نظرية تشابمان-إنسكوج

توفر نظرية تشابمان-إنسكوغ إطارًا يُمكن من خلاله اشتقاق معادلات الديناميكا المائية للغازات من معادلة بولتزمان . وتُبرر هذه التقنية العلاقات التكوينية الظاهرية التي تظهر في الوصف الهيدروديناميكي، مثل معادلات نافيير-ستوكس . وبذلك، يتم الحصول على تعابير لمعاملات النقل المختلفة، مثل الموصلية الحرارية واللزوجة ، بدلالة المعاملات الجزيئية. لذا، تُشكل نظرية تشابمان-إنسكوغ خطوةً هامةً في الانتقال من الوصف المجهري القائم على الجسيمات إلى الوصف الهيدروديناميكي المتصل .

سميت النظرية نسبة إلى سيدني تشابمان وديفيد إنسكوج ، اللذين قدماها بشكل مستقل في عامي 1916 و1917. ^{[ 1 ]}

تُعد معادلة بولتزمان لدالة توزيع الجسيم الواحد نقطة البداية لنظرية تشابمان-إنسكوغ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}={\hat {C}}f,}$$

أين${\displaystyle {\hat {C}}}$هو عامل تكاملي غير خطي يُمثل تطور${\displaystyle f}$تحت تأثير تصادمات الجسيمات. هذه اللاخطية تجعل حل معادلة بولتزمان الكاملة أمراً صعباً، وتحفز تطوير تقنيات تقريبية مثل تلك التي توفرها نظرية تشابمان-إنسكوغ.

انطلاقاً من هذه النقطة، فإن الافتراضات المختلفة التي تقوم عليها معادلة بولتزمان تنطبق أيضاً على نظرية تشابمان-إنسكوغ. وأبسط هذه الافتراضات يتطلب فصلاً في المقياس بين مدة التصادم${\displaystyle \tau _{\mathrm {c} }}$ومتوسط ​​الوقت الحر بين التصادمات${\displaystyle \tau _{\mathrm {f} }}$:${\displaystyle \tau _{\mathrm {c} }\ll \tau _{\mathrm {f} }}$يضمن هذا الشرط أن تكون التصادمات أحداثًا محددة جيدًا في المكان والزمان، ويتحقق إذا كان المعامل عديم الأبعاد${\displaystyle \gamma \equiv r_{\mathrm {c} }^{3}n}$صغير، حيث${\displaystyle r_{\mathrm {c} }}$هو نطاق التفاعلات بين الجسيمات و${\displaystyle n}$هي كثافة العدد . ^{[ 2 ]} بالإضافة إلى هذا الافتراض، تتطلب نظرية تشابمان-إنسكوج أيضًا أن${\displaystyle \tau _{\mathrm {f} }}$أصغر بكثير من أي نطاقات زمنية خارجية${\displaystyle \tau _{\text{ext}}}$هذه هي الأطر الزمنية المرتبطة بالحدود الموجودة على الجانب الأيسر من معادلة بولتزمان، والتي تصف تغيرات حالة الغاز على أطوال ماكروسكوبية. عادةً ما تُحدد قيمها بواسطة الشروط الابتدائية/الحدودية و/أو المجالات الخارجية. هذا الفصل بين المقاييس يعني أن حد التصادم على الجانب الأيمن من معادلة بولتزمان أكبر بكثير من حدود التدفق على الجانب الأيسر. وبالتالي، يمكن إيجاد حل تقريبي من

$${\displaystyle {\hat {C}}f=0.}$$

يمكن إثبات أن حل هذه المعادلة هو توزيع غاوسي :

$${\displaystyle f=n(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m{\left|\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)\right|}^{2}}{2k_{\text{B}}T(\mathbf {r} ,t)}}\right],}$$

