نظرية غروشكو

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 74 صور
الموسوعة الحرة

في مجال نظرية الزمر الرياضية ، تُعرف نظرية غروشكو أو نظرية غروشكو-نيومان بأنها نظرية تنص على أن رتبة (أي أصغر عدد عناصر المجموعة المولدة ) حاصل الضرب الحر لزمرتين تساوي مجموع رتبتي العاملين الحرين. وقد تم التوصل إلى هذه النظرية لأول مرة في مقالة غروشكو عام 1940 [ 1 ] ، ثم بشكل مستقل في مقالة نيومان عام 1943 [ 2 ] .

بيان النظرية

لتكن A و B مجموعتين مولدتين منتهيتين، وليكن A ∗ B هو حاصل الضرب الحر لـ A و B. عندئذٍ

rank( A ∗ B ) = rank( A ) + rank( B ).

من الواضح أن رتبة ( A * B ) ≤ رتبة ( A ) + رتبة ( B )، لأنه إذا كانت X مجموعة مولدة منتهية لـ A و Y مجموعة مولدة منتهية لـ B، فإن X ∪ Y مجموعة مولدة لـ A * B، وبالتالي فإن | X ∪ Y | ≤ | X | + | Y |. أما المتباينة المعاكسة، رتبة ( A * B ) ≥ رتبة ( A ) + رتبة ( B )، فتحتاج إلى برهان.

أثبت غروشكو، وليس نيومان، صيغةً أكثر دقةً لنظرية غروشكو باستخدام تكافؤ نيلسن . تنص هذه النظرية على أنه إذا كان M = ( g1 , g2 , ... , gn ) عبارة عن مجموعة من n عنصرًا من G = A ∗ B بحيث يُولّد M المجموعة G ، فإن M يكون مكافئًا نيلسنيًا في G لمجموعة من n عنصرًا من الشكل التالي :

M' = ( a1, ..., ak, b1, ..., bn − k) حيث {a1, ..., ak } ⊆ A هي مجموعة مولدة للمجموعة A ، و { b1 , ... , bn − k } ⊆ B هي مجموعة مولدة للمجموعة B. وبالتحديد ، رتبة A ≤ k ، ورتبة B ≤ n − k، ومجموع رتبتي A و B ≤ k + ( n − k ) = n . إذا اعتبرنا M هي المجموعة المولدة الدنيا للمجموعة G ، أي عندما n = رتبة G ، فإن هذا يعني أن مجموع رتبتي A و B ≤ رتبة G. وبما أن المتباينة المعاكسة، rank( G ) ≤ rank( A ) + rank( B )، واضحة، فإنه يترتب على ذلك أن rank( G )=rank( A ) + rank( B )، كما هو مطلوب.      

التاريخ والتعميمات

بعد البراهين الأصلية لغروشكو (1940) ونيومان (1943)، ظهرت العديد من البراهين البديلة والتبسيطات والتعميمات اللاحقة لنظرية غروشكو. وقد وردت نسخة قريبة من برهان غروشكو الأصلي في كتاب كوروش الصادر عام 1955. [ 3 ]

على غرار البراهين الأصلية، اعتمد برهان ليندون (1965) [ 4 ] على اعتبارات دوال الطول، ولكن مع تبسيطات جوهرية. وقدّمت ورقة بحثية لستالينغز عام 1965 [ 5 ] برهانًا طوبولوجيًا مبسطًا للغاية لنظرية غروشكو.

قدّم زيسشانغ في بحثه المنشور عام 1970 [ 6 ] صيغةً مكافئةً لنظرية غروشكو (المذكورة أعلاه) وفقًا لنظرية نيلسن ، كما قدّم بعض التعميمات لهذه النظرية فيما يخصّ المنتجات الحرة المدمجة . وقدّم سكوت (1974) برهانًا طوبولوجيًا آخر لنظرية غروشكو، مستوحيًا من أساليب طوبولوجيا الفضاءات ثلاثية الأبعاد [ 7 ]. وقدّم إمريش (1984) [ 8 ] صيغةً لنظرية غروشكو للمنتجات الحرة ذات عدد لا نهائي من العوامل.

