات الكورية واليابانية بشكل كبير بالأعمال الجبرية التي أُنتجت خلال عهد أسرة سونغ الصينية، بينما استمدت الرياضيات الفيتنامية الكثير من الأعمال الشائعة في عهد أسرة مينغ الصينية (1368-1644). ^{[ 125 ]} على سبيل المثال، على الرغم من أن الرسائل الرياضية الفيتنامية كُتبت إما باللغة الصينية أو بالخط الفيتنامي الأصلي تشو نوم ، إلا أنها جميعًا اتبعت النمط الصيني المتمثل في عرض مجموعة من المسائل مع خوارزميات لحلها، متبوعةً بالإجابات العددية. ^{[ 126 ]} ارتبطت الرياضيات في فيتنام وكوريا في الغالب بالبيروقراطية المهنية للبلاط التي تضم علماء الرياضيات والفلك ، بينما كانت في اليابان أكثر انتشارًا في مجال المدارس الخاصة . ^{[ 127 ]}

الأرقام الهندية في النقوش الحجرية والنحاسية ^{[ 128 ]}

الأرقام البراهمية القديمة في جزء من الهند

تُعدّ حضارة وادي السند (المرحلة الثانية الناضجة: من 2600 إلى 1900 قبل الميلاد) أقدم حضارة في شبه القارة الهندية، وقد ازدهرت في حوض نهر السند . كانت مدنها مُخططة وفقًا لنمط هندسي منتظم، ولكن لم تصلنا أي وثائق رياضية معروفة من هذه الحضارة. ^{[ 129 ]}

تُعدّ نصوص سولبا سوترا (التي يُؤرّخ لها تاريخٌ مُتفاوت بين القرن الثامن قبل الميلاد والقرن الثاني الميلادي) ^{[ 130 ]} أقدم السجلات الرياضية الباقية من الهند، وهي عبارة عن ملاحق لنصوص دينية تُقدّم قواعد بسيطة لبناء مذابح بأشكال مُختلفة، مثل المربعات والمستطيلات ومتوازيات الأضلاع وغيرها. ^{[ 131 ]} وكما هو الحال في مصر، فإنّ الاهتمام بوظائف المعبد يُشير إلى أصل الرياضيات في الطقوس الدينية. ^{[ 130 ]} تُقدّم نصوص سولبا سوترا طُرقًا لرسم دائرة بمساحة تُقارب مساحة مربع مُعطى ، ممّا يُشير إلى عدّة تقريبات مُختلفة لقيمة π. ^{[ 132 ] [ 133 ] [ أ ]} بالإضافة إلى ذلك، تحسب هذه النصوص الجذر التربيعي للعدد 2 لعدة منازل عشرية، وتُدرج ثلاثيات فيثاغورس، وتُقدّم نصًا لنظرية فيثاغورس . ^{[ 133 ]} جميع هذه النتائج موجودة في الرياضيات البابلية، ممّا يُشير إلى تأثير بلاد ما بين النهرين. ^{[ 130 ]} من غير المعروف إلى أي مدى أثرت نصوص سولبا سوترا على علماء الرياضيات الهنود اللاحقين. وكما هو الحال في الصين، يفتقر علم الرياضيات الهندي إلى الاستمرارية؛ إذ تفصل فترات طويلة من الخمول بين التطورات المهمة. ^{[ 130 ]}

وضع بانيني ( حوالي القرن الخامس قبل الميلاد) قواعد النحو السنسكريتي . ^{[ 134 ]} كانت رموزه مشابهة للرموز الرياضية الحديثة، واستخدم القواعد الفوقية والتحويلات والتكرار . ^{[ 135 ]} استخدم بينغالا (تقريبًا القرنين الثالث والأول قبل الميلاد) في رسالته عن العروض أداةً تُقابل نظامًا عدديًا ثنائيًا . ^{[ 136 ] [ 137 ]} تتوافق مناقشته لتوافقية الأوزان مع نسخة أولية من ^نظرية ذات الحدين . كما يتضمن عمل بينغالا الأفكار الأساسية لأعداد فيبوناتشي (المسماة ماتراميرو ). ^[ 138 ^]

