عملية فائقة

في الرياضيات ، تُعرف متتالية العمليات الفائقة بأنها سلسلة لانهائية من العمليات الحسابية (تُسمى العمليات الفائقة في هذا السياق) ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} تبدأ بعملية أحادية ( دالة الخلف عندما n = 0). وتستمر المتتالية بالعمليات الثنائية : الجمع ( n = 1)، والضرب ( n = 2)، والرفع إلى الأس ( n = 3). ^{[ ملاحظة 1 ]} بعد ذلك، تستمر المتتالية بعمليات ثنائية أخرى تتجاوز الرفع إلى الأس، باستخدام خاصية التجميع من اليمين . بالنسبة للعمليات التي تتجاوز الرفع إلى الأس، يُطلق روبن غودستين على العنصر النوني في هذه المتتالية اسم "العدد n" نسبةً إلى البادئة اليونانية n متبوعةً باللاحقة "-ation" (مثل "الترتيل" ( n = 4)، و"الخماسي" ( n = 5)، و"السداسي" ( n = 6)، إلخ) ^[⁷^] ، ويمكن كتابتها باستخدام n − 2 سهمًا في تدوين كنوت للأسهم المتجهة للأعلى . يمكن فهم كل عملية فائقة بشكل متكرر من حيث العملية السابقة لها من خلال:

a[n]b=\underbrace {a[n-1](a[n-1](a[n-1](\cdots a[n-1](a[n-1](a[n-1]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ نسخ من }}a},\quad n\geq 2

ويمكن تعريفها أيضاً وفقاً لجزء قاعدة الاستدعاء الذاتي من التعريف، كما هو الحال في نسخة السهم العلوي لدالة أكرمان الخاصة بكنوث :

a[n]b=a[n-1]\left(a[n]\left(b-1\right)\right),\quad n\geq 1

يمكن استخدام هذا لعرض أعداد أكبر بكثير من تلك التي يمكن عرضها باستخدام الترميز العلمي ، مثل عدد سكيوز وعدد غوغولبلكسبلكس (مثلاً). $50[50]50$ أكبر بكثير من عدد سكيوز وعدد غوغولبلكسبلكس)، ولكن هناك بعض الأعداد التي لا يمكنهم حتى إظهارها بسهولة، مثل عدد غراهام و TREE(3) . ^{[ 14 ]}

تُعد قاعدة التكرار هذه شائعة في العديد من أنواع العمليات الفائقة.

تعريف

تسلسل العمليات الفائقة هو تسلسل العمليات الثنائية $H_{n}\colon (\mathbb {N} _{0})^{2}\rightarrow \mathbb {N} _{0}$ تم تعريفها بشكل متكرر على النحو التالي: $H_{n}(a,b)={\begin{cases}b+1&{\text{إذا كان }}n=0\\a&{\text{إذا كان }}n=1{\text{ و}}b=0\\0&{\text{إذا كان }}n=2{\text{ و}}b=0\\1&{\text{إذا كان }}n\geq 3{\text{ و}}b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{فيما عدا ذلك}}\end{cases}}.$ بالنسبة لـ n = 0، 1، 2، 3، يُعيد هذا التعريف إنتاج العمليات الحسابية الأساسية التالية: عملية اللاحق (وهي عملية أحادية)، والجمع ، والضرب ، والأس ، على التوالي، كما يلي: ${\begin{aligned}H_{0}(a,b)&=b+1,\\H_{1}(a,b)&=a+b,\\H_{2}(a,b)&=a\times b,\\H_{3}(a,b)&=a^{b}\end{aligned}}$ لكل عددين صحيحين غير سالبين $a$ و $b$ . يمكن بالتالي اعتبار العمليات الفائقة بمثابة إجابة على السؤال "ما التالي؟" في سلسلة الدوال التي تبدأ باللاحق، ثم الجمع، ثم الضرب، ثم الرفع إلى الأس. وكما يُعرَّف ضرب الأعداد الصحيحة بأنه جمع متكرر، ويُعرَّف رفع الأعداد الصحيحة بأنه ضرب متكرر، فإن العملية الفائقة التالية، وهي الرفع إلى الأس ، تُعرَّف بأنها رفع متكرر إلى الأس؛ على سبيل المثال، $H_{4}(a,3)=\operatorname {tetration} (a,3)=a^{a^{a}}$ هو برج طاقة مكون من ثلاثة $وحدات$ ، و $H_{4}(a,4)=\operatorname {tetration} (a,4)=a^{a^{a^{a}}}$ وبالمثل، تُعرَّف عملية التكرار الخامسة ، وهي عملية التكرار المتسلسل، عن طريق التكرار المتسلسل المتكرر، بحيث $H_{5}(a,3)=\operatorname {tetration} (a,\operatorname {tetration} (a,a))$ .

تُشار أحيانًا إلى معلمات التسلسل الهرمي للعمليات الفائقة بمصطلح الأس المماثل لها؛ ^{[ 15 ]} لذا فإن a هو الأساس ، وb هو الأس (أو الأس الفائق )، ^{[ 13 ]} و n هو الرتبة (أو الدرجة ). ^{[ 8 ]} بشكل عام، $H_{n}(a,b)$ يمكن قراءتها على أنها " النسخة الثانية من أ " ، بحيث $H_{4}(7,9)$ تُقرأ على أنها "التكرار التاسع للعدد 7"، و $H_{123}(456,789)$ تُقرأ على أنها "الإصدار 789 من 456".

هناك طريقة بديلة لكتابة العمليات الفائقة وهي الترميز المختصر. $a[n]b$ ل $H_{n}(a,b)$ في هذه الصيغة، يُرمز إلى عملية الأسس بـ $a[3]b=a^{b}$ ، يُشار إلى المعايرة بـ $a[4]b$ (لهذا السبب $a[4]3=a^{a^{a}}$ ، يُشار إلى الكبح بـ $a[5]b$ وهكذا. يمكن أيضًا التعبير عن العمليات الفائقة باستخدام تدوين كنوت للسهم العلوي . في هذا التدوين، $a\uparrow b$ تمثل دالة الأس $a^{b}$ ، $a\uparrow \uparrow b$ يمثل التحلل، $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ أو $a\uparrow ^{3}b$ يمثل الخماسي $a[5]b$ وبشكل أعم $H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b$ ل $n\geq 0.$ وثمة بديل آخر هو تدوين كونواي للأسهم المتسلسلة . في هذا التدوين، يكون لدى المرء $H_{n}(a,b)=a[n]b=a\rightarrow b\rightarrow n-2$ ، بحيث (على سبيل المثال) $a[5]b=a\rightarrow b\rightarrow 3$ [ ¹⁶^]

أمثلة

فيما يلي قائمة بالعمليات الفائقة السبع الأولى (من 0 إلى 6) ( يتم تعريف 0⁰ على أنه 1).

ن	العملية، H _n ( a , b )	تعريف	الأسماء	اِختِصاص
0	$b+1$ أو $a[0]b$	$\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ نسخ من 1}}}+1$	زيادة، خليفة ، تفرع، هايبر 0	اِعتِباطِيّ
1	$a+b$ أو $a[1]b$	$a+\underbrace {1+1+1+\cdots +1+1+1} _{\displaystyle b{\mbox{ نسخ من 1}}}$	إضافة ، هايبر1
2	$a\times {b}$ أو $a[2]b$	$\underbrace {a+a+a+\cdots +a+a+a} _{\displaystyle b{\mbox{ نسخ من }}a}$	الضرب ، هايبر 2
3	$a^{b}$ أو $a[3]b$	$\underbrace {a\times a\times a\times \;\cdots \;\times a\times a\times a} _{\displaystyle b{\mbox{ نسخ من }}a}$	الأس ، هايبر 3	ب عدد حقيقي، مع بعض الامتدادات متعددة القيم للأعداد المركبة
4	$^{b}a$ أو $a[4]b$	$\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{\displaystyle b{\mbox{ نسخ من }}a}$	التكرار ، هايبر 4	a ≥ 0 أو عدد صحيح، b عدد صحيح ≥ −1 ^{[ nb 2 ]} (مع بعض التوسعات المقترحة)
5	$_{b}a$ أو $a[5]b$	$\underbrace {a[4](a[4](a[4](\cdots [4](a[4](a[4]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ نسخ من }}a}$	الاختراق، هايبر 5	a و b عددان صحيحان ≥ −1 ^{[ nb 2 ]}
6	$a[6]b$	$\underbrace {a[5](a[5](a[5](\cdots [5](a[5](a[5]a))\cdots )))} _{\displaystyle b{\mbox{ copies of }}a}$	سداسي، هايبر6	a و b عددان صحيحان ≥ −1 ^{[ nb 2 ]}

حالات خاصة

H _n (0, b ) =

ب + 1، عندما ن = 0

ب ، عندما ن = 1

0، عندما n = 2

1، عندما n = 3 و b = 0 ^{[ nb 3 ]}

0، عندما n = 3 و b > 0 ^{[ nb 3 ]}

1، عندما يكون n > 3 ويكون b زوجيًا (بما في ذلك 0)

0، عندما يكون n > 3 ويكون b فرديًا

H _n (1, b ) =

ب ، عندما ن = 2

1، عندما يكون n ≥ 3

H _n ( a , 0) =

0، عندما n = 2

1، عندما يكون n = 0، أو n ≥ 3

أ ، عندما ن = 1

H _n ( a , 1) =

2، عندما n = 0

أ + 1، عندما ن = 1

أ ، عندما يكون ن ≥ 2

H _n ( a , a ) =

H _n+1 ( a , 2 )، عندما n ≥ 1

H _n ( a , −1) = ^{[ nb 2 ]}

0، عندما n = 0، أو n ≥ 4

a − 1، عندما n = 1

- أ ، عندما ن = 2

1 / a عندما n = 3

H _n (2, 2) =

3، عندما n = 0

4، عندما يكون n ≥ 1، يمكن إثبات ذلك بسهولة بشكل متكرر.

تاريخ

كانت إحدى أوائل المناقشات حول العمليات الفائقة تلك التي أجراها ألبرت بينيت عام 1914، والذي طور بعضًا من نظرية العمليات الفائقة التبادلية (انظر § العمليات الفائقة التبادلية أدناه). ^{[ 8 ]} وبعد حوالي 12 عامًا، عرّف فيلهلم أكرمان الدالة $\phi (a,b,n)$ ، وهو ما يشبه إلى حد ما تسلسل العمليات الفائقة. ^{[ 17 ]}

في بحثه المنشور عام 1947، ^{[ 7 ]} قدّم روبن غودستين تسلسلًا محددًا من العمليات التي تُعرف الآن بالعمليات الفائقة ، واقترح أيضًا الأسماء اليونانية مثل tetration وpentation، وما إلى ذلك، للعمليات الموسعة التي تتجاوز الأسس (لأنها تُقابل المؤشرات 4 و5، وما إلى ذلك). على سبيل المثال، كدالة ذات ثلاثة وسائط، $G(n,a,b)=H_{n}(a,b)$ يُنظر إلى سلسلة العمليات الفائقة ككل على أنها نسخة من دالة أكرمان الأصلية $\phi (a,b,n)$ — تكراري ولكن ليس تكراري بدائي — كما عدّله جودستين لدمج دالة الخلف البدائية مع العمليات الحسابية الأساسية الثلاث الأخرى ( الجمع والضرب والأس ) ، ولجعل امتداد هذه العمليات أكثر سلاسة إلى ما وراء الأس .

دالة أكرمان الأصلية ذات الوسائط الثلاثة $\phi$ يستخدم نفس قاعدة التكرار التي تستخدمها نسخة غودستين (أي تسلسل العمليات الفائقة)، ولكنه يختلف عنها في جانبين. أولاً، $\phi (a,b,n)$ يُحدد تسلسل العمليات بدءًا من الجمع ( n = 0) بدلاً من دالة التابع ، ثم الضرب ( n = 1)، ثم الأس ( n = 2)، وهكذا. ثانيًا، الشروط الابتدائية لـ $\phi$ ينتج عنه $\phi (a,b,3)=G(4,a,b+1)=a[4](b+1)$ وبالتالي، يختلف هذا عن العمليات الفائقة التي تتجاوز الأسس. ^{[ 9 ]}^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} تكمن أهمية b + 1 في التعبير السابق في أن $\phi (a,b,3)$ = $a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}$ حيث يحسب b عدد العمليات (الأسس)، بدلاً من حساب عدد المعاملات ("a") كما يفعل b في $a[4]b$ وهكذا بالنسبة للعمليات ذات المستوى الأعلى. (انظر مقالة دالة أكرمان لمزيد من التفاصيل.)

الرموز

هذه قائمة بالرموز المستخدمة في العمليات الفائقة.

