شكل غورمان القطبي

يُعد شكل جورمان القطبي شكلاً وظيفياً لوظائف المنفعة غير المباشرة في علم الاقتصاد .

تُصاغ نظرية المستهلك التقليدية لمستهلك واحد. يمتلك هذا المستهلك دالة منفعة، يمكن من خلالها حساب منحنيات الطلب الخاصة به. وبذلك، يُمكن التنبؤ بسلوك المستهلك في ظل ظروف معينة، كتغيرات الأسعار أو الدخل. لكن في الواقع، يوجد العديد من المستهلكين المختلفين، لكل منهم دالة منفعة ومنحنى طلب خاص به . كيف يُمكننا استخدام نظرية المستهلك للتنبؤ بسلوك مجتمع بأكمله؟ أحد الخيارات هو تمثيل المجتمع بأكمله كمستهلك واحد "ضخم"، يمتلك دالة منفعة إجمالية ومنحنى طلب إجمالي. ولكن في أي حالات يُمكن بالفعل تمثيل مجتمع بأكمله كمستهلك واحد؟

بصورة رسمية: ^{[ 1 ]} لنفترض اقتصادًا مع${\displaystyle n}$المستهلكون، ولكل منهم دالة طلب تعتمد على دخله${\displaystyle m^{i}}$ونظام التسعير :

${\displaystyle x^{i}(p,m^{i})}$

إن الطلب الكلي للمجتمع، بشكل عام، هو دالة لنظام الأسعار والتوزيع الكامل للدخول:

${\displaystyle X(p,m^{1},\dots ,m^{n})=\sum _{i=1}^{n}x^{i}(p,m^{i})}$

لكي يمثل المجتمع بأكمله كمستهلك واحد، يجب أن يكون الطلب الكلي دالة للأسعار والدخل الإجمالي فقط ، بغض النظر عن توزيعه:

${\displaystyle X(p,m^{1},\dots ,m^{n})=X\left(p,\sum _{i=1}^{n}m^{i}\right)}$

في ظل أي ظروف يمكن تمثيل الطلب الكلي بهذه الطريقة؟

أظهرت نتائج مبكرة لأنتونيللي (1886) وناتاف (1953) أنه بافتراض أن جميع الأفراد يواجهون الأسعار نفسها في السوق، فإن منحنيات استهلاكهم المرتبطة بالدخل ومنحنيات إنجل (الإنفاق كدالة للدخل) يجب أن تكون خطوطًا مستقيمة متوازية. هذا يعني أنه يمكننا حساب منحنى استهلاك الدخل لمجتمع بأكمله بمجرد جمع منحنيات المستهلكين. بعبارة أخرى، لنفترض أن المجتمع بأكمله لديه دخل معين. يتم توزيع هذا الدخل بطريقة ما بين أفراد المجتمع، ثم يختار كل فرد استهلاكه وفقًا لمنحنى استهلاكه المرتبط بالدخل. إذا كانت جميع المنحنيات خطوطًا مستقيمة متوازية، فسيكون الطلب الكلي للمجتمع مستقلاً عن توزيع الدخل بين الأفراد .

طوّر جورمان هذه الأفكار في أول ورقة بحثية منشورة له عام 1953، وذلك بهدف الإجابة عن سؤال تمثيل المجتمع بفرد واحد. وفي عام 1961، نشر جورمان ورقة بحثية قصيرة من أربع صفحات في مجلة "متروإيكونوميكا" استنتج فيها صيغة صريحة للشكل الوظيفي للتفضيلات التي تُنتج منحنيات إنجل الخطية. دالة الإنفاق لكل مستهلك${\displaystyle i}$(المبلغ المطلوب من المال للوصول إلى مستوى معين من المنفعة في نظام أسعار معين) يجب أن يكون خطيًا في المنفعة:

${\displaystyle e^{i}\left(p,u^{i}\right)=f^{i}(p)+g(p)\cdot u^{i}}$،

حيث كلاهما${\displaystyle f^{i}\left(p\right)}$و${\displaystyle g\left(p\right)}$متجانسة من الدرجة الأولى في الأسعار (${\displaystyle p}$(متجه). يضمن شرط التجانس هذا أن${\displaystyle e^{i}\left(p,u\right)}$يعطي منحنيات إنجل الخطية.