قدمت ورقة بحثية لتشيسويل عام 1976 [ 9 ] برهانًا مباشرًا نسبيًا لنظرية غروشكو، مستوحى من برهان ستالينغز عام 1965، والذي استخدم تقنيات نظرية باس-سير . وقد ألهم هذا البرهان بشكل مباشر آليات طي تأثيرات المجموعات على الأشجار ورسوم بيانية المجموعات ، بالإضافة إلى برهان ديكس الأكثر مباشرة لنظرية غروشكو (انظر، على سبيل المثال، [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] ).

تُعدّ نظرية غروشكو، بمعنى ما، نقطة انطلاق في نظرية دنوودي حول إمكانية الوصول للمجموعات المولدة والمُقدّمة نهائيًا . بما أن رتب العوامل الحرة أصغر من رتبة الضرب الحر، فإن نظرية غروشكو تُشير إلى أن عملية التقسيم المتكرر لمجموعة مولدة نهائيًا G كضرب حر يجب أن تنتهي في عدد محدود من الخطوات (بشكل أدق، في عدد لا يتجاوز رتبة( G ) من الخطوات). يوجد سؤال مماثل طبيعي لتقسيم المجموعات المولدة نهائيًا على مجموعات جزئية منتهية. أثبت دنوودي أن هذه العملية يجب أن تنتهي دائمًا إذا كانت المجموعة G مُقدّمة نهائيًا [ 13 ]، ولكنها قد تستمر إلى ما لا نهاية إذا كانت G مولدة نهائيًا ولكنها غير مُقدّمة نهائيًا [ 14 ] .

قدّم هيغنز (1966) برهانًا جبريًا لتعميم جوهري لنظرية غروشكو باستخدام أدوات الزمر الجزئية . [ 15 ] تبدأ نظرية هيغنز بالزمرتين G و B مع تفكيكات حرة G = ∗ i Gᵢ و B = ∗ i Bᵢ ، ودالة f : G → B تشاكل بحيث f ( Gᵢ ) = Bᵢ لكل i . ولتكن H زمرة جزئية من G بحيث f ( H ) = Bᵢ . عندئذٍ، تمتلك H تفكيكًا H = ∗ i Hᵢ بحيث f ( Hᵢ ) = Bᵢ لكل i . يمكن الاطلاع على التفاصيل الكاملة للبرهان والتطبيقات في [ 10 ] و [ 16 ] . 

نظرية غروشيكو للتحليل

من النتائج المفيدة لنظرية غروشكو الأصلية ما يُسمى بنظرية تفكيك غروشكو. وتنص هذه النظرية على أنه يمكن تفكيك أي زمرة G غير تافهة ومولدة نهائيًا إلى جداء حر.

G = A 1 ∗ A 2 ∗...∗ A r ∗ F s ، حيث s ≥ 0، r ≥ 0،

حيث تكون كل مجموعة من المجموعات A i غير تافهة، وغير قابلة للتحليل الحر (أي لا يمكن تحليلها كحاصل ضرب حر) وليست دورية لانهائية، وحيث F s هي مجموعة حرة من الرتبة s ؛ علاوة على ذلك، بالنسبة لمجموعة G معينة ، فإن المجموعات A 1 ، ... ، A r فريدة حتى تبديل فئات الاقتران الخاصة بها في G (وعلى وجه الخصوص، يكون تسلسل أنواع التشاكل لهذه المجموعات فريدًا حتى تبديل) والأعداد s و r فريدة أيضًا.

وبشكل أكثر دقة، إذا كان G = B 1 ∗...∗ B k ∗ F t هو تحليل آخر من هذا القبيل، فإن k = r و s = t ، ويوجد تبديل σ∈ S r بحيث يكون لكل i =1،...، r، تكون المجموعات الفرعية A i و B σ ( i ) مترافقة في G.