اسم	الترميز المكافئ لـ $H_{n}(a,b)$	تعليق
تدوين كنوت للسهم العلوي	$a\uparrow ^{n-2}b$	استخدمها كنوت ^{[ 20 ]} (لـ n ≥ 3)، وتوجد في العديد من الكتب المرجعية. ^{[ 21 ]}^{[ 22 ]}
تدوين هيلبرت	$\phi _{n}(a,b)$	يستخدمه ديفيد هيلبرت . ^{[ 23 ]}
تدوين غودستين	$G(n,a,b)$	استخدمه روبن جودستين . ^{[ 7 ]}
دالة أكرمان الأصلية	${\begin{matrix}\phi (a,b,n-1)\ {\text{ for }}1\leq n\leq 3\\\phi (a,b-1,n-1)\ {\text{ for }}n\geq 4\end{matrix}}$	يستخدمه فيلهلم أكرمان (لـ n ≥ 1) ^{[ 17 ]}
دالة أكرمان-بيتر	$A(n,b-3)+3\ {\text{for }}a=2$	يتوافق هذا مع العمليات الفائقة للأساس 2 ( أ = 2)
تدوين نامبيار	$a\otimes ^{n-1}b$	يستخدم بواسطة نامبيار (لـ n ≥ 1) ^{[ 24 ]}
تدوين الأسّ	$a{}^{(n)}b$	استخدمه روبرت مونافو . ^{[ 18 ]}
الترميز السفلي (للعمليات الفائقة الأدنى)	$a{}_{(n)}b$	يستخدمها روبرت مونافو في عمليات الفرط الجزئي. ^{[ 18 ]}
تدوين المعاملات (للعمليات الموسعة)	$aO_{n-1}b$	استُخدمت هذه الطريقة في العمليات الفائقة الدنيا بواسطة جون دونر وألفريد تارسكي (لـ n ≥ 1). ^{[ 25 ]}
تدوين الأقواس المربعة	$a[n]b$	يستخدم في العديد من المنتديات الإلكترونية؛ مناسب لـ ASCII .
تدوين كونواي للسهم المتسلسل	$a\to b\to (n-2)$	يستخدمه جون هورتون كونواي (لـ n ≥ 3)

متغير يبدأ من

في عام 1928، عرّف ويلهلم أكرمان دالة ذات ثلاثة وسائط $\phi (a,b,n)$ والتي تطورت تدريجياً إلى دالة ذات وسيطين تُعرف باسم دالة أكرمان . دالة أكرمان الأصلية $\phi$ كانت أقل شبهاً بالعمليات الجراحية الحديثة، لأن شروطه الأولية تبدأ بـ $\phi (a,0,n)=a$ لجميع قيم n > 2. كما أنه خصص الجمع لـ n = 0، والضرب لـ n = 1، والرفع الأسي لـ n = 2، لذا فإن الشروط الأولية تنتج عمليات مختلفة تمامًا للرفع الأسي وما بعده.

ن	عملية	تعليق
0	$F_{0}(a,b)=a+b$
1	$F_{1}(a,b)=a\cdot b$
2	$F_{2}(a,b)=a^{b}$
3	$F_{3}(a,b)=a[4](b+1)$	شكل إزاحة من عملية التكرار . يختلف تكرار هذه العملية عن تكرار عملية التكرار.
4	$F_{4}(a,b)=(x\mapsto a[4](x+1))^{b}(a)$	لا ينبغي الخلط بينها وبين التثبيط.

ومن الشروط الأولية الأخرى التي تم استخدامها $A(0,b)=2b+1$ (حيث تكون القاعدة ثابتة) $a=2$ ), بسبب روزا بيتر ، الذي لا يشكل تسلسلًا هرميًا للعمليات الفائقة.

متغير يبدأ من 0

في عام 1984، بدأ سي دبليو كلينشو وإف دبليو جيه أولفر مناقشة استخدام العمليات الفائقة لمنع تجاوزات الأعداد العشرية في الحاسوب . ^{[ 26 ]} ومنذ ذلك الحين، جدد العديد من المؤلفين الآخرين ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}^{[ 29 ]} اهتمامهم بتطبيق العمليات الفائقة على تمثيل الأعداد العشرية . (بما أن H _<sub>n</sub> ( a , b )</sub> معرفة جميعها عندما b = -1). أثناء مناقشة التكرار ، افترض كلينشو وآخرون الشرط الأولي $F_{n}(a,0)=0$ وهذا يُنشئ تسلسلاً هرمياً آخر للعمليات الفائقة. وكما هو الحال في الصيغة السابقة، فإن العملية الرابعة تُشبه إلى حد كبير عملية التكرار ، ولكنها مُزاحة بمقدار واحد.

ن	عملية	تعليق
0	$F_{0}(a,b)=b+1$
1	$F_{1}(a,b)=a+b$
2	$F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}$
3	$F_{3}(a,b)=a^{b}$
4	$F_{4}(a,b)=a[4](b-1)$	شكل إزاحة من عملية التكرار . يختلف تكرار هذه العملية اختلافًا كبيرًا عن تكرار عملية التكرار.
5	$F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto a[4](x-1)\right)^{b}(0)=0{\text{ if }}a>0$	لا ينبغي الخلط بينها وبين التثبيط.

عمليات فرطية أقل

يُمكن الحصول على بديل لهذه العمليات الفائقة من خلال التقييم من اليسار إلى اليمين. ^{[ 11 ]} بما أن

{\begin{aligned}a+b&=(a+(b-1))+1\\a\cdot b&=(a\cdot (b-1))+a\\a^{b}&=\left(a^{(b-1)}\right)\cdot a\end{aligned}}

حدد (باستخدام ° أو رمز سفلي)

a_{(n)}b=\left(a_{(n)}(b-1)\right)_{(n-1)}a

مع

{\begin{aligned}a_{(1)}b&=a+b\\a_{(2)}0&=0\\a_{(n)}1&=a&{\text{for }}n>2\\\end{aligned}}

قام دونر وتارسكي بتوسيع هذا المفهوم ليشمل الأعداد الترتيبية . ^{[ 30 ]} يستخدمان الفهرس 0 بدلاً من الفهرس 1 في عملية الجمع. كما قاما بتوسيع الصيغ لتشمل كل عدد ترتيبي ليس له سلف مباشر، وذلك باستبدال $b - 1$ في المعادلة السابقة بالقيمة العليا لجميع الأعداد الترتيبية الأقل من $b$ ، ويتعاملان مع $n$ بالمثل. نستخدم الأحرف اليونانية للدلالة على أن هذه أعداد ترتيبية وليست أعداد عد عادية.

{\begin{aligned}\alpha O_{0}\beta &=\alpha +\beta \\\alpha O_{\nu }\beta &=\sup \limits _{\delta <\beta ,~\mu <\nu }(\alpha O_{\nu }\delta )O_{\mu }\alpha \,.\end{aligned}}

مع هذه التعريفات $O_{0}$ الجمع ، $O_{1}$ الضرب ، و $O_{2}$ ⁠ هي عملية الأسس. ومع ذلك، ⁠ $O_{3}$ يفشل في تشكيل "برج القوة" الظاهر مع عملية التضخيم المفرط المقابلة (غير الأدنى).^{[ 31 ]}^{[ ملاحظة 4 ]} بدلاً من ذلك،

\alpha O_{3}(1+\beta )=\alpha ^{\left(\alpha ^{\beta }\right)}.

ن	عملية	تعليق
0	$F_{0}(a,b)=a+1$	زيادة، خليفة، صفر
1	$F_{1}(a,b)=a+b$
2	$F_{2}(a,b)=a\cdot b$
3	$F_{3}(a,b)=a^{b}$
4	$F_{4}(a,b)=a^{\left(a^{(b-1)}\right)}$	لا ينبغي الخلط بينها وبين التحلل الحراري .
5	$F_{5}(a,b)=\left(x\mapsto x^{x^{(a-1)}}\right)^{b-1}(a)$	لا ينبغي الخلط بينها وبين الخماسية. وهي مشابهة للخماسية .

