التكرار

الموسوعة الحرة

شكلٌ بصريٌّ من أشكال التكرار يُعرف بتأثير دروستي . تحمل المرأة في هذه الصورة شيئًا يحتوي على صورةٍ مصغّرةٍ لها وهي تحمل شيئًا مطابقًا، والذي بدوره يحتوي على صورةٍ مصغّرةٍ لها وهي تحمل شيئًا مطابقًا، وهكذا. علبة كاكاو دروستي، ١٩٠٤ ، من تصميم جان ميسيت.

يحدث الاستدعاء الذاتي عندما يعتمد تعريف مفهوم أو عملية ما على نسخة أبسط أو سابقة منه. [ 1 ] يُستخدم الاستدعاء الذاتي في مجالات متنوعة، من اللغويات إلى المنطق . ويُعدّ استخدامه الأكثر شيوعًا في الرياضيات وعلوم الحاسوب ، حيث تُطبّق الدالة المُعرّفة ضمن تعريفها نفسه. ورغم أن هذا يُعرّف ظاهريًا عددًا لا نهائيًا من الحالات (قيم الدالة)، إلا أنه غالبًا ما يُنفّذ بطريقة تمنع حدوث أي حلقة لا نهائية أو سلسلة لا نهائية من المراجع.

العملية التي تُظهر خاصية التكرار تُسمى عملية تكرارية . يعرض الفيديو صورًا متكررة، وكذلك المرآة اللانهائية .

التعريفات الرسمية

الأوربوروس ، رمز قديم يصور ثعبانًا أو تنينًا يأكل ذيله

في الرياضيات وعلوم الحاسوب، تُظهر فئة من الكائنات أو الأساليب سلوكًا تكراريًا عندما يمكن تعريفها بخاصيتين:

  • حالة أساسية بسيطة (أو حالات أساسية) - سيناريو إنهاء لا يستخدم الاستدعاء الذاتي لإنتاج إجابة
  • الخطوة المتكررة - مجموعة من القواعد التي تقلل جميع الحالات المتتالية نحو الحالة الأساسية.

على سبيل المثال، فيما يلي تعريف تكراري لسلف الشخص . سلف الشخص هو إما:

  • أحد الوالدين ( الحالة الأساسية )، أو
  • سلف أحد الوالدين ( خطوة تكرارية ).

تُعدّ متتالية فيبوناتشي مثالاً كلاسيكياً آخر على التكرار:

Fib(0) = 0 كحالة أساسية 1،
Fib(1) = 1 كحالة أساسية 2،
لكل الأعداد الصحيحة n > 1 ، Fib( n ) = Fib( n − 1) + Fib( n − 2) .

تعتمد العديد من البديهيات الرياضية على قواعد تكرارية. على سبيل المثال، يمكن وصف التعريف الرسمي للأعداد الطبيعية وفقًا لبديهيات بيانو على النحو التالي: "الصفر عدد طبيعي، ولكل عدد طبيعي عددٌ خلفه، وهو أيضًا عدد طبيعي." [ 2 ] وبناءً على هذه الحالة الأساسية والقاعدة التكرارية، يمكن توليد مجموعة جميع الأعداد الطبيعية.

تشمل الكائنات الرياضية الأخرى المعرفة بشكل متكرر المضروب ، والدوال (مثل العلاقات التكرارية )، والمجموعات (مثل مجموعة كانتور الثلاثية )، والكسور الهندسية .

توجد تعريفات أخرى أكثر تهكمًا للتكرار؛ انظر الفكاهة التكرارية .

تعريف غير رسمي

يتم تقليب خميرة العجين المخمر في الدقيق لإنتاج العجين المخمر: تتطلب الوصفة بعض العجين المخمر المتبقي من المرة الأخيرة التي تم فيها إعداد نفس الوصفة.

