تدوين هيرمان-ماوجين

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 8 صور
الموسوعة الحرة
ثلاث مجموعات نقطية مع تدوين هيرمان-ماوجين الخاص بها، والإسقاطات المجسمة، وعناصر التناظر.

في الهندسة ، يُستخدم ترميز هيرمان-موجين لتمثيل عناصر التناظر في الزمر النقطية ، والزمر المستوية ، والزمر الفراغية . سُمّي هذا الترميز نسبةً إلى عالم البلورات الألماني كارل هيرمان (الذي قدمه عام 1928) وعالم المعادن الفرنسي شارل-فيكتور موجين (الذي عدّله عام 1931). يُطلق على هذا الترميز أحيانًا اسم الترميز الدولي ، لأنه اعتُمد كمعيار من قِبل الجداول الدولية لعلم البلورات منذ طبعتها الأولى عام 1935.

يُفضّل استخدام ترميز هيرمان-ماوجين، مقارنةً بترمييز شونفليس ، في علم البلورات لأنه يُمكن استخدامه بسهولة لتضمين عناصر التناظر الانتقالي ، كما أنه يُحدد اتجاهات محاور التناظر. [ 1 ] [ 2 ]

مجموعات النقاط

تُرمز محاور الدوران بالرقم n – 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، ... ( زاوية  الدوران φ = 360 ° / n ) . في حالة الدوران غير الصحيح ، تُظهر رموز هيرمان-ماوجين محاور الدوران العكسي، على عكس رموز شونفليس وشوبنيكوف التي تُظهر محاور الدوران الانعكاسي. تُمثل محاور الدوران العكسي بالرقم المقابل متبوعًا بعلامة المدّ ، n – 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، ... . يُكافئ الرقم 2 مستوى المرآة ويُرمز له عادةً بالحرف m. يُحدد اتجاه مستوى المرآة بالاتجاه العمودي عليه (اتجاه المحور 2 ). 

تُظهر رموز هيرمان-موجين المحاور والمستويات غير المتكافئة بطريقة متناظرة. يتوافق اتجاه عنصر التناظر مع موقعه في رمز هيرمان-موجين. إذا كان لمحور الدوران n ومستوى المرآة m نفس الاتجاه، فإنهما يُشار إليهما بالكسر n / m أو n / m. 

إذا كان لمحورين أو أكثر نفس الاتجاه، يُعرض المحور ذو التناظر الأعلى. التناظر الأعلى يعني أن المحور يُولّد نمطًا بعدد نقاط أكبر. على سبيل المثال، تُولّد محاور الدوران 3، 4، 5، 6، 7، 8 أنماطًا من 3، 4، 5، 6، 7، 8 نقاط على التوالي. بينما تُولّد محاور الدوران غير الصحيحة 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 أنماطًا من 6، 4، 10، 6، 14 ، 8 نقاط على التوالي. إذا ولّد محور الدوران ومحور الدوران العكسي نفس عدد النقاط، يُختار محور الدوران. على سبيل المثال، التركيبة 3 / m تُكافئ 6 . بما أن 6 يُولّد 6 نقاط، و3 يُولّد 3 نقاط فقط، فيجب كتابة 6 بدلاً من 3 / m ( وليس 6 / m ، لأن 6 يحتوي بالفعل على مستوى المرآة m). وبالمثل، في حالة وجود المحورين 3 و 3 ، يجب كتابة 3. ومع ذلك ، نكتب 4 / m ، وليس 4 / m ، لأن كلاً من 4 و 4 يُولّد أربع نقاط. في حالة التركيبة 6 / m ، حيث توجد المحاور 2 و3 و6 و 3 و 6 ، تُولّد المحاور 3 و 6 و6 أنماطًا من 6 نقاط ، كما نرى في الشكل على اليمين، ولكن يجب استخدام الأخير لأنه محور دوران – سيكون الرمز 6 / m . 