العمليات الفائقة التبادلية

تناول ألبرت بينيت العمليات الفائقة التبادلية في وقت مبكر من عام 1914، ^{[ 8 ]} وهو ما يُعد على الأرجح أقدم ملاحظة حول أي سلسلة من العمليات الفائقة. تُعرَّف العمليات الفائقة التبادلية بقاعدة الاستدعاء الذاتي.

F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n}(\ln(a),\ln(b)))

وهي متناظرة بالنسبة لـ a و b ، مما يعني أن جميع العمليات الفائقة تبادلية. لا تحتوي هذه المتتالية على عملية الأسس ، وبالتالي لا تشكل تسلسلاً هرمياً للعمليات الفائقة.

ن	عملية	تعليق
0	$F_{0}(a,b)=\ln \left(e^{a}+e^{b}\right)$	الحد الأقصى السلس ( LogSumExp )
1	$F_{1}(a,b)=a+b$
2	$F_{2}(a,b)=a\cdot b=e^{\ln(a)+\ln(b)}$	ويرجع ذلك إلى خصائص اللوغاريتم .
3	$F_{3}(a,b)=a^{\ln(b)}=e^{\ln(a)\ln(b)}$	في حقل محدود ، هذه هي عملية تبادل المفاتيح ديفي-هيلمان .
4	$F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}$	لا ينبغي الخلط بينها وبين التحلل الحراري .

أنظمة الترقيم القائمة على تسلسل العمليات الفائقة

استخدم آر إل غودستين ^{[ 7 ]} سلسلة المؤثرات الفائقة لإنشاء أنظمة ترقيم للأعداد الصحيحة غير السالبة. ويمكن التعبير عن ما يُسمى بالتمثيل الوراثي الكامل للعدد الصحيح n ، عند المستوى k والأساس b ، على النحو التالي باستخدام أول k مؤثر فائق فقط، وباستخدام الأرقام 0، 1، ...، b − 1 فقط، بالإضافة إلى الأساس b نفسه:

بالنسبة لـ 0 ≤ n ≤ b − 1، يتم تمثيل n ببساطة بالرقم المقابل.
بالنسبة لـ n > b − 1، يتم إيجاد تمثيل n بشكل متكرر، حيث يتم تمثيل n أولاً بالشكل التالي:

ب [ ك ] × _ك [ ك - 1] × _{ك - 1} [ ك - 2] ... [2] × ₂ [1] × ₁

حيث x _k ، ...، x ₁ هي أكبر الأعداد الصحيحة التي تحقق (بالتناوب)

ب [ ك ] × _ك ≤ ن

b [ k ] x _k [ k - 1] x _{k - 1} ≤ n

...

ب [ ك ] × _ك [ ك - 1] × _{ك - 1} [ ك - 2] ... [2] × ₂ [1] × ₁ ≤ ن

ثم يتم إعادة التعبير عن أي x _i يتجاوز b − 1 بنفس الطريقة، وهكذا، مع تكرار هذا الإجراء حتى يحتوي الشكل الناتج على الأرقام 0، 1، ...، b − 1 فقط، بالإضافة إلى الأساس b .

يمكن تجنب الأقواس غير الضرورية بإعطاء عوامل التشغيل ذات المستوى الأعلى أولوية أعلى في ترتيب التقييم؛ وبالتالي،

تمثيلات المستوى 1 لها الشكل b [1] X، مع X أيضًا من هذا الشكل؛

تمثيلات المستوى 2 لها الشكل b [2] X [1] Y، مع X و Y أيضًا من هذا الشكل؛

تمثيلات المستوى 3 لها الشكل b [3] X [2] Y [1] Z، مع X و Y و Z أيضًا من هذا الشكل؛

تمثيلات المستوى 4 لها الشكل b [4] X [3] Y [2] Z [1] W، مع X و Y و Z و W أيضًا من هذا الشكل؛

وهكذا دواليك.

في هذا النوع من التمثيل الوراثي ذي الأساس b ، يظهر الأساس نفسه في التعبيرات، بالإضافة إلى "الأرقام" من المجموعة {0، 1، ...، b − 1}. وهذا يختلف عن التمثيل العادي ذي الأساس 2 عندما يُكتب الأخير بدلالة الأساس b ؛ على سبيل المثال، في الترميز العادي ذي الأساس 2، 6 = (110) ₂ = 2 [3] 2 [2] 1 [1] 2 [3] 1 [2] 1 [1] 2 [3] 0 [2] 0، بينما التمثيل الوراثي ذي الأساس 2 من المستوى 3 هو 6 = 2 [3] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0) [2] 1 [1] (2 [3] 1 [2] 1 [1] 0). يمكن اختصار التمثيلات الوراثية عن طريق حذف أي حالات من [1] 0، [2] 1، [3] 1، [4] 1، إلخ؛ على سبيل المثال، يتم اختصار التمثيل الأساسي 2 من المستوى 3 أعلاه للعدد 6 إلى 2 [3] 2 [1] 2.

أمثلة: التمثيلات الفريدة للعدد 266 في النظام الثنائي ، عند المستويات 1 و2 و3 و4 و5، هي كما يلي:

المستوى 1: 266 = 2 [1] 2 [1] 2 [1] ... [1] 2 (مع 133 من الرقم 2)

المستوى 2: 266 = 2 [2] (2 [2] (2 [2] (2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [2] 2 [1] 1)) [1] 1)

المستوى 3: 266 = 2 [3] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2 [3] (2 [1] 1) [1] 2

المستوى 4: 266 = 2 [4] (2 [1] 1) [3] 2 [1] 2 [4] 2 [2] 2 [1] 2

المستوى 5: 266 = 2 [5] 2 [4] 2 [1] 2 [5] 2 [2] 2 [1] 2

حساب

يمكن نقل تعريفات تسلسل العمليات الفائقة بشكل طبيعي إلى أنظمة إعادة كتابة المصطلحات (TRS) .

تم تحديد TRS بناءً على التعريف الفرعي 1.1

يتوافق التعريف الأساسي لتسلسل العمليات الفائقة مع قواعد الاختزال

{\begin{array}{lll}{\text{(r1)}}&H(0,a,b)&\rightarrow &S(b)\\{\text{(r2)}}&H(S(0),a,0)&\rightarrow &a\\{\text{(r3)}}&H(S(S(0)),a,0)&\rightarrow &0\\{\text{(r4)}}&H(S(S(S(n))),a,0)&\rightarrow &S(0)\\{\text{(r5)}}&H(S(n),a,S(b))&\rightarrow &H(n,a,H(S(n),a,b))\end{array}}

لحساب $H_{n}(a,b)$ يمكن استخدام مكدس ، والذي يحتوي في البداية على العناصر $\langle n,a,b\rangle$ .