تُعدّ "السيدانتاس" أهمّ الوثائق الرياضية الهندية التالية بعد " سولبا سوترا" ، وهي عبارة عن رسائل فلكية من القرنين الرابع والخامس الميلاديين ( عصر غوبتا ) تُظهر تأثيرًا هلنستيًا قويًا. ^{[ 139 ]} وتكمن أهميتها في احتوائها على أول مثال للعلاقات المثلثية القائمة على نصف الوتر، كما هو الحال في علم المثلثات الحديث، بدلًا من الوتر الكامل، كما كان الحال في علم المثلثات البطلمي. ^{[ 140 ]} وبسبب سلسلة من أخطاء الترجمة، اشتُقّت كلمتا "الجيب" و"جيب التمام" من الكلمتين السنسكريتيتين "جيا" و"كوجيا". ^{[ 140 ]}

في حوالي عام 500 ميلادي، كتب أريابهاتا كتاب "أريابهاتيا" ، وهو مجلد صغير مكتوب شعراً، يهدف إلى استكمال قواعد الحساب المستخدمة في علم الفلك والقياس الرياضي، دون مراعاة المنطق أو المنهجية الاستنتاجية. ^{[ 141 ]} وفي " أريابهاتيا" ظهر نظام القيمة المكانية العشرية لأول مرة. وبعد عدة قرون، وصف عالم الرياضيات المسلم أبو الريحان البيروني كتاب " أريابهاتيا " بأنه "مزيج من الحصى العادي والبلورات الثمينة". ^{[ 142 ]}

في القرن السابع الميلادي، حدد براهماغوبتا نظرية براهماغوبتا ، وهويته ، وصيغته ، ولأول مرة، في كتابه "براهما-سفوتا-سيدانتا" ، شرح بوضوح استخدام الصفر كرمز مكاني ورقم عشري ، وشرح نظام الأرقام الهندي العربي . ^{[ 143 ]} ومن خلال ترجمة هذا النص الهندي في الرياضيات ( حوالي 770 ميلادي )، تعرف علماء الرياضيات المسلمون على هذا النظام العددي، فاعتمدوه كأرقام عربية . ونقل العلماء المسلمون معرفة هذا النظام العددي إلى أوروبا بحلول القرن الثاني عشر، ليحل الآن محل جميع أنظمة الأرقام القديمة في العالم. وتُستخدم مجموعات رموز متنوعة لتمثيل الأرقام في النظام العددي الهندي العربي، وكلها مشتقة من أرقام براهمي . ولكل من الخطوط الرئيسية الاثني عشر في الهند رموزها العددية الخاصة. في القرن العاشر، يحتوي تعليق هالايودا على عمل بينغالا على دراسة لمتتالية فيبوناتشي ^{[ 144 ]} ومثلث باسكال . ^{[ 145 ]}

في القرن الثاني عشر، كتب بهاسكارا الثاني ، الذي عاش في جنوب الهند، باستفاضة عن المعرفة الرياضية في عصره. وفي أعماله الفلكية، وصف نتائج فسرها علماء لاحقون على أنها تشبه أساليب التفاضل والتكامل المبكرة. وتشمل كتاباته أفكارًا تُعادل تقريبًا التفاضل والتكامل، وحالة خاصة من نظرية القيمة المتوسطة في الاستيفاء العكسي للجيب. كما قدم إسهامات كبيرة في الجبر، بما في ذلك طرق لحل المعادلات غير المحددة من النوع الذي عُرف لاحقًا بمعادلات بيل، والتي عالجها باستخدام إجراءات دورية مثل طريقة تشاكرافالا. ^{[ 146 ] [ 147 ]} وفي القرن الرابع عشر، أكمل نارايانا بانديتا كتابه "غانيتا كومودي" . ^{[ 148 ]}

