جون ر. ستالينغز

كان جون روبرت ستالينغز الابن (22 يوليو 1935 - 24 نوفمبر 2008) عالم رياضيات اشتهر بإسهاماته الرائدة في نظرية الزمر الهندسية وطوبولوجيا الفضاءات ثلاثية الأبعاد . شغل ستالينغز منصب أستاذ فخري في قسم الرياضيات بجامعة كاليفورنيا في بيركلي ^{[ 1 ]} ، حيث كان عضوًا في هيئة التدريس منذ عام 1967. ^{[ 1 ]} نشر أكثر من 50 بحثًا، معظمها في مجالات نظرية الزمر الهندسية وطوبولوجيا الفضاءات ثلاثية الأبعاد . من أهم إسهامات ستالينغز برهانه، في بحث نُشر عام 1960، على حدس بوانكاريه في أبعاد أكبر من ستة، وبرهانه، في بحث نُشر عام 1971، على نظرية ستالينغز حول نهايات الزمر .

وُلد جون ستالينجز في 22 يوليو 1935 في موريلتون، أركنساس . ^{[ 1 ]}

حصل ستالينغز على درجة البكالوريوس من جامعة أركنساس عام 1956 (حيث كان أحد أول خريجين في برنامج الشرف بالجامعة) ^{[ 2 ]} وحصل على درجة الدكتوراه في الرياضيات من جامعة برينستون عام 1959 تحت إشراف رالف فوكس . ^{[ 1 ]}

بعد حصوله على درجة الدكتوراه، شغل ستالينغز عدداً من المناصب الأكاديمية وما بعد الدكتوراه، بما في ذلك زمالة ما بعد الدكتوراه من المؤسسة الوطنية للعلوم في جامعة أكسفورد ، بالإضافة إلى عمله كمدرس وعضو هيئة تدريس في جامعة برينستون. انضم ستالينغز إلى جامعة كاليفورنيا في بيركلي كعضو هيئة تدريس عام 1967، حيث بقي حتى تقاعده عام 1994. ^{[ 1 ]} وحتى بعد تقاعده، استمر ستالينغز في الإشراف على طلاب الدراسات العليا في جامعة كاليفورنيا في بيركلي حتى عام 2005. ^{[ 3 ]} كان ستالينغز زميلاً باحثاً في مؤسسة ألفريد ب. سلون من عام 1962 إلى عام 1965، وزميلاً في معهد ميلر من عام 1972 إلى عام 1973. ^{[ 1 ]} على مدار مسيرته المهنية، أشرف ستالينغز على 22 طالب دكتوراه، من بينهم مارك كولر ، وستيفن م. غيرستين ، وج. هيام روبنشتاين ، وله أكثر من 140 خريج دكتوراه. نشر أكثر من 50 بحثاً، معظمها في مجالات نظرية المجموعة الهندسية وطوبولوجيا الفضاءات ثلاثية الأبعاد .

ألقى ستالينغز خطابًا مدعوًا في المؤتمر الدولي للرياضيات في نيس عام 1970 ^{[ 4 ]} ومحاضرة جيمس ك. ويتيمور في جامعة ييل عام 1969. ^{[ 5 ]}

حصل ستالينغز على جائزة فرانك نيلسون كول في الجبر من الجمعية الرياضية الأمريكية في عام 1970. ^{[ 6 ]}

عُقد مؤتمر "الجوانب الهندسية والطوبولوجية لنظرية الزمر" في معهد أبحاث العلوم الرياضية في بيركلي في مايو 2000، وكان مُخصصًا للاحتفال بعيد ميلاد ستالينغز الخامس والستين. ^{[ 7 ]} وفي عام 2002، خُصص عددٌ خاص من مجلة Geometriae Dedicata لستالينغز بمناسبة عيد ميلاده الخامس والستين. ^{[ 8 ]} توفي ستالينغز بمرض سرطان البروستاتا في 24 نوفمبر 2008. ^{[ 3 ] [ 9 ]}

تتركز معظم مساهمات ستالينغز الرياضية في مجالات نظرية المجموعة الهندسية والطوبولوجيا منخفضة الأبعاد (وخاصة طوبولوجيا المشعبات ثلاثية الأبعاد ) وعلى التفاعل بين هذين المجالين.

