كرات صلبة

في الميكانيكا الإحصائية ، تُستخدم الكرات الصلبة على نطاق واسع كجسيمات نموذجية في السوائل والمواد الصلبة. تُعرَّف ببساطة بأنها كرات غير قابلة للاختراق لا يمكنها التداخل في الفضاء. وهي تحاكي التنافر القوي للغاية ("الارتداد المرن اللانهائي") الذي تتعرض له الذرات والجزيئات الكروية على مسافات متقاربة جدًا. تُدرس أنظمة الكرات الصلبة بالوسائل التحليلية، ومحاكاة الديناميكا الجزيئية ، والدراسة التجريبية لبعض الأنظمة الغروية النموذجية.

إلى جانب كونه نموذجًا ذا أهمية نظرية، يُستخدم نظام الكرات الصلبة كأساس في صياغة العديد من المعادلات الحديثة والتنبؤية لحالة السوائل الحقيقية من خلال نهج نظرية السوائل المرتبطة الإحصائية (SAFT)، ونماذج خصائص النقل في الغازات من خلال نظرية تشابمان-إنسكوج .

كرات صلبة قطرها${\displaystyle \sigma }$هي جسيمات ذات جهد تفاعل ثنائي كما يلي:

$${\displaystyle V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2})={\begin{cases}0&{\text{if}}\quad |\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|\geq \sigma \\\infty &{\text{if}}\quad |\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|<\sigma \end{cases}}}$$

أين${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$و${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$هي مواقع الجسيمين.

يمكن تحديد معاملات الفيروس الثلاثة الأولى للكرات الصلبة تحليليًا

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {B_{2}}{v_{0}}}&=4\\{\frac {B_{3}}{{v_{0}}^{2}}}&=10\\{\frac {B_{4}}{{v_{0}}^{3}}}&=-{\frac {712}{35}}+{\frac {219{\sqrt {2}}}{35\pi }}+{\frac {4131}{35\pi }}\arccos {\frac {1}{\sqrt {3}}}\approx 18.365\end{aligned}}}$$

يمكن تحديد المعادلات ذات الرتبة الأعلى عدديًا باستخدام تكامل مونت كارلو . ندرجها

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {B_{5}}{{v_{0}}^{4}}}&=28.24\pm 0.08\\{\frac {B_{6}}{{v_{0}}^{5}}}&=39.5\pm 0.4\\{\frac {B_{7}}{{v_{0}}^{6}}}&=56.5\pm 1.6\end{aligned}}}$$

يمكن العثور على جدول معاملات فيريال لما يصل إلى ثمانية أبعاد في صفحة الكرة الصلبة: معاملات فيريال . ^{[ 1 ]}

يُظهر نظام الكرات الصلبة تحولًا طوريًا بين المائع والصلب بين نسب حجم التجميد${\displaystyle \eta _{\mathrm {f} }\approx 0.494}$والذوبان${\displaystyle \eta _{\mathrm {m} }\approx 0.545}$يتباعد الضغط عند التراص العشوائي المتقارب${\displaystyle \eta _{\mathrm {rcp} }\approx 0.644}$بالنسبة للفرع السائل شبه المستقر وعند التعبئة المتقاربة${\displaystyle \eta _{\mathrm {cp} }={\sqrt {2}}\pi /6\approx 0.74048}$للفرع الصلب المستقر.

يمكن حساب عامل البنية الساكنة لسائل الكرات الصلبة باستخدام تقريب بيركوس-يفيك .

طُوِّرت معادلة حالة بسيطة، ولكنها شائعة، لوصف أنظمة الكرات الصلبة النقية في عام 1969 على يد نورمان ف. كارناهان وك . إ. ستارلينج . ^{[ 2 ]} من خلال التعبير عن انضغاطية نظام الكرات الصلبة كمتسلسلة هندسية، فإن التعبير

$${\displaystyle Z={\frac {pV}{nRT}}={\frac {1+\eta +\eta ^{2}-\eta ^{3}}{{\left(1-\eta \right)}^{3}}}}$$

يتم الحصول على ذلك، حيث${\displaystyle \eta }$يمثل معامل التعبئة ، ويُعطى بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle \eta ={\frac {N_{A}\pi n\sigma ^{3}}{6V}}}$$

أين${\displaystyle N_{A}}$هو عدد أفوجادرو ،${\displaystyle n/V}$هي الكثافة المولية للسائل، و${\displaystyle \sigma }$يمثل قطر الكرات الصلبة. ومن معادلة الحالة هذه، يمكن الحصول على طاقة هيلمهولتز المتبقية ، ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle {\frac {A_{\text{res}}}{nRT}}={\frac {4\eta -3\eta ^{2}}{{\left(1-\eta \right)}^{2}}},}$$

مما ينتج عنه الجهد الكيميائي المتبقي

$${\displaystyle {\frac {\mu _{\text{res}}}{RT}}={\frac {8\eta -9\eta ^{2}+3\eta ^{3}}{{\left(1-\eta \right)}^{3}}}.}$$

ويمكن أيضاً الحصول على قيمة دالة التوزيع الشعاعي ،${\displaystyle g(r)}$، تم تقييمها على سطح الكرة، ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle g(\sigma )={\frac {1-{\frac {1}{2}}\eta }{{\left(1-\eta \right)}^{3}}}.}$$

يُعدّ هذا الأخير ذا أهمية بالغة لوصف دقيق للجهود الجزيئية الأكثر تطورًا القائمة على نظرية الاضطراب ، مثل SAFT ، حيث يُتخذ نظام من الكرات الصلبة كنظام مرجعي، ويتم وصف جهد الزوج الكامل عن طريق الاضطرابات التي تطرأ على نظام الكرات الصلبة الأساسي. كما يعتمد حساب خصائص النقل لغازات الكرات الصلبة عند كثافات معتدلة باستخدام نظرية إنسكوغ المُعدّلة على قيمة دقيقة لـ${\displaystyle g(\sigma )}$وقد استُخدمت معادلة كارناهان-ستارلينغ للحالة لهذا الغرض بنجاح كبير. ^{[ 4 ]}

• السائل الكلاسيكي

• جي بي هانسن وآي آر ماكدونالد نظرية السوائل البسيطة، دار النشر الأكاديمية، لندن (1986)
• صفحة نموذج الكرة الصلبة على موقع SklogWiki.