الاستدعاء الذاتي هو العملية التي يمر بها الإجراء عندما تتضمن إحدى خطواته استدعاء الإجراء نفسه. ويُقال عن الإجراء الذي يمر بالاستدعاء الذاتي أنه "استدعاء ذاتي". [ 3 ]

لفهم الاستدعاء الذاتي، يجب التمييز بين الإجراء وتنفيذه. الإجراء عبارة عن مجموعة من الخطوات المبنية على مجموعة من القواعد، بينما يتضمن تنفيذ الإجراء اتباع القواعد فعلياً وتنفيذ الخطوات.

يرتبط الاستدعاء الذاتي بالإشارة داخل مواصفات إجراء ما إلى تنفيذ إجراء آخر، ولكنه ليس هو نفسه.

عندما يتم تعريف إجراء ما بهذه الطريقة، فإن هذا يخلق على الفور إمكانية حدوث حلقة لا نهائية؛ لا يمكن استخدام التكرار بشكل صحيح في التعريف إلا إذا تم تخطي الخطوة المعنية في حالات معينة حتى يتمكن الإجراء من الاكتمال.

حتى لو تم تعريف الإجراء التكراري تعريفًا دقيقًا، فإنه ليس من السهل على البشر تنفيذه، إذ يتطلب التمييز بين الاستدعاء الجديد والاستدعاء القديم الذي تم تنفيذه جزئيًا؛ وهذا يستلزم إدارةً لتحديد مدى تقدم مختلف الحالات المتزامنة للإجراء. لهذا السبب، نادرًا ما تُستخدم التعريفات التكرارية في المواقف اليومية.

باللغة

جادل اللغوي نعوم تشومسكي ، إلى جانب العديد من اللغويين الآخرين، بأن عدم وجود حد أقصى لعدد الجمل النحوية في اللغة، وعدم وجود حد أقصى لطول الجملة النحوية (بخلاف القيود العملية مثل الوقت المتاح لنطق جملة واحدة)، يمكن تفسيره كنتيجة للتكرار في اللغة الطبيعية. [ 4 ] [ 5 ]

توجد العديد من البنى الأخرى غير الجمل التي يمكن تعريفها بشكل تكراري، وبالتالي توجد طرق عديدة يمكن من خلالها للجملة أن تُضمّن أمثلة من فئة ما داخل فئة أخرى. [ 6 ] على مر السنين، أثبتت اللغات بشكل عام قابليتها لهذا النوع من التحليل.

لقد طعن دانيال إيفريت في الفكرة السائدة بأن التكرار خاصية أساسية للغة البشرية، وذلك استنادًا إلى مزاعمه حول لغة بيراها . ومن بين العديد ممن عارضوا هذه الفكرة، أندرو نيفينز، وديفيد بيسيتسكي، وسيلين رودريغز. [ 7 ] ويمكن القول، على أي حال، إن الإشارة الذاتية الأدبية تختلف نوعيًا عن التكرار الرياضي أو المنطقي. [ 8 ]

يلعب الاستدعاء الذاتي دورًا محوريًا ليس فقط في بناء الجملة، بل أيضًا في دلالات اللغة الطبيعية . فعلى سبيل المثال، يمكن اعتبار كلمة " و " دالةً تُطبَّق على معاني الجمل لتكوين جمل جديدة، وكذلك معاني العبارات الاسمية والفعلية وغيرها. كما يمكن تطبيقها على الأفعال اللازمة والمتعدية والمتعدية لمفعولين. ولتوفير دلالة واحدة لها تتسم بالمرونة المناسبة، تُعرَّف عادةً بحيث يمكنها قبول أيٍّ من هذه المعاني المختلفة كمعاملات. ويمكن تحقيق ذلك بتعريفها لحالة بسيطة تجمع فيها الجمل، ثم تعريف الحالات الأخرى بشكل استدعائي انطلاقًا من الحالة البسيطة. [ 9 ]

القواعد النحوية المتكررة هي قواعد نحوية رسمية تحتوي على قواعد إنتاج متكررة . [ 10 ]

الفكاهة المتكررة

يُستخدم مصطلح "التكرار" أحيانًا بشكلٍ فكاهي في كتب علوم الحاسوب والبرمجة والفلسفة والرياضيات، وذلك عادةً من خلال تقديم تعريف دائري أو مرجع ذاتي ، حيث لا تقترب خطوة التكرار المفترضة من حالة أساسية، بل تؤدي إلى تسلسل لا نهائي . ومن الشائع أن تتضمن هذه الكتب مدخلاً فكاهيًا في مسردها على النحو التالي:

الاستدعاء الذاتي، انظر الاستدعاء الذاتي . [ 11 ]

توجد نسخة مختلفة من هذه النكتة في الصفحة 269 من فهرس بعض طبعات كتاب "لغة البرمجة سي" لبريان كيرنيغان ودينيس ريتشي ؛ حيث يشير مدخل الفهرس بشكل متكرر إلى نفسه ("التكرار 86، 139، 141، 182، 202، 269"). ويمكن العثور على نسخ مبكرة من هذه النكتة في كتاب " لنتحدث عن لغة ليسب" للوران سيكلوسي (الذي نشرته دار برنتيس هول بي تي آر في 1 ديسمبر 1975، مع تاريخ حقوق نشر 1976) وفي كتاب " أدوات البرمجيات" لكيرنيغان وبلاوغر (الذي نشرته دار أديسون ويسلي بروفيشنال في 11 يناير 1976). كما تظهر النكتة في كتاب "بيئة برمجة يونكس" لكيرنيغان وبايك. ولم تظهر في الطبعة الأولى من كتاب "لغة البرمجة سي" . وتُعد هذه النكتة جزءًا من التراث الشعبي للبرمجة الوظيفية ، وكانت منتشرة على نطاق واسع في مجتمع البرمجة الوظيفية قبل نشر الكتب المذكورة آنفًا. [ 12 ] [ 13 ]

لوحة تذكارية تخلد ذكرى مشروع التاريخ التكراري لمدينة تورنتو.

ومن النكات الأخرى: "لفهم الاستدعاء الذاتي، عليك أن تفهم الاستدعاء الذاتي." [ 11 ] في النسخة الإنجليزية من محرك بحث جوجل، عند البحث عن "recursion"، يقترح الموقع "هل تقصد: recursion ؟" [ 14 ] وهناك صيغة بديلة، كما ذكر أندرو بلوتكين : "إذا كنت تعرف ما هو الاستدعاء الذاتي، فما عليك سوى تذكر الإجابة. وإلا، فابحث عن شخص أقرب إليك من دوغلاس هوفستاتر ، ثم اسأله عن معنى الاستدعاء الذاتي."

تُعدّ الاختصارات المتكررة أمثلة أخرى على الفكاهة المتكررة. فمثلاً، يرمز PHP إلى "معالج النصوص التشعبية PHP"، ويرمز WINE إلى "WINE ليس محاكياً"، ويرمز RPM إلى "مدير حزم RPM"، ويرمز GNU إلى "GNU ليس Unix"، ويرمز SPARQL إلى "بروتوكول SPARQL ولغة استعلام RDF".

في الرياضيات

مثلث سيربينسكي - تكرار محدود للمثلثات التي تشكل شكلاً كسريًا

المجموعات المعرفة بشكل متكرر

مثال: الأعداد الطبيعية

يُعطى المثال النموذجي لمجموعة مُعرَّفة بشكل متكرر بواسطة الأعداد الطبيعية :

0 موجود فيشمال{\displaystyle \mathbb {N} }
إذا كان n فيشمال{\displaystyle \mathbb {N} }إذن، فإن n + 1 ينتمي إلىشمال{\displaystyle \mathbb {N} }
مجموعة الأعداد الطبيعية هي أصغر مجموعة تحقق الخاصيتين السابقتين.

في المنطق الرياضي، تُعرف بديهيات بيانو (أو مسلمات بيانو أو بديهيات ديديكيند-بيانو) بأنها بديهيات للأعداد الطبيعية، قدمها في القرن التاسع عشر عالم الرياضيات الألماني ريتشارد ديديكيند وعالم الرياضيات الإيطالي جوزيبي بيانو . تُعرّف بديهيات بيانو الأعداد الطبيعية بالإشارة إلى دالة لاحقة تكرارية، وتعتبر عمليتي الجمع والضرب دالتين تكراريتين.

مثال: إجراء الإثبات

ومن الأمثلة الأخرى المثيرة للاهتمام مجموعة جميع القضايا "القابلة للإثبات" في نظام بديهي يتم تعريفها من حيث إجراء إثبات يتم تعريفه استقرائيًا (أو تكراريًا) على النحو التالي:

  • إذا كانت القضية بديهية، فهي قضية قابلة للإثبات.
  • إذا كان من الممكن استنتاج قضية من قضايا حقيقية يمكن الوصول إليها عن طريق قواعد الاستدلال، فإنها قضية قابلة للإثبات.
  • مجموعة القضايا القابلة للإثبات هي أصغر مجموعة من القضايا التي تحقق هذه الشروط.

قواعد التقسيم المحدود

قواعد التقسيم المحدود هي شكل هندسي من أشكال التكرار، يمكن استخدامها لإنشاء صور شبيهة بالكسور الهندسية. تبدأ قاعدة التقسيم بمجموعة من المضلعات تحمل عددًا محدودًا من التسميات، ثم يُقسّم كل مضلع إلى مضلعات أصغر تحمل تسميات، وذلك بطريقة تعتمد فقط على تسميات المضلع الأصلي. يمكن تكرار هذه العملية. تُعدّ تقنية "الثلث الأوسط" القياسية لإنشاء مجموعة كانتور قاعدة تقسيم، وكذلك التقسيم المركزي .

التكرار الوظيفي

يمكن تعريف دالة ما بشكل استقرائي بدلالة نفسها. ومن الأمثلة الشائعة على ذلك متتالية أعداد فيبوناتشي : F ( n ) = F ( n -1) + F ( n -2). ولكي يكون هذا التعريف مفيدًا، يجب أن يكون قابلاً للاختزال إلى قيم غير مُعرَّفة استقرائيًا: في هذه الحالة F (0) = 0 و F (1) = 1.

البراهين التي تتضمن تعريفات تكرارية

إن تطبيق الأسلوب القياسي للإثبات بالحالات على المجموعات أو الدوال المعرفة بشكل متكرر، كما هو الحال في الأقسام السابقة، يؤدي إلى الاستقراء الهيكلي - وهو تعميم قوي للاستقراء الرياضي يستخدم على نطاق واسع لاستخلاص البراهين في المنطق الرياضي وعلوم الكمبيوتر.

التحسين المتكرر

البرمجة الديناميكية هي منهج لتحسين الأداء يعيد صياغة مسألة التحسين متعددة الفترات أو الخطوات في شكل تكراري. والنتيجة الرئيسية في البرمجة الديناميكية هي معادلة بيلمان ، التي تعبر عن قيمة مسألة التحسين في وقت سابق (أو خطوة سابقة) بدلالة قيمتها في وقت لاحق (أو خطوة لاحقة).

نظرية الاستدعاء الذاتي

في نظرية المجموعات ، تُعدّ هذه نظرية تضمن وجود دوال مُعرّفة بشكل تكراري. إذا كانت لدينا مجموعة X ، وعنصر a من X، ودالة f : X → X ، فإن النظرية تنص على وجود دالة وحيدة f : X → X.F:شمال→X{\displaystyle F:\mathbb {N} \to X}(أينشمال{\displaystyle \mathbb {N} }تشير إلى مجموعة الأعداد الطبيعية (بما في ذلك الصفر) بحيث

F(0)=أ{\displaystyle F(0)=a}
F(ن+1)=و(F(ن)){\displaystyle F(n+1)=f(F(n))}

لأي عدد طبيعي n .

كان ديديكيند أول من طرح مشكلة التعريف الفريد للدوال النظرية للمجموعات علىشمال{\displaystyle \mathbb {N} }عن طريق التكرار، وقدم رسمًا تخطيطيًا للحجة في مقال عام 1888 "Was sind und Was sollen die Zahlen؟" [ 15 ]

إثبات الوجود

المصدر: [ 16 ]

يتركS={أ⊆شمال×X:(0،أ)∈أ وإذا (x،y)∈أ ثم (x+1،و(y))∈أ}{\displaystyle S=\{A\subseteq {\mathbb {N} }\times X:(0,a)\in A{\text{ وإذا كان }}(x,y)\in A{\text{ فإن }}(x+1,f(y))\in A\}}.

S ليست فارغة لأنشمال×X∈S{\displaystyle {\mathbb {N} }\times X\in S}. يتركز=⋂أ∈Sأ{\displaystyle g=\bigcap _{A\in S}A}. الآن(0،أ)∈ز{\displaystyle (0,a)\in g}لأنه موجود في كل شيءأ∈S{\displaystyle A\in S}علاوة على ذلك، إذا(x،y)∈ز{\displaystyle (x,y)\in g}ثم(x،y)∈أ{\displaystyle (x,y)\in A}للجميعأ∈S{\displaystyle A\in S}لكن بعد ذلك(x+1،و(y))∈أ{\displaystyle (x+1,f(y))\in A}للجميعأ∈S{\displaystyle A\in S}لهذا السبب.(x+1،و(y))∈ز{\displaystyle (x+1,f(y))\in g}. لذلكز∈S{\displaystyle g\in S}وهو أصغر عنصر في المجموعة S.

يتركتي={ن∈شمال:∃z∈X بحيث (ن،z)∈ز}{\displaystyle T=\{n\in {\mathbb {N} }:\exists z\in X{\text{ such that }}(n,z)\in g\}}. الآن0∈تي{\displaystyle 0\in T}منذ(0،أ)∈ز{\displaystyle (0,a)\in g}. يفترضن∈تي{\displaystyle n\in T}. ثم(ن،z)∈ز{\displaystyle (n,z)\in g}بالنسبة للبعضz∈X{\displaystyle z\in X}وهذا يعطي(ن+1،و(z))∈ز{\displaystyle (n+1,f(z))\in g}. لذلكن+1∈تي{\displaystyle n+1\in T}ويترتب على ذلك بالاستقراء الرياضي أنتي=شمال{\displaystyle T={\mathbb {N} }}.

يتركيو={x∈شمال:لو (x،y)،(x،z)∈ز ثم y=z}{\displaystyle U=\{x\in {\mathbb {N} }:{\text{if }}(x,y),(x,z)\in g{\text{ then }}y=z\}}لنفترض جدلاً أن0∉يو{\displaystyle 0\notin U}أي، لنفترض أن لدينا(0،z){\displaystyle (0,z)}، فضلاً عن ذلك،(0،أ)∈ز{\displaystyle (0,a)\in g}، أينz≠أ{\displaystyle z\neq a}. ثم ز∖{(0،z)}∈S{\displaystyle g\backslash \{(0,z)\}\in S}وهذا يناقض حقيقة أن g هو أصغر عنصر في المجموعة S. وبالتالي،0∈يو{\displaystyle 0\in U}.

سنبين أنه إذاx∈يو{\displaystyle x\in U}ثمx+1∈يو{\displaystyle x+1\in U}لنفترض أن هذا ليس هو الحال. إذن∃م∈يو{\displaystyle \exists m\in U}لهذا السبب.م+1∉يو{\displaystyle m+1\notin U}. منذم∈يو{\displaystyle m\in U}وتي=شمال{\displaystyle T={\mathbb {N} }}هناك شيء فريدن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }مع(م،ن)∈ز{\displaystyle (m,n)\in g}. ثم(م+1،و(ن))∈ز{\displaystyle (m+1,f(n))\in g}. منذم+1∉يو{\displaystyle m+1\notin U}، هناك(م+1،z)∈ز{\displaystyle (m+1,z)\in g}بالإضافة إلى(م+1،و(ن))∈ز{\displaystyle (m+1,f(n))\in g}، أينz≠و(ن){\displaystyle z\neq f(n)}لكن بعد ذلكز∖{(م+1،z)}∈S{\displaystyle g\backslash \{(m+1,z)\}\in S}وهذا يناقض حقيقة أن g هو أصغر عنصر في S. ثم يقول الاستقراء الرياضي أنيو=شمال{\displaystyle U={\mathbb {N} }}لذلك توجد دالة يكون رسمها البياني هو g. لنرمز لها بـ F.

دليل على التفرد

خذ دالتينF:شمال→X{\displaystyle F:\mathbb {N} \to X}وجي:شمال→X{\displaystyle G:\mathbb {N} \to X}بحيث:

F(0)=أ{\displaystyle F(0)=a}
جي(0)=أ{\displaystyle G(0)=a}
F(ن+1)=و(F(ن)){\displaystyle F(n+1)=f(F(n))}
جي(ن+1)=و(جي(ن)){\displaystyle G(n+1)=f(G(n))}

حيث a عنصر من X.

يمكن إثبات ذلك بالاستقراء الرياضي أن F ( n ) = G ( n ) لجميع الأعداد الطبيعية n :

الحالة الأساسية : F (0) = a = G (0) لذا فإن المساواة صحيحة لـ n = 0 .
الخطوة الاستقرائية : لنفترض أن F ( k ) = G ( k ) لبعضك∈شمال{\displaystyle k\in \mathbb {N} }ثم F ( k + 1) = f ( F ( k )) = f ( G ( k )) = G ( k + 1) .
وبالتالي فإن F ( k ) = G ( k ) يستلزم F ( k + 1) = G ( k + 1) .

بالاستقراء، F ( n ) = G ( n ) لجميعن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }.

في علوم الحاسوب

إحدى الطرق الشائعة لتبسيط المسائل هي تقسيمها إلى مسائل فرعية من النوع نفسه. في مجال برمجة الحاسوب ، تُعرف هذه الطريقة باسم "فرق تسد" ، وهي أساسية في تصميم العديد من الخوارزميات المهمة. تُعتبر "فرق تسد" منهجًا تنازليًا لحل المسائل، حيث تُحل المسائل بحل مسائل أصغر فأصغر. أما البرمجة الديناميكية، فهي منهج تصاعدي، حيث تُحل المسائل بحل مسائل أكبر فأكبر، حتى الوصول إلى الحجم المطلوب.

يُعد تعريف دالة المضروب مثالًا كلاسيكيًا على الاستدعاء الذاتي ، وهو مُعطى هنا بلغة بايثون :

دالة حساب المضروب ( n ): إذا كان n > 0 : أرجع n * مضروب ( n - 1 ) وإلا : أرجع 1

تقوم الدالة باستدعاء نفسها بشكل متكرر على نسخة أصغر من المدخلات (n - 1)وتضرب نتيجة الاستدعاء المتكرر في n، حتى الوصول إلى الحالة الأساسية ، على غرار التعريف الرياضي للمضروب.

يتجلى التكرار في برمجة الحاسوب عندما تُعرَّف دالة ما بدلالة نسخ أبسط وأصغر منها. ثم يُصاغ حل المشكلة بدمج الحلول المُستخلصة من النسخ الأبسط. ومن الأمثلة على تطبيقات التكرار محللات لغات البرمجة. وتكمن الميزة الكبرى للتكرار في إمكانية تعريف وتحليل وإنتاج مجموعة لا نهائية من الجمل أو التصاميم أو البيانات الأخرى الممكنة بواسطة برنامج حاسوبي محدود.

العلاقات التكرارية هي معادلات تُعرّف متتالية واحدة أو أكثر بشكل تكراري. يمكن "حل" بعض أنواع العلاقات التكرارية للحصول على تعريف غير تكراري (مثل صيغة مغلقة ).

يُعدّ استخدام التكرار في الخوارزميات ذا مزايا وعيوب. تتمثل الميزة الرئيسية عادةً في بساطة التعليمات. أما العيب الرئيسي فيتمثل في أن استخدام الذاكرة في الخوارزميات التكرارية قد يزداد بسرعة كبيرة، مما يجعلها غير عملية في الحالات الكبيرة.

