إحداثيات كروية مفلطحة

تشكل الأسطح ذات معامل الاحتكاك الثابت μ أشكالًا كروية مفلطحة ، وفقًا للمتطابقة المثلثية $${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}$$

بما أنها أشكال بيضاوية تدور حول المحور z ، الذي يفصل بين بؤرتيها، فإن الشكل البيضاوي في المستوى x - z (الشكل 2) له نصف محور رئيسي طوله a cosh μ على طول المحور x ، بينما نصف محوره الثانوي طوله a sinh μ على طول المحور z . تقع بؤرتا جميع الأشكال البيضاوية في المستوى x - z على المحور x عند ± a .

وبالمثل، تشكل الأسطح ذات ν الثابتة أنصاف قطع زائدية دورانية أحادية الورقة وفقًا للمتطابقة المثلثية الزائدية

$${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}$$

عندما تكون قيمة ν موجبة ، يكون نصف القطع الزائد فوق المستوى س - ص (أي أن قيمة z موجبة )، بينما عندما تكون قيمة ν سالبة، يكون نصف القطع الزائد أسفل المستوى س - ص (أي أن قيمة z سالبة ). هندسيًا، تتوافق الزاوية ν مع زاوية خطوط التقارب للقطع الزائد. وبالمثل، تقع بؤر جميع القطوع الزائدة على المحور س عند ± أ .

يمكن حساب إحداثيات (μ، ν، φ) من الإحداثيات الديكارتية ( x ، y ، z ) كما يلي. تُعطى الزاوية السمتية φ بالصيغة التالية: $${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}$$

يُعطى نصف القطر الأسطواني ρ للنقطة P بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}$$ وتعطى المسافة بينها وبين البؤرتين في المستوى المحدد بواسطة φ بالعلاقة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}\\d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}\end{aligned}}}$$

يمكن حساب الإحداثيات المتبقية μ و ν من المعادلات $$\begin{aligned}\cosh \mu &=\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}\\\cos \nu &=\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}\end{aligned}}}$$

حيث تكون إشارة μ دائمًا غير سالبة، وإشارة ν هي نفسها إشارة z .

هناك طريقة أخرى لحساب التحويل العكسي وهي

$$\displaystyle \begin{aligned}\mu &=\operatorname {Re} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\nu &=\operatorname {Im} \operatorname {arcosh} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\phi &=\arctan {\frac {y}{x}}\end{aligned}}}$$

أين$${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$$

معاملات المقياس للإحداثيات μ و ν متساوية $${\displaystyle h_{\mu}=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}$$ بينما يساوي عامل المقياس السمتي $${\displaystyle h_{\phi}=a\cosh \mu \ \cos \nu }$$

وبالتالي، فإن عنصر الحجم المتناهي الصغر يساوي $${\displaystyle dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu \,d\nu \,d\phi }$$ ويمكن كتابة لابلاس $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$$

عوامل تفاضلية أخرى مثل${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$و${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$يمكن التعبير عنها بالإحداثيات (μ، ν، φ) عن طريق استبدال عوامل المقياس في الصيغ العامة الموجودة في الإحداثيات المتعامدة .

متجهات الأساس المتعامدة لـ${\displaystyle \mu ,\nu ,\phi }$يمكن التعبير عن نظام الإحداثيات بالإحداثيات الديكارتية كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}_{\mu }&={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(\sinh \mu \cos \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\sinh \mu \cos \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\cosh \mu \sin \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\nu }&={\frac {1}{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(-\cosh \mu \sin \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}-\cosh \mu \sin \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\sinh \mu \cos \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\phi }&=-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {i}}},{\boldsymbol {\hat {j}}},{\boldsymbol {\hat {k}}}}$هي متجهات الوحدة الديكارتية. هنا،${\displaystyle {\hat {e}}_{\mu }}$هو متجه عمودي خارجي على السطح الكروي المفلطح ذي ثابت${\displaystyle \mu }$،${\displaystyle {\hat {e}}_{\phi }}$وهو نفس متجه الوحدة السمتي من الإحداثيات الكروية، و${\displaystyle {\hat {e}}_{\nu }}$يقع في المستوى المماس لسطح الشكل الكروي المفلطح ويكمل مجموعة الأساس اليمينية.

