علاقات غرين

في الرياضيات ، تُعرف علاقات غرين بخمس علاقات تكافؤ تُحدد خصائص عناصر شبه الزمرة بدلالة المُثُل الرئيسية التي تُولدها. سُميت هذه العلاقات نسبةً إلى جيمس ألكسندر غرين ، الذي قدمها في بحثٍ نُشر عام ١٩٥١. وصف جون ماكنتوش هاوي ، أحد أبرز مُنظري أنصاف الزمر، هذا العمل بأنه "شاملٌ لدرجة أنه عند مُصادفة شبه زمرة جديدة، يكون السؤال الأول الذي يتبادر إلى الذهن هو: ما هي علاقات غرين؟" (هاوي ٢٠٠٢). تُفيد هذه العلاقات في فهم طبيعة قابلية القسمة في شبه الزمرة؛ وهي صالحةٌ أيضًا للزمر ، ولكنها في هذه الحالة لا تُقدم لنا أي معلوماتٍ مُفيدة، لأن الزمر قابلةٌ للقسمة دائمًا.

بدلاً من التعامل مباشرةً مع شبه زمرة S ، من الملائم تعريف علاقات غرين على شبه الزمرة S1 ^. ( S1 هي " ^S مع عنصر محايد مُلحق بها عند الضرورة"؛ إذا لم تكن S شبه زمرة بالفعل، يُلحق بها عنصر جديد ويُعرّف على أنه عنصر محايد). يضمن هذا أن المُثُل الرئيسية المُولّدة بواسطة عنصر ما من شبه الزمرة تحتوي بالفعل على ذلك العنصر. بالنسبة لعنصر a من S ، فإن المُثُل ذات الصلة هي:

• النموذج الأمثل الرئيسي الأيسر الناتج عن :${\displaystyle S^{1}a=\{sa\mid s\in S^{1}\}}$هذا هو نفسه${\displaystyle \{sa\mid s\in S\}\cup \{a\}}$، وهو${\displaystyle Sa\cup \{a\}}$.
• المبدأ الأساسي للحقوق الذي يولده :${\displaystyle aS^{1}=\{as\mid s\in S^{1}\}}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle aS\cup \{a\}}$.
• المثالي الرئيسي ذو الجانبين الناتج عن :${\displaystyle S^{1}aS^{1}}$، أو${\displaystyle SaS\cup aS\cup Sa\cup \{a\}}$.

بالنسبة للعنصرين a و b من المجموعة S ، تُعرَّف علاقات غرين L و R و J كما يلي:

• a L b إذا وفقط إذا كان S ¹ a = S ¹ b .
• a R b إذا وفقط إذا كان a S ¹ = b S ¹ .
• a J b إذا وفقط إذا كان S ¹ a S ¹ = S ¹ b S ¹ .

أي أن a و b مرتبطان بعلاقة L إذا كانا يُولِّدان نفس المثالي الأيسر؛ ومرتبطان بعلاقة R إذا كانا يُولِّدان نفس المثالي الأيمن؛ ومرتبطان بعلاقة J إذا كانا يُولِّدان نفس المثالي ثنائي الجانب. هذه علاقات تكافؤ على S ، لذا فإن كل علاقة منها تُنتج تقسيمًا لـ S إلى فئات تكافؤ. يُرمز إلى فئة L لـ a بـ L _a (وينطبق الأمر نفسه على العلاقات الأخرى). يمكن فهم فئتي L و R بشكل مكافئ على أنهما المكونات المتصلة بقوة لمخططات كايلي اليسرى واليمنى لـ S ^{1. [ 1} ] علاوة على ذلك، تُعرِّف العلاقات L و R و J ثلاثة ترتيبات جزئية ≤ _L و ≤ _R و ≤ _J ، حيث يتحقق a ≤ _J b ^{لعنصرين} a و b من S إذا كان المثالي المُولَّد بواسطة a مُضمَّنًا في المثالي المُولَّد بواسطة b ، أي S ¹ a S ¹ ⊆ S ¹ b S ¹ ، ويتم تعريف ≤ _L و ≤ _R بشكل مماثل. ^{[ 2 ]}

استخدم غرين الأحرف الصغيرة ذات الخط الأسود${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$،${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$و${\displaystyle {\mathfrak {f}}}$لهذه العلاقات، وكتب${\displaystyle a\equiv b({\mathfrak {l}})}$بالنسبة للحرفين L و b (وكذلك بالنسبة للحرفين R و J ). ^{[ 3 ]} يميل علماء الرياضيات اليوم إلى استخدام حروف الكتابة اليدوية مثل${\displaystyle {\mathcal {R}}}$بدلاً من ذلك، استبدل تدوين غرين الحسابي المعياري بالأسلوب الوسطي المستخدم هنا. تُستخدم الأحرف العادية لفئات التكافؤ.