${\displaystyle f^{i}\left(p\right)}$و${\displaystyle g\left(p\right)}$لها تفسيرات جميلة:${\displaystyle f^{i}\left(p\right)}$يمثل الإنفاق اللازم للوصول إلى مستوى منفعة مرجعي يساوي صفرًا لكل فرد (${\displaystyle i}$)، بينما${\displaystyle g\left(p\right)}$هو مؤشر الأسعار الذي يُخفّض فائض الدخل النقدي${\displaystyle e^{i}\left(p,u\right)-f^{i}(p)}$اللازم لتحقيق مستوى من الفائدة${\displaystyle {\bar {u}}}$.${\displaystyle g\left(p\right)}$هو نفسه بالنسبة لكل فرد في المجتمع، لذا فإن منحنيات إنجل لجميع المستهلكين متوازية.

بعكس هذه الصيغة نحصل على دالة المنفعة غير المباشرة (المنفعة كدالة للسعر والدخل):

${\displaystyle v^{i}\left(p,m^{i}\right)={\frac {m^{i}-f^{i}(p)}{g(p)}}}$،

أين${\displaystyle m}$يمثل مقدار الدخل المتاح للفرد ويعادل النفقات (${\displaystyle e^{i}\left(p,u^{i}\right)}$) في المعادلة السابقة. هذا ما أسماه جورمان "الشكل القطبي لدالة المنفعة الأساسية". كان استخدام جورمان لمصطلح " قطبي " إشارةً إلى فكرة أن دالة المنفعة غير المباشرة يمكن اعتبارها تستخدم إحداثيات قطبية بدلاً من الإحداثيات الديكارتية (كما في دوال المنفعة المباشرة) لوصف منحنى السواء. هنا، الدخل (${\displaystyle m^{i}}$) مماثل لنصف القطر والأسعار (${\displaystyle p}$) إلى زاوية.

هناك نوعان من التفضيلات التي لها الشكل القطبي لجورمان: ^{[ 2 ] : 154}

لإثبات أن منحنيات إنجل لدالة في شكل جورمان القطبي خطية ، يتم تطبيق متطابقة روي على دالة المنفعة غير المباشرة للحصول على دالة طلب مارشالية لفرد (${\displaystyle i}$) وجيد (${\displaystyle n}$):

${\displaystyle x_{n}^{i}(p,m^{i})=-{\frac {\frac {\partial v^{i}(p,m^{i})}{\partial p_{n}}}{\frac {\partial v^{i}(p,m^{i})}{\partial m^{i}}}}={\frac {\partial f^{i}(p)}{\partial p_{n}}}+{\frac {\partial g(p)}{\partial p_{n}}}\cdot {\frac {m-f^{i}(p)}{g(p)}}}$

هذا يتناسب طردياً مع الدخل (${\displaystyle m}$وبالتالي، فإن التغير في طلب الفرد على سلعة معينة بالنسبة للتغير في دخل ذلك الفرد، ${\displaystyle {\frac {\partial x_{n}^{i}(p,m^{i})}{\partial m}}={\frac {\frac {\partial g(p)}{\partial p_{n}}}{g(p)}}}$، ولا يعتمد على الدخل، وبالتالي فإن منحنيات إنجل خطية.

أيضًا، بما أن هذا التغيير لا يعتمد على متغيرات خاصة بأي فرد، فإن ميول منحنيات إنجل للأفراد المختلفين متساوية.

تُلخّص العديد من تطبيقات صيغة جورمان القطبية في نصوص مختلفة وفي مقالة هونوهان ونيري. ^{[ 3 ]} تشمل هذه التطبيقات سهولة تقدير${\displaystyle f^{i}(p)}$و${\displaystyle g(p)}$في بعض الحالات. لكن التطبيق الأهم هو بالنسبة لنظري الاقتصاد، إذ يسمح للباحث بمعاملة مجتمع من الأفراد الذين يسعون إلى تعظيم منفعتهم كفرد واحد. بعبارة أخرى، في ظل هذه الظروف، يُضمن وجود علاقة عدم اكتراث مجتمعية.

• الطلب الكلي
• وكيل تمثيلي

• أنتونيلي، GB (1886). سولا تيوريا ماتيماتيكا ديل إيكونوميا بوليتيكا . بيزا.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher ( link ) الترجمة الإنجليزية في Chipman, JS; Hurwicz, L.; Richter, MK; et al., eds. (1971). Preferences, Utility and Demand: A Minnesota Symposium . New York: Harcourt Brace Jovanovich. pp. 333– 360.  
• جورمان، دبليو إم (1961). "حول فئة من حقول التفضيل". مترو إيكونوميكا . 13 (2): 53-56 . doi : 10.1111/j.1467-999X.1961.tb00819.x .
• نتاف، أ. (1953). "Sur des questions d'agrégation en économétrie". منشورات معهد الإحصاء التابع لجامعة باريس . 2، فاس. المجلد. 4: 5- 61.