إن وجود التفكيك المذكور أعلاه، والذي يسمى تفكيك غروشكو لـ G ، هو نتيجة مباشرة لنظرية غروشكو الأصلية، في حين أن بيان التفرد يتطلب حججًا إضافية (انظر، على سبيل المثال [ 17 ] ).

يُعدّ حساب تحليل غروشكو خوارزميًا لفئات محددة من الزمر مسألةً معقدة، تتطلب أساسًا القدرة على تحديد ما إذا كانت زمرة معينة قابلة للتحليل الحر. وقد توفرت نتائج إيجابية لبعض فئات الزمر، مثل الزمر الزائدية الخالية من الالتواء ، وفئات معينة من الزمر الزائدية النسبية ، [ 18 ] والزمر الأساسية للرسوم البيانية المنتهية للزمر الحرة المولدة نهائيًا [ 19 ] وغيرها.

تُعدّ نظرية غروكو للتحليل نظيراً لنظرية كنيسر للتحليل الأولي للمتشعبات ثلاثية الأبعاد، والتي تنص على أنه يمكن تحليل متشعب ثلاثي الأبعاد مغلق بشكل فريد كمجموع متصل لمتشعبات ثلاثية الأبعاد غير قابلة للاختزال. [ 20 ]

رسم تخطيطي للبرهان باستخدام نظرية باس-سير

فيما يلي رسم تخطيطي لإثبات نظرية غروشكو استنادًا إلى استخدام تقنيات الطي للمجموعات التي تعمل على الأشجار (انظر [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] للحصول على البراهين الكاملة باستخدام هذه الحجة).

لتكن S = { g1 , ..., gn } مجموعة مولدة منتهية للرسم البياني G = A ∗ B بحجم | S | = n = رتبة( G ). لنفترض أن G هي المجموعة الأساسية للرسم البياني Y، وهو عبارة عن حافة واحدة غير حلقية ذات مجموعتي رؤوس A و B ، ومجموعة حواف تافهة.Y~{\displaystyle {\tilde {\mathbf {Y} }}}ليكن G شجرة التغطية باس-سير لـ Y. ولتكن F = F ( x₁ , ..., xₙ ) الزمرة الحرة ذات الأساس الحر x₁ , ..., xₙ ، وليكن φ₀ : F → G التشاكل الذي يحقق φ₀ ( xi ) = gi لكل i = 1, ..., n . لنعتبر F الزمرة الأساسية للرسم البياني Z₀ ، وهو إسفين مكون من n دائرة تُقابل العناصر x₁ , ..., xₙ . كما نعتبر Z₀ رسمًا بيانيًا للزمر ، مع الرسم البياني الأساسي Z₀ وزمر الرؤوس والحواف التافهة. عندئذٍ، يكون الغطاء الشاملZ~0{\displaystyle {\tilde {Z}}_{0}}تتطابق شجرة التغطية باس-سير لـ Z0 مع شجرة التغطية Z0 . لنفترض وجود خريطة متغيرة مكافئة لـ φ0 .ر0:Z~0→Y~{\displaystyle r_{0}:{\tilde {Z}}_{0}\to {\tilde {\mathbf {Y} }}}بحيث تُرسل الرؤوس إلى الرؤوس والحواف إلى مسارات الحواف. هذه الخريطة غير أحادية، وبما أن كلاً من مصدر الخريطة وهدفها عبارة عن أشجار، فإن هذه الخريطة " تطوي" بعض أزواج الحواف في المصدر. يُستخدم الرسم البياني للمجموعات Z₀ كتقريب أولي لـ Y.