تُعتبر العلاقتان L و R متناظرتين من اليسار واليمين؛ إذ يمكن ترجمة النظريات المتعلقة بإحداهما إلى عبارات مماثلة حول الأخرى. على سبيل المثال، L متوافقة من اليمين : إذا كان a ∈ L b و c عنصرًا آخر من S ، فإن ac ∈ L bc . وبالمثل، R متوافقة من اليسار : إذا كان a ∈ R b ، فإن ca ∈ R cb .

إذا كانت S تبديلية، فإن L و R و J تتطابق.

العلاقات المتبقية مشتقة من L و R. تقاطعها هو H :

a H ​​b إذا وفقط إذا كان a L b و a R b .

هذه أيضًا علاقة تكافؤ على S. الفئة H _a هي تقاطع L _a و R _a . وبشكل أعم، فإن تقاطع أي فئة L مع أي فئة R هو إما فئة H أو المجموعة الفارغة .

تنص نظرية غرين على أنه لأي${\displaystyle {\mathcal {H}}}$-الفئة H من شبه المجموعة S إما (i)${\displaystyle H^{2}\cap H=\emptyset }$أو (2)${\displaystyle H^{2}\subseteq H}$و H زمرة جزئية من S. ومن النتائج المهمة أن فئة التكافؤ H _e ، حيث e عنصر متساوي القوة ، هي زمرة جزئية من S (عنصرها المحايد هو e ، وجميع عناصرها لها معكوسات)، وهي في الواقع أكبر زمرة جزئية من S تحتوي على e . لا${\displaystyle {\mathcal {H}}}$يمكن أن تحتوي الفئة على أكثر من عنصر متطابق، وبالتالي${\displaystyle {\mathcal {H}}}$هي عنصر فاصل متماثل . في أحادي M ، تُسمى الفئة H1 تقليديًا مجموعة الوحدات . ^{[ 4 ]} (لاحظ أن الوحدة لا تعني الهوية في هذا السياق، أي أن هناك عمومًا عناصر غير هوية في _H1 . _مصطلح "الوحدة" مُستمد من نظرية الحلقات ). على سبيل المثال، في أحادي التحويل على n عنصر، Tn _، فإن مجموعة الوحدات هي المجموعة المتناظرة Sn _.

أخيرًا، يُعرَّف D على النحو التالي: a ∈ D b إذا وفقط إذا وُجد عنصر c في S بحيث يكون a ∈ L c و c ∈ R b . في لغة الشبكات ، D هو ضم L و R. (عادةً ما يكون تعريف ضم علاقات التكافؤ أكثر صعوبة، ولكنه يُبسَّط في هذه الحالة نظرًا لأن a ∈ L c و c ∈ R b لبعض c إذا وفقط إذا كان a ∈ R d و d ∈ L b لبعض d ).

بما أن D هي أصغر علاقة تكافؤ تحتوي على كل من L و R ، فإننا نعلم أن a D b يستلزم a J b — لذا فإن J تحتوي على D. في شبه زمرة منتهية، تكون D و J متطابقتين؛ ^{[ 5 ]} وينطبق هذا أيضًا على الزمرة الأحادية العقلانية ^{[ 6 ]} أو على الزمرة فوق الزمرة . ^{[ 7 ]}

وهناك أيضًا صياغة لـ D من حيث فئات التكافؤ، مشتقة مباشرة من التعريف أعلاه: ^{[ 8 ]}

a D b إذا وفقط إذا كان تقاطع R _a و L _b غير فارغ.

وبالتالي، يمكن اعتبار فئات D لشبه المجموعة بمثابة اتحادات لفئات L ، أو اتحادات لفئات R ، أو اتحادات لفئات H. ويقترح كليفورد وبريستون ( 1961 ) التفكير في هذا الوضع من منظور "علبة البيض": ^{[ 9 ]}

يمثل كل صف من البيض فئة R ، ويمثل كل عمود فئة L ؛ أما البيض نفسه فيمثل فئات H. بالنسبة للمجموعة، يوجد بيضة واحدة فقط، لأن جميع علاقات غرين الخمس متطابقة، مما يجعل جميع عناصر المجموعة متكافئة. الحالة المعاكسة، الموجودة على سبيل المثال في شبه المجموعة ثنائية الحلقة ، هي عندما يكون كل عنصر في فئة H خاصة به. سيحتوي صندوق البيض لهذه المجموعة على عدد لا نهائي من البيض، لكن جميع البيض موجود في نفس الصندوق لأنه لا يوجد سوى فئة D واحدة. ( تسمى المجموعة التي تكون جميع عناصرها مرتبطة بـ D مجموعة ثنائية بسيطة ).

