رقم غراهام

عدد غراهام هو عدد هائل نشأ كحد أعلى لحلّ مسألة في مجال نظرية رامزي الرياضية . وهو أكبر بكثير من العديد من الأعداد الكبيرة الأخرى التي استُخدمت كحدود فعّالة في الرياضيات، مثل حدّ سكيوز ، الذي بدوره أكبر بكثير من غوغولبلكس . عدد غراهام كبير جدًا لدرجة أن الكون المرئي أصغر بكثير من أن يحتوي على تمثيله الرقمي العادي ، بافتراض أن كل رقم يشغل حجم بلانك واحد . ولكن حتى عدد الأرقام في هذا التمثيل الرقمي لعدد غراهام سيكون بحد ذاته عددًا كبيرًا جدًا بحيث لا يمكن تمثيله رقميًا في الكون المرئي. ولا يمكن حتى لعدد أرقام ذلك العدد نفسه أن يُمثّله - وهكذا دواليك، لعدد مرات يتجاوز بكثير العدد الإجمالي لأحجام بلانك في الكون المرئي. وبالتالي، لا يمكن التعبير عن عدد غراهام حتى باستخدام أبراج طاقة مادية على مستوى الكون من الشكل${\displaystyle a^{b^{c^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$، على الرغم من أن عدد غراهام هو في الواقع قوة من قوى العدد ثلاثة .

مع ذلك، يمكن التعبير عن عدد غراهام صراحةً باستخدام صيغ حسابية تكرارية ، وذلك باستخدام ترميز السهم لأعلى الخاص بكنوث أو ما يعادله، كما فعل رونالد غراهام ، الذي سُمّي العدد باسمه. ولأن هناك صيغة تكرارية لتعريفه، فهو أصغر بكثير من أعداد القندس المشغول النموذجية ، التي ينمو تسلسلها أسرع من أي تسلسل قابل للحساب. ورغم أنه كبير جدًا بحيث يستحيل حسابه بالكامل، إلا أنه يمكن حساب تسلسل أرقام عدد غراهام صراحةً عبر خوارزميات بسيطة؛ فالأرقام العشرة الأخيرة من عدد غراهام هي ...2464195387. ^{[ 1 ]} باستخدام ترميز السهم لأعلى الخاص بكنوث، يكون عدد غراهام هو${\displaystyle g_{64}}$، ^{[ 2 ]} حيث $${\displaystyle g_{n}={\begin{cases}3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3,&{\text{إذا كان }}n=1{\text{ و}}\\3\uparrow ^{g_{n-1}}3,&{\text{إذا كان }}n\geq 2.\end{cases}}}$$

استخدم غراهام عدد غراهام في محادثاته مع كاتب العلوم الشهير مارتن غاردنر كشرح مبسط للحدود العليا للمسألة التي كان يعمل عليها. وفي عام 1977، وصف غاردنر هذا العدد في مجلة ساينتفك أمريكان ، مُعرّفًا إياه للجمهور. عند ظهوره، كان أكبر عدد صحيح موجب محدد يُستخدم في برهان رياضي منشور. وقد ورد ذكره في موسوعة غينيس للأرقام القياسية عام 1980 ، مما زاد من شعبيته. ومنذ ذلك الحين، ظهرت أعداد صحيحة محددة أخرى (مثل TREE(3) )، معروفة بأنها أكبر بكثير من عدد غراهام، في العديد من البراهين الرياضية الجادة، على سبيل المثال فيما يتعلق بأشكال هارفي فريدمان المختلفة المحدودة لنظرية كروسكال . بالإضافة إلى ذلك، ثبتت صحة حدود عليا أصغر لمسألة نظرية رامزي التي اشتُق منها عدد غراهام.