في القرن الرابع عشر أيضًا، اكتشف مادهافا من سانغاماغراما ، مؤسس مدرسة كيرالا للرياضيات ، متسلسلة مادهافا-لايبنيتز ، واستخرج منها متسلسلة مُحوَّلة ، استخدم حدودها الـ 21 الأولى لحساب قيمة π لتكون 3.14159265359. كما اكتشف مادهافا متسلسلة مادهافا-غريغوري لتحديد دالة الظل العكسي، ومتسلسلة مادهافا-نيوتن لتحديد دالتي الجيب وجيب التمام، وتقريب تايلور لدالتي الجيب وجيب التمام. ^{[ 149 ]} وفي القرن السادس عشر، جمع جيشتا ديفا العديد من تطورات ونظريات مدرسة كيرالا في كتاب يوكتي بهاشا . ^{[ 150 ] [ 151 ]} يُقال إن بعض أفكار حساب التفاضل والتكامل، مثل المتسلسلات اللانهائية ومتسلسلات تايلور لبعض الدوال المثلثية، انتقلت إلى أوروبا في القرن السادس عشر ^{[ 6 ]} عبر المبشرين والتجار اليسوعيين الذين كانوا نشطين حول ميناء موزيريس القديم آنذاك، ونتيجة لذلك، أثرت بشكل مباشر على التطورات الأوروبية اللاحقة في التحليل وحساب التفاضل والتكامل. [152] ومع ذلك، يرى باحثون آخرون أن مدرسة كيرالا لم تُصغ نظرية منهجية للتفاضل والتكامل ^{، وأنه لا} يوجد دليل مباشر على انتقال نتائجها خارج كيرالا. ^{[ 153 ] [ 154 ] [ 155 ] [ 156 ]}

قدمت الإمبراطورية الإسلامية، التي امتدت في أنحاء الشرق الأوسط وآسيا الوسطى وشمال أفريقيا وشبه الجزيرة الأيبيرية وأجزاء من الهند في القرن الثامن الميلادي، إسهاماتٍ جليلة في مجال الرياضيات. ورغم أن معظم النصوص الإسلامية في الرياضيات كُتبت باللغة العربية ، إلا أنها لم تكن جميعها من تأليف عرب ، إذ كما كان الحال مع اللغة اليونانية في العالم الهلنستي، كانت العربية لغة الكتابة الرسمية للعلماء غير العرب في العالم الإسلامي آنذاك. ^{[ 157 ]}

في القرن التاسع الميلادي، ألّف عالم الرياضيات الفارسي محمد بن موسى الخوارزمي كتابًا هامًا في الأرقام الهندية العربية ، وآخر في طرق حل المعادلات. وكان لكتابه " في الحساب بالأرقام الهندية" ، الذي كتبه حوالي عام 825، إلى جانب أعمال الكندي ، دورٌ بارزٌ في نشر الرياضيات والأرقام الهندية في الغرب. وكلمة "خوارزمية " مشتقة من ترجمة اسمه اللاتينية "Algoritmi"، وكلمة " جبر" من عنوان أحد مؤلفاته " الكتاب المختصر في حساب الجبر والموازنة " . قدّم شرحًا وافيًا للحل الجبري للمعادلات التربيعية ذات الجذور الموجبة، ^{[ 158 ]} وكان أول من درّس الجبر بصورة ابتدائية ولغايته الخاصة. ^{[ 159 ]} كما ناقش الطريقة الأساسية لـ" الاختزال " و"الموازنة"، مشيرًا إلى نقل الحدود المطروحة إلى الطرف الآخر من المعادلة، أي حذف الحدود المتشابهة من طرفي المعادلة. وهذه هي العملية التي وصفها الخوارزمي في الأصل بالجبر . ^{[ 160 ]} ولم يعد جبره معنيًا "بسلسلة من المسائل المطلوب حلها، بل بعرض يبدأ بحدود أولية يجب أن تُعطي تركيباتها جميع النماذج الأولية الممكنة للمعادلات، والتي تُشكّل من الآن فصاعدًا موضوع الدراسة الحقيقي". كما درس المعادلة لذاتها و"بطريقة عامة، بحيث لا تظهر ببساطة أثناء حل مسألة ما، بل تُستدعى تحديدًا لتعريف فئة لا نهائية من المسائل". ^{[ 161 ]}