يمكن إثبات أنه ضمن فئة D ، تكون جميع فئات H متساوية في الحجم. على سبيل المثال، تحتوي شبه المجموعة التحويلية T ₄ على أربع فئات D ، تحتوي فئات H داخلها على 1 و2 و6 و24 عنصرًا على التوالي.

استُخدمت علاقات غرين في التطورات الحديثة في مجال توافقية أنصاف الزمر للمساعدة في حصر أنصاف الزمر ذات خصائص معينة. تُظهر إحدى النتائج النموذجية (ساتوه، ياما، وتوكيزاوا، 1994) وجود 1,843,120,128 نصف زمرة غير متكافئة من الرتبة 8، بما في ذلك 221,805 نصف زمرة تبديلية؛ ويستند عملهم إلى استكشاف منهجي لفئات D الممكنة . (في المقابل، لا يوجد سوى خمس زمر من الرتبة 8 ).

تتألف شبه المجموعة التحويلية الكاملة T3 من جميع الدوال من المجموعة {1، 2، 3} إلى نفسها؛ ويبلغ عددها 27 دالة. اكتب ( a, _b , c ) للدالة التي تُرسل 1 إلى a ، و2 إلى b ، و3 إلى _c . بما أن T3 تحتوي على دالة التطابق (1, 2, 3)، فلا حاجة لإضافة دالة تطابق.

يحتوي مخطط صندوق البيض لـ T ₃ على ثلاث فئات D. وهي أيضًا فئات J ، لأن هذه العلاقات تتطابق بالنسبة لشبه مجموعة منتهية.

في الجدول T ₃ ، تكون دالتان مرتبطتين من النوع R إذا وفقط إذا كانت لهما نفس الصورة . تظهر هذه الدوال في نفس عمود الجدول أعلاه. وبالمثل، تكون الدالتان f و g مرتبطتين من النوع L إذا وفقط إذا

f ( x ) = f ( y ) ⇔ g ( x ) = g ( y )

لكل x و y في المجموعة {1، 2، 3}؛ تقع هذه الدوال في نفس الصف. وبالتالي، تكون دالتان مرتبطتين في المجموعة D إذا وفقط إذا كانت صورهما بنفس الحجم.

العناصر المكتوبة بخط عريض هي العناصر المتطابقة. أي فئة H تحتوي على أحد هذه العناصر تُشكّل زمرة جزئية (قصوى). على وجه الخصوص، الفئة D الثالثة متماثلة مع الزمرة المتناظرة S3 _. توجد أيضًا ست زمر جزئية من الرتبة 2، وثلاث من الرتبة 1 (بالإضافة إلى زمر جزئية من هذه الزمر الجزئية). ستة عناصر من _T3 لا تنتمي إلى أي زمرة جزئية.

هناك طريقتان أساسيتان لتعميم نظرية جبرية . الأولى هي تغيير تعريفاتها بحيث تشمل المزيد من الأشياء أو أشياء مختلفة؛ أما الطريقة الأخرى، والأكثر دقة، فهي إيجاد نتيجة مرغوبة للنظرية والنظر في طرق بديلة للوصول إلى تلك النتيجة.

باتباع المسار الأول، تم تعريف صيغ مماثلة لعلاقات غرين في أنصاف الحلقات (غريليه 1970) والحلقات (بيترو 2002). بعض الخصائص المرتبطة بالعلاقات في أنصاف الزمر، وليس كلها، تنتقل إلى هذه الحالات. وبالبقاء ضمن نطاق أنصاف الزمر، يمكن توسيع علاقات غرين لتشمل المُثُل النسبية ، وهي مجموعات جزئية تُعدّ مُثُلاً فقط بالنسبة إلى نصف زمرة جزئية (والاس 1963).