أين${\displaystyle m}$كتلة الجزيء و${\displaystyle k_{\text{B}}}$هو ثابت بولتزمان . ^{[ 3 ]} يُقال إن الغاز في حالة توازن موضعي إذا حقق هذه المعادلة. ^{[ 4 ]} يؤدي افتراض التوازن الموضعي مباشرةً إلى معادلات أويلر ، التي تصف الموائع بدون تبديد، أي ذات موصلية حرارية ولزوجة تساوي${\displaystyle 0}$يتمثل الهدف الرئيسي لنظرية تشابمان-إنسكوغ في الحصول بشكل منهجي على تعميمات لمعادلات أويلر تتضمن التبديد. ويتحقق ذلك من خلال التعبير عن الانحرافات عن التوازن المحلي كسلسلة اضطرابية في عدد كنودسن.${\displaystyle {\text{Kn}}}$وهو أمر صغير إذا${\displaystyle \tau _{\mathrm {f} }\ll \tau _{\text{ext}}}$من الناحية النظرية، تصف المعادلات الهيدروديناميكية الناتجة التفاعل الديناميكي بين التدفق الحر والتصادمات بين الجسيمات. تميل الأخيرة إلى دفع الغاز نحو حالة التوازن الموضعي، بينما تعمل الأولى عبر عدم التجانس المكاني لدفع الغاز بعيدًا عن حالة التوازن الموضعي. ^{[ 5 ]} عندما يكون عدد كنودسن من رتبة 1 أو أكبر، لا يمكن وصف الغاز في النظام قيد الدراسة بأنه سائل.

للطلب الأول في${\displaystyle {\text{Kn}}}$نحصل على معادلات نافيير-ستوكس . وتؤدي المعادلات من الرتبة الثانية والثالثة، على التوالي، إلى معادلات بورنيت ومعادلات بورنيت الفائقة.

بما أن عدد كنودسن لا يظهر صراحةً في معادلة بولتزمان، بل ضمنيًا من حيث دالة التوزيع والشروط الحدية، فإن متغيرًا وهميًا${\displaystyle \varepsilon }$تم إدخالها لتتبع الطلبات المناسبة في توسعة تشابمان-إنسكوج:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {1}{\varepsilon }}{\hat {C}}f.}$$

صغير${\displaystyle \varepsilon }$يشير إلى مصطلح التصادم${\displaystyle {\hat {C}}f}$يهيمن على مصطلح البث${\displaystyle \mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}}$وهذا يعني أن عدد كنودسن صغير. وبالتالي، فإن الشكل المناسب لتوسيع تشابمان-إنسكوغ هو

$${\displaystyle f=f^{(0)}+\varepsilon f^{(1)}+\varepsilon ^{2}f^{(2)}+\cdots \ .}$$

تُعرف الحلول التي يمكن توسيعها رسميًا بهذه الطريقة بالحلول العادية لمعادلة بولتزمان. ^{[ 6 ]} يستثني هذا النوع من الحلول المساهمات غير الاضطرابية (مثل${\displaystyle e^{-1/\varepsilon }}$والتي تظهر في الطبقات الحدية أو بالقرب من طبقات الصدمات الداخلية . وبالتالي، فإن نظرية تشابمان-إنسكوغ تقتصر على الحالات التي تكون فيها هذه الحلول ضئيلة.

باستبدال هذا التوسع ومساواة رتب${\displaystyle \varepsilon }$يؤدي إلى التسلسل الهرمي

$${\displaystyle {\begin{aligned}J(f^{(0)},f^{(0)})&=0\\2J(f^{(0)},f^{(n)})&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\right)f^{(n-1)}-\sum _{m=1}^{n-1}J(f^{(m)},f^{(nm)}),\qquad n>0,\end{aligned}}}$$

أين${\displaystyle J}$هو مؤثر تكاملي، خطي في كلا وسيطيه، والذي يحقق${\displaystyle J(f,g)=J(g,f)}$و${\displaystyle J(f,f)={\hat {C}}f}$حل المعادلة الأولى هو توزيع غاوسي:

$${\displaystyle f^{(0)}=n'(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{\text{B}}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m\left|\mathbf {v} -\mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)\right|^{2}}{2k_{\text{B}}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right].}$$

بالنسبة لبعض الوظائف${\displaystyle n'(\mathbf {r} ,t)}$،${\displaystyle \mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)}$، و${\displaystyle T'(\mathbf {r} ,t)}$. التعبير عن${\displaystyle f^{(0)}}$يشير ذلك إلى وجود صلة بين هذه الوظائف والحقول الهيدروديناميكية الفيزيائية المحددة على أنها لحظات${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}n(\mathbf {r} ,t)&=\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)\mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)&=\int \mathbf {v} f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)T(\mathbf {r} ,t)&=\int {\frac {m}{3k_{\text{B}}}}v^{2}f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} .\end{aligned}}}$$

