المبدأ المثالي الرئيسي

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية الحلقات ، يُعتبر المثالي الرئيسي مثالياً${\displaystyle I}$في حلقة${\displaystyle R}$يتم توليد ذلك بواسطة عنصر واحد${\displaystyle a}$ل${\displaystyle R}$من خلال الضرب في كل عنصر من عناصر${\displaystyle R.}$للمصطلح معنى آخر مشابه في نظرية الترتيب ، حيث يشير إلى مثالي (ترتيب) في مجموعة مرتبة جزئياً${\displaystyle P}$تم إنشاؤه بواسطة عنصر واحد${\displaystyle x\in P,}$أي مجموعة جميع العناصر الأقل من أو تساوي${\displaystyle x}$في${\displaystyle P.}$

يتناول الجزء المتبقي من هذه المقالة مفهوم نظرية الحلقات.

• مثال رئيسي يساري لـ${\displaystyle R}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle R}$مقدم من${\displaystyle Ra=\{ra:r\in R\}}$لبعض العناصر${\displaystyle a.}$
• المثل الأعلى الصحيح لـ${\displaystyle R}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle R}$مقدم من${\displaystyle aR=\{ar:r\in R\}}$لبعض العناصر${\displaystyle a.}$
• مثال رئيسي ذو جانبين${\displaystyle R}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle R}$مقدم من${\displaystyle RaR=\{r_{1}as_{1}+\ldots +r_{n}as_{n}:r_{1},s_{1},\ldots ,r_{n},s_{n}\in R\}}$لبعض العناصر${\displaystyle a,}$أي مجموعة جميع المجاميع المحدودة للعناصر من الشكل${\displaystyle ras.}$

على الرغم من أن تعريف المثالي الرئيسي ذي الجانبين قد يبدو أكثر تعقيدًا من تعريف المثالي الرئيسي ذي الجانب الواحد، إلا أنه من الضروري ضمان بقاء المثالي مغلقًا تحت عملية الجمع. ^{[ 1 ] : 251-252}

لو${\displaystyle R}$إذا كانت حلقة تبديلية ، فإن المفاهيم الثلاثة المذكورة أعلاه تكون متطابقة. في هذه الحالة، من الشائع كتابة المثالي المتولد بواسطة${\displaystyle a}$مثل${\displaystyle \langle a\rangle }$أو${\displaystyle (a).}$

• المُثُل الرئيسية في الحلقة (التبديلية)${\displaystyle \mathbb {Z} }$نكون${\displaystyle \langle n\rangle =n\mathbb {Z} =\{\ldots ,-2n,-n,0,n,2n,\ldots \}.}$في الواقع، كل مثال من${\displaystyle \mathbb {Z} }$هو رئيسي (انظر §  التعريفات ذات الصلة ).
• في أي حلقة${\displaystyle R}$المجموعات${\displaystyle \{0\}=\langle 0\rangle }$و${\displaystyle R=\langle 1\rangle }$هي مُثُلٌ أساسية.
• لأي خاتم${\displaystyle R}$وعنصر${\displaystyle a,}$المُثُل${\displaystyle Ra,aR,}$و${\displaystyle RaR}$هي على التوالي المثل العليا الرئيسية اليسرى واليمنى والثنائية، بحسب التعريف. على سبيل المثال،${\displaystyle \langle {\sqrt {-3}}\rangle }$يُعدّ هذا مثالاً رئيسياً لـ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}].}$
• في الحلقة التبادلية${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$مجموعة كثيرات الحدود المركبة في متغيرين ، وهي مجموعة كثيرات الحدود التي تتلاشى في كل مكان على مجموعة النقاط${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}\mid x=0\}}$يُعدّ مثالاً رئيسياً لأنه يمكن كتابته على النحو التالي${\displaystyle \langle x\rangle }$(مجموعة كثيرات الحدود القابلة للقسمة على${\displaystyle x}$).
• في نفس الحلقة${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$، المثالي${\displaystyle \langle x,y\rangle }$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$ليس رئيسياً. (المثالي )${\displaystyle \langle x,y\rangle }$هي مجموعة جميع كثيرات الحدود التي يكون حدها الثابت صفرًا . ولتوضيح ذلك، لنفترض وجود مولد${\displaystyle p}$ل${\displaystyle \langle x,y\rangle ,}$لذا${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle p\rangle .}$ثم${\displaystyle \langle p\rangle }$يحتوي على كليهما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y,}$لذا${\displaystyle p}$يجب تقسيم كليهما${\displaystyle x}$و${\displaystyle y.}$ثم${\displaystyle p}$يجب أن تكون كثيرة حدود ثابتة غير صفرية. وهذا تناقض لأن${\displaystyle p\in \langle p\rangle }$، لكنها متعددة الحدود الثابتة الوحيدة في${\displaystyle \langle x,y\rangle }$هي كثيرة الحدود الصفرية.
• في الحلبة${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]=\{a+b{\sqrt {-3}}:a,b\in \mathbb {Z} \},}$الأرقام حيث${\displaystyle a+b}$بل إنها تشكل مثالاً غير رئيسي. يشكل هذا المثال شبكة سداسية منتظمة في المستوى المركب. لنفترض${\displaystyle (a,b)=(2,0)}$و${\displaystyle (1,1).}$ هذه الأرقام هي عناصر من هذا المثال ولها نفس المعيار (اثنان)، ولكن لأن الوحدات الوحيدة في الحلقة هي${\displaystyle 1}$و${\displaystyle -1,}$إنهم ليسوا شركاء.

تُسمى الحلقة التي يكون فيها كل مثالي رئيسيًا حلقة مثالية رئيسية . ومجال المثالي الرئيسي (PID) هو مجال تكاملي يكون فيه كل مثالي رئيسيًا. أي مجال مثالي رئيسي هو مجال تحليل وحيد ؛ إذ ينطبق البرهان المعتاد للتحليل الوحيد في الأعداد الصحيحة (ما يُعرف بالنظرية الأساسية للحساب ) على أي مجال مثالي رئيسي.

على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {Z} }$هو مجال مثالي رئيسي، ويمكن إثبات ذلك على النحو التالي. لنفترض${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots \rangle }$أين${\displaystyle n_{1}\neq 0,}$ولننظر في التشاكلات الشاملة${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2}\rangle \rightarrow \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},n_{3}\rangle \rightarrow \cdots .}$منذ${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1}\rangle }$تكون محدودة، بالنسبة لقيم كبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle k}$لدينا${\displaystyle \mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle =\mathbb {Z} /\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k+1}\rangle =\cdots .}$هكذا${\displaystyle I=\langle n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\rangle ,}$وهذا يعني${\displaystyle I}$يتم توليدها دائمًا بشكل نهائي. لأن المثالي${\displaystyle \langle a,b\rangle }$يتم توليدها بواسطة أي أعداد صحيحة${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$هو بالضبط${\displaystyle \langle \mathop {\mathrm {gcd} } (a,b)\rangle ,}$بالاستقراء على عدد المولدات، يتبين أن${\displaystyle I}$هو المدير.

أي مجال إقليدي هو مجال مثالي رئيسي ؛ ويمكن استخدام الخوارزمية المستخدمة لحساب القواسم المشتركة الكبرى لإيجاد مولد أي مثالي. وبشكل أعم، فإن أي مثاليين رئيسيين في حلقة تبديلية لهما قاسم مشترك أكبر بمعنى ضرب المثاليين. في مجالات المثاليين الرئيسيين، يسمح لنا هذا بحساب القواسم المشتركة الكبرى لعناصر الحلقة، حتى الضرب في عنصر واحد ؛ ونُعرّف${\displaystyle \gcd(a,b)}$أن يكون أي مولد للمثالية${\displaystyle \langle a,b\rangle .}$

لنطاق ديديكيند${\displaystyle R,}$قد نسأل أيضًا، بالنظر إلى مثال غير رئيسي${\displaystyle I}$ل${\displaystyle R,}$ما إذا كان هناك أي امتداد${\displaystyle S}$ل${\displaystyle R}$بحيث يكون مثال${\displaystyle S}$تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle I}$هو رئيسي (بمعنى أوسع،${\displaystyle I}$يصبح مديرًا في${\displaystyle S}$). وقد نشأ هذا السؤال في سياق دراسة حلقات الأعداد الصحيحة الجبرية (وهي أمثلة على مجالات ديديكيند) في نظرية الأعداد ، وأدى إلى تطوير نظرية حقل الفئة بواسطة تايجي تاكاجي وإميل أرتين وديفيد هيلبرت وغيرهم الكثير.

تنص نظرية المثالي الرئيسي لنظرية حقل الفئات على أن كل حلقة أعداد صحيحة${\displaystyle R}$(أي حلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي معين ) موجودة في حلقة أعداد صحيحة أكبر${\displaystyle S}$والتي تتمتع بالخاصية التي تمثل كل مثال من أمثلة${\displaystyle R}$يصبح مثالاً رئيسياً لـ${\displaystyle S.}$في هذه النظرية يمكننا أن نأخذ${\displaystyle S}$أن تكون حلقة الأعداد الصحيحة لحقل فئة هيلبرت لـ${\displaystyle R}$أي، الامتداد الأبلي غير المتفرع الأقصى (أي امتداد غالوا الذي تكون زمرة غالوا الخاصة به أبيلية ) لحقل الكسور لـ${\displaystyle R,}$وهذا يتحدد بشكل فريد من خلال${\displaystyle R.}$

تنص نظرية كرول الرئيسية للمثالي على أنه إذا${\displaystyle R}$هي حلقة نوثرية و${\displaystyle I}$هو مبدأ أساسي ومثالي لـ${\displaystyle R,}$ثم${\displaystyle I}$يبلغ ارتفاعه واحدًا على الأكثر.

• شرط السلسلة الصاعدة للمُثُل الرئيسية

• غاليان، جوزيف أ. (2017). الجبر المجرد المعاصر (  الطبعة التاسعة). سينجايج ليرنينج. ISBN 978-1-305-65796-0.