دالة جرين لمعادلة لابلاس ثلاثية المتغيرات

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Green's function for the three-variable Laplace equation" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2012) (Learn how and when to remove this message)

في الفيزياء ، تُستخدم دالة جرين (أو الحل الأساسي ) لمتغير لابلاس (أو عامل لابلاس) في ثلاثة متغيرات لوصف استجابة نوع معين من الأنظمة الفيزيائية لمصدر نقطي . وعلى وجه الخصوص، تنشأ دالة جرين هذه في الأنظمة التي يمكن وصفها بمعادلة بواسون ، وهي معادلة تفاضلية جزئية (PDE) من النموذج حيث يكون عامل لابلاس في ، هو حد المصدر للنظام، و هو حل المعادلة. ولأنه عامل تفاضلي خطي ، يمكن كتابة حل نظام عام من هذا النوع كتكامل على توزيع المصدر المعطى بواسطة : حيث تصف دالة جرين لمتغير لابلاس في ثلاثة متغيرات استجابة النظام عند النقطة لمصدر نقطي يقع عند : ويُعطى مصدر النقطة بواسطة ، دالة دلتا ديراك . $${\displaystyle \nabla ^{2}u(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )}$$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$$${\displaystyle u(\mathbf {x} )=\int G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )f(\mathbf {x'} )d\mathbf {x} '}$$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x'} }$$${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$$${\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$

أحد الأنظمة الفيزيائية من هذا النوع هو توزيع الشحنة في الكهروستاتيكا . في مثل هذا النظام، يتم التعبير عن المجال الكهربائي باعتباره التدرج السلبي للجهد الكهربائي ، وينطبق قانون جاوس في شكل تفاضلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} )\\[1ex]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\varepsilon _{0}}}\end{aligned}}}$$

من خلال الجمع بين هذه التعبيرات نحصل على معادلة بواسون : $${\displaystyle -\mathbf {\nabla } ^{2}\phi (\mathbf {x} )={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\varepsilon _{0}}}}$$

يمكننا إيجاد حل لهذه المعادلة لتوزيع الشحنة التعسفي من خلال النظر مؤقتًا في التوزيع الناتج عن شحنة نقطية تقع عند : ${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbf {x'} }$$${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=q\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$$

في هذه الحالة، والذي يوضح أن لـ سيعطي استجابة النظام للشحنة النقطية . لذلك، من المناقشة أعلاه، إذا تمكنا من إيجاد دالة جرين لهذا العامل، فيمكننا إيجاد أن لتوزيع الشحنة العامة. $${\displaystyle -{\frac {\varepsilon _{0}}{q}}\mathbf {\nabla } ^{2}\phi (\mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$${\textstyle -{\frac {\varepsilon _{0}}{q}}\nabla ^{2}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}$$${\displaystyle \phi (\mathbf {x} )=\int G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )\,d\mathbf {x} '}$$

تُعطى دالة جرين في الفضاء الحر لمشغل لابلاس في ثلاثة متغيرات من حيث المسافة المتبادلة بين نقطتين وتُعرف باسم " نواة نيوتن " أو " الإمكانات النيوتونية ". وهذا يعني أن حل المعادلة هو حيث هي إحداثيات ديكارت القياسية في فضاء ثلاثي الأبعاد، و هي دالة دلتا ديراك . $${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}$$$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|}},}$$${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$${\displaystyle \delta }$

يجب الإشارة إلى التعبير الجبري لدالة جرين لمشغل لابلاس ثلاثي المتغيرات، بصرف النظر عن الحد الثابت المعبر عنه في إحداثيات ديكارتية، باسم${\displaystyle -1/(4\pi )}$$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\left[\left(x-x'\right)^{2}+\left(y-y'\right)^{2}+\left(z-z'\right)^{2}\right]^{-{1}/{2}}.}$$

هناك العديد من صيغ التوسع الممكنة، بالنظر إلى التعبير الجبري لدالة جرين. أحد أشهر هذه الصيغ، توسع لابلاس لمعادلة لابلاس ثلاثية المتغيرات، يتم إعطاؤه من حيث الدالة المولدة لمتعددات حدود ليجاندر ، والتي تمت كتابتها من حيث الإحداثيات الكروية . تعني صيغة أقل من (أكبر من)، أخذ نصف قطر كروي أولي أو غير أولي اعتمادًا على أيهما أقل من (أكبر من) الآخر. يمثل الزاوية بين المتجهين التعسفيين المعطى بواسطة $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}}P_{l}(\cos \gamma ),}$$${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}$$${\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ').}$$

تُعطى دالة جرين الأسطوانية الدائرية في الفضاء الحر (انظر أدناه) من حيث المسافة المتبادلة بين نقطتين. تم اشتقاق التعبير في الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية لجاكسون . ^[1] باستخدام دالة جرين لمشغل لابلاس ثلاثي المتغيرات، يمكن للمرء أن يتكامل معادلة بواسون لتحديد الدالة المحتملة. يمكن توسيع دوال جرين من حيث العناصر الأساسية (الدوال التوافقية) التي يتم تحديدها باستخدام أنظمة الإحداثيات القابلة للفصل لمعادلة التفاضل الجزئي الخطية . هناك العديد من التوسعات من حيث الدوال الخاصة لدالة جرين. في حالة وضع حد عند اللانهاية مع شرط الحدود الذي يحدد الحل إلى صفر عند اللانهاية، عندئذٍ يكون لدينا دالة جرين ذات مدى لا نهائي. بالنسبة لمشغل لابلاس ثلاثي المتغيرات، يمكن للمرء على سبيل المثال توسيعه في أنظمة الإحداثيات الثابتة دورانيًا والتي تسمح بفصل المتغيرات . على سبيل المثال: حيث و هي دالة ليجيندر ذات الدرجة الفردية ونصف الصحيحة من النوع الثاني، وهي دالة توافقية حلقية. هنا تم كتابة التوسع من حيث الإحداثيات الأسطوانية . انظر على سبيل المثال الإحداثيات الحلقية . $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\frac {1}{\pi {\sqrt {RR'}}}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{im(\varphi -\varphi ')}Q_{m-{\frac {1}{2}}}(\chi )}$$$${\displaystyle \chi ={\frac {R^{2}+{R'}^{2}+\left(z-z'\right)^{2}}{2RR'}}}$$${\displaystyle Q_{m-{\frac {1}{2}}}(\chi )}$${\displaystyle (R,\varphi ,z)}$