عوامل المقياس لـ${\displaystyle (\zeta ,\xi ,\phi )}$نكون: $${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\zeta }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}\\h_{\xi }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\\h_{\phi }&=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\end{aligned}}}$$

بمعرفة عوامل المقياس، يمكن حساب دوال مختلفة للإحداثيات باستخدام الطريقة العامة الموضحة في مقالة الإحداثيات المتعامدة . عنصر الحجم المتناهي الصغر هو: $${\displaystyle dV=a^{3}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)d\zeta \,d\xi \,d\phi }$$

التدرج هو: $${\displaystyle \nabla V={\frac {1}{h_{\zeta }}}{\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\,{\hat {\zeta }}+{\frac {1}{h_{\xi }}}{\frac {\partial V}{\partial \xi }}\,{\hat {\xi }}+{\frac {1}{h_{\phi }}}{\frac {\partial V}{\partial \phi }}\,{\hat {\phi }}}$$

الاختلاف هو: $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{a(\zeta ^{2}+\xi ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left({\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\zeta }\right)+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\sqrt {1-\xi ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\xi }\right)\right\}+{\frac {1}{a{\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}}$$

والمؤثر اللابلاسي يساوي $${\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}}$$

كما هو الحال مع الإحداثيات الكروية والتوافقيات الكروية ، يمكن حل معادلة لابلاس بطريقة فصل المتغيرات للحصول على حلول في شكل توافقيات كروية مفلطحة ، والتي يسهل استخدامها عند تعريف الشروط الحدية على سطح ذي إحداثيات كروية مفلطحة ثابتة.

باتباع أسلوب فصل المتغيرات ، يُكتب حل معادلة لابلاس على النحو التالي: $${\displaystyle V=Z(\zeta )\,\Xi (\xi )\,\Phi (\phi )}$$

ينتج عن ذلك ثلاث معادلات تفاضلية منفصلة في كل متغير من المتغيرات: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{d\zeta }}\left[(1+\zeta ^{2}){\frac {dZ}{d\zeta }}\right]+{\frac {m^{2}Z}{1+\zeta ^{2}}}-n(n+1)Z=0\\{\frac {d}{d\xi }}\left[(1-\xi ^{2}){\frac {d\Xi }{d\xi }}\right]-{\frac {m^{2}\Xi }{1-\xi ^{2}}}+n(n+1)\Xi =0\\{\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}=-m^{2}\Phi \end{aligned}}}$$ حيث m ثابت وهو عدد صحيح لأن المتغير φ دوري ودورته 2π . وبالتالي ، سيكون n عددًا صحيحًا. حلول هذه المعادلات هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}Z_{mn}&=A_{1}P_{n}^{m}(i\zeta )+A_{2}Q_{n}^{m}(i\zeta )\\[1ex]\Xi _{mn}&=A_{3}P_{n}^{m}(\xi )+A_{4}Q_{n}^{m}(\xi )\\[1ex]\Phi _{m}&=A_{5}e^{im\phi }+A_{6}e^{-im\phi }\end{aligned}}}$$ حيث${\displaystyle A_{i}}$هي ثوابت و${\displaystyle P_{n}^{m}(z)}$و${\displaystyle Q_{n}^{m}(z)}$ترتبط هذه المعادلات بمتعددات حدود ليجندر من النوع الأول والثاني على التوالي. يُطلق على حاصل ضرب الحلول الثلاثة اسم التوافقي الكروي المفلطح ، ويُكتب الحل العام لمعادلة لابلاس على النحو التالي: $${\displaystyle V=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\,Z_{mn}(\zeta )\,\Xi _{mn}(\xi )\,\Phi _{m}(\phi )}$$

ستتحد الثوابت لتنتج أربعة ثوابت مستقلة فقط لكل توافقية.