في مصر، وسّع أبو كامل علم الجبر ليشمل مجموعة الأعداد غير النسبية ، مُتقبِّلاً الجذور التربيعية والجذور الرابعة كحلول ومعاملات للمعادلات التربيعية. كما طوّر تقنيات لحل ثلاث معادلات غير خطية آنية بثلاثة متغيرات مجهولة. ومن السمات الفريدة لأعماله سعيه لإيجاد جميع الحلول الممكنة لبعض مسائله، بما في ذلك مسألة وجد فيها 2676 حلاً. ^{[ 162 ]} شكّلت أعماله أساسًا هامًا لتطوير علم الجبر، وأثّرت في علماء رياضيات لاحقين، مثل الكرجي وفيبوناتشي.

أحرز الكرجي مزيدًا من التقدم في الجبر في رسالته "الفخري" ، حيث وسّع المنهجية لتشمل القوى والجذور الصحيحة للكميات المجهولة. ويظهر ما يشبه البرهان بالاستقراء الرياضي في كتابٍ ألفه الكرجي حوالي عام 1000 ميلادي، استخدمه لإثبات نظرية ذات الحدين ، ومثلث باسكال ، ومجموع المكعبات الصحيحة . ^{[ 163 ]} وقد أشاد مؤرخ الرياضيات ، ف. ووبكه، ^{[ 164 ]} بالكرجي لكونه "أول من أدخل نظرية التفاضل والتكامل الجبري " . وفي القرن العاشر أيضًا، ترجم أبو الوفاء أعمال ديوفانتوس إلى العربية. وكان ابن الهيثم أول رياضي يستنتج صيغة مجموع القوى الرابعة، مستخدمًا طريقةً قابلةً للتعميم بسهولة لتحديد الصيغة العامة لمجموع أي قوى صحيحة. أجرى عملية تكامل لإيجاد حجم القطع المكافئ ، وتمكن من تعميم نتيجته على تكاملات كثيرات الحدود حتى الدرجة الرابعة . وبذلك اقترب من إيجاد صيغة عامة لتكاملات كثيرات الحدود، لكنه لم يهتم بكثيرات الحدود التي تزيد عن الدرجة الرابعة. ^{[ 165 ]}

في أواخر القرن الحادي عشر، كتب عمر الخيام كتاب "مناقشة صعوبات إقليدس" ، الذي تناول فيه ما اعتبره عيوبًا في كتاب إقليدس " الأصول "، ولا سيما مسلمة التوازي . وكان أيضًا أول من وجد الحل الهندسي العام للمعادلات التكعيبية . كما كان له تأثير كبير في إصلاح التقويم . ^{[ 166 ]}

في القرن الثالث عشر، حقق ناصر الدين الطوسي (ناصر الدين) تقدماً ملحوظاً في علم المثلثات الكروية . كما كتب أعمالاً مؤثرة حول مسلمة التوازي لإقليدس . وفي القرن الخامس عشر، حسب غياث الكاشي قيمة π بدقة تصل إلى ستة عشر منزلة عشرية. كما وضع الكاشي خوارزمية لحساب الجذور النونية ، وهي حالة خاصة من الطرق التي قدمها روفيني وهورنر بعد ذلك بقرون عديدة .