باستخدام إحدى صيغ ويبل للتوافقيات الحلقية يمكننا الحصول على شكل بديل لدالة جرين من حيث التوافقيات الحلقية من النوع الأول. $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\sqrt {\frac {\pi }{2RR'(\chi ^{2}-1)^{1/2}}}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{m}}{\Gamma (m+1/2)}}P_{-{\frac {1}{2}}}^{m}{\left({\frac {\chi }{\sqrt {\chi ^{2}-1}}}\right)}e^{im(\varphi -\varphi ')}}$$

تم استخدام هذه الصيغة في عام 1999 للتطبيقات الفيزيائية الفلكية في ورقة بحثية نُشرت في مجلة الفيزياء الفلكية ، والتي نشرها هوارد كول وجويل تولين. ^[2] الصيغة المذكورة أعلاه معروفة أيضًا في مجتمع الهندسة. على سبيل المثال، تُظهر ورقة بحثية مكتوبة في مجلة الفيزياء التطبيقية في المجلد 18، 1947 الصفحات 562-577 أن إن جي دي بروين وسي جيه بوكامب كانا على علم بالعلاقة المذكورة أعلاه. في الواقع، تم بالفعل إجراء جميع الرياضيات الموجودة في الأوراق الحديثة تقريبًا بواسطة تشيستر سنو. يوجد هذا في كتابه بعنوان Hypergeometric and Legendre Functions with Applications to Integral Equations of Potential Theory ، المكتب الوطني للمعايير سلسلة الرياضيات التطبيقية 19، 1952. انظر تحديدًا على الصفحات 228-263. إن المقال الذي كتبه تشيستر سنو بعنوان "الحقول المغناطيسية للملفات الأسطوانية والملفات الحلقية" (المكتب الوطني للمعايير، السلسلة الرياضية التطبيقية 38، 30 ديسمبر 1953)، يوضح بوضوح العلاقة بين دالة جرين في الفضاء الحر في الإحداثيات الأسطوانية وتعبير دالة Q. وبالمثل، انظر عملاً آخر من أعمال سنو بعنوان "صيغ لحساب السعة والمحاثة"، النشرة الدورية للمكتب الوطني للمعايير 544، 10 سبتمبر 1954، ص 13-41. والواقع أنه لم يُنشر الكثير مؤخرًا حول موضوع الوظائف الحلقية وتطبيقاتها في الهندسة أو الفيزياء. ومع ذلك، يوجد عدد من التطبيقات الهندسية. وقد نُشر تطبيق واحد؛ تم كتابة المقال بواسطة JP Selvaggi وS. Salon وO. Kwon وMVK Chari، "حساب المجال المغناطيسي الخارجي من المغناطيسات الدائمة في المحركات ذات المغناطيس الدائم - طريقة بديلة"، IEEE Transactions on Magnetics، المجلد 40، العدد 5، سبتمبر 2004. قام هؤلاء المؤلفون بعمل مكثف مع وظائف Legendre من النوع الثاني ودرجة نصف التكامل أو الوظائف الحلقية من الدرجة الصفرية. لقد حلوا العديد من المشكلات التي تظهر تماثلًا أسطوانيًا دائريًا باستخدام الوظائف الحلقية.

التعبيرات أعلاه لدالة جرين لمشغل لابلاس ثلاثي المتغيرات هي أمثلة على تعبيرات الجمع الفردية لدالة جرين هذه. هناك أيضًا تعبيرات تكاملية مفردة لدالة جرين هذه. يمكن رؤية أمثلة على ذلك في إحداثيات أسطوانية دوارة كتحويل لابلاس تكاملي في الفرق بين الارتفاعات الرأسية التي يتم تحديد نواتها من حيث دالة بيسل المعدلة من الدرجة الصفرية من النوع الأول على النحو التالي حيث المتغيرات الأكبر (الأقل) و . وبالمثل، يمكن إعطاء دالة جرين لمعادلة لابلاس ثلاثية المتغيرات على أنها تحويل جيب التمام تكاملي فورييه للفرق بين الارتفاعات الرأسية التي يتم تحديد نواتها من حيث دالة بيسل المعدلة من الدرجة الصفرية من النوع الثاني على النحو التالي $${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\int _{0}^{\infty }J_{0}{\left(k{\sqrt {R^{2}+{R'}^{2}-2RR'\cos(\varphi -\varphi ')}}\right)}e^{-k(z_{>}-z_{<})}\,dk,}$$${\displaystyle z_{>}(z_{<})}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z'}$$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }K_{0}{\left(k{\sqrt {R^{2}+{R'}^{2}-2RR'\cos(\varphi -\varphi ')}}\right)}\cos[k(z-z')]\,dk.}$$

توجد توسعات دالة جرين في جميع أنظمة الإحداثيات الثابتة دورانيًا والتي يُعرف أنها تعطي حلولاً لمعادلة لابلاس ثلاثية المتغيرات من خلال تقنية فصل المتغيرات.

• الإمكانات النيوتونية
• توسيع لابلاس