ثم، بشكل متكرر حتى يصبح ذلك غير ممكن، يتم إزالة ثلاثة عناصر واستبدالها وفقًا للقواعد ^{[ ملاحظة 5 ]}

{\begin{array}{lllllllll}{\text{(r1)}}&0&,&a&,&b&\rightarrow &(b+1)\\{\text{(r2)}}&1&,&a&,&0&\rightarrow &a\\{\text{(r3)}}&2&,&a&,&0&\rightarrow &0\\{\text{(r4)}}&(n+3)&,&a&,&0&\rightarrow &1\\{\text{(r5)}}&(n+1)&,&a&,&(b+1)&\rightarrow &n&,&a&,&(n+1)&,&a&,&b\end{array}}

بشكل تخطيطي، بدءًا من $\langle n,a,b\rangle$ :

طالما أن طول المكدس لا يساوي 1 { قم بإزالة 3 عناصر؛ قم بدفع عنصر واحد أو 5 عناصر وفقًا للقواعد r1، r2، r3، r4، r5؛ }

مثال

الحوسبة $H_{2}(2,2)\rightarrow _{*}4$ [ ³²^]

تسلسل الاختزال هو ^{[ nb 5 ]}^{[ nb 6 ]}

{\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),S(S(0)))}}

\rightarrow _{r5}H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),S(0))}})

\rightarrow _{r5}H(S(0),S(S(0)),H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(S(0)),S(S(0)),0)}}))

\rightarrow _{r3}H(S(0),S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),0)}})

\rightarrow _{r2}{\underline {H(S(0),S(S(0)),S(S(0)))}}

\rightarrow _{r5}H(0,S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),S(0))}})

\rightarrow _{r5}H(0,S(S(0)),H(0,S(S(0)),{\underline {H(S(0),S(S(0)),0)}}))

\rightarrow _{r2}H(0,S(S(0)),{\underline {H(0,S(S(0)),S(S(0)))}})

\rightarrow _{r1}{\underline {H(0,S(S(0)),S(S(S(0))))}}

\rightarrow _{r1}S(S(S(S(0))))

عند التنفيذ باستخدام مكدس، عند الإدخال $\langle 2,2,2\rangle$

تكوينات المكدس	تمثل المعادلات
${\underline {2,2,2}}$	$H_{2}(2,2)$
$\rightarrow _{r5}1,2,{\underline {2,2,1}}$	$=H_{1}(2,H_{2}(2,1))$
$\rightarrow _{r5}1,2,1,2,{\underline {2,2,0}}$	$=H_{1}(2,H_{1}(2,H_{2}(2,0)))$
$\rightarrow _{r3}1,2,{\underline {1,2,0}}$	$=H_{1}(2,H_{1}(2,0))$
$\rightarrow _{r2}{\underline {1,2,2}}$	$=H_{1}(2,2)$
$\rightarrow _{r5}0,2,{\underline {1,2,1}}$	$=H_{0}(2,H_{1}(2,1))$
$\rightarrow _{r5}0,2,0,2,{\underline {1,2,0}}$	$=H_{0}(2,H_{0}(2,H_{1}(2,0)))$
$\rightarrow _{r2}0,2,{\underline {0,2,2}}$	$=H_{0}(2,H_{0}(2,2))$
$\rightarrow _{r1}{\underline {0,2,3}}$	$=H_{0}(2,3)$
$\rightarrow _{r1}4$	$=4$

تم تحديد TRS بناءً على التعريف الفرعي 1.2

يؤدي التعريف باستخدام التكرار إلى مجموعة مختلفة من قواعد الاختزال

{\begin{array}{lll}{\text{(r6)}}&H(S(0),0,a,b)&\rightarrow &S(b)\\{\text{(r7)}}&H(S(0),S(0),a,0)&\rightarrow &a\\{\text{(r8)}}&H(S(0),S(S(0)),a,0)&\rightarrow &0\\{\text{(r9)}}&H(S(0),S(S(S(n))),a,0)&\rightarrow &S(0)\\{\text{(r10)}}&H(S(0),S(n),a,S(b))&\rightarrow &H(S(b),n,a,H(S(0),S(n),a,0))\\{\text{(r11)}}&H(S(S(x)),n,a,b)&\rightarrow &H(S(0),n,a,H(S(x),n,a,b))\end{array}}

بما أن التكرار ترابطي ، فبدلاً من القاعدة r11 يمكن تعريف

{\begin{array}{lll}{\text{(r12)}}&H(S(S(x)),n,a,b)&\rightarrow &H(S(x),n,a,H(S(0),n,a,b))\end{array}}

كما هو الحال في القسم السابق، فإن حساب $H_{n}(a,b)=H_{n}^{1}(a,b)$ يمكن تنفيذ ذلك باستخدام مكدس.

تحتوي المجموعة في البداية على العناصر الأربعة $\langle 1,n,a,b\rangle$ .

ثم، وحتى الانتهاء، يتم إزالة أربعة عناصر واستبدالها وفقًا للقواعد ^{[ ملاحظة 5 ]}

{\begin{array}{lllllllll}{\text{(r6)}}&1&,0&,a&,b&\rightarrow &(b+1)\\{\text{(r7)}}&1&,1&,a&,0&\rightarrow &a\\{\text{(r8)}}&1&,2&,a&,0&\rightarrow &0\\{\text{(r9)}}&1&,(n+3)&,a&,0&\rightarrow &1\\{\text{(r10)}}&1&,(n+1)&,a&,(b+1)&\rightarrow &(b+1)&,n&,a&,1&,(n+1)&,a&,0\\{\text{(r11)}}&(x+2)&,n&,a&,b&\rightarrow &1&,n&,a&,(x+1)&,n&,a&,b\end{array}}

بشكل تخطيطي، بدءًا من $\langle 1,n,a,b\rangle$ :

طالما أن طول المكدس لا يساوي 1 { قم بإزالة 4 عناصر؛ ادفع عنصرًا واحدًا أو 7 عناصر وفقًا للقواعد r6، r7، r8، r9، r10، r11؛ }

مثال

الحوسبة $H_{3}(0,3)\rightarrow _{*}0$ .