ومن إنجازات علماء الرياضيات المسلمين الأخرى خلال هذه الفترة إضافة الفاصلة العشرية إلى الأرقام العربية، ^{[ 167 ]} واكتشاف جميع الدوال المثلثية الحديثة باستثناء الجيب، وإدخال الكندي لعلم التشفير وتحليل التردد، ^{[ 168 ]} وتطوير ابن الهيثم للهندسة التحليلية، ^{[ 169 ]} وبداية الهندسة الجبرية على يد عمر الخيام، ^{[ 170 ]} وتطوير القلسعدي للترميز الجبري. ^{[ 171 ] [ 172 ]}

خلال فترة الإمبراطورية العثمانية والإمبراطورية الصفوية من القرن الخامس عشر، ركد تطور الرياضيات الإسلامية. ^{[ 173 ]}

في الأمريكتين قبل وصول كولومبوس ، طوّرت حضارة المايا ، التي ازدهرت في المكسيك وأمريكا الوسطى خلال الألفية الأولى الميلادية، تقاليد رياضية فريدة، تميزت باستقلالها التام عن الرياضيات الأوروبية والمصرية والآسيوية السائدة آنذاك، وذلك بسبب عزلتها الجغرافية. ^{[ 174 ]} استخدمت أرقام المايا نظامًا عشريًا ( النظام العشريني ) بدلًا من النظام العشري الذي يُشكّل أساس النظام العشري المُستخدم في معظم الثقافات الحديثة. ^{[ 174 ]} استخدم المايا الرياضيات لإنشاء تقويمهم ، وكذلك للتنبؤ بالظواهر الفلكية في علم الفلك الخاص بهم . ^{[ 174 ]} في حين كان مفهوم الصفر يُستنتج ضمنيًا في رياضيات العديد من الثقافات المعاصرة، طوّر المايا رمزًا قياسيًا له. ^{[ 174 ]}

كان اهتمام الأوروبيين في العصور الوسطى بالرياضيات مدفوعًا بمخاوف مختلفة تمامًا عن تلك التي لدى علماء الرياضيات المعاصرين. وكان أحد العوامل الدافعة هو الاعتقاد بأن الرياضيات توفر المفتاح لفهم النظام الكوني للطبيعة، وهو ما برره أفلاطون مرارًا وتكرارًا بكتاب طيماوس والنص التوراتي (في سفر الحكمة ) بأن الله قد رتب كل شيء بالقياس والعدد والوزن . ^{[ 175 ]}

أتاح بوثيوس مكانةً للرياضيات في المناهج الدراسية في القرن السادس الميلادي عندما صاغ مصطلح "الكوادريفيوم" لوصف دراسة الحساب والهندسة والفلك والموسيقى. ألّف كتاب "دي إنستيتيوشن أريثميتيكا" ، وهو ترجمة حرة من اليونانية لكتاب " مقدمة في الحساب" لنيكوماتشوس ؛ وكتاب "دي إنستيتيوشن ميوزيكا" ، المستمد أيضًا من مصادر يونانية؛ وسلسلة من المقتطفات من كتاب " الأصول" لإقليدس . كانت أعماله نظرية أكثر منها عملية، وشكّلت أساس الدراسة الرياضية حتى استعادة الأعمال الرياضية اليونانية والعربية. ^{[ 176 ] [ 177 ]}

في القرن الثاني عشر، سافر علماء أوروبيون إلى إسبانيا وصقلية بحثًا عن نصوص علمية عربية ، من بينها كتاب الخوارزمي المختصر في الحساب بالإكمال والموازنة ، الذي ترجمه إلى اللاتينية روبرت من تشيستر ، والنص الكامل لكتاب أصول إقليدس ، الذي ترجمه في نسخ مختلفة كل من أديلارد من باث ، وهيرمان من كارينثيا ، وجيرارد من كريمونا . ^{[ 178 ] [ 179 ]} وقد أدت هذه المصادر الجديدة وغيرها إلى نهضة في علم الرياضيات.