نبدأ الآن بتنفيذ سلسلة من "حركات الطي" على Z₀ (وعلى شجرة التغطية الخاصة بها من نوع باس-سير) لإنشاء سلسلة من الرسوم البيانية للمجموعات Z₀، Z₁، Z₂ ، ... ، التي تُشكّل تقريبات أفضل فأفضل لـ Y. كل رسم بياني من رسوم المجموعات Zₖ له مجموعات حواف تافهة ويأتي مع البنية الإضافية التالية: لكل مجموعة رؤوس غير تافهة فيه، يتم تعيين مجموعة مولدة منتهية لتلك المجموعة. تعقيد c ( Zₖ ) لـ Zₖ هو مجموع أحجام المجموعات المولدة لمجموعات رؤوسه ورتبة المجموعة الحرة π₁ ( Zₖ ) . بالنسبة لرسم التقريب الأولي ، لدينا c ( Z₀ ) = n .

يمكن أن تكون حركات الطي التي تنقل Z j إلى Z j +1 من نوعين:

  • الطيات التي تحدد حافتين من الرسم البياني الأساسي لهما رأس ابتدائي مشترك ولكن رؤوس نهاية متميزة في حافة واحدة؛ عند إجراء مثل هذه الطية، يتم "ضم" مجموعات التوليد لمجموعات الرؤوس والحواف الطرفية معًا في مجموعة توليد لمجموعة الرؤوس الجديدة؛ لا تتغير رتبة المجموعة الأساسية للرسم البياني الأساسي في ظل هذه الحركة.
  • الطيات التي تحدد حافتين، كانتا تحتويان بالفعل على رؤوس أولية مشتركة ورؤوس نهائية مشتركة، في حافة واحدة؛ مثل هذه الحركة تقلل من رتبة المجموعة الأساسية للرسم البياني الأساسي بمقدار 1 ويتم "إضافة" عنصر يتوافق مع الحلقة في الرسم البياني الذي يتم طيه إلى المجموعة المولدة لإحدى مجموعات الرؤوس.

يتضح أن عمليات الطي لا تزيد من التعقيد، بل تقلل من عدد الحواف في Zj . لذا، يجب أن تنتهي عملية الطي في عدد محدود من الخطوات برسم بياني للمجموعات Zk لا يمكن طيه أكثر. ويترتب على اعتبارات نظرية باس-سير الأساسية أن Zk يجب أن تكون في الواقع مساوية لحافة المجموعات Y ، وأن Zk مزودة بمجموعات توليد محدودة لمجموعات الرؤوس A و B. مجموع أحجام مجموعات التوليد هذه هو تعقيد Zk ، وهو بالتالي أقل من أو يساوي c ( Z0 ) = n . وهذا يعني أن مجموع رتب مجموعات الرؤوس A و B لا يتجاوز n ، أي rank( A ) + rank( B ) ≤ rank( G ) ، كما هو مطلوب.

رسم تخطيطي لبرهان ستالينغ

يتبع برهان ستالينغز لنظرية غروشكو من اللمة التالية.

اللمة

ليكن F زمرة حرة مولدة نهائيًا، ولها n مولدًا. ولتكن G1 و G2 زمرتين معروضتين نهائيًا . لنفترض وجود تشاكل شاملϕ:F→جي1*جي2{\displaystyle \phi :F\rightarrow G_{1}\ast G_{2}}ثم توجد مجموعتان جزئيتان F1 و F2 من F بحيثϕ(F1)=جي1{\displaystyle \phi (F_{1})=G_{1}}وϕ(F2)=جي2{\displaystyle \phi (F_{2})=G_{2}}بحيثF=F1*F2.{\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}.}

البرهان: نقدم البرهان بافتراض أن F ليس لها مولد يتم تعيينه إلى عنصر محايد لـجي1*جي2{\displaystyle G_{1}\ast G_{2}}لأنه إذا وُجدت مثل هذه المولدات، فيمكن إضافتها إلى أي منF1{\displaystyle F_{1}}أوF2{\displaystyle F_{2}}.