من النتائج المبكرة الهامة لستالينغز برهانه عام 1960 ^{[ 10 ]} على حدسية بوانكاريه في الأبعاد الأكبر من ستة . (تم الحصول على برهان ستالينغز بشكل مستقل وبعد فترة وجيزة من برهان ستيفن سميل المختلف الذي أثبت نفس النتيجة في الأبعاد الأكبر من أربعة ^{[ 11 ]} ).

باستخدام أساليب "الابتلاع" المشابهة لتلك المستخدمة في برهانه على حدسية بوانكاريه لـ n > 6، أثبت ستالينغز أن الفضاء الإقليدي العادي ذو البعد n له بنية خطية متقطعة فريدة، وبالتالي سلسة أيضًا، إذا لم يكن n يساوي 4. وقد اكتسب هذا أهمية إضافية عندما تبين، كنتيجة لعمل مايكل فريدمان وسيمون دونالدسون في عام 1982، أن الفضاء ذو ​​البعد 4 له هياكل سلسة غريبة ، في الواقع عدد لا يحصى من الهياكل غير المتكافئة.

في ورقة بحثية نُشرت عام 1963 ^{[ 12 ]} ، قدّم ستالينغز مثالاً على مجموعة معروضة بشكل محدود مع مجموعة تماثل تكاملي ثلاثية الأبعاد مولدة بشكل لانهائي ، وعلاوة على ذلك، ليست من النوع${\displaystyle F_{3}}$أي أنها لا تقبل فضاءً تصنيفيًا بهيكل ثلاثي الأبعاد منتهٍ. عُرف هذا المثال باسم زمرة ستالينغز ، وهو مثال أساسي في دراسة خصائص التناهي الهومولوجي للزمر. وقد بيّن روبرت بييري لاحقًا ^{[ 13 ]} أن زمرة ستالينغز هي بالضبط نواة التشاكل الناتج عن الضرب المباشر لثلاث نسخ من الزمرة الحرة.${\displaystyle F_{2}}$إلى المجموعة المضافة${\displaystyle \mathbb {Z} }$من الأعداد الصحيحة التي ترسل إلى${\displaystyle 1\in \mathbb {Z} }$العناصر الستة الناتجة عن اختيار القواعد المجانية للنسخ الثلاث من${\displaystyle F_{2}}$كما أظهر بييري أن مجموعة ستالينغز تندرج ضمن سلسلة من الأمثلة لمجموعات من النوع${\displaystyle F_{n}}$لكن ليس من النوع${\displaystyle F_{n+1}}$تُعدّ مجموعة ستالينغز عنصراً أساسياً في نسخة نظرية مورس المنفصلة للمجمعات المكعبة التي طورها ملادن بيستفينا ونويل برادي ^{[ 14 ]} ، وفي دراسة المجموعات الفرعية من نواتج الضرب المباشر للمجموعات الحدية . ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

تُعدّ نظرية ستالينغز الأشهر في نظرية الزمر وصفًا جبريًا للزمر ذات النهايات المتعددة (أي ذات "مكون متصل عند اللانهاية" أكثر من واحد)، وتُعرف الآن بنظرية ستالينغز حول نهايات الزمر . أثبت ستالينغز أن الزمرة G المولدة نهائيًا لها أكثر من نهاية واحدة إذا وفقط إذا كانت هذه الزمرة تقبل انقسامًا غير تافه كحاصل ضرب حر مدمج أو كامتداد HNN على زمرة منتهية (أي، وفقًا لنظرية باس-سير ، إذا وفقط إذا كانت الزمرة تقبل فعلًا غير تافه على شجرة ذات مثبتات حواف منتهية). وبعبارة أدق، تنص النظرية على أن الزمرة G المولدة نهائيًا لها أكثر من نهاية واحدة إذا وفقط إذا كانت G تقبل انقسامًا كحاصل ضرب حر مدمج${\displaystyle G=A\ast _{C}B}$، حيث تكون المجموعة C منتهية و${\displaystyle C\neq A}$،${\displaystyle C\neq B}$أو أن G تقبل التقسيم كامتداد HNN${\displaystyle G=\langle H,t|t^{-1}Kt=L\rangle }$أين${\displaystyle K,L\leq H}$هي مجموعات فرعية منتهية من H.