عند الإدخال $\langle 1,3,0,3\rangle$ تكون تكوينات المكدس المتتالية هي

{\begin{aligned}&{\underline {1,3,0,3}}\rightarrow _{r10}3,2,0,{\underline {1,3,0,0}}\rightarrow _{r9}{\underline {3,2,0,1}}\rightarrow _{r11}1,2,0,{\underline {2,2,0,1}}\rightarrow _{r11}1,2,0,1,2,0,{\underline {1,2,0,1}}\\&\rightarrow _{r10}1,2,0,1,2,0,1,1,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}1,2,0,1,2,0,{\underline {1,1,0,0}}\rightarrow _{r7}1,2,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}0.\end{aligned}}

المعادلات المقابلة هي

{\begin{aligned}&H_{3}(0,3)=H_{2}^{3}(0,H_{3}(0,0))=H_{2}^{3}(0,1)=H_{2}(0,H_{2}^{2}(0,1))=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{2}(0,1))\\&=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{1}(0,H_{2}(0,0))))=H_{2}(0,H_{2}(0,H_{1}(0,0)))=H_{2}(0,H_{2}(0,0))=H_{2}(0,0)=0.\end{aligned}}

عند استبدال قاعدة الاختزال r11 بالقاعدة r12، يتم تحويل المكدس وفقًا لـ

{\begin{array}{lllllllll}{\text{(r12)}}&(x+2)&,n&,a&,b&\rightarrow &(x+1)&,n&,a&,1&,n&,a&,b\end{array}}

ستكون تكوينات المكدس المتتالية بعد ذلك

{\begin{aligned}&{\underline {1,3,0,3}}\rightarrow _{r10}3,2,0,{\underline {1,3,0,0}}\rightarrow _{r9}{\underline {3,2,0,1}}\rightarrow _{r12}2,2,0,{\underline {1,2,0,1}}\rightarrow _{r10}2,2,0,1,1,0,{\underline {1,2,0,0}}\\&\rightarrow _{r8}2,2,0,{\underline {1,1,0,0}}\rightarrow _{r7}{\underline {2,2,0,0}}\rightarrow _{r12}1,2,0,{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}{\underline {1,2,0,0}}\rightarrow _{r8}0\end{aligned}}

المعادلات المقابلة هي

{\begin{aligned}&H_{3}(0,3)=H_{2}^{3}(0,H_{3}(0,0))=H_{2}^{3}(0,1)=H_{2}^{2}(0,H_{2}(0,1))=H_{2}^{2}(0,H_{1}(0,H_{2}(0,0)))\\&=H_{2}^{2}(0,H_{1}(0,0))=H_{2}^{2}(0,0)=H_{2}(0,H_{2}(0,0))=H_{2}(0,0)=0\end{aligned}}

ملاحظات

$H_{3}(0,3)=0$ هذه حالة خاصة، انظر § الحالات الخاصة أعلاه. ^{[ ملاحظة 3 ]}
حساب $H_{n}(a,b)$ وفقًا للقواعد {r6 - r10, r11}، فإن العملية تكرارية بشكل كبير. والسبب هو ترتيب تنفيذ التكرارات. $H^{n}(a,b)=H(a,H^{n-1}(a,b))$ . الأول $H$ لا يختفي إلا بعد اكتمال التسلسل بأكمله. على سبيل المثال، $H_{4}(2,4)$ يتقارب إلى 65536 في 2863311767 خطوة، وأقصى عمق للتكرار ^{[ nb 7 ]} هو 65534.
تُعدّ الحسابات وفقًا للقواعد {r6 - r10, r12} أكثر كفاءة في هذا الصدد. تطبيق التكرار $H^{n}(a,b)$ مثل $H^{n-1}(a,H(a,b))$ يحاكي هذا الإجراء التنفيذ المتكرر للإجراء H. ^{[ ملاحظة 8 ]} يتطابق عمق الاستدعاء الذاتي، (n+1)، مع تداخل الحلقات. وقد قام ماير وريتشي (1967) بصياغة هذه العلاقة بشكل رسمي. حساب $H_{4}(2,4)$ وفقًا للقواعد {r6-r10, r12}، يحتاج أيضًا إلى 2863311767 خطوة للتقارب على 65536، ولكن الحد الأقصى لعمق التكرار هو 5 فقط، لأن التكرار هو العامل الخامس في تسلسل العمليات الفائقة.
تتعلق الاعتبارات المذكورة أعلاه بعمق الاستدعاء الذاتي فقط. تؤدي كلتا طريقتي التكرار إلى نفس عدد خطوات الاختزال، باستخدام نفس القواعد (عند اعتبار القاعدتين r11 و r12 "متماثلتين"). كما يوضح المثال اختزال $H_{3}(0,3)$ يتقارب في 9 خطوات: 1 × r7، 3 × r8، 1 × r9، 2 × r10، 2 × r11/r12. يؤثر نمط التكرار فقط على ترتيب تطبيق قواعد الاختزال.

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ لطالما أُطلقت علىالمتتاليات المشابهة لمتتالية العمليات الفائقة أسماء عديدة، منها: دالة أكرمان ^{[ 1 ]} (ذات ثلاثة وسائط)، وهرمية أكرمان ^{[ 4 ]} ، وهرمية غريغورتشيك [^{5 ] [}^{6 ] (} وهي أكثر عمومية)، ونسخة غودستين من دالة أكرمان ^{[ 7 ]} ، وعملية من الدرجة n ^{[ 8 ]،} والرفع الأسي المتكرر لـ x مع y بمقدار z ^{[ 9 ]} ، وعمليات الأسهم ^{[ 10 ]} ، وجبر ريهين ^{[ 11 ]} ، والعملية الفائقة n ^{[ 1 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 2 ]}^[¹³^] .
١ ٢ ٣ ليكن x = a [ n ](−1). باستخدام الصيغة التكرارية، a [ n ]₀ = a [ n −1]( a [ n ](−1)) ⇒ 1 = a [ n −1] x . أحد الحلول هو x = 0، لأن a [ n −1]₀ = 1 بحسب التعريف عندما n ≥ 4. هذا الحل فريد لأن a [ n −1] b > 1 لجميع قيم a > 1 و b > 0 (برهان بالتكرار).
1 2 3 لمزيد من التفاصيل، انظر قوى الصفر أو الصفر مرفوعًا للقوة صفر .
↑ عملية الجمع الترتيبي ليست تبديلية؛ انظر الحساب الترتيبي لمزيد من المعلومات
1 2 3 هذا يطبق استراتيجية اليسار-الأقرب (خطوة واحدة) .
↑ في كل خطوة، تتم إعادة كتابة النص الذي تحته خط.
↑ يشير أقصى عمق للتكرار إلى عدد مستويات تنشيط الإجراء الموجودة أثناء أعمق استدعاء للإجراء.^{[ 33 ]}
↑ LOOP n TIMES DO H.

مراجع

1 2 3 جيسلر 2003 .
1 2 روبنز 2005 .
↑ روبتسوف وروميريو 2005 .
↑ فريدمان 2001 .
^ كامباجنولا ومور وفيليكس كوستا 2002 .
↑ ويرز 1999 .
1 2 3 4 5 جودستين 1947 .
1 2 3 4 بينيت 1915 .
1 2 أسود 2009 .
↑ ليتلوود 1948 .
1 2 3 مولر 1993 .
↑ مونافو 1999أ .
1 2 جاليداكيس 2003 .
↑ تاونسند 2016 .
↑ روميريو 2008 .
↑ كونواي، جون هورتون ؛ جاي، ريتشارد (1996)، كتاب الأعداد ، سبرينغر، ص 61، ISBN 9780387979939.
1 2 أكرمان 1928 .
1 2 3 مونافو 1999ب .
↑ كولز وبيلي 1988 .
↑ كنوت 1976 .
↑ زويلينجر 2002 .
↑ وايسشتاين 2003 .
↑ هيلبرت 1926 .
↑ نامبيار 1995 .
↑ دونر وتارسكي 1969 .
↑ كلينشو وأولفر 1984 .
↑ هولمز 1997 .
↑ زيمرمان 1997 .
↑ بينكيويتش، هولمز وجميل 2000 .
^ دونر وتارسكي 1969 ، التعريف 1.
↑ دونر وتارسكي 1969 ، النظرية 3(iii).
^ بيزيم وكلوب ودي فريجر 2003 .
↑ كورنيليوس وكيربي (1975)

فهرس

أكرمان، فيلهلم (1928). "Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen" . الرياضيات أنالن . 99 : 118 – 133. دوى : 10.1007 / BF01459088 . S2CID 123431274 .