تُستخدم النتائج العامة التالية في البرهان.

1. يوجد مركب CW أحادي أو ثنائي الأبعاد ، Z مع المجموعة الأساسية F. وبحسب نظرية فان كامبن ، فإن إسفين n دائرة هو أحد هذه الفضاءات.

2. يوجد مركبانX=X1∪X2{\displaystyle X=X_{1}\cup X_{2}}أين{ص}=X1∩X2{\displaystyle \{p\}=X_{1}\cap X_{2}}هي نقطة على خلية واحدة من X بحيث يكون X1 و X2 مركبين لهما مجموعتان أساسيتان G1 و G2 على التوالي . لاحظ أنه وفقًا لنظرية فان كامبن، فإن هذا يعني أن المجموعة الأساسية لـ X هيجي1*جي2{\displaystyle G_{1}\ast G_{2}}.

3. توجد خريطةو:Z→X{\displaystyle f:Z\rightarrow X}بحيث تكون الخريطة المستحثةو*{\displaystyle f_{\ast }}فيما يتعلق بالمجموعات الأساسية، يكون الأمر مماثلاً لـϕ{\displaystyle \phi }

ولأغراض التبسيط، دعونا نرمز إلىو-1(X1)=:Z1{\displaystyle f^{-1}(X_{1})=:Z_{1}}و و-1(X2)=:Z2{\displaystyle f^{-1}(X_{2})=:Z_{2}}بما أنه لا يوجد مولد لـ F يُطابق عنصرًا محايدًا، فإن المجموعةZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}لا يحتوي على حلقات، لأنه إذا كان يحتوي عليها، فستتوافق هذه الحلقات مع دوائر Z التي تُسقط علىص∈X{\displaystyle p\in X}والتي بدورها تتوافق مع مولدات F التي تؤدي إلى عنصر الوحدة. لذا، فإن مكوناتZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}قابلة للتعاقد. في حالةZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}إذا كان للمعادلتين مكون واحد فقط، فبحسب نظرية فان كامبن، نكون قد انتهينا، كما في تلك الحالة  :F=Π1(Z1)*Π1(Z2){\displaystyle F=\Pi _{1}(Z_{1})\ast \Pi _{1}(Z_{2})}.

ويتبع البرهان العام عن طريق اختزال Z إلى فضاء مكافئ طوبولوجيًا له، ولكن بمكونات أقل فيZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}وبالتالي عن طريق الاستقراء على مكوناتZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}.

يتم تحقيق هذا التخفيض في Z عن طريق ربط الأقراص على طول روابط الربط.

نسميها خريطةγ:[0،1]→Z{\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z} رابطة ملزمة إذا استوفت الخصائص التالية

1. إنه أحادي اللون أيγ([0،1])⊆Z1{\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_{1}}أوγ([0،1])⊆Z2{\displaystyle \gamma ([0,1])\subseteq Z_{2}}

2. إنها تعادل ، أيγ(0){\displaystyle \gamma (0)}وγ(1){\displaystyle \gamma (1)}تكمن في مكونات مختلفة منZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}.

3. إنه لاغٍ ، أيو∘γ([0،1]){\displaystyle f\circ \gamma ([0,1])}متماثل صفري في X.

لنفترض أن مثل هذا الرابط الملزم موجود.γ{\displaystyle \gamma }كن الرابطة الجامعة.