أثبت ستالينغز هذه النتيجة في سلسلة من الأعمال، تناول أولًا حالة الزمر الخالية من الالتواء (أي الزمرة التي لا تحتوي على عناصر غير تافهة من رتبة منتهية ) ^{[ 18 ]} ، ثم الحالة العامة. ^{[ 5 ] [ 19 ]} وقد أسفرت نظرية ستالينغز عن حل إيجابي للمسألة المفتوحة التي طال أمدها حول توصيف الزمر المولدة نهائيًا ذات البعد الكوهومولوجي الواحد بأنها الزمر الحرة تحديدًا . ^{[ 20 ]} وتُعتبر نظرية ستالينغز حول نهايات الزمر من أوائل النتائج في نظرية الزمر الهندسية، إذ تربط خاصية هندسية للزمرة (وجود أكثر من نهاية) ببنيتها الجبرية (إمكانية تقسيمها على زمرة جزئية منتهية). وقد أدت نظرية ستالينغز إلى ظهور العديد من البراهين البديلة اللاحقة من قِبل علماء رياضيات آخرين (مثل ^{[ 21 ] [ 22 ]} )، بالإضافة إلى العديد من التطبيقات (مثل ^{[ 23 ]} ). كما حفّزت هذه النظرية العديد من التعميمات والصيغ النسبية لنتيجة ستالينغز في سياقات أخرى، مثل دراسة مفهوم النهايات النسبية لمجموعة بالنسبة لمجموعة فرعية، ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]} بما في ذلك ارتباطها بالمجمعات المكعبة CAT(0) . ^{[ 27 ]} وقد نُشرت دراسة شاملة تناقش، على وجه الخصوص، العديد من تطبيقات وتعميمات نظرية ستالينغز في ورقة بحثية لـ CTC Wall عام 2003. ^{[ 28 ]}

من بين أوراق ستالينغز المؤثرة الأخرى مقالته المنشورة عام 1983 بعنوان "طوبولوجيا الرسوم البيانية المنتهية". ^{[ 29 ]} تقليديًا، دُرست البنية الجبرية للمجموعات الفرعية للمجموعات الحرة في نظرية المجموعات التوافقية باستخدام أساليب توافقية، مثل طريقة إعادة كتابة شراير وتحويلات نيلسن . ^{[ 30 ]} طرحت ورقة ستالينغز منهجًا طوبولوجيًا قائمًا على أساليب نظرية الفضاءات المغطاة ، مستخدمةً أيضًا إطارًا بسيطًا لنظرية الرسوم البيانية . قدمت الورقة مفهوم ما يُعرف الآن باسم رسم ستالينغز البياني للمجموعات الفرعية لوصف المجموعات الفرعية للمجموعات الحرة، كما قدمت تقنية الطي (المستخدمة لتقريب رسوم المجموعات الفرعية والحصول عليها خوارزميًا) ومفهوم ما يُعرف الآن باسم طي ستالينغز . في هذا السياق، اكتسبت معظم النتائج الكلاسيكية المتعلقة بالمجموعات الجزئية للمجموعات الحرة براهين بسيطة ومباشرة، وأصبحت طريقة ستالينغز الأداة القياسية في النظرية لدراسة بنية المجموعات الجزئية للمجموعات الحرة، بما في ذلك المسائل الجبرية والخوارزمية (انظر ^{[ 31 ]} ). وعلى وجه الخصوص، استُخدمت رسوم ستالينغز البيانية للمجموعات الجزئية وطيّات ستالينغز كأدوات رئيسية في العديد من المحاولات لمعالجة حدسية هانا-نيومان . ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