تعرّف ليوناردو البيزي، المعروف الآن باسم فيبوناتشي ، على الأرقام الهندية العربية صدفةً خلال رحلة قام بها مع والده التاجر إلى ما يُعرف اليوم ببجاية في الجزائر (حيث كانت أوروبا لا تزال تستخدم الأرقام الرومانية ). هناك ، لاحظ نظامًا حسابيًا (وتحديدًا خوارزمية ) كان أكثر كفاءةً بفضل الترميز الموضعي للأرقام الهندية العربية، مما سهّل التجارة بشكل كبير. ألّف ليوناردو كتاب "ليبر أباتشي" عام ١٢٠٢ (ونقّحه عام ١٢٥٤)، مُعرّفًا أوروبا بهذه التقنية، ومُطلقًا بذلك فترة طويلة من انتشارها. كما جلب الكتاب إلى أوروبا ما يُعرف الآن بمتتالية فيبوناتشي (المعروفة لدى علماء الرياضيات الهنود منذ مئات السنين قبل ذلك) ^{[ ١٨٠ ]} ، والتي استخدمها فيبوناتشي كمثال عادي.

شهد القرن الرابع عشر تطور مفاهيم رياضية جديدة لدراسة طيف واسع من المشكلات. ^{[ 181 ]} وكان من أهم هذه المساهمات تطوير رياضيات الحركة الموضعية. فقد اقترح توماس برادوردين أن السرعة (V) تزداد تناسبًا حسابيًا مع ازدياد نسبة القوة (F) إلى المقاومة (R) تناسبًا هندسيًا. وقد عبّر برادوردين عن ذلك بسلسلة من الأمثلة المحددة، ولكن على الرغم من أن اللوغاريتم لم يكن قد ظهر بعد، إلا أنه يمكننا التعبير عن استنتاجه بشكل غير دقيق تاريخيًا بكتابة: V = log (F/R). ^{[ 182 ]} ويُعد تحليل برادوردين مثالًا على نقل تقنية رياضية استخدمها الكندي وأرنالد من فيلانوفا لتحديد طبيعة الأدوية المركبة إلى مشكلة فيزيائية مختلفة. ^{[ 183 ]}

اقترح ويليام أوف هيتسبيري ، أحد علماء الحساب في أكسفورد في القرن الرابع عشر ، والذي كان يفتقر إلى حساب التفاضل والتكامل ومفهوم النهايات ، قياس السرعة اللحظية "عن طريق المسار الذي سيرسمه [جسم] إذا ... تحرك بشكل منتظم بنفس درجة السرعة التي يتحرك بها في تلك اللحظة المعينة". ^{[ 185 ]}

حدد هيتسبري وآخرون رياضياً المسافة التي يقطعها جسم يتحرك بتسارع منتظم (والتي تُحل اليوم بالتكامل)، مصرحين بأن "الجسم المتحرك الذي يكتسب أو يفقد تلك الزيادة [من السرعة] بانتظام، سيقطع في فترة زمنية معينة [مسافة] تساوي تماماً تلك التي كان سيقطعها لو كان يتحرك باستمرار خلال نفس الفترة الزمنية بنفس متوسط ​​[السرعة]". ^{[ 186 ]}

قدّم كلٌّ من نيكول أورسم في جامعة باريس والإيطالي جيوفاني دي كاسالي ، بشكلٍ مستقل، عروضًا بيانية لهذه العلاقة، مؤكدين أن المساحة أسفل الخط الذي يُمثّل التسارع الثابت تُمثّل المسافة الكلية المقطوعة. ^{[ 187 ]} وفي تعليق رياضي لاحق على كتاب الأصول لإقليدس ، قدّم أورسم تحليلًا عامًا أكثر تفصيلًا، أوضح فيه أن الجسم يكتسب في كل فترة زمنية متتالية زيادةً في أي صفة تزداد مع الأعداد الفردية. وبما أن إقليدس قد أثبت أن مجموع الأعداد الفردية يساوي مربعاتها، فإن الصفة الكلية التي يكتسبها الجسم تزداد مع مربع الزمن. ^{[ 188 ]}

