نظرية جيبارد

في مجالي تصميم الآليات ونظرية الاختيار الاجتماعي ، تُعد نظرية جيبارد نتيجة أثبتها الفيلسوف آلان جيبارد في عام 1973. ^{[ 1 ]} وتنص على أنه بالنسبة لأي عملية حتمية لاتخاذ القرار الجماعي، يجب أن تتحقق واحدة على الأقل من الخصائص الثلاث التالية:

1. العملية استبدادية ، أي أن هناك ناخبًا واحدًا يمكن لصوته أن يغير النتيجة.
2. تقتصر هذه العملية على خيارين فقط.
3. العملية ليست مباشرة؛ فالورقة الانتخابية المثلى للناخب "تتطلب تصويتًا استراتيجيًا "، أي أنها تعتمد على معتقداتهم حول أوراق اقتراع الناخبين الآخرين.

من نتائج هذه النظرية نظرية جيبارد-ساترثويت المتعلقة بقواعد التصويت. ويكمن الفرق الرئيسي بين النظريتين في أن نظرية جيبارد-ساترثويت تنطبق فقط على التصويت الترتيبي . أما نظرية جيبارد، نظرًا لنطاقها الأوسع، فلا تدّعي ما إذا كان على الناخبين عكس ترتيبهم للمرشحين، بل تُشير فقط إلى أن خياراتهم الانتخابية المثلى تعتمد على خيارات الناخبين الآخرين. ^{[ ملاحظة 1 ]}

تُعدّ نظرية جيبارد أكثر عمومية، وتتناول عمليات اتخاذ القرار الجماعي التي قد لا تكون ترتيبية: على سبيل المثال، أنظمة التصويت التي يُقيّم فيها الناخبون المرشحين بدرجات أو يُقيّمونهم بطريقة أخرى ( التصويت الكمي ). ويمكن إثبات نظرية جيبارد باستخدام نظرية استحالة آرو .

تم تعميم نظرية جيبارد نفسها من خلال نظرية جيبارد لعام 1978 ^{[ 3 ]} ونظرية هيلاند ^{[ 4 ]} التي توسع هذه النتائج لتشمل العمليات غير الحتمية ، أي حيث قد لا تعتمد النتيجة فقط على أفعال الفاعلين ولكنها قد تنطوي أيضًا على عنصر من الصدفة.

تفترض نظرية جيبارد أن القرار الجماعي يُسفر عن فائز واحد فقط، ولا تنطبق على التصويت متعدد الفائزين . وتُعدّ نظرية دوجان-شوارتز نتيجة مماثلة للتصويت متعدد الفائزين .

لنأخذ بعض الناخبين بعين الاعتبار${\displaystyle 1}$،${\displaystyle 2}$و${\displaystyle 3}$الذين يرغبون في اختيار خيار من بين ثلاثة بدائل:${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$و${\displaystyle c}$لنفترض أنهم يستخدمون نظام التصويت بالموافقة : حيث يُعطي كل ناخب لكل مرشح الدرجة 1 (موافقة) أو 0 (رفض الموافقة). على سبيل المثال،${\displaystyle (1,1,0)}$هو اقتراع معتمد: وهذا يعني أن الناخب يوافق على المرشحين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$لكنه لا يوافق على المرشح${\displaystyle c}$بعد جمع أوراق الاقتراع، يُعلن فوز المرشح الحاصل على أعلى مجموع درجات. وفي حالة التعادل بين المرشحين، يُحسم الأمر بالترتيب الأبجدي: على سبيل المثال، إذا كان هناك تعادل بين مرشحين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$، ثم${\displaystyle a}$انتصارات.

افترض أن الناخب${\displaystyle 1}$يفضل البديل${\displaystyle a}$، ثم${\displaystyle b}$وثم${\displaystyle c}$أي ورقة اقتراع ستدافع بشكل أفضل عن آرائها؟ على سبيل المثال، ضع في اعتبارك الحالتين التاليتين.

• إذا أدلى الناخبان الآخران بأصواتهما على التوالي${\displaystyle (0,1,1)}$و${\displaystyle (1,1,1)}$ثم الناخب${\displaystyle 1}$لديها ورقة اقتراع واحدة فقط تؤدي إلى انتخاب بديلها المفضل${\displaystyle a}$ :${\displaystyle (1,0,0)}$.
• لكن إذا افترضنا بدلاً من ذلك أن الناخبين الآخرين أدليا بأصواتهما على التوالي${\displaystyle (0,0,1)}$و${\displaystyle (0,1,1)}$ثم الناخب${\displaystyle 1}$لا ينبغي التصويت${\displaystyle (1,0,0)}$لأنه يجعل${\displaystyle c}$الفوز؛ بل ينبغي عليها التصويت${\displaystyle (1,1,0)}$مما يجعل${\displaystyle b}$يفوز.

باختصار، الناخب${\displaystyle 1}$يواجه معضلة تصويت استراتيجية: اعتمادًا على الأصوات التي سيدلي بها الناخبون الآخرون،${\displaystyle (1,0,0)}$أو${\displaystyle (1,1,0)}$يمكن أن يكون التصويت هو الخيار الأمثل للدفاع عن آرائها. ثم نقول إن التصويت بالموافقة ليس مضمونًا ضد التلاعب : فبمجرد أن تحدد الناخبة تفضيلاتها، لا يكون لديها خيار واحد للدفاع عن آرائها في جميع الحالات؛ بل تحتاج إلى التصرف بذكاء، ربما عن طريق مراقبة الناخبين الآخرين لمعرفة كيف ينوون التصويت.