بينيت، ألبرت أ. (ديسمبر 1915). "ملاحظة حول عملية من الدرجة الثالثة". حوليات الرياضيات . السلسلة الثانية. 17 (2): 74-75 . doi : 10.2307/2007124 . JSTOR 2007124 .

بيزم، مارك. كلوب، جان ويليم؛ رويل دي فريجر (2003). “أنظمة إعادة كتابة المصطلح من الدرجة الأولى”. أنظمة إعادة كتابة المصطلح بواسطة "تيريز" . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 38 – 39. ISBN 0-521-39115-6.

بلاك، بول إي. (16 مارس 2009). "دالة أكرمان" . قاموس الخوارزميات وهياكل البيانات . المعهد الوطني الأمريكي للمعايير والتكنولوجيا (NIST) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أغسطس 2021 .

كامباجنولا، مانويل لاميراس؛ مور، كريستوفر ؛ خوسيه فيليكس كوستا (ديسمبر 2002). "الأعداد الترتيبية العابرة للحدود في نظرية الأعداد العودية" . مجلة التعقيد . 18 (4): 977–1000 . دوى : 10.1006/jcom.2002.0655 .

كلينشو، سي دبليو؛ أولفر، إف دبليو جيه (أبريل 1984). "ما وراء الفاصلة العائمة" . مجلة ACM . 31 (2): 319-328 . doi : 10.1145/62.322429 . S2CID 5132225 .

كورنيليوس، بي جيه؛ كيربي، جي إتش (1975). "عمق الاستدعاء الذاتي ودالة أكرمان". مجلة الرياضيات العددية BIT . 15 (2): 144-150 . doi : 10.1007/BF01932687 . S2CID 120532578 .

كولز، ج.؛ بيلي، ت. (30 سبتمبر 1988). "عدة صيغ لدالة أكرمان" . قسم علوم الحاسوب، جامعة وايومنغ، لارامي، وايومنغ . تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 أغسطس 2021 .

دونر، جون. تارسكي ، ألفريد (1969). "حساب موسع للأعداد الترتيبية" . أساسيات الرياضيات . 65 : 95- 127. دوى : 10.4064/fm-65-1-95-127 .

فريدمان، هارفي م. (يوليو 2001). "المتتاليات الطويلة المحدودة" . مجلة نظرية التوافيق . السلسلة أ. 95 (1): 102-144 . doi : 10.1006/jcta.2000.3154 .

جاليداكيس، آي إن (2003). "الرياضيات" . مؤرشف من الأصل في 20 أبريل 2009. تم الاسترجاع في 17 أبريل 2009 .

جيسلر، دانيال (2003). "ما الذي يكمن وراء الأس؟" . تم الاسترجاع في 17 أبريل 2009 .

جودستين، روبن لويس (ديسمبر 1947). "الأعداد الترتيبية المتسامية في نظرية الأعداد الاسترجاعية" ( ملف PDF) . مجلة المنطق الرمزي . 12 (4): 123-129 . doi : 10.2307/2266486 . JSTOR 2266486. S2CID 1318943 .

هيلبرت، ديفيد (1926). "Über das Unendliche". الرياضيات أنالن . 95 : 161– 190. دوى : 10.1007/BF01206605 . S2CID 121888793 .

هولمز، دبليو إن (مارس 1997). "الحساب المركب: اقتراح لمعيار جديد" . مجلة الكمبيوتر . 30 (3): 65-73 . doi : 10.1109/2.573666 . تاريخ الاسترجاع: 21 أبريل 2009 .

كنوت، دونالد إرفين (ديسمبر 1976). "الرياضيات وعلوم الحاسوب: التعامل مع محدودية البيانات" . مجلة ساينس . 194 (4271): 1235-1242 . رمز Bibcode : 1976Sci...194.1235K . doi : 10.1126/science.194.4271.1235 . PMID 17797067. S2CID 1690489. تاريخ الاسترجاع: 21 أبريل 2009 .

ليتلوود، جيه إي (يوليو 1948). "الأعداد الكبيرة". المجلة الرياضية . 32 (300): 163-171 . doi : 10.2307/3609933 . JSTOR 3609933. S2CID 250442130 .

ماير، ألبرت ر .؛ ريتشي، دينيس ماكاليستر (1967). تعقيد برامج الحلقات . وقائع المؤتمر الوطني الثاني والعشرين لعام 1967 التابع لجمعية آلات الحوسبة (ACM). doi : 10.1145/800196.806014 .

مولر، ماركوس (1993). "الجبر المتسلسل" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 2 ديسمبر 2013. تم الاطلاع عليه في 6 نوفمبر 2021 .

مونافو، روبرت (1999أ). "صيغ دالة أكرمان" . الأعداد الكبيرة في MROB . تم الاسترجاع في 28 أغسطس 2021 .

مونافو، روبرت (1999ب). "ابتكار عوامل ووظائف جديدة" . الأعداد الكبيرة في MROB . تم الاسترجاع في 28 أغسطس 2021 .

نامبيار، ك.ك. (1995). "دوال أكرمان والأعداد الترتيبية المتسامية" . رسائل الرياضيات التطبيقية . 8 (6): 51-53 . doi : 10.1016/0893-9659(95)00084-4 .

بيرستين، ميلارد هـ. (1 يونيو 1962). "الخوارزمية 93: الحساب العام" . مجلة اتصالات رابطة آلات الحوسبة . 5 (6). مدينة نيويورك : رابطة آلات الحوسبة : 344. doi : 10.1145/367766.368160 . ISSN 0001-0782 .

بينكيويتش، ت.؛ هولمز، ن.؛ جميل، ت. (2000). "تصميم وحدة حسابية مركبة للأعداد النسبية". وقائع مؤتمر IEEE Southeast Con 2000. "الاستعداد للألفية الجديدة" (رقم التصنيف 00CH37105) . وقائع IEEE. الصفحات 245-252 . doi : 10.1109/SECON.2000.845571 . ISBN 0-7803-6312-4. S2CID 7738926 .

روبنز، أ. ج. (نوفمبر 2005). "موطن التكرار" . مؤرشف من الأصل في 13 يونيو 2015. تم الاطلاع عليه في 17 أبريل 2009 .

