منحنى لورنز

في علم الاقتصاد ، يُعد منحنى لورنز تمثيلاً بيانياً لتوزيع الدخل أو الثروة . وقد طوّره ماكس أو. لورنز عام 1905 لتمثيل عدم المساواة في توزيع الثروة .

المنحنى هو رسم بياني يوضح نسبة الدخل أو الثروة الإجمالية التي يحصل عليها أدنى شريحة (س ) من السكان، مع العلم أن هذه النسبة ليست دقيقة تمامًا في حالة وجود عدد محدود من السكان (انظر أدناه). يُستخدم هذا المنحنى غالبًا لتمثيل توزيع الدخل ، حيث يُظهر النسبة المئوية ( ص ) التي يحصل عليها أدنى شريحة (س) من الأسر من إجمالي الدخل. تُمثل نسبة الأسر على المحور السيني ، ونسبة الدخل على المحور الصادي . كما يُمكن استخدامه أيضًا لعرض توزيع الأصول . في هذا السياق، يعتبره العديد من الاقتصاديين مقياسًا لعدم المساواة الاجتماعية .

يُعدّ هذا المفهوم مفيدًا في وصف التفاوت في أحجام الأفراد في علم البيئة ^{[ 1 ]} وفي دراسات التنوع البيولوجي ، حيث تُرسم النسبة التراكمية للأنواع مقابل النسبة التراكمية للأفراد ^{[ 2 ]} . كما أنه مفيد في نمذجة الأعمال ، على سبيل المثال، في التمويل الاستهلاكي ، لقياس النسبة المئوية الفعلية (ص %) من حالات التخلف عن السداد التي تُعزى إلى (س %) الأشخاص ذوي أعلى درجات المخاطر . وطُبقت منحنيات لورنز أيضًا في علم الأوبئة والصحة العامة ، على سبيل المثال، لقياس التفاوت في انتشار الأوبئة من خلال توزيع معدل الإصابة التراكمي الوطني (ص%) الناتج عن السكان المقيمين في مناطق (س%) مُرتبة وفقًا لمعدل الإصابة الوبائية المحلي ^{[ 3 ]} .

تمثل النقاط الموجودة على منحنى لورنز عبارات مثل "أقل 20% من جميع الأسر لديها 10% من إجمالي الدخل".

يُقصد بالتوزيع المتساوي للدخل التوزيع الذي يحصل فيه كل فرد على نفس الدخل. في هذه الحالة، سيحصل أدنى شريحة من المجتمع (N %) دائمًا على نسبة N % من الدخل. ويمكن تمثيل ذلك بالخط المستقيم y = x ، والذي يُسمى "خط المساواة التامة".

على النقيض من ذلك، فإن التوزيع غير المتكافئ تمامًا هو الذي يحصل فيه شخص واحد على كل الدخل بينما لا يحصل أي شخص آخر على شيء. في هذه الحالة، يكون المنحنى عند ص = 0% لجميع قيم س < 100% ، ويكون ص = 100% عندما تكون س = 100% . يُطلق على هذا المنحنى اسم "خط عدم المساواة التامة".

معامل جيني هو نسبة المساحة بين خط المساواة التامة ومنحنى لورنز المرصود إلى المساحة بين خط المساواة التامة وخط التفاوت التام. كلما ارتفع المعامل، زاد تفاوت التوزيع. في الرسم البياني على اليمين، يُعطى هذا المعامل بالنسبة A / ( A + B ) ، حيث A و B هما مساحتا المنطقتين الموضحتين في الرسم البياني.

منحنى لورنز هو رسم بياني احتمالي ( رسم بياني P-P ) يقارن توزيع متغير ما بتوزيع موحد افتراضي لهذا المتغير. ويمكن تمثيله عادةً بدالة L ( F ) ، حيث يمثل المحور الأفقي F ، وهو الجزء التراكمي من السكان، بينما يمثل المحور الرأسي L ، وهو الجزء التراكمي من إجمالي الثروة أو الدخل.

لا يشترط أن يكون المنحنى L دالة متزايدة بسلاسة لـ F ، فعلى سبيل المثال، قد توجد في توزيعات الثروة أنظمة حكم الأقلية أو أشخاص ذوو ثروة سلبية. ^{[ 4 ]}

بالنسبة لتوزيع منفصل لـ Y معطى بالقيم y1 ، _... ، _yn بترتيب تصاعدي ( yi _≤ yi _{+ 1} ) واحتمالاتها${\displaystyle f(y_{j}):=\Pr(Y=y_{j})}$منحنى لورنز هو دالة خطية متصلة على أجزاء تربط النقاط ( F _i , Li ) ، _من i = 0 إلى n ، حيث F ₀ = 0 ، L ₀ = 0 ، ومن i = 1 إلى n : $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{i}&:=\sum _{j=1}^{i}f(y_{j})\\S_{i}&:=\sum _{j=1}^{i}f(y_{j})\,y_{j}\\L_{i}&:={\frac {S_{i}}{S_{n}}}\end{aligned}}}$$