انظر إلى الخريطةز:[0،1]→د2{\displaystyle g:[0,1]\rightarrow D^{2}}مقدم منز(ت)=هـأنات{\displaystyle g(t)=e^{it}}هذه الخريطة هي تماثل شكلي على صورتها. حدد الفضاءZ′{\displaystyle Z'}مثل

Z′=Z∐د2/∼{\displaystyle Z'=Z\coprod \!D^{2}/\!\sim }أين  :x∼y إذا{x=y، أو x=γ(ت) و y=ز(ت) بالنسبة للبعض ت∈[0،1] أو x=ز(ت) و y=γ(ت) بالنسبة للبعض ت∈[0،1]{\displaystyle x\!\!\sim y{\text{ iff}}{\begin{cases}x=y,{\mbox{ or }}\\x=\gamma (t){\text{ and }}y=g(t){\text{ for some }}t\in [0,1]{\mbox{ or }}\\x=g(t){\text{ and }}y=\gamma (t){\text{ for some }}t\in [0,1]\end{cases}}}

لاحظ أن تشوه الفضاء Z' ينكمش إلى Z. نقوم أولاً بتمديد f إلى دالة."و":Z∐∂د2/∼{\displaystyle ''f'':Z\coprod \partial D^{2}/\!\sim }مثل

و"(x)={و(x)، x∈Zص خلاف ذلك.{\displaystyle f''(x)={\begin{cases}f(x),\ x\in Z\\p{\text{ خلاف ذلك.}}\end{cases}}}

منذو(γ){\displaystyle f(\gamma )}متماثل صفري،و"{\displaystyle f''}ويمتد ذلك أيضاً إلى داخل القرص، وبالتالي، إلىZ′{\displaystyle Z'}. يتركZأنا′=و′-1(Xأنا){\displaystyle Z_{i}'=f'^{-1}(X_{i})}i = 1,2 . كماγ(0){\displaystyle \gamma (0)}وγ(1){\displaystyle \gamma (1)}تكمن في مكونات مختلفة منZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}،Z1′∩Z2′{\displaystyle Z_{1}'\cap Z_{2}'}يحتوي على مكون واحد أقل منZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}.

بناء رباط محكم

يتم بناء الرباط المحكم على مرحلتين.

الخطوة 1: إنشاء تعادل صفري :

تخيل خريطةγ′:[0،1]→Z{\displaystyle \gamma ':[0,1]\rightarrow Z}معγ′(0){\displaystyle \gamma '(0)}وγ′(1){\displaystyle \gamma '(1)}في مكونات مختلفة منZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}. منذو*{\displaystyle f_{\ast }}إذا كانت شاملة، فستوجد حلقةλ{\displaystyle \!\lambda }بناءً على γ'(1) بحيثو(γ′){\displaystyle \!f(\gamma ')}و و(λ){\displaystyle \!f(\lambda )}متكافئة طوبولوجيًا في X. إذا عرّفنا منحنىγ:[0،1]→Z{\displaystyle \gamma :[0,1]\rightarrow Z} asγ(ت)=γ′*λ(ت){\displaystyle \gamma (t)=\gamma '\ast \lambda (t)}للجميعت∈[0،1]{\displaystyle t\in [0,1]}، ثمγ{\displaystyle \!\gamma }التعادل لاغٍ.

الخطوة الثانية: جعل الرابطة الصفرية أحادية اللون :

ربطة العنقγ{\displaystyle \!\gamma }يمكن كتابتها على النحو التاليγ1*γ2*⋯*γم{\displaystyle \gamma _{1}\ast \gamma _{2}\ast \cdots \ast \gamma _{m}}حيث كلγأنا{\displaystyle \gamma _{i}}هو منحنى فيZ1{\displaystyle Z_{1}}أوZ2{\displaystyle Z_{2}}بحيث إذاγأنا{\displaystyle \gamma _{i}}هو فيZ1{\displaystyle Z_{1}}، ثمγأنا+1{\displaystyle \gamma _{i+1}}هو فيZ2{\displaystyle Z_{2}}والعكس صحيح. وهذا يعني أيضاً أنو(γأنا){\displaystyle f(\gamma _{i})}هي حلقة تكرارية تبدأ من النقطة p في X. لذا،

[هـ]=[و(γ)]=[و(γ1)]*⋯*[و(γم)]{\displaystyle [e]=[f(\gamma )]=[f(\gamma _{1})]\ast \cdots \ast [f(\gamma _{m})]}