يمكن أيضًا اعتبار مخططات مجموعات ستالينغز الفرعية بمثابة آلات حالة محدودة ^{[ 31 ]} ، وقد وجدت تطبيقات في نظرية شبه المجموعات وفي علوم الحاسوب . ^{[ 36 ] [ 37 ] [ 38 ] [ 39 ]}

تم تعميم طريقة ستالينغز للطي وتطبيقها في سياقات أخرى، لا سيما في نظرية باس-سير، لتقريب تأثيرات المجموعات على الأشجار ودراسة بنية المجموعات الفرعية للمجموعات الأساسية لرسوم بيانية المجموعات . وقد كتب ستالينغز نفسه أول ورقة بحثية في هذا المجال، ^{[ 40 ]} مع العديد من التعميمات اللاحقة لطرق ستالينغز للطي في سياق نظرية باس-سير من قبل علماء رياضيات آخرين. ^{[ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]}

قدّم ستالينغز في بحثه المنشور عام 1991 بعنوان "مثلثات المجموعات ذات الانحناء غير الموجب" ^{[ 45 ]} مفهوم مثلث المجموعات ودرسه . شكّل هذا المفهوم نقطة انطلاق لنظرية معقدات المجموعات (وهي نظير متعدد الأبعاد لنظرية باس-سير )، التي طوّرها أندريه هافليغر ^{[ 46 ]} وآخرون. ^{[ 47 ] [ 48 ]} وأشار عمل ستالينغز إلى أهمية فرض نوع من شروط "الانحناء غير الموجب" على معقدات المجموعات لكي تعمل النظرية بشكل جيد؛ إذ لا تُعدّ هذه القيود ضرورية في حالة نظرية باس-سير أحادية البعد.

من بين إسهامات ستالينغز في طوبولوجيا الفضاءات ثلاثية الأبعاد ، تُعدّ نظرية ستالينغز للتليف أشهرها . ^{[ 49 ]} تنصّ النظرية على أنه إذا كان M فضاءً ثلاثي الأبعاد مضغوطًا وغير قابل للاختزال، وتحتوي مجموعته الأساسية على مجموعة جزئية طبيعية ، بحيث تكون هذه المجموعة الجزئية مولدة توليدًا منتهيًا ، وتكون مجموعة القسمة على هذه المجموعة الجزئية دورية لانهائية ، فإن M يتليف فوق دائرة. تُعدّ هذه نتيجة هيكلية مهمة في نظرية فضاءات هاكن ، وقد أدت إلى ظهور العديد من البراهين والتعميمات والتطبيقات البديلة (مثل ^{[ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]} )، بما في ذلك نظير ذو أبعاد أعلى. ^{[ 54 ]}

في ورقة بحثية نُشرت عام 1965 لستالينغز بعنوان "كيف لا تُثبت حدسية بوانكاريه" ^{[ 55 ]} ، قدّم إعادة صياغة نظرية الزمر لحدسية بوانكاريه الشهيرة . بدأت الورقة باعتراف ساخر: "لقد ارتكبتُ خطيئة إثبات حدسية بوانكاريه بشكل خاطئ. لكن ذلك كان في بلد آخر؛ وعلاوة على ذلك، لم يكن أحد يعلم بذلك حتى الآن." ^{[ 1 ] [ 55 ]} على الرغم من عنوانها الساخر، فقد أثرت ورقة ستالينغز بشكل كبير على الأبحاث اللاحقة التي استكشفت الجوانب الجبرية لحدسية بوانكاريه (انظر، على سبيل المثال، ^{[ 56 ] [ 57 ] [ 58 ] [ 59 ]} ).