عندما تكون جميع قيم _yᵢ متساوية الاحتمال باحتمالات 1/ n، فإن هذا يتبسط إلى $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{i}&={\frac {i}{n}}\\S_{i}&={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{i}\;y_{j}\\L_{i}&={\frac {S_{i}}{S_{n}}}\end{aligned}}}$$

بالنسبة للتوزيع المستمر ذي دالة كثافة الاحتمال f ودالة التوزيع التراكمي F ، فإن منحنى لورنز L يُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle L(F(x))={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\int _{-\infty }^{\infty }t\,f(t)\,dt}}={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\mu }}}$$ أين${\displaystyle \mu }$يرمز إلى المتوسط. يمكن بعد ذلك رسم منحنى لورنز L ( F ) كدالة وسيطية في x : L ( x ) مقابل F ( x ) . في سياقات أخرى، تُعرف الكمية المحسوبة هنا باسم التوزيع المتحيز للطول (أو المتحيز للحجم)؛ كما أنها تلعب دورًا مهمًا في نظرية التجديد.

بدلاً من ذلك، بالنسبة لدالة التوزيع التراكمي F ( x ) مع معكوسها، دالة الكمية x ( F ) ، فإن منحنى لورنز L ( F ) يُعطى مباشرة بواسطة: $${\displaystyle L(F)={\frac {\int _{0}^{F}x(F_{1})\,dF_{1}}{\int _{0}^{1}x(F_{1})\,dF_{1}}}}$$

قد لا توجد دالة الكمية x ( F ) لأن دالة التوزيع التراكمي لها فترات من القيم الثابتة. ومع ذلك، لا يزال من الممكن تطبيق الصيغة السابقة بتعميم تعريف x ( F ) : $${\displaystyle x(F_{1})=\inf\{y:F(y)\geq F_{1}\}}$$ حيث يمثل inf الحد الأدنى .

للاطلاع على مثال لمنحنى لورنز، انظر توزيع باريتو .

يبدأ منحنى لورنز دائمًا عند (0,0) وينتهي عند (1,1).

لا يتم تعريف منحنى لورنز إذا كان متوسط ​​توزيع الاحتمالية يساوي صفرًا أو لانهائيًا.

منحنى لورنز لتوزيع احتمالي هو دالة متصلة . ومع ذلك، يمكن إنشاء منحنيات لورنز التي تمثل دوالًا غير متصلة كحد لمنحنيات لورنز لتوزيعات احتمالية، ويُعد خط المتباينة التامة مثالًا على ذلك.

يمكن تلخيص المعلومات الموجودة في منحنى لورنز بواسطة معامل جيني ومعامل عدم التماثل في لورنز . ^{[ 1 ]}

لا يمكن لمنحنى لورنز أن يرتفع فوق خط المساواة التامة.

إن منحنى لورنز الذي لا ينخفض ​​أبدًا عن منحنى لورنز آخر، ويتجاوزه مرة واحدة على الأقل، يتمتع بهيمنة لورنز على المنحنى الثاني. ^{[ 5 ]}

إذا لم يكن للمتغير الذي يتم قياسه قيم سالبة، فإن منحنى لورنز:

• لا يمكن أن تنخفض عن مستوى عدم المساواة التامة،
• يتزايد .​

لاحظ مع ذلك أن منحنى لورنز للثروة الصافية سيبدأ بالتحول إلى قيمة سالبة نظراً لحقيقة أن بعض الأشخاص لديهم ثروة صافية سلبية بسبب الديون.

منحنى لورنز ثابت تحت تأثير التحجيم الموجب. إذا كان X متغيرًا عشوائيًا، فإنه لأي عدد موجب c ، يكون للمتغير العشوائي cX نفس منحنى لورنز الخاص بـ X.

يُعكس منحنى لورنز مرتين، مرة حول F = 0.5 ومرة ​​حول L = 0.5 ، عن طريق النفي. إذا كان X متغيرًا عشوائيًا بمنحنى لورنز L _X ( F ) ، فإن − X له منحنى لورنز التالي:

L _{− X} = 1 − L _X (1 − F )

يتغير منحنى لورنز عند الإزاحة بحيث تتغير فجوة التساوي F − L ( F ) بما يتناسب مع نسبة المتوسط ​​الأصلي إلى المتوسط ​​المُزاح. إذا كان X متغيرًا عشوائيًا له منحنى لورنز L _X ( F ) ومتوسط ​​μ _X ، فإنه لأي ثابت c ≠ − μ _X ، يكون لـ X + c منحنى لورنز مُعرَّف كما يلي: $${\displaystyle F-L_{X+c}(F)={\frac {\mu _{X}}{\mu _{X}+c}}(F-L_{X}(F))}$$

بالنسبة لدالة التوزيع التراكمي F ( x ) بمتوسط ​​μ ودالة الكمية (المعممة) x ( F ) ، فإنه لأي F حيث 0 < F < 1  :