لذلك،[و(γج)]=[هـ]{\displaystyle [f(\gamma _{j})]=[e]}لبعض قيم j . إذا كان هذا γج{\displaystyle \!\gamma _{j}}إذا كانت النتيجة تعادلًا، فسنحصل على تعادل أحادي اللون، أي تعادل لاغٍ.γج{\displaystyle \!\gamma _{j}}إذا لم تكن النتيجة تعادلًا، فإن نقاط نهايةγج{\displaystyle \!\gamma _{j}}تقع في نفس مكونZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}في هذه الحالة، نستبدلγج{\displaystyle \!\gamma _{j}}عن طريق فيZ1∩Z2{\displaystyle Z_{1}\cap Z_{2}}، يقولγج′{\displaystyle \!\gamma _{j}'}يمكن إضافة هذا المسار إلىγج-1{\displaystyle \!\gamma _{j-1}}ونحصل على تعادل صفري جديد

γ"=γ1*⋯*γج-1′*γج+1⋯γم{\displaystyle \gamma ''=\gamma _{1}\ast \cdots \ast \gamma _{j-1}'\ast \gamma _{j+1}\cdots \gamma _{m}}، أينγج-1′=γج-1*γج′{\displaystyle \!\gamma _{j-1}'=\gamma _{j-1}\ast \gamma _{j}'}.

وبالتالي، من خلال الاستقراء على m ، نثبت وجود رابطة ملزمة.

برهان نظرية غروشكو

لنفترض أنجي=أ*ب{\displaystyle G=A*B}يتم إنشاؤه بواسطة{ز1،ز2،...،زن}{\displaystyle \{g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\}}. يتركF{\displaystyle F}كن المجموعة المجانية معن{\displaystyle n}-المولدات، أي{و1،و2،...،ون}{\displaystyle \{f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n}\}}. لننظر في التشاكلح:F→جي{\displaystyle h:F\rightarrow G}مقدم منح(وأنا)=زأنا{\displaystyle h(f_{i})=g_{i}}، أينأنا=1،...،ن{\displaystyle i=1,\ldots ,n}.

بحسب اللمة، توجد مجموعات حرةF1{\displaystyle F_{1}}وF2{\displaystyle F_{2}}معF=F1*F2{\displaystyle F=F_{1}\ast F_{2}}بحيثح(F1)=أ{\displaystyle h(F_{1})=A}وح(F2)=ب{\displaystyle h(F_{2})=B}. لذلك،رتبة (أ)≤رتبة (F1){\displaystyle {\text{Rank }}(A)\leq {\text{Rank }}(F_{1})}ورتبة (ب)≤رتبة (F2){\displaystyle {\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{2})}. لذلك،رتبة (أ)+رتبة (ب)≤رتبة (F1)+رتبة (F2)=رتبة (F)=رتبة (أ*ب).{\displaystyle {\text{Rank }}(A)+{\text{Rank }}(B)\leq {\text{Rank }}(F_{1})+{\text{Rank }}(F_{2})={\text{Rank }}(F)={\text{Rank }}(A\ast B).}