لكن من وجهة نظر رياضية بحتة، فإن مجموعتي الدوال ليستا بالضرورة متطابقتين بالنسبة لـ${\displaystyle \varepsilon >0}$(ل${\displaystyle \varepsilon =0}$(هما متساويان بحكم التعريف). في الواقع، عند اتباع التسلسل الهرمي بشكل منهجي، يجد المرء أنه على غرار${\displaystyle f^{(0)}}$، كل${\displaystyle f^{(n)}}$يحتوي أيضًا على وظائف اختيارية من${\displaystyle \mathbf {r} }$و${\displaystyle t}$والتي لا تُعرف علاقتها بالحقول الهيدروديناميكية الفيزيائية مسبقًا . أحد الافتراضات التبسيطية الرئيسية لنظرية تشابمان-إنسكوغ هو افتراض إمكانية كتابة هذه الدوال، التي تبدو اعتباطية، بدلالة الحقول الهيدروديناميكية الدقيقة وتدرجاتها المكانية. بعبارة أخرى، فإن اعتمادها على المكان والزمان${\displaystyle f}$يدخل ضمنيًا فقط من خلال الحقول الهيدروديناميكية. هذا البيان معقول فيزيائيًا لأن أرقام كنودسن الصغيرة تتوافق مع النظام الهيدروديناميكي، حيث تُحدد حالة الغاز فقط بواسطة الحقول الهيدروديناميكية. في حالة${\displaystyle f^{(0)}}$، الوظائف${\displaystyle n'(\mathbf {r} ,t)}$،${\displaystyle \mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)}$، و${\displaystyle T'(\mathbf {r} ,t)}$يُفترض أنها تساوي تمامًا الحقول الهيدروديناميكية الفيزيائية.

مع أن هذه الافتراضات تبدو معقولة من الناحية الفيزيائية، إلا أن هناك تساؤلاً حول ما إذا كانت الحلول التي تحقق هذه الخصائص موجودة بالفعل. وبشكل أدق، يجب إثبات وجود حلول تحقق

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}\,d\mathbf {v} =0=\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}\mathbf {v} ^{2}\,d\mathbf {v} \\[1ex]\int \sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon ^{n}f^{(n)}v_{i}\,d\mathbf {v} =0,\qquad i\in \{x,y,z\}.\end{aligned}}}$$

علاوة على ذلك، حتى لو وُجدت مثل هذه الحلول، يبقى السؤال الإضافي حول ما إذا كانت تشمل المجموعة الكاملة من الحلول الطبيعية لمعادلة بولتزمان، أي ما إذا كانت لا تمثل تقييدًا مصطنعًا للتوسع الأصلي في${\displaystyle \varepsilon }$من أهم الإنجازات التقنية لنظرية تشابمان-إنسكوغ الإجابة على هذين السؤالين بالإيجاب. ^{[ 6 ]} وبالتالي، على الأقل على المستوى الرسمي، لا يوجد فقدان للعمومية في منهج تشابمان-إنسكوغ.

بعد تحديد هذه الاعتبارات الرسمية، يمكن للمرء أن يشرع في الحساب${\displaystyle f^{(1)}}$والنتيجة هي ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle f^{(1)}=\left[-{\frac {1}{n}}\left({\frac {2k_{\text{B}}T}{m}}\right)^{1/2}\mathbf {A} (\mathbf {v} )\cdot \nabla \ln T-{\frac {2}{n}}\mathbb {B(\mathbf {v} )\colon \nabla } \mathbf {v} _{0}\right]f^{(0)},}$$

أين${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {v} )}$هو متجه و${\displaystyle \mathbb {B} (\mathbf {v} )}$موتر ، كل منها حل لمعادلة تكاملية خطية غير متجانسة يمكن حلها صراحةً بواسطة توسيع متعدد الحدود. هنا، تشير النقطتان الرأسيتان إلى الضرب النقطي المزدوج .${\textstyle \mathbb {T}$ :\mathbb {T'} =\sum _{i,j}T_{ij}T'_{ji}} للموترات${\displaystyle \mathbb {T} }$،${\displaystyle \mathbb {T'} }$.

للحصول على الترتيب الأول في رقم كنودسن، فإن التدفق الحراري${\textstyle \mathