متسلسلة الظل العكسي

في الرياضيات، متسلسلة الظل العكسي ، والتي تسمى تقليديًا متسلسلة غريغوري ، هي توسيع متسلسلة تايلور عند أصل دالة الظل العكسي : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \arctan x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.}$

تتقارب هذه السلسلة في القرص المركب${\displaystyle |x|\leq 1,}$باستثناء${\displaystyle x=\pm i}$(أين${\displaystyle \arctan \pm i=\infty }$).

اكتُشفت متسلسلة الظل العكسي لأول مرة في القرن الرابع عشر على يد عالم الرياضيات الهندي مادهافا من سانغاماغراما ( حوالي 1340 - حوالي  1425)، مؤسس مدرسة كيرالا ، ووُصفت في مؤلفات باقية لكل من نيلاكانثا سوماياجي (حوالي 1500) وجيشتاديفا (حوالي  1530). كانت أعمال مادهافا مجهولة في أوروبا، وأُعيد اكتشاف متسلسلة الظل العكسي بشكل مستقل من قِبل جيمس غريغوري عام 1671 وغوتفريد لايبنتز عام 1673. ^{[ 2 ]} في الأدبيات الحديثة، تُسمى متسلسلة الظل العكسي أحيانًا متسلسلة مادهافا-غريغوري تقديرًا لأسبقية مادهافا (انظر أيضًا متسلسلة مادهافا ). ^{[ 3 ]}

الحالة الخاصة لدالة الظل العكسي لـ${\displaystyle 1}$يُطلق عليها تقليديًا صيغة لايبنيز لـ π ، أو مؤخرًا تُسمى أحيانًا صيغة مادهافا-لايبنيز :

${\displaystyle {\frac {\pi} {4}}=\arctan 1=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots .}$

التقارب البطيء للغاية لسلسلة دالة الظل العكسي لـ${\displaystyle |x|\approx 1}$يجعل هذا الصيغة غير عملية في حد ذاتها. استخدم علماء الرياضيات في مدرسة كيرالا حدود تصحيح إضافية لتسريع التقارب. وقد عبّر جون ماشين (1706) عن${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}\pi }$كمجموع لظلال معكوسة ذات قيم أصغر، مما يؤدي في النهاية إلى مجموعة متنوعة من الصيغ الشبيهة بصيغة ماشين لـ${\displaystyle \pi }$⁠ . قام إسحاق نيوتن (1684) وعلماء رياضيات آخرون بتسريع تقارب السلسلة من خلال تحويلات مختلفة.

لو${\displaystyle y=\arctan x}$ثم${\displaystyle \tan y=x.}$المشتق هو

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec ^{2}y=1+\tan ^{2}y.}$

بأخذ المقلوب،

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}y}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}$

يُستخدم هذا أحيانًا كتعريف لدالة الظل العكسي:

${\displaystyle \arctan x=\int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}.}$

سلسلة ماكلورين لـ${\textstyle x\mapsto \arctan 'x=1{\big /}\left(1+x^{2}\right)}$هي سلسلة هندسية :

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{k}.}$

يمكن العثور على سلسلة ماكلورين لـ${\displaystyle \arctan }$عن طريق دمج المصطلحات بشكل ساذج:

$\begin{aligned}\int_{0}^{x}{\frac{du}{1+u^{2}}}&=\int_{0}^{x}\left(1-u^{2}+u^{4}-u^{6}+\cdots\right)du\\[5mu]&=x-{\frac{1}{3}}x^{3}+{\frac{1}{5}}x^{5}-{\frac{1}{7}}x^{7}+\cdots =\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.\end{aligned}}}$

مع أن هذا يثبت صحته، إلا أنه لا يمكن دائمًا تبديل التكاملات والمجاميع اللانهائية بهذه الطريقة. لإثبات أن التكامل على اليسار يتقارب مع المجموع على اليمين للأعداد الحقيقية${\displaystyle |x|\leq 1,}$${\displaystyle \arctan '}$ويمكن كتابتها بدلاً من ذلك على أنها المجموع المحدود ، ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-\cdots +{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{N}+{\frac {{\bigl (}{-x^{2}}{\bigr )}{}^{N+1}}{1+x^{2}}}.}$

مرة أخرى، دمج كلا الجانبين،

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {du}{1+u^{2}}}=\sum _{k=0}^{N}{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}+\int _{0}^{x}{\frac {{\bigl (}{-u^{2}}{\bigr) )}{}^{N+1}}{1+u^{2}}}\,du.}$

في الحد كما${\displaystyle N\to \infty ,}$يؤول التكامل الموجود على اليمين أعلاه إلى الصفر عندما${\displaystyle |x|\leq 1,}$لأن

$\displaystyle \begin{aligned}{\Biggl |}\int _{0}^{x}{\frac {{\bigl (}{-u^{2}}{\bigr )}{}^{N+1}}{1+u^{2}}}\,du\,{\Biggr |}\,&\leq \int _{0}^{1}{\frac {u^{2N+2}}{1+u^{2}}}\,du\\[5mu]&<\int _{0}^{1}u^{2N+2}du\,=\,{\frac {1}{2N+3}}\,\to \,0.\end{aligned}}}$

لذلك،

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}}.\end{aligned}}}$

سلسلة لـ${\textstyle \arctan '}$و${\displaystyle \arctan }$تتقارب داخل القرص المعقد${\displaystyle |x|<1}$حيث تكون كلتا الدالتين تحليليتين . وهما تتباعدان لـ${\displaystyle |x|>1}$لأنه عندما${\displaystyle x=\pm i}$يوجد عمود :

${\displaystyle {\frac {1}{1+i^{2}}}={\frac {1}{1-1}}={\frac {1}{0}}=\infty .}$

متى${\displaystyle x=\pm 1,}$المجاميع الجزئية${\textstyle \sum _{k=0}^{n}(-x^{2})^{k}}$التناوب بين القيم${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 1,}$لا تتقارب أبداً مع القيمة${\textstyle \arctan '(\pm 1)={\tfrac {1}{2}}.}$

ومع ذلك، فإن تكاملها حدًا بحد، سلسلة لـ${\textstyle \arctan ,}$يتقارب (بصعوبة) عندما${\displaystyle x=\pm 1,}$لأن${\displaystyle \arctan '}$لا يختلف مع مسلسله إلا عند هذه النقطة${\displaystyle \pm 1,}$لذا يمكن جعل الفرق في التكاملات صغيرًا بشكل تعسفي عن طريق أخذ عدد كافٍ من الحدود:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\int _{0}^{1}{\biggl (}{\frac {1}{1+u^{2}}}-\sum _{k=0}^{N}(-u^{2})^{k}{\biggr )}du=0}$

بسبب تقاربها البطيء للغاية (يتطلب الأمر خمسة مليارات حد للحصول على 10 أرقام عشرية صحيحة)، فإن صيغة لايبنيز ليست طريقة عملية فعالة للغاية للحساب${\textstyle {\tfrac {1}{4}}\pi .}$لقد كان إيجاد طرق للتغلب على هذا التقارب البطيء موضوعًا ذا أهمية رياضية كبيرة.

عجّل إسحاق نيوتن من تقارب متسلسلة دالة الظل العكسي في عام 1684 (في عمل غير منشور؛ اكتشف آخرون النتيجة بشكل مستقل، ثم شاع استخدامها لاحقًا بفضل كتاب ليونارد أويلر المدرسي عام 1755؛ كتب أويلر برهانين في عام 1779)، مما أدى إلى متسلسلة تتقارب لـ${\textstyle |x|<\infty ,}$^{[ 5 ]}$$\begin{aligned}\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \prod_{k=1}^{n}{\frac{2k}{2k+1}} \frac{x^2}{1+x^2}\\[10mu] = \frac{x}{1+x^2} + \frac{2}{3}}{\frac{x^3}{(1+x^2)\vphantom{l}}^2} + \frac{2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac{x^5}{(1+x^2)\vphantom{l}}^3} + \frac{2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}{\frac {x^{7}}{(1+x^{2}){\vphantom {l}}^{4}}}+\cdots \\[10mu]&=C(x)\left(S(x)+{\frac {2}{3}}S(x)^{3}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}S(x)^{5}+{\frac {2\cdot 4\cdot 6}{3\cdot 5\cdot 7}}S(x)^{7}+\cdots \right),\end{aligned}}}$$ أين${\textstyle {\vphantom {\Big |}}C(x)=1{\big /}\!{\sqrt {1+x^{2}}}={}}$${\displaystyle \cos(\arctan x)}$و${\textstyle {\vphantom {\Big |}}S(x)=x{\big /}\!{\sqrt {1+x^{2}}}={}}$${\textstyle \sin(\arctan x).}$

كل حد من حدود هذه المتسلسلة المعدلة هو دالة كسرية وأقطابها عند${\displaystyle x=\pm i}$في المستوى المركب ، نفس المكان الذي توجد فيه أقطاب دالة الظل العكسي. على النقيض من ذلك، فإن متعددة الحدود مثل متسلسلة تايلور لدالة الظل العكسي تجبر جميع أقطابها على أن تكون في اللانهاية.

يمكن تبسيط صيغة أويلر المذكورة أعلاه والتعبير عنها على النحو التالي ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.}$$

تُعطى متسلسلة الظل العكسي الأخرى ذات التقارب السريع بواسطة ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan(z)&=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}{\frac {g_{n}(z)}{g_{n}^{2}(z)+h_{n}^{2}(z)}}\\g_{n}(x)&=g_{n-1}(x)\left(1-{\frac {4}{x^{2}}}\right)+{\frac {4}{x}}h_{n-1}(x)\\g_{1}(x)&={\frac {2}{x}}\\h_{n}(x)&=h_{n-1}(x)\left(1-{\frac {4}{x^{2}}}\right)-{\frac {4}{x}}g_{n-1}(x)\\h_{1}(x)&=1\\\end{aligned}}}$$

أول شخص يمكن نسب هذه السلسلة إليه بثقة هو مادهافا من سانغاماغراما (حوالي 1340 - حوالي 1425). فُقد المرجع الأصلي (كما هو الحال مع معظم أعمال مادهافا)، لكن يُنسب إليه الفضل في الاكتشاف من قِبل العديد من خلفائه في مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات التي أسسها. توجد إشارات محددة إلى السلسلة لـ${\displaystyle \arctan }$تشمل Nīlakaṇṭha Somayāji 's Tantrasaṅgraha (ج. 1500)، ^{[ 8 ] [ 9 ]} Jyeṣṭhadeva يوكتيبهاسا (ج. 1530)، [ ^{10 ] وتعليق} يوكتي ديبيكا بقلم سانكارا فاريار ، حيث ورد في الآيات 2.206 - 2.209. ^{[ 11 ]}

• قائمة المتسلسلات الرياضية
• سلسلة مادهافا

• بيرجرين، لينارت؛ الأماكن القريبة : بوروين، بيتر ، محرران. (2004). باي: كتاب مصدر (  الطبعة الثالثة). سبرينغر. دوى : 10.1007/978-1-4757-4217-6 . رقم ISBN 978-1-4419-1915-1.
• غوبتا، رادها شاران (1973). "متسلسلة مادهافا-غريغوري". تعليم الرياضيات . 7 : B67– B70.
• غوبتا، رادها شاران (1987). "إنجازات جنوب الهند في الرياضيات في العصور الوسطى". غانيتا بهاراتي . 9 ( 1-4 ): 15-40 .امتداد لمحاضرة أُلقيت في جامعة جودبور. أُعيد نشرها في: راماسوبرامانيان، ك. (محرر). (2019). غانيتاناندا: مختارات من أعمال رادها شاران غوبتا في تاريخ الرياضيات . سبرينغر. الصفحات 417-442 . doi : 10.1007/978-981-13-1229-8_40 . 
• هورفاث، ميكلوس (1983). "على التربيع اللايبنيزي للدائرة" (PDF) . Annales Universitatis Scientiarum Budapestiensis (Sectio Computatorica) . 4 : 75 - 83.
• روي، رانجان (1990). "اكتشاف صيغة المتسلسلة لـ π بواسطة لايبنتز، غريغوري، ونيلكانثا" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات . 63 (5): 291-306 . doi : 10.1080/0025570X.1990.11977541 .