كان ستالينغز مهتمًا أيضًا باللغات، وكتب أحد الأبحاث الرياضية القليلة جدًا بلغة إنترلينغوا المصطنعة . ^{[ 60 ] [ 61 ]}

• ستالينغز، جون ر. (1960)، "كرات التماثل متعددة الأوجه" ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 66 (6): 485-488 ، doi : 10.1090/s0002-9904-1960-10511-3 ، MR 0124905 
• ستالينغز، جون ر .؛ زيمان، إي سي (1962)، "البنية الخطية القطعية للفضاء الإقليدي"، وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج ، 58 (3): 481-488 ، Bibcode : 1962PCPS...58..481S ، doi : 10.1017/S0305004100036756 ، MR 0149457 ، S2CID 120418488  
• ستالينغز، جون ر. (1962)، "حول تليف بعض المشعبات ثلاثية الأبعاد"، طوبولوجيا المشعبات ثلاثية الأبعاد والمواضيع ذات الصلة (وقائع معهد جامعة جورجيا، 1961) ، برنتيس هول ، ص 95-100 ، MR 0158375  
• ستالينغز، جون ر. (1965)، "علم التماثل والسلاسل المركزية للمجموعات"، مجلة الجبر ، 2 (2): 170-181 ، doi : 10.1016/0021-8693(65)90017-7 ، MR 0175956 
• ستالينغز، جون (1963)، "مجموعة معروضة بشكل محدود، وتماثلها التكاملي ثلاثي الأبعاد ليس مولدًا بشكل محدود"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 85 (4)، مطبعة جامعة جونز هوبكنز: 541-543 ، doi : 10.2307/2373106 ، JSTOR 2373106 ، MR 0158917  
• ستالينغز، جون ر. (1968)، "حول المجموعات الخالية من الالتواء ذات النهايات اللانهائية"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 88 (2)، حوليات الرياضيات: 312-334 ، doi : 10.2307/1970577 ، JSTOR 1970577 ، MR 0228573  
• ستالينغز، جون ر. (1971)، نظرية الزمر والمتشعبات ثلاثية الأبعاد ، مطبعة جامعة ييل ، رقم ISBN 978-0-300-01397-9، MR 0415622 
• ستالينغز، جون ر. (1978)، "إنشاءات العقد والوصلات الليفية"، الطوبولوجيا الجبرية والهندسية (وقائع ندوة الرياضيات البحتة، جامعة ستانفورد، ستانفورد، كاليفورنيا، 1976)، الجزء 2 ، وقائع ندوة الرياضيات البحتة، XXXII، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 55-60 ، MR 0520522  
• ستالينغز، جون ر. (1983)، "طوبولوجيا الرسوم البيانية المنتهية"، Inventiones Mathematicae ، 71 (3): 551-565 ، Bibcode : 1983InMat..71..551S ، doi : 10.1007/BF02095993 ، MR 0695906 ، S2CID 16643207  ، مع أكثر من 100 استشهاد حديث
• ستالينغز، جون ر. (1991)، "طي أشجار G "، نظرية الزمر الشجرية (بيركلي، كاليفورنيا، 1988) ، منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية، المجلد  19، نيويورك: سبرينغر، الصفحات 355-368 ، doi : 10.1007/978-1-4612-3142-4_14 ، ISBN  978-0-387-97518-4MR 1105341​ 
• ستالينغز، جون ر. (1991)، "مثلثات المجموعات ذات الانحناء غير الموجب"، نظرية المجموعات من وجهة نظر هندسية (ترييستي، 1990) ، ريفر إيدج، نيوجيرسي: وورلد ساينتيفيك، ص 491-903 ، ISBN  978-981-02-0442-6MR 1170374​ 

• جون ر. ستالينغز في مشروع علم الأنساب الرياضي
• الصفحة الرئيسية لجون ستالينغز.
• إحياءً لذكرى جون ستالينغز ، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، المجلد 56 (2009)، العدد 11 ، الصفحات  1410-1417