يرتبط عدد غراهام بالمشكلة التالية في نظرية رامزي :

صِل كل زوج من الرؤوس الهندسية لمكعب فائق ذي n بُعد للحصول على رسم بياني كامل على 2^ ⁿ رأس . لوّن كل حافة من حواف هذا الرسم البياني إما باللون الأحمر أو الأزرق. ما هي أصغر قيمة لـ n بحيث يحتوي كل تلوين من هذا النوع على رسم بياني فرعي كامل بلون واحد على الأقل على أربعة رؤوس تقع في مستوى واحد ؟

في عام 1971، أثبت غراهام وروتشيلد نظرية غراهام-روتشيلد المتعلقة بنظرية رامزي للكلمات البارامترية ، والتي تُظهر حالة خاصة منها أن لهذه المسألة حلاً N* . وقد حددا قيمة N* بالنطاق 6 ≤ N* ≤ N ، حيث N عدد كبير ولكنه مُحدد بشكل صريح.

$${\displaystyle N=F^{7}(12)=F(F(F(F(F(F(F(12))))))),}$$

أين${\displaystyle F(n)=2\uparrow ^{n}3}$في تدوين كنوت للسهم الصاعد ؛ يقع العدد بين 4 ← 2 ← 8 ← 2 و 2 ← 3 ← 9 ← 2 في تدوين كونواي للسهم المتسلسل . ^{[ 3 ]} تم تقليص هذا في عام 2014 عبر حدود عليا على عدد هيلز-جويت إلى

$${\displaystyle N'=2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow (3+2\uparrow \uparrow 8)),}$$

والتي تحتوي على ثلاث سلاسل رباعية . ^{[ 4 ]} وفي عام 2019 تم تحسينها بشكل أكبر إلى ^{[ 5 ]}

$${\displaystyle N''=(2\uparrow \uparrow 5138)\cdot ((2\uparrow \uparrow 5140)\uparrow \uparrow (2\cdot 2\uparrow \uparrow 5137))\ll 2\uparrow \uparrow (2\uparrow \uparrow 5138).}$$

تم تحسين الحد الأدنى البالغ 6 لاحقًا إلى 11 بواسطة جيفري إكسو في عام 2003، ^{[ 6 ]} وإلى 13 بواسطة جيروم باركلي في عام 2008. ^{[ 7 ]} وبالتالي، فإن أفضل الحدود المعروفة لـ N* هي 13 ≤ N* ≤ N'' .

عدد غراهام، G ، أكبر بكثير من N : إنه${\displaystyle f^{64}(4)}$، أين${\displaystyle f(n)=3\uparrow ^{n}3}$. تم نشر هذا الحد الأعلى الأضعف للمشكلة، والذي يُعزى إلى عمل غير منشور لغراهام، في النهاية وأطلق عليه مارتن غاردنر اسمًا في مجلة ساينتفك أمريكان في نوفمبر 1977. ^{[ 8 ]}

حظي هذا الرقم باهتمام شعبي واسع عندما وصفه مارتن غاردنر في قسم "الألعاب الرياضية" بمجلة ساينتفك أمريكان في نوفمبر 1977، حيث كتب أن غراهام قد أثبت مؤخرًا، في برهان غير منشور، "حدًا واسعًا جدًا لدرجة أنه يحمل الرقم القياسي لأكبر عدد استُخدم على الإطلاق في برهان رياضي جاد". وقد كرّر كتاب غينيس للأرقام القياسية لعام 1980 ادعاء غاردنر، مما زاد من الاهتمام الشعبي بهذا الرقم. ووفقًا للفيزيائي جون بايز ، فقد ابتكر غراهام الكمية المعروفة الآن باسم "عدد غراهام" في محادثة مع غاردنر. وبينما كان غراهام يحاول شرح نتيجة في نظرية رامزي التي توصل إليها مع زميله بروس لي روتشيلد ، وجد أن شرح هذه الكمية أسهل من شرح العدد الفعلي الذي ظهر في البرهان. ولأن العدد الذي وصفه غراهام لغاردنر أكبر من العدد الوارد في الورقة البحثية نفسها، فإن كليهما يمثلان حدًا أعلى صالحًا لحل المسألة التي درسها غراهام وروتشيلد. ^{[ 9 ]}