• إذا كان منحنى لورنز قابلاً للتفاضل:$${\displaystyle {\frac {dL(F)}{dF}}={\frac {x(F)}{\mu }}}$$
• إذا كان منحنى لورنز قابلاً للتفاضل مرتين، فإن دالة كثافة الاحتمال f ( x ) موجودة عند تلك النقطة و:$${\displaystyle {\frac {d^{2}L(F)}{dF^{2}}}={\frac {1}{\mu \,f(x(F))}}\,}$$
• إذا كانت الدالة L ( F ) قابلة للتفاضل باستمرار ، فإن مماسها يكون موازيًا لخط التساوي التام عند النقطة F ( μ ) . وهذه هي أيضًا النقطة التي تكون عندها فجوة التساوي F − L ( F ) ، أي المسافة الرأسية بين منحنى لورنز وخط التساوي التام، في أقصى قيمة لها. ويساوي مقدار هذه الفجوة نصف الانحراف المطلق المتوسط ​​النسبي .$${\displaystyle F(\mu )-L(F(\mu ))={\frac {\text{متوسط ​​الانحراف المطلق}}{2\,\mu }}}$$

يُعد كل من L ( F ) = F ^P و L ( F ) = 1 − (1 − F ) ^{1/ P} ، لـ P ≥ 1 ، من الأشكال الوظيفية المعروفة لمنحنى لورنز. ^{[ 6 ]}

• التوزيع (الاقتصاد)
• توزيع الثروة
• اقتصاديات الرفاه
• مقاييس عدم المساواة في الدخل
• معامل جيني
• مؤشر هوفر (المعروف أيضاً بمؤشر روبن هود)
• تحليل منحنى ROC
• الرعاية الاجتماعية (العلوم السياسية)
• عدم المساواة الاقتصادية
• قانون زيبف
• توزيع باريتو
• الانحراف المتوسط
• منحنى الفيل

• لورنز، م.و. (1905). "طرق قياس تركيز الثروة". منشورات الجمعية الإحصائية الأمريكية . 9 (70) . منشورات الجمعية الإحصائية الأمريكية، المجلد 9، العدد 70: 209-219 . Bibcode : 1905PAmSA...9..209L . doi : 10.2307/2276207 . JSTOR 2276207. S2CID 154048722 .  
• جاستويرث، جوزيف ل. (1972). "تقدير منحنى لورنز ومؤشر جيني". مجلة الاقتصاد والإحصاء . 54 (3). مجلة الاقتصاد والإحصاء، المجلد 54، العدد 3: 306-316 . doi : 10.2307/1937992 . JSTOR 1937992 . 
• تشاكرافارتي، إس آر (1990). أرقام المؤشر الاجتماعي الأخلاقي . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-52274-3.
• أناند، سودير (1983). عدم المساواة والفقر في ماليزيا . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-520153-1.

• تمت أرشفة قاعدة بيانات عدم المساواة في الدخل العالمي (WIID) بتاريخ 13 مارس 2011 على موقع Wayback Machine : وهي مصدر للمعلومات حول عدم المساواة، تم جمعها بواسطة WIDER (المعهد العالمي لبحوث اقتصاديات التنمية، وهو جزء من جامعة الأمم المتحدة).
• glcurve : وحدة Stata لرسم منحنى لورنز (اكتب "findit glcurve" أو "ssc install glcurve" في موجه Stata للتثبيت)
• إضافة مجانية لبرنامج STATA لحساب مقاييس عدم المساواة والفقر
• يقوم برنامج مجاني عبر الإنترنت (حاسبة) بحساب معامل جيني، ورسم منحنى لورنز، وحساب العديد من مقاييس التركيز الأخرى لأي مجموعة بيانات
• آلة حاسبة مجانية : برامج نصية متاحة عبر الإنترنت وقابلة للتنزيل ( بايثون ولوا ) لحساب متباينات أتكينسون وجيني وهوفر
• يمكن لمستخدمي برنامج تحليل البيانات R تثبيت حزمة "ineq" التي تسمح بحساب مجموعة متنوعة من مؤشرات عدم المساواة بما في ذلك جيني، وأتكنسون، وثيل.
• حزمة MATLAB للمتباينات، مؤرشفة بتاريخ 4 أكتوبر 2008 على موقع Wayback Machine ، تتضمن شفرة لحساب مؤشرات جيني، وأتكنسون، وثيل، ولرسم منحنى لورنز. تتوفر العديد من الأمثلة.
• نشرة كاملة حول منحنى لورنز تتضمن تطبيقات متنوعة، بما في ذلك جدول بيانات Excel لرسم منحنيات لورنز وحساب معاملات جيني بالإضافة إلى معاملات التباين.
• LORENZ 3.0 عبارة عن دفتر ملاحظات Mathematica يقوم برسم منحنيات لورنز النموذجية وحساب معاملات جيني ومعاملات عدم تماثل لورنز من البيانات الموجودة في ورقة Excel.