وأخيرًا، يعتمد رمز هيرمان-ماوجين على نوع المجموعة .

المجموعات بدون محاور من الرتبة الأعلى (محاور من الرتبة الثالثة أو أكثر)

قد تحتوي هذه المجموعات على محاور تناظر ثنائية فقط، ومستويات انعكاس، و/أو مركز انعكاس. وهي مجموعات النقاط البلورية 1 و 1 ( نظام بلوري ثلاثي الميل ) ، و 2 وm و 2 / m ( نظام بلوري أحادي الميل )، و222 و 2 / m و 2 / m و mm2 ( نظام بلوري معيني قائم ). ( الصيغة المختصرة لـ 2 / m هي mmm ) . إذا احتوى الرمز على ثلاثة مواضع، فإنها تُشير إلى عناصر التناظر في الاتجاهات x و y و z على التوالي .

مجموعات ذات محور واحد من الرتبة الأعلى

  • الموضع الأول - الاتجاه الأساسي - اتجاه z ، المخصص للمحور ذي الرتبة الأعلى.
  • الوضع الثاني – اتجاهات ثانوية متكافئة بشكل متناظر ، وهي عمودية على المحور z . يمكن أن تكون هذه الاتجاهات 2 أو m أو 2 / m . 
  • الوضع الثالث – اتجاهات ثالثية متكافئة بشكل متناظر ، تمر بين الاتجاهات الثانوية . يمكن أن تكون هذه الاتجاهات 2 أو m أو 2 / m . 

هذه هي المجموعات البلورية 3، 32، 3m، 3 ، و3 2/ m ( نظام بلوري ثلاثي ) ، و 4، 422، 4mm، 4 ، 4 2m، 4/m، و4/m 2/m 2/ m ( نظام رباعي ) ، و 6 ، 622 ، 6mm ، 6 ، 6 m2 ، 6 / m ، و 6 / m 2 / m 2 / m ( نظام سداسي ) . وبالمثل ، يمكن إنشاء رموز للمجموعات غير البلورية ( ذات المحاور من الرتبة 5 ، 7، 8، 9، ... ) . يمكن ترتيب هذه المجموعات في الجدول التالي (مع إضافة مجموعة الانعكاس، المشار إليها بـ S 2 أو 1 ، ومجموعة الدوران الثنائي، المشار إليها بـ C 2 أو 2، ومجموعة الانعكاس، المشار إليها بـ C 1v أو C 1h أو m): 

الذبابرمز H–M3456789101112...∞
سي إنن3456789101112...∞
C n vن م3 أمتار5 أمتار7 أمتار9 أمتار11 مترًا∞ متر
nmm4 مم6 مم8 مم10 مم12 مم
S 2 nن357911∞ / م​​
S n4812
C n / 2 h​​610
Cn h​ن / م​​4 / م​​٦ / م​​8 / م​​10 / م​​12 / م​​
د نن 232527292(11)2∞2
رقم 22422622822(10)22(12)22
د ندn ⁠ 2 / m ⁠3 2 / م​​5 2 / م​​7 2 / م​​9 2 / م​​( 11 ) 2 / م​​∞ / م م​​
D ⁠ n / 2 ⁠ dn 2m = n m24 2 متر8 2 متر( 12 )2م
D n / 2 h​​6 م2( 10 ) م2
Dn h​ن / م 2 / م 2 / م​​​​​​4 / م 2 / م 2 / م​​​​​​٦ / م ٢ / م ٢ / م​​​​​​٨ / م ٢ / م ٢ / م​​​​​​10 / م 2 / م 2 / م​​​​​​12 / م 2 / م 2 / م​​​​​​