تنص نظرية جيبارد على أن عملية اتخاذ القرار الجماعي الحتمية لا يمكن أن تكون مقاومة للاستراتيجية، إلا في حالتين محتملتين: إذا كان هناك وكيل متميز يتمتع بسلطة ديكتاتورية ( من جانب واحد )، أو إذا كانت العملية تحد من النتيجة إلى خيارين ممكنين فقط ( مزدوج ).

يترك${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ليكن مجموعة البدائل ، والتي يمكن تسميتها أيضاً بالمرشحين في سياق التصويت.${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{1,\ldots ,n\}}$لتكن مجموعة الوكلاء ، والتي يمكن تسميتها أيضًا باللاعبين أو الناخبين، وذلك حسب سياق التطبيق. لكل وكيل${\displaystyle i}$، يترك${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i}}$لتكن مجموعة تمثل الاستراتيجيات المتاحة للعميل${\displaystyle i}$افترض أن${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i}}$هي محدودة. ليكن${\displaystyle g}$لتكن دالة، لكل${\displaystyle n}$مجموعة من الاستراتيجيات${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})\in {\mathcal {S}}_{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}_{n}}$، يرسم خريطة بديلة. الوظيفة${\displaystyle g}$يُطلق عليه اسم شكل اللعبة . بعبارة أخرى، يتم تعريف شكل اللعبة بشكل أساسي مثل لعبة ذات n لاعب ، ولكن بدون أي منافع مرتبطة بالنتائج المحتملة: فهو يصف الإجراء فقط، دون تحديد مسبق للمكسب الذي سيحصل عليه كل لاعب من كل نتيجة.

نقول ذلك${\displaystyle g}$يكون مقاومًا للاستراتيجية (يُسمى في الأصل: مباشرًا ) إذا كان لأي وكيل${\displaystyle i}$ولأي طلب ضعيف صارم${\displaystyle P_{i}}$من بين البدائل، توجد استراتيجية${\displaystyle s_{i}^{*}(P_{i})}$هذا هو العامل المهيمن بالنسبة للوكيل${\displaystyle i}$عندما يكون لديها تفضيلات${\displaystyle P_{i}}$لا يوجد ملف تعريف للاستراتيجيات الخاصة بالوكلاء الآخرين بحيث يمكن استخدام استراتيجية أخرى${\displaystyle s_{i}}$، مختلف عن${\displaystyle s_{i}^{*}(P_{i})}$، سيؤدي ذلك إلى نتيجة أفضل بشكل قاطع (بمعنى${\displaystyle P_{i}}$تُعد هذه الخاصية مرغوبة في عملية اتخاذ القرار الديمقراطية: فهي تعني أنه بمجرد أن يقوم الفاعل${\displaystyle i}$لقد حددت تفضيلاتها الخاصة${\displaystyle P_{i}}$يمكنها اختيار استراتيجية${\displaystyle s_{i}^{*}(P_{i})}$التي تدافع بشكل أفضل عن تفضيلاتها، دون الحاجة إلى معرفة أو تخمين الاستراتيجيات التي يختارها العملاء الآخرون.

لقد سمحنا${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}_{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}_{n}}$ويرمز بـ${\displaystyle g({\mathcal {S}})}$نطاق${\displaystyle g}$أي مجموعة النتائج المحتملة لشكل اللعبة. على سبيل المثال، نقول أن${\displaystyle g}$يكون لها على الأقل 3 نتائج محتملة إذا وفقط إذا كانت عدد عناصرها${\displaystyle g({\mathcal {S}})}$هو 3 أو أكثر. بما أن مجموعات الاستراتيجيات محدودة،${\displaystyle g({\mathcal {S}})}$وهي محدودة أيضًا؛ وبالتالي، حتى لو كانت مجموعة البدائل${\displaystyle {\mathcal {A}}}$لا يُفترض أن تكون مجموعة النتائج المحتملة محدودة.${\displaystyle g({\mathcal {S}})}$هذا أمر لا مفر منه.

نقول ذلك${\displaystyle g}$يُعتبر النظام دكتاتورياً إذا وُجد وكيل.${\displaystyle i}$من هو ديكتاتور ، بمعنى أنه لأي نتيجة محتملة${\displaystyle a\in g({\mathcal {S}})}$، عامل${\displaystyle i}$لديها استراتيجية تحت تصرفها تضمن أن تكون النتيجة${\displaystyle a}$بغض النظر عن الاستراتيجيات التي يختارها العملاء الآخرون.

تنص نظرية جيبارد لعام 1978 على أن طريقة التصويت غير الحتمية لا تكون مقاومة للتلاعب إلا إذا كانت مزيجًا من القواعد الأحادية والثنائية. على سبيل المثال، القاعدة التي تُلقي قطعة نقدية وتختار ديكتاتورًا عشوائيًا إذا ظهرت الصورة، أو تختار الفائز في كل مواجهة بين مرشحين عشوائيين إذا ظهرت الكتابة، هي قاعدة مقاومة للتلاعب. وقد طُوّرت طرق غير حتمية تُقارب نتائج الطرق الحتمية مع كونها مقاومة للتلاعب. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

• نظرية آرو للاستحالة
• نظرية جيبارد – ساترثويت