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ IA Grushko، حول أسس المنتج الحر للمجموعات ، Matematicheskii Sbornik، المجلد 8 (1940)، ص 169 – 182.
  2. ↑ بي إتش نيومان. حول عدد مولدات المنتج الحر. مجلة جمعية لندن الرياضية، المجلد 18، (1943)، الصفحات 12-20 .
  3. ↑ أ. ج. كوروش، نظرية الزمر. المجلد الأول. ترجمة وتحرير ك. أ. هيرش. دار تشيلسي للنشر، نيويورك، نيويورك، 1955
  4. ↑ روجر سي. ليندون ، "نظرية غروشكو". وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، المجلد 16 (1965)، الصفحات 822-826 .
  5. ↑ جون ر. ستالينغز. "برهان طوبولوجي لنظرية غروشكو حول المنتجات الحرة." مجلة الرياضيات ، المجلد 90 (1965)، الصفحات 1-8 .
  6. ^ هاينر زيشانج . "Über die Nielsensche Kürzungsmethode in freien Produkten mit Amalgam." اختراعات الرياضيات ، المجلد. 10 (1970)، الصفحات من 4 إلى 37
  7. ↑ سكوت، بيتر . مقدمة في الفضاءات ثلاثية الأبعاد. قسم الرياضيات، جامعة ميريلاند، مذكرة محاضرة، رقم 11. قسم الرياضيات، جامعة ميريلاند، كوليدج بارك، ميريلاند، 1974
  8. ^ ويلفريد إمريش “نظرية جروشكو”. أرشيف دير Mathematik (بازل)، المجلد. 43 (1984)، لا. 5، ص 385-387
  9. ^ آي إم تشيزويل، نظرية جروشكو-نيومان. بروك. لندن الرياضيات. شركة نفط الجنوب. (3) 33 (1976)، رقم. 3، 385-400.
  10. 1 2 3 وارن ديكس. المجموعات والأشجار والوحدات الإسقاطية. سلسلة محاضرات في الرياضيات 790، سبرينغر، 1980
  11. 1 2 جون ر. ستالينغز. "طيات أشجار G". نظرية الزمر الشجرية (بيركلي، كاليفورنيا، 1988)، ص 355-368 ، منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية، 19. سبرينغر، نيويورك، 1991؛ ISBN 0-387-97518-7
  12. 1 2 إيليا كابوفيتش ،ريتشارد وايدمان، وأليكسي مياسنيكوف. الطيات، ورسوم بيانية للمجموعات، ومسألة العضوية. المجلة الدولية للجبر والحساب، المجلد 15 (2005)، العدد 1، الصفحات 95-128
  13. ↑ مارتن ج. دانوودي. "إمكانية الوصول إلى المجموعات المعروضة بشكل محدود." Inventiones Mathematicae ، المجلد 81 (1985)، العدد 3، الصفحات 449-457
  14. ↑ مارتن ج. دانوودي. "مجموعة غير قابلة للوصول". نظرية المجموعات الهندسية ، المجلد 1 (ساسكس، 1991)، الصفحات 75-78 ، سلسلة محاضرات الجمعية الرياضية بلندن، 181، مطبعة جامعة كامبريدج، كامبريدج، 1993. ISBN 0-521-43529-3
  15. ↑ بي جيه هيغينز. "نظرية غروشكو". مجلة الجبر ، المجلد 4 (1966)، الصفحات 365-372
  16. ↑ هيغينز، فيليب جيه، ملاحظات حول الفئات والمجموعات الجزئية. دراسات فان نوستراند رينهولد الرياضية، رقم 32. شركة فان نوستراند رينهولد، لندن-نيويورك-ملبورن، 1971. أعيد طبعه بعنوان نظرية وتطبيقات الفئات، إعادة طبع رقم 7، 2005.
  17. ↑ جون ستالينغز. تماسك المجموعات الأساسية ثلاثية الأبعاد. مؤرشف في 2011-06-05 في Wayback Machine. ندوة بورباكي، 18 (1975-1976)، العرض رقم 481.
  18. ↑ فرانسوا دهماني ودانيال غروفز. "الكشف عن الانقسامات الحرة في الزمر الزائدية النسبية". معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . نُشر على الإنترنت في 21 يوليو 2008.
  19. ↑ غو-آن دياو ومارك فيغن.ذات الرتبة المحدودة: خوارزمية". الهندسة والطوبولوجيا . المجلد 9 (2005)، الصفحات 1835-1880
  20. ^ H. Kneser ، Geschlossene Flächen in drei Dimensionen Mannigfaltigkeiten. ياهريسبر. الألمانية. الرياضيات. فيرين، المجلد. 38 (1929)، الصفحات من 248 إلى 260