يُلاحظ أنه في المجموعات ذات المحاور ذات الرتبة الفردية n و n، يكون الموضع الثالث في الرمز غائبًا دائمًا، لأن جميع الاتجاهات n ، العمودية على المحور ذي الرتبة الأعلى، متناظرة. على سبيل المثال، في صورة المثلث، تكون جميع مستويات التناظر الثلاثة ( S0، S1 ، S2 ) متكافئة - إذ تمر جميعها برأس واحد ومركز الضلع المقابل. أما بالنسبة للمحاور ذات الرتبة الزوجية n و n، فهناك n / 2 اتجاه ثانوي و n / 2 اتجاه ثالثي . على سبيل المثال، في صورة السداسي المنتظم ، يمكن تمييز مجموعتين من مستويات التناظر - ثلاثة مستويات تمر برأسين متقابلين، وثلاثة مستويات أخرى تمر بمراكز أضلاع متقابلة. في هذه الحالة، يمكن اختيار أي من المجموعتين كاتجاهات ثانوية ، أما المجموعة المتبقية فستكون اتجاهات ثالثية . لذا، يمكن كتابة المجموعات 4 2m، 6 2m، 8 2m، ... على النحو التالي: 4 m2، 6 m2، 8 m2، ... . بالنسبة لرموز مجموعات النقاط، لا يهم هذا الترتيب عادةً؛ ومع ذلك، سيكون مهمًا لرموز هيرمان-ماوجين للمجموعات الفراغية المناظرة، حيث تمثل الاتجاهات الثانوية اتجاهات عناصر التناظر على طول إزاحات الخلية الأولية b و c ، بينما تتوافق الاتجاهات الثالثية مع الاتجاه بين إزاحات الخلية الأولية b و c . على سبيل المثال، يرمز الرمزان P 6 m2 و P 6 2m إلى مجموعتين فراغيتين مختلفتين. ينطبق هذا أيضًا على رموز المجموعات الفراغية ذات المحاور الفردية 3 و 3. يمكن أن تمتد عناصر التناظر العمودية على طول إزاحات الخلية الأولية b و c أو بينهما. تُعد المجموعتان الفراغيتان P321 و P312 مثالين على الحالتين الأولى والثانية، على التوالي.  

قد يكون رمز المجموعة النقطية 3 2 / m مُربكًا؛ فرمز شونفليس المُقابل هو D 3 d ، مما يعني أن المجموعة تتكون من محور ثلاثي، وثلاثة محاور ثنائية مُتعامدة، وثلاثة مستويات قطرية رأسية تمر بين هذه المحاور الثنائية، لذا يبدو أنه يُمكن الإشارة إلى المجموعة بـ 32m أو 3m2. مع ذلك، يجب التذكير بأنه، على عكس رمز شونفليس، يُعرَّف اتجاه المستوى في رمز هيرمان-ماوجين بأنه الاتجاه العمودي على المستوى، وفي المجموعة D 3 d، تكون جميع مستويات المرآة عمودية على المحاور الثنائية ، لذا يجب كتابتها في نفس موضع 2 / m . ثانيًا، هذه المركبات ⁠ 2 / m ⁠ تولد مركز انعكاس، والذي يتحد مع محور الدوران الثلاثي لتوليد محور دوران انعكاسي ثلاثي .

تُسمى المجموعات التي يكون فيها n = ∞ مجموعات النهاية أو مجموعات كوري .

مجموعات ذات محاور متعددة من الرتب العليا

هذه هي المجموعات البلورية لنظام بلوري مكعب : 23، 432، 2/m3، 43m، و4/m32 / m . تحتوي جميعها على أربعة محاور تناظر ثلاثية قطرية . تُرتّب هذه المحاور كمحاور تناظر ثلاثية في مكعب، موجهة على طول أقطاره الفراغية الأربعة ( يتمتع المكعب بتناظر 4 / m32 / m ) . تُنشأ هذه الرموز بالطريقة التالية :

  • الوضع الأول – اتجاهات متكافئة بشكل متناظر لمحاور الإحداثيات x و y و z . وهي متكافئة بسبب وجود محاور قطرية ثلاثية التناظر.
  • الوضع الثاني – قطري 3 أو 3 محاور.
  • الوضع الثالث – الاتجاهات القطرية بين أي اثنين من محاور الإحداثيات الثلاثة x و y و z . يمكن أن تكون هذه 2 أو m أو 2 / m .

تُسمى جميع رموز هيرمان-ماوجين المذكورة أعلاه بالرموز الكاملة . بالنسبة للعديد من المجموعات ، يمكن تبسيطها بحذف محاور الدوران من الرتبة n في المواضع n / m . يُمكن القيام بذلك إذا أمكن الحصول على محور الدوران بشكلٍ لا لبس فيه من خلال دمج عناصر التناظر الموجودة في الرمز . على سبيل المثال ، الرمز المختصر لـ 2 / m هو mmm ، ولـ 4 / m هو mm ، ولـ 3 / m هو m3m . في المجموعات التي تحتوي على محور واحد من الرتبة الأعلى ، لا يُمكن حذف هذا المحور . على سبيل المثال، يمكن تبسيط الرموز ⁠ 4 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ و ⁠ 6 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ ⁠ 2 / m ⁠ إلى 4/mmm (أو ⁠ 4 / m ⁠ mm) و 6/mmm (أو ⁠ 6 / m ⁠ mm)، ولكن ليس إلى mmm؛ والرمز المختصر لـ 3 ⁠ 2 / m ⁠ هو 3 m. ترد الرموز الكاملة والمختصرة لجميع مجموعات النقاط البلورية الـ 32 في صفحة مجموعات النقاط البلورية .

إلى جانب المجموعات المكعبة الخمس، توجد مجموعتان إضافيتان غير بلوريتين من نوع العشرين وجهًا ( I و I h في ترميز شونفليس ) ومجموعتان حديتان ( K و K h في ترميز شونفليس ). لم تُصمم رموز هيرمان-ماوجين للمجموعات غير البلورية، لذا فإن رموزها اسمية إلى حد كبير وتستند إلى التشابه مع رموز المجموعات البلورية لنظام بلوري مكعب. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] يمكن الإشارة إلى المجموعة I بالرموز 235، 25، 532، 53. أما الرموز المختصرة الممكنة للمجموعة I h فهي m 35 ، m 5 ، m 5 m، 53 m. الرموز الممكنة لمجموعة الحد K هي ∞∞ أو 2∞، وبالنسبة لـ K h فهي ⁠ ∞ / m ⁠ ∞ أو m ∞ أو ∞∞m.

مجموعات الطائرات

يمكن تمثيل المجموعات المستوية باستخدام نظام هيرمان-ماوجين. الحرف الأول هو إما p أو c صغيرين لتمثيل الخلايا الأولية أو الخلايا المركزية . الرقم التالي هو التناظر الدوراني، كما هو موضح أعلاه. يُرمز لوجود مستويات المرآة بالرمز m ، بينما يُرمز لانعكاسات الانزلاق بالرمز g فقط . لا توجد محاور لولبية في الفضاءات ثنائية الأبعاد.

المجموعات الفضائية

يُعرَّف رمز المجموعة الفراغية بدمج الحرف الكبير الذي يصف نوع الشبكة مع الرموز التي تحدد عناصر التناظر. تُرتَّب عناصر التناظر بنفس ترتيبها في رمز المجموعة النقطية المناظرة (المجموعة الناتجة عن إزالة جميع مركبات الإزاحة من المجموعة الفراغية). وتتنوع رموز عناصر التناظر، فبالإضافة إلى محاور الدوران ومستويات المرآة، قد تحتوي المجموعة الفراغية على عناصر تناظر أكثر تعقيدًا، مثل محاور الدوران اللولبية (مزيج من الدوران والإزاحة) ومستويات الانزلاق (مزيج من انعكاس المرآة والإزاحة). ونتيجةً لذلك، يمكن أن تتوافق العديد من المجموعات الفراغية المختلفة مع نفس المجموعة النقطية. على سبيل المثال، باختيار أنواع شبكات ومستويات انزلاق مختلفة، يمكن توليد 28 مجموعة فراغية مختلفة من المجموعة النقطية mmm، مثل Pmmm وPnnn وPccm وPban وCmcm وIbam وFmmm وFddd، وهكذا. في بعض الحالات، تتولد مجموعة فراغية بمجرد إضافة الإزاحات إلى مجموعة نقطية. [ ٨ ] في حالات أخرى، لا توجد نقطة ينطبق عليها زمرة النقاط. ويكون الترميز غامضًا إلى حد ما، دون وجود جدول يُقدم معلومات إضافية. على سبيل المثال، تحتوي الزمرتان الفراغيتان I23 وI2 1 3 (رقمي ١٩٧ و١٩٩) على محاور دوران ثنائية، بالإضافة إلى محاور لولبية ثنائية. في الأولى، تتقاطع المحاور الثنائية مع المحاور الثلاثية، بينما لا تتقاطع في الثانية. [ ٩ ]

أنواع الشبكة

هذه هي أنواع شبكة برافي في ثلاثة أبعاد:

  • P – بدائي
  • أنا – متمركز حول الجسم (من الألمانية "Innenzentriert")
  • F – الوجه المتمركز (من الكلمة الألمانية "Flächenzentriert")
  • أ - قاعدة متمركزة على الوجوه أ فقط
  • ب - قاعدة متمركزة على وجوه ب فقط
  • ج - قاعدة متمركزة على أوجه ج فقط
  • R – المعين
بدائيقاعدة مركزيةمركز الوجهالتركيز على الجسدالمعين
بدائي، صمركز القاعدة، جالوجه متمركز، Fأنا أركز على الجسد. معيني الأوجه في إطار سداسي، R

محاور لولبية

يُشار إلى محور البرغي بالرقم n ، حيث زاوية الدوران هي 360 ° / n . تُضاف درجة الإزاحة كرمز سفلي يُبين مقدار الإزاحة على طول المحور، كجزء من متجه الشبكة الموازي. على سبيل المثال، 2 1 هو دوران بمقدار 180° ( دوران مزدوج ) متبوعًا بإزاحة مقدارها 1/2 من متجه الشبكة . 3 1 هو دوران بمقدار 120° ( دوران ثلاثي) متبوعًا بإزاحة مقدارها 1/3 من متجه الشبكة.

محاور اللولب الممكنة هي: 2 1 ، 3 1 ، 3 2 ، 4 1 ، 4 2 ، 4 3 ، 6 1 ، 6 2 ، 6 3 ، 6 4 ، و6 5. يوجد أربعة أزواج متماثلة من المحاور: (3 1 – 3 2 )، (4 1 – 4 3 )، (6 1 – 6 5 )، و(6 2 – 6 4 ). ينتج عن هذا التماثل 11 زوجًا من مجموعات الفضاء المتماثلة، وهي:

النظام البلوريرباعي الزواياثلاثي الزواياسداسيمكعب
المجموعة الأولى رقم المجموعةص4 1 76P4 1 22 91P4 1 2 1 2 92ص3 1 144P3 1 12 152P3 1 21 151ص6 1 169ص6 2 171P6 1 22 178P6 2 22 180P4 1 32 213
المجموعة الثانية رقم المجموعةص4 3 78P4 3 22 95P4 3 2 1 2 96P3 2 145P3 2 12 154P3 2 21 153ص6 5 170ص6 4 172P6 5 22 179P6 4 22 181P4 3 32 212

طائرات انزلاقية

يُحدد اتجاه مستوى الانزلاق بموقع الرمز في تسمية هيرمان-ماوجين، تمامًا كما هو الحال مع مستويات المرآة. ويُشار إليها بالأحرف a أو b أو c، وذلك حسب المحور (الاتجاه) الذي يقع عليه الانزلاق. يوجد أيضًا الانزلاق n ، وهو انزلاق على طول نصف قطر أحد الأوجه، والانزلاق d ، وهو انزلاق على طول ربع قطر أحد الأوجه أو قطر الفراغ في الخلية الأساسية. يُطلق على الانزلاق d غالبًا اسم مستوى انزلاق المعين نظرًا لوجوده في بنية المعين . في الحالات التي يكون فيها احتمالان بين a و b و c (مثل a أو b )، يُستخدم الحرف e . (في هذه الحالات، يتطلب التمركز حدوث كلا الانزلاقين). باختصار:

  • a أو b أو c انزلاق انتقالي على طول نصف متجه الشبكة لهذا الوجه.
  • انتقال انزلاقي على طول نصف قطر الوجه.
  • d مستويات الانزلاق مع الانتقال على طول ربع قطر الوجه أو قطر الفضاء.
  • e انزلاقان بنفس مستوى الانزلاق والانتقال على طول متجهين (مختلفين) لنصف الشبكة.

تدوين التناظر ثنائي اللون

في نظام هيرمان-ماوجين، تُرمز العمليات التي تتضمن عكس الزمن -المستخدمة في التناظر ثنائي اللون أو نظرية الزمر الفضائية المغناطيسية- بالرمز ('). على سبيل المثال، تُكتب عملية التطابق المقترنة بعكس الزمن على النحو التالي: 1′ ، ويُرمز إلى الانعكاس المرآوي المقترن بعكس الزمن بالرمز m′ ، ويُعبر عن محور الدوران ذي الرتبة n المقترن بعكس الزمن بالرمز n′ (مثل 2′ ، 4′ ، إلخ). [ 10 ]

مراجع

  1. ↑ ساندز ، دونالد إي. (1993). "الأنظمة البلورية والهندسة". مقدمة في علم البلورات . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر، ص 54. ISBN  0-486-67839-3.
  2. ↑ هان، ث.؛ كلابر، هـ. "الفصل 10.1. مجموعات النقاط البلورية وغير البلورية" . الجداول الدولية لعلم البلورات . تم الاطلاع عليه في 5 ديسمبر 2022 .
  3. ↑ "(الجداول الدولية) ملخص" . it.iucr.org . تم الاطلاع عليه في 2 فبراير 2022 .{{cite web}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
  4. ^ زوركي، بيتر. "المجموعة المميزة" . www.chem.msu.su . مؤرشفة من الأصلي بتاريخ 15-04-2012.
  5. ↑ فاينشتاين، بوريس ك.، علم البلورات الحديث 1: أساسيات البلورات. التناظر، وطرق علم البلورات البنيوي، سبرينغر. 1994، صفحة 93.
  6. ↑ مجموعات النقاط في ثلاثة أبعاد
  7. ↑ شوبنيكوف، أ.ف.، بيلوف، ن.ف. وآخرون، التناظر الملون ، أكسفورد: مطبعة بيرغامون. 1964، صفحة 70.
  8. ↑ دونالد ساندز (1975). "الأنظمة البلورية والهندسة". مقدمة في علم البلورات (ملف PDF) . شركة كورير. ص 72. ISBN  0-486-67839-3.
  9. ↑ قارن عمليات التناظر للمجموعة الفراغية 197 مع تلك الخاصة بالمجموعة الفراغية 199 .
  10. ↑ ليتفين، د.ب. (2016). "الفصل 3.6: المجموعات الفرعية المغناطيسية والمجموعات الفراغية المغناطيسية." في: الجداول الدولية لعلم البلورات، المجلد أ: تناظر المجموعة الفراغية ، الصفحات 852-865. doi:10.1107/97809553602060000934 . متاح عبر الإنترنت .