في علم الأحياء

تظهر أحيانًا في النباتات والحيوانات أشكالٌ تبدو وكأنها ناتجة عن عمليات متكررة، كما هو الحال في التراكيب المتفرعة التي يتفرع فيها جزء كبير إلى جزأين أو أكثر من الأجزاء الأصغر المتشابهة. ومن الأمثلة على ذلك نبات البروكلي الروماني . [ 17 ]

في مجال الأعمال

يُشار أحيانًا إلى التكرار في علم الإدارة على أنه عملية التكرار عبر مستويات التجريد في الكيانات التجارية الكبيرة. [ 18 ] ومن الأمثلة الشائعة على ذلك الطبيعة التكرارية للتسلسلات الهرمية الإدارية ، بدءًا من الإدارة التنفيذية وصولًا إلى الإدارة العليا  مرورًا بالإدارة الوسطى . كما يشمل ذلك أيضًا قضية هيكل رأس المال في حوكمة الشركات . [ 19 ]

في الفن

الدمى المتكررة: المجموعة الأصلية من دمى ماتريوشكا من تصميم زفيوزدوشكين وماليوتين ، 1892
تحتوي الواجهة الأمامية للوحة ستيفانيسكي الثلاثية لجوتو ، 1320، بشكل متكرر على صورة لنفسها (يحملها الشكل الراكع في اللوحة المركزية).

تُعد دمية ماتريوشكا مثالاً فنياً مادياً على المفهوم التكراري. [ 20 ]

استُخدم التكرار في اللوحات منذ لوحة ستيفانيسكي الثلاثية لجوتو ، التي رُسمت عام 1320. تحتوي اللوحة المركزية على صورة الكاردينال ستيفانيسكي راكعًا، رافعًا اللوحة الثلاثية نفسها كقربان. [ 21 ] [ 22 ] تُعرف هذه الممارسة عمومًا باسم تأثير دروستي ، وهو مثال على تقنية التكرار المتتالي .

معرض المطبوعات للفنان إم سي إيشر (1956) هو عبارة عن مطبوعة تصور مدينة مشوهة تحتوي على معرض يحتوي بشكل متكرر على الصورة، وهكذا إلى ما لا نهاية . [ 23 ]