روميريو، جي إف (21 يناير 2008). "مصطلحات العمليات الفائقة" . منتدى التكرار . تم الاطلاع عليه في 21 أبريل 2009 .

روبتسوف، سي إيه؛ روميريو، جي إف (ديسمبر 2005). "دالة أكرمان والعملية الحسابية الجديدة" . تم الاسترجاع في 17 أبريل 2009 .

تاونسند، آدم (12 مايو 2016). "أسماء للأعداد الكبيرة" . مجلة تشوكداست .

وايسشتاين، إريك و. (2003). موسوعة سي آر سي الموجزة للرياضيات، الطبعة الثانية . مطبعة سي آر سي. الصفحات 127-128 . ISBN 1-58488-347-2.

ويرز، مارك (1999). “توصيف التسلسل الهرمي Grzegorczyk من خلال العودية الآمنة” (PDF) . برن: معهد المعلوماتية والرياضيات. سيتيسيركس 10.1.1.42.3374 . S2CID 117417812 .

زيمرمان، ر. (1997). "الحساب الحاسوبي: المبادئ، والبنى، وتصميم الدوائر المتكاملة واسعة النطاق" (ملف PDF) . محاضرات، مختبر الأنظمة المتكاملة، المعهد الفدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 17 أغسطس 2013. تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 أبريل 2009 .

زويلينجر، دانيال (2002). جداول وصيغ رياضية قياسية من CRC، الطبعة 31. مطبعة CRC. ص 4. ISBN 1-58488-291-3.

[14] لطالما أُطلقت علىالمتتاليات المشابهة لمتتالية العمليات الفائقة أسماء عديدة، منها: دالة أكرمان ^{[ 1 ]} (ذات ثلاثة وسائط)، وهرمية أكرمان ^{[ 4 ]} ، وهرمية غريغورتشيك [^{5 ] [}^{6 ] (} وهي أكثر عمومية)، ونسخة غودستين من دالة أكرمان ^{[ 7 ]} ، وعملية من الدرجة n ^{[ 8 ]،} والرفع الأسي المتكرر لـ x مع y بمقدار z ^{[ 9 ]} ، وعمليات الأسهم ^{[ 10 ]} ، وجبر ريهين ^{[ 11 ]} ، والعملية الفائقة n ^{[ 1 ]}^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{[ 2 ]}^[¹³^] .

[nega-18] ١ ٢ ٣ ليكن x = a [ n ](−1). باستخدام الصيغة التكرارية، a [ n ]₀ = a [ n −1]( a [ n ](−1)) ⇒ 1 = a [ n −1] x . أحد الحلول هو x = 0، لأن a [ n −1]₀ = 1 بحسب التعريف عندما n ≥ 4. هذا الحل فريد لأن a [ n −1] b > 1 لجميع قيم a > 1 و b > 0 (برهان بالتكرار).

[zerozero-19] 1 2 3 لمزيد من التفاصيل، انظر قوى الصفر أو الصفر مرفوعًا للقوة صفر .

[commutative-35] عملية الجمع الترتيبي ليست تبديلية؛ انظر الحساب الترتيبي لمزيد من المعلومات

[letop2-36] 1 2 3 هذا يطبق استراتيجية اليسار-الأقرب (خطوة واحدة) .

[38] في كل خطوة، تتم إعادة كتابة النص الذي تحته خط.

[40] يشير أقصى عمق للتكرار إلى عدد مستويات تنشيط الإجراء الموجودة أثناء أعمق استدعاء للإجراء.^{[ 33 ]}

[41] LOOP n TIMES DO H.

[FOOTNOTEGeisler2003-1] 1 2 3 جيسلر 2003 .

[FOOTNOTERobbins2005-2] 1 2 روبنز 2005 .

[FOOTNOTERubtsovRomerio2005-3] روبتسوف وروميريو 2005 .

[FOOTNOTEFriedman2001-4] فريدمان 2001 .

[FOOTNOTECampagnolaMooreFélix_Costa2002-5] كامباجنولا ومور وفيليكس كوستا 2002 .

[FOOTNOTEWirz1999-6] ويرز 1999 .

[FOOTNOTEGoodstein1947-7] 1 2 3 4 5 جودستين 1947 .

[FOOTNOTEBennett1915-8] 1 2 3 4 بينيت 1915 .

[FOOTNOTEBlack2009-9] 1 2 أسود 2009 .

[FOOTNOTELittlewood1948-10] ليتلوود 1948 .

[FOOTNOTEMüller1993-11] 1 2 3 مولر 1993 .

[FOOTNOTEMunafo1999a-12] مونافو 1999أ .

[FOOTNOTEGalidakis2003-13] 1 2 جاليداكيس 2003 .

[FOOTNOTETownsend2016-15] تاونسند 2016 .

[FOOTNOTERomerio2008-16] روميريو 2008 .

[17] كونواي، جون هورتون ؛ جاي، ريتشارد (1996)، كتاب الأعداد ، سبرينغر، ص 61، ISBN 9780387979939.

[FOOTNOTEAckermann1928-20] 1 2 أكرمان 1928 .

[FOOTNOTEMunafo1999b-21] 1 2 3 مونافو 1999ب .

[FOOTNOTECowlesBailey1988-22] كولز وبيلي 1988 .

[FOOTNOTEKnuth1976-23] كنوت 1976 .

[FOOTNOTEZwillinger2002-24] زويلينجر 2002 .

[FOOTNOTEWeisstein2003-25] وايسشتاين 2003 .

[FOOTNOTEHilbert1926-26] هيلبرت 1926 .

[FOOTNOTENambiar1995-27] نامبيار 1995 .

[FOOTNOTEDonerTarski1969-28] دونر وتارسكي 1969 .

[FOOTNOTEClenshawOlver1984-29] كلينشو وأولفر 1984 .

[FOOTNOTEHolmes1997-30] هولمز 1997 .

[FOOTNOTEZimmermann1997-31] زيمرمان 1997 .

[FOOTNOTEPinkiewiczHolmesJamil2000-32] بينكيويتش، هولمز وجميل 2000 .

[FOOTNOTEDonerTarski1969Definition_1-33] دونر وتارسكي 1969 ، التعريف 1.

[FOOTNOTEDonerTarski1969Theorem_3(iii)-34] دونر وتارسكي 1969 ، النظرية 3(iii).

[FOOTNOTEBezemKlopDe_Vrijer2003-37] بيزيم وكلوب ودي فريجر 2003 .

[39] كورنيليوس وكيربي (1975)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ ملاحظة 1 ]

[

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 13 ]

[ 8 ]

16

[ nb 2 ]

[ nb 3 ]

[ 17 ]

[ 9 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 11 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ ملاحظة 4 ]

[ ملاحظة 5 ]

32

[ nb 6 ]

[ nb 7 ]

[ ملاحظة 8 ]

[ 4 ]

5 ] [

6 ] (

[ 10 ]

[ 12 ]

[ 33 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