على غرار نظيره μ، تشكل أسطح σ الثابتة أشكالًا كروية مفلطحة$${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1}$$

وبالمثل، تشكل الأسطح ذات قيمة τ الثابتة قطعًا زائدية دورانية كاملة من ورقة واحدة$${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1}$$

عوامل القياس للإحداثيات الكروية المفلطحة البديلة${\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}$نكون $${\displaystyle {\begin{aligned}h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}\\h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}\end{aligned}}}$$ بينما عامل المقياس السمتي هو${\displaystyle h_{\phi }=a\sigma \tau }$.

وبالتالي، يمكن كتابة عنصر الحجم المتناهي الصغر على النحو التالي $${\displaystyle dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi }$$ والمؤثر اللابلاسي يساوي $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(\tau {\sqrt {1-\tau ^{2}}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}}$$

عوامل تفاضلية أخرى مثل${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ و${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$يمكن التعبير عنها بالإحداثيات${\displaystyle (\sigma ,\tau )}$عن طريق استبدال عوامل المقياس في الصيغ العامة الموجودة في الإحداثيات المتعامدة .

كما هو الحال مع الإحداثيات الكروية ، يمكن حل معادلة لابلاس بطريقة فصل المتغيرات للحصول على حلول في شكل توافقيات كروية مفلطحة ، والتي يسهل استخدامها عند تعريف الشروط الحدية على سطح ذي إحداثيات كروية مفلطحة ثابتة (انظر سميث، 1968).

• مورس بي إم، فيشباخ إتش (1953). أساليب الفيزياء النظرية، الجزء الأول . نيويورك: ماكجرو هيل. ص  662. الاستخدامات ξ ₁ = a sinh μ، ξ ₂ = sin ν، و ξ ₃ = cos φ.
• زويلينجر د (1992). دليل التكامل . بوسطن، ماساتشوستس: جونز وبارتليت. ص  115. ISBN 0-86720-293-9. كما هو الحال مع مورس وفيشباخ (1953)، مع استبدال u _k بـ ξ _k .
• سميث، دبليو آر (1968). الكهرباء الساكنة والديناميكية (  الطبعة الثالثة). نيويورك: ماكجرو هيل.
• سوير ر، زابو الأول (1967). الرياضيات Hilfsmittel des Ingenieurs . نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. ص.  98. ال سي سي ان 67025285 .  يستخدم الإحداثيات الهجينة ξ = sinh μ، η = sin ν، وφ.

• كورن جي إيه، كورن تي إم (1961). دليل الرياضيات للعلماء والمهندسين . نيويورك: ماكجرو هيل. ص 177. رقم مكتبة الكونغرس 59014456 .   يستخدم كورن وكورن الإحداثيات (μ، ν، φ)، ولكنهما يقدمان أيضًا الإحداثيات المنحلة (σ، τ، φ).
• مارجيناو إتش، مورفي جي إم (1956). رياضيات الفيزياء والكيمياء . نيويورك: دي. فان نوستراند. ص 182. LCCN 55010911 .   مثل كورن وكورن (1961)، ولكن يستخدم خط العرض المشترك θ = 90° - ν بدلاً من خط العرض ν.
• مون، ب. هـ.، وسبنسر، د. إ. (1988). "إحداثيات الإهليلجية المفلطحة (η، θ، ψ)". دليل نظرية المجال، بما في ذلك أنظمة الإحداثيات، والمعادلات التفاضلية، وحلولها (الطبعة الثانية المصححة،  الطبعة الثالثة المطبوعة). نيويورك: سبرينغر فيرلاغ. الصفحات  31-34 (الجدول 1.07). ISBN 0-387-02732-7. يستخدم مون وسبنسر اصطلاح خط العرض θ = 90° - ν، ويعيدان تسمية φ إلى ψ.

• لاندو، إل دي، وليفشيتز، إي إم، وبيتايفسكي، إل بي (1984). الديناميكا الكهربائية للأوساط المتصلة (المجلد 8 من سلسلة الفيزياء النظرية ) (  الطبعة الثانية). نيويورك: دار بيرغامون للنشر. الصفحات 19-29 . ISBN  978-0-7506-2634-7. تعتبر الإحداثيات الكروية المفلطحة حالةً حديةً للإحداثيات الإهليلجية العامة . وتستخدم إحداثيات (ξ، η، ζ) التي لها وحدات مربع المسافة.