خلال عصر النهضة ، تداخل تطور الرياضيات والمحاسبة . ^{[ 189 ]} ورغم عدم وجود علاقة مباشرة بين الجبر والمحاسبة، إلا أن تدريس هذين العلمين والكتب المنشورة كان موجهاً في الغالب لأبناء التجار الذين كانوا يُرسلون إلى مدارس الحساب (في فلاندرز وألمانيا ) أو مدارس المعداد (المعروفة باسم "أباكو" في إيطاليا)، حيث تعلموا المهارات المفيدة للتجارة. ربما لا حاجة للجبر في عمليات مسك الدفاتر ، ولكن في عمليات المقايضة المعقدة أو حساب الفائدة المركبة ، كانت المعرفة الأساسية بالحساب ضرورية ، وكانت معرفة الجبر مفيدة للغاية.

كتب بييرو ديلا فرانشيسكا ( حوالي 1415 - 1492 تقريبًا ) كتبًا عن الهندسة الصلبة والمنظور الخطي ، بما في ذلك De Prospectiva Pingendi (في منظور الرسم) ، و Trattato d'Abaco (رسالة العداد) ، و De quinque corporibus Regularibus (حول المواد الصلبة الخمسة المنتظمة) . ^{[ 190 ] [ 191 ] [ 192 ]} 

طُبع كتاب "سوما دي أريثميتيكا، جيومتريا، بروبورتيوني إت بروبورتيوناليتا" (بالإيطالية: "مراجعة الحساب والهندسة والنسبة والتناسب " ) للوكا باتشولي ونُشر لأول مرة في البندقية عام 1494. تضمن الكتاب رسالةً من 27 صفحة حول مسك الدفاتر بعنوان "بارتيكولاريس دي كومبوتيس إت سكريبتوريس" (بالإيطالية: "تفاصيل الحساب والتسجيل"). كُتب الكتاب في الأساس للتجار، وبِيعَ لهم في الغالب، حيث استخدموه كمرجع، ومصدرًا للمتعة من الألغاز الرياضية التي احتواها، وللمساعدة في تعليم أبنائهم. ^{[ 193 ]} في "سوما أريثميتيكا" ، قدّم باتشولي رموز الجمع والطرح لأول مرة في كتاب مطبوع، وهي رموز أصبحت فيما بعد رموزًا قياسية في رياضيات عصر النهضة الإيطالية. كما كان "سوما أريثميتيكا" أول كتاب معروف طُبع في إيطاليا يتضمن الجبر. استقى باتشولي العديد من أفكاره من بييرو ديلا فرانشيسكا الذي قام بسرقتها.

في إيطاليا، خلال النصف الأول من القرن السادس عشر، اكتشف سكيبيوني ديل فيرو ونيكولو فونتانا تارتاليا حلولاً للمعادلات التكعيبية . ونشر جيرولامو كاردانو هذه الحلول في كتابه "آرس ماجنا" عام 1545 ، إلى جانب حل للمعادلات الرباعية ، اكتشفه تلميذه لودوفيكو فيراري . وفي عام 1572، نشر رافائيل بومبيلي كتابه "الجبر" الذي بيّن فيه كيفية التعامل مع الكميات التخيلية التي قد تظهر في صيغة كاردانو لحل المعادلات التكعيبية.

تضمن كتاب سيمون ستيفن " De Thiende " (فن الأعشار)، الذي نُشر لأول مرة باللغة الهولندية عام 1585، أول معالجة منهجية للتدوين العشري في أوروبا، والذي أثر على جميع الأعمال اللاحقة المتعلقة بنظام الأعداد الحقيقية . ^{[ 194 ] [ 195 ]}

نتيجةً لمتطلبات الملاحة والحاجة المتزايدة إلى خرائط دقيقة لمساحات واسعة، تطور علم المثلثات ليصبح فرعًا رئيسيًا من فروع الرياضيات. وكان بارثولوميوس بيتيسكوس أول من استخدم هذا المصطلح، حيث نشر كتابه "علم المثلثات" عام 1595. ونُشر جدول الجيوب وجيوب التمام لريجيومونتانوس عام 1533. ^{[ 196 ]}

خلال عصر النهضة، دفعت رغبة الفنانين في تمثيل العالم الطبيعي بواقعية، إلى جانب إعادة اكتشاف فلسفة الإغريق، الفنانين إلى دراسة الرياضيات. فقد كانوا أيضاً مهندسي ومعماريي ذلك العصر، ولذا كانت الرياضيات ضرورية لهم على أي حال. وقد دُرست فنون الرسم المنظوري، والتطورات الهندسية المرتبطة بها، دراسةً معمقة. ^{[ 197 ]}

من المتوقع أن يتأثر مسار الرياضيات المستقبلي بشكل كبير بتكامل المنهجيات الحسابية المتقدمة، على الرغم من أن التداعيات المعرفية الدقيقة لا تزال موضع نقاش أكاديمي مستمر. ^{[ 271 ]} يتزايد استخدام الذكاء الاصطناعي وبرامج إثبات النظريات الآلية، مثل Coq و Lean ، في التحقق الرسمي من النظريات المعقدة. وبينما يرى المؤيدون أن هذا التكامل قد يعزز الدقة المنطقية، يجادل بعض الباحثين بأنه قد يحجب الفهم البشري الأساسي إذا أصبحت البراهين كثيفة حسابيًا لدرجة يصعب معها التحقق البشري المستقل. ^{[ 272 ]} علاوة على ذلك ، يُفترض أن تطبيق خوارزميات التعلم الآلي لتحديد الأنماط الاستدلالية في مجالات مثل نظرية العقد يُسرّع الاكتشاف الرياضي؛ ومع ذلك، فإن الاعتماد على العمليات الخوارزمية يستلزم تدقيقًا معرفيًا دقيقًا فيما يتعلق بإمكانية التحقق. ^{[ 273 ]}

في مجال الرياضيات التطبيقية، يُتوقع على نطاق واسع أن يُؤدي التطور النظري للحوسبة الكمومية إلى تحول جذري في علم التشفير . تمتلك خوارزميات مثل خوارزمية شور القدرة النظرية على تحليل الأعداد الأولية الكبيرة بكفاءة، مما قد يُعرّض أنظمة التشفير بالمفتاح العام الشائعة الاستخدام، مثل RSA ، للخطر . ^{[ 274 ]} ونتيجةً لذلك، يُطوّر الباحثون بنشاط التشفير ما بعد الكمومي ، وهو مجال يعتمد بشكل كبير على الهندسة الجبرية والهياكل الشبكية. ومع ذلك، لا يزال الجدول الزمني للهندسة العملية لأجهزة الكمبيوتر الكمومية القابلة للتوسع والمقاومة للأخطاء غير مؤكد إلى حد كبير، مما يجعل الحاجة المُلحة لهذا التحول التشفيري موضوعًا للتكهنات النظرية. ^{[ 275 ]}

بالإضافة إلى ذلك، حفّز التوسع في توفر مجموعات البيانات التجريبية الضخمة، والتي تُعرف عادةً بالبيانات الكبيرة ، تطوير تحليل البيانات الطوبولوجي . يسعى هذا المجال متعدد التخصصات إلى تطبيق مفاهيم هندسية وطوبولوجية مجردة لتحديد السمات البنيوية في البيانات عالية الأبعاد والمليئة بالتشويش. ^{[ 276 ]} وعلى الرغم من إمكاناته، يجب التعامل مع تطبيق النماذج الرياضية الحتمية على الأنظمة البيولوجية أو الاجتماعية العشوائية بطبيعتها بحذر شديد لتجنب الخلط بين الشذوذات الإحصائية والآليات السببية الفعلية.