بالنسبة للنوع الثاني من التعميم ، ركز الباحثون على خصائص التقابل بين فئات L و R. إذا كان x ينتمي إلى R ، فمن الممكن دائمًا إيجاد تقابل بين _Lx و _Ly يحافظ على فئة R. (أي، إذا كان عنصران من فئة L ينتميان إلى نفس فئة R ، فإن صورهما تحت التقابل ستظل في نفس فئة R ). وينطبق الأمر نفسه على x ∈ Ly . هذه التقابلات هي إزاحات يمينًا ويسارًا، مقيدة بفئات التكافؤ المناسبة. والسؤال الذي يطرح نفسه: كيف يمكن أن توجد مثل هذه التقابلات بطريقة أخرى؟

لنفترض أن Λ و Ρ هما نصفا زمر من التحويلات الجزئية لنصف زمرة S. في ظل شروط معينة، يمكن إثبات أنه إذا كان x Ρ = y Ρ، حيث x ρ ₁ = y و y ρ ₂ = x ، فإن القيود

ρ ₁  : Λ x → Λ y

ρ ₂  : Λ y → Λ x

هما تقابلان عكسيان. (اصطلاحًا، تُكتب الوسائط على اليمين لـ Λ، وعلى اليسار لـ Ρ). عندئذٍ، يمكن تعريف علاقتي L و R كما يلي:

x L y إذا وفقط إذا كان Λ x = Λ y

x R y إذا وفقط إذا كان x Ρ = y Ρ

ويتبع ذلك D و H كالمعتاد. تعميم J ليس جزءًا من هذا النظام، لأنه لا يلعب أي دور في الخاصية المطلوبة.

نُطلق على (Λ, Ρ) اسم زوج غرين . توجد عدة خيارات لشبه زمرة التحويل الجزئي التي تُنتج العلاقات الأصلية. أحد الأمثلة على ^ذلك هو اعتبار Λ شبه زمرة جميع الإزاحات اليسرى على S1 ، المقيدة بـ S ، و Ρ شبه زمرة الإزاحات اليمنى المقيدة المقابلة.

تعود هذه التعريفات إلى كلارك وكاروث (1980). وهي تشمل أعمال والاس، بالإضافة إلى تعريفات عامة أخرى متنوعة طُرحت في منتصف سبعينيات القرن العشرين. يصعب صياغة البديهيات كاملةً؛ ولكن بشكل غير رسمي، فإن أهم الشروط هي أن تحتوي كل من Λ و Ρ على تحويل التطابق، وأن عناصر Λ تتبادل مع عناصر Ρ.

• مجموعة شوتزنبرغر

• CE Clark و JH Carruth (1980) نظريات غرين المعممة ، منتدى شبه المجموعة 20 (2)؛  95 - 127.
• AH Clifford و GB Preston (1961) النظرية الجبرية لشبه المجموعات ، المجلد 1، (1967) المجلد 2، الجمعية الرياضية الأمريكية ، يتم تقديم علاقات غرين في الفصل 2 من المجلد الأول.
• JA Green (يوليو 1951) "حول بنية أنصاف المجموعات"، حوليات الرياضيات (السلسلة الثانية) 54 (1): 163 – 172.
• غريليه، ميريل ب. (1970). "علاقات غرين في شبه حلقة" . الرياضيات البرتغالية 29 : 181-195 . Zbl 0227.16029 . 
• جون إم. هاوي (1976) مقدمة في نظرية شبه الزمر ، دار النشر الأكاديمية ، رقم ISBN 0-12-356950-8تتوفر نسخة محدثة بعنوان "أساسيات نظرية شبه الزمر" ، منشورات جامعة أكسفورد ، 1995. ISBN 0-19-851194-9.
• جون إم. هاوي (2002) "أنصاف الزمر، الماضي والحاضر والمستقبل"، وقائع المؤتمر الدولي للجبر وتطبيقاته ، جامعة شولالونغكورن ، تايلاند
• لوسون، مارك ف. (2004). الأوتوماتا المحدودة . تشابمان آند هول/سي آر سي. رقم ISBN 1-58488-255-7. Zbl 1086.68074 . 
• Petraq Petro (2002) علاقات غرين وشبه المثالي الأدنى في الحلقات ، الاتصالات في الجبر 30 (10): 4677 – 4686.
• S. Satoh, K. Yama, and M. Tokizawa (1994) “Semigroups of order 8”, Semigroup Forum 49: 7 – 29.
• غوميز، جي إم إس؛ بين، جي إي؛ سيلفا، جي إي (2002). أنصاف الزمر، والخوارزميات، والآلات، واللغات. وقائع ورش العمل التي عُقدت في المركز الدولي للرياضيات، CIM، كويمبرا، البرتغال، مايو ويونيو ويوليو 2001. وورلد ساينتيفيك . ISBN 978-981-238-099-9. Zbl 1005.00031 .