في الثقافة

لقد ساهم فيلم Inception في جعل إضافة اللاحقة -ception إلى الاسم أمراً شائعاً للإشارة بشكل هزلي إلى تكرار شيء ما. [ 24 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كوزي، روبرت ل. (2006). المنطق، والمجموعات، والاستدعاء الذاتي (  الطبعة الثانية). سودبري، ماساتشوستس: جونز وبارتليت للنشر. ISBN 0-7637-3784-4. OCLC 62093042 . 
  2. ↑ "مسلمات بيانو | الرياضيات" . موسوعة بريتانيكا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24-10-2019 .
  3. ↑ "تعريف كلمة RECURSIVE" . www.merriam-webster.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24-10-2019 .
  4. ↑ بينكر، ستيفن (1994). غريزة اللغة . ويليام مورو.
  5. ↑ بينكر، ستيفن؛ جاكندوف، راي (2005). "ملكة اللغة: ما الذي يميزها؟". الإدراك . 95 (2): 201-236 . CiteSeerX 10.1.1.116.7784 . doi : 10.1016/ j.cognition.2004.08.004 . PMID 15694646. S2CID 1599505 .   
  6. ↑ نوردكويست، ريتشارد. "ما هو الاستدعاء الذاتي في قواعد اللغة الإنجليزية؟" . ThoughtCo . تم ​​الاسترجاع في 24 أكتوبر 2019 .
  7. ↑ نيفينز، أندرو؛ بيسيتسكي، ديفيد؛ رودريغز، سيلين (2009). "الأدلة والحجج: رد على إيفريت (2009)" (ملف PDF) . اللغة . 85 (3): 671-681 . doi : 10.1353/lan.0.0140 . S2CID 16915455. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 2012-01-06. 
  8. ↑ دراكر، توماس (4 يناير 2008). وجهات نظر حول تاريخ المنطق الرياضي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 110. ISBN  978-0-8176-4768-1.
  9. ↑ باربرا بارتي وماتس روث. 1983. في راينر باورلي وآخرون، معنى اللغة واستخدامها وتفسيرها . أعيد طبعه في بول بورتنر وباربرا بارتي، محرران. 2002. الدلالات الشكلية: القراءات الأساسية . بلاكويل.
  10. ↑ نيدرهوف، مارك-يان؛ ساتا، جورجيو (2002)، "تحليل القواعد النحوية غير المتكررة الخالية من السياق"، وقائع الاجتماع السنوي الأربعين لجمعية اللغويات الحاسوبية (ACL '02) ، سترودسبيرغ، بنسلفانيا، الولايات المتحدة الأمريكية: جمعية اللغويات الحاسوبية، ص 112-119 ، doi : 10.3115/1073083.1073104 .
  11. 1 2 هنتر، ديفيد (2011). أساسيات الرياضيات المتقطعة . جونز وبارتليت. ص 494. ISBN  9781449604424.
  12. ↑ شافر، إريك. "CS 173: الهياكل المنفصلة" (ملف PDF) . جامعة إلينوي في أوربانا-شامبين . تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 يوليو 2023 .
  13. ↑ "مقدمة في علوم الحاسوب والبرمجة بلغة C؛ الجلسة 8: 25 سبتمبر 2008" (ملف PDF) . جامعة كولومبيا . تاريخ الاطلاع: 7 يوليو 2023 .
  14. ↑ "التكرار - بحث جوجل" . www.google.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24-10-2019 .
  15. ↑ أ. كاناموري، " في مدح الاستبدال "، ص 50-52. نشرة المنطق الرمزي، المجلد 18، العدد 1 (2012). تاريخ الوصول: 21 أغسطس 2023.
  16. ↑ ملاحظات محاضرة الرياضيات 310، الجزء 5: نظرية الاستدعاء الذاتي لـ N
  17. ↑ "صورة اليوم: القرنبيط ذو الشكل الهندسي المتشعب" . 28 ديسمبر 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 19 أبريل 2020 .
  18. ↑ رايدينغ، آلان؛ هاينز، جورج هـ.؛ توماس، رولاند (1994). "التفاعل بين الشركات الصغيرة الكندية والبنوك: نموذج تكراري" . نظرية وممارسة ريادة الأعمال . 18 (4). مجلات SAGE: 5-24 . doi : 10.1177/104225879401800401 .
  19. ↑ بير، ستافورد (1972). عقل الشركة . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0471948391.
  20. ↑ تانغ، ديزي (مارس 2013). "CS240 - ملاحظات المحاضرة: الاستدعاء الذاتي" . جامعة ولاية كاليفورنيا للفنون التطبيقية، بومونا. مؤرشف من الأصل في 17 مارس 2018. تم الاطلاع عليه في 24 سبتمبر 2015. أمثلة أخرى على الاستدعاء الذاتي: دمى ماتريوشكا الروسية . كل دمية مصنوعة من الخشب الصلب أو مجوفة وتحتوي على دمية ماتريوشكا أخرى بداخلها.
  21. ↑ "جوتو دي بوندوني ومساعدوه: لوحة ستيفانيسكي الثلاثية" . الفاتيكان . تم الاطلاع عليه بتاريخ 16 سبتمبر 2015 .
  22. ↑ سفوزيل، كارل (2018). السببية (أو عدم السببية) الفيزيائية: الحتمية والعشوائية والأحداث غير المسببة . سبرينغر. ص 12. ISBN  9783319708157.
  23. ↑ كوبر، جوناثان (5 سبتمبر 2007). "الفن والرياضيات" . تم الاطلاع عليه في 5 يوليو 2020 .
  24. ↑ "-ception – قاعدة بيانات المصطلحات الجديدة بجامعة رايس" . جامعة رايس. مؤرشف من الأصل في 5 يوليو 2017. تم الاطلاع عليه في 23 ديسمبر 2016 .

فهرس