باستخدام ترميز السهم لأعلى الخاص بكنوث ، فإن عدد غراهام G (كما هو مُعرَّف في مقالة غاردنر في مجلة ساينتفك أمريكان ) هو $${\displaystyle \left.{\begin{matrix}G&=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&&\underbrace {\qquad \quad \vdots \qquad \quad } \\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow } 3\\&&3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 layers}}}$$

حيث يتم تحديد عدد الأسهم في كل طبقة بواسطة قيمة الطبقة التالية التي تليها؛ أي،

$${\displaystyle G=g_{64},}$$أين${\displaystyle g_{1}=3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3,}$${\displaystyle g_{n}=3\uparrow ^{g_{n-1}}3,}$

_{حيث يشير الرقم المرتفع على السهم المتجه للأعلى إلى} عدد الأسهم. بعبارة أخرى، يتم حساب G في 64 خطوة: الخطوة الأولى هي حساب g1 بأربعة أسهم _متجهة للأعلى بين كل 3 ثوانٍ؛ والخطوة الثانية هي حساب g2 بأربعة أسهم _متجهة للأعلى بين كل 3 ثوانٍ؛ والخطوة الثالثة هي حساب g3 بأربعة أسهم _متجهة للأعلى بين كل 3 ثوانٍ؛ وهكذا، حتى يتم حساب G = g64 _بأربعة أسهم متجهة _{للأعلى بين كل} 3 ثوانٍ.

وبعبارة أخرى، $${\displaystyle G=f^{64}(4),{\text{ where }}f(n)=3\uparrow ^{n}3,}$$

ويشير الرمز العلوي على f إلى تكرار الدالة ، على سبيل المثال،${\displaystyle f^{4}(n)=f(f(f(f(n))))}$. معبر عنها بدلالة عائلة العمليات الفائقة${\displaystyle {\text{H}}_{0},{\text{H}}_{1},{\text{H}}_{2},\cdots }$الدالة f هي المتتالية المحددة${\displaystyle f(n)={\text{H}}_{n+2}(3,3)}$وهي نسخة من دالة أكرمان سريعة النمو A ( n , n ). (في الواقع،${\displaystyle f(n)>A(n,n)}$(لكل n .) يمكن أيضًا التعبير عن الدالة f باستخدام تدوين كونواي السهمي المتسلسل كما يلي${\displaystyle f(n)=3\rightarrow 3\rightarrow n}$ويوفر هذا الترميز أيضًا الحدود التالية على G :

$${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2.}$$

باقي قسمة عدد غراهام على n ، بدءًا من n = 1، هو

• تسلسل OEIS A133613 (رقم غراهام)
• مقال سبيس سايبيان حول رقم غراهام، مؤرشف بتاريخ 17 يناير 2023 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine).
• " مسألة رامزي على المكعبات الفائقة " بقلم جيف إكسو
• وايسشتاين، إريك دبليو. "عدد غراهام" . عالم الرياضيات .
• كيفية حساب رقم غراهام
• أوربان، تيم. "من مليون إلى رقم غراهام" . موقع "انتظر ولكن لماذا ". تم الاطلاع عليه بتاريخ 24 أبريل 2026 .
• تشير بعض نتائج رامزي للمنشور المسبق لمكعب n إلى رقم غراهام
• باديلا، توني ؛ باركر، مات . "رقم غراهام" . نمبرفايل . برادي هاران . مؤرشف من الأصل بتاريخ 27-05-2014 . تم الاسترجاع بتاريخ 08-04-2013 .
• مؤرشف في أرشيف الأشباحوآلة Waybackرون غراهام (21 يوليو 2014). "ما هو رقم غراهام؟ (مع رون غراهام)" (فيديو) . نمبرفايل . برادي هاران .
• مؤرشف في أرشيف الأشباحوآلة Waybackرون غراهام (22 يوليو 2014). "ما مدى ضخامة رقم غراهام؟ (مع رون غراهام)" (فيديو) . نمبرفايل . برادي هاران .
• آخر 16 مليون رقم من رقم غراهام، بحسب مجموعة داركسايد للاتصالات