صيغة الجنس والدرجة

في الهندسة الجبرية الكلاسيكية ، تربط صيغة الجنس والدرجة الدرجة${\displaystyle d}$لمنحنى مستوٍ غير قابل للاختزال${\displaystyle C}$مع جنسها الحسابي${\displaystyle g}$عبر الصيغة التالية:

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).}$

هنا تعني عبارة "منحنى مستوٍ" أن${\displaystyle C}$هو منحنى مغلق في المستوى الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$إذا كان المنحنى غير شاذ، فإن الجنس الهندسي والجنس الحسابي متساويان، أما إذا كان المنحنى شاذًا، مع وجود نقاط شاذة عادية فقط، فإن الجنس الهندسي يكون أصغر. وبشكل أدق، تكون النقطة الشاذة العادية متعددة .${\displaystyle r}$يُقلل من الجنس بواسطة${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(r-1)}$[ ^{1 ]​}

تُعطى المنحنيات الإهليلجية بمعاملات دوال فايرشتراس الإهليلجية . ولأن هذه الدوال دورية مرتين، يمكن تمثيل المنحنى الإهليلجي بمتوازي أضلاع دوري ذي أضلاع ملتصقة، أي سطح حلقي. لذا، فإن جنس المنحنى الإهليلجي يساوي 1. صيغة الجنس والدرجة هي تعميم لهذه الحقيقة لتشمل المنحنيات ذات الأجناس الأعلى. وتتمثل الفكرة الأساسية في استخدام معادلات ذات درجات أعلى. لنأخذ على سبيل المثال المعادلة الرباعية.$${\displaystyle \left(y^{2}-x(x-1)(x-2)\right)\,(5y-x)+\epsilon x=0.}$$بالنسبة للأشياء الصغيرة غير الصفرية${\displaystyle \varepsilon }$هذا يعطي المنحنى غير المنفرد. ومع ذلك، عندما${\displaystyle \varepsilon =0}$، هذا هو$${\displaystyle \left(y^{2}-x(x-1)(x-2)\right)\,(5y-x)=0,}$$منحنى قابل للاختزال (اتحاد منحنى تكعيبي غير منفرد وخط مستقيم). عند جمع نقاط اللانهاية، نحصل على خط مستقيم يتقاطع مع المنحنى التكعيبي في 3 نقاط. الصورة المركبة لهذا المنحنى القابل للاختزال تشبه سطحًا حلقيًا وكرة متلامستين في 3 نقاط.${\displaystyle \varphi }$عند حدوث تغييرات في القيم غير الصفرية، تنفتح نقاط الاتصال في أنابيب تربط بين الطارة والكرة، مما يضيف مقبضين إلى الطارة، مما ينتج عنه منحنى من النوع 3.

بشكل عام، إذا${\displaystyle g(d)}$هو جنس منحنى من الدرجة${\displaystyle d}$إذا كان لدينا منحنى غير منفرد، فسنتابع كما سبق، فنحصل على منحنى غير منفرد من الدرجة${\displaystyle d+1}$بواسطة${\displaystyle \varepsilon }$- تنعيم اتحاد منحنى من الدرجة${\displaystyle d}$وخط. يلتقي الخط بالدرجة${\displaystyle d}$المنحنى في${\displaystyle d}$النقاط، وهذا يؤدي إلى التكرار$${\displaystyle g(d+1)=g(d)+d-1,\quad g(1)=0.}$$هذا التكرار له الحل${\displaystyle g(d)={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)}$.

يمكن إثبات صيغة الجنس والدرجة من صيغة الإضافة ؛ لمزيد من التفاصيل، انظر صيغة الإضافة §  تطبيقات على المنحنيات . ^{[ 2 ]}

بالنسبة لسطح فائق غير منفرد${\displaystyle H}$درجة علمية${\displaystyle d}$في الفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$من جنس الحساب${\displaystyle g}$تصبح الصيغة كالتالي:

${\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},\,}$

أين${\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}}$هو معامل ذات الحدين .

• تخمين ثوم

• تتضمن هذه المقالة مواد من مقالة Citizendium بعنوان " صيغة درجة الجنس "، والتي تم ترخيصها بموجب رخصة Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported ولكنها ليست مرخصة بموجب رخصة GFDL .
• إنريكو أرباريلو ، ماوريتسيو كورنالبا، فيليب غريفيث ، جو هاريس . هندسة المنحنيات الجبرية. المجلد 1، سبرينغر، ISBN 0-387-90997-4، الملحق أ.
• فيليب غريفيث وجو هاريس ، مبادئ الهندسة الجبرية، وايلي، رقم ISBN 0-471-05059-8، الفصل 2، القسم 1.
• روبن هارتشورن (1977): الهندسة الجبرية ، سبرينغر، رقم ISBN 0-387-90244-9.
• كوليكوف، فيكتور س. (2001) [1994]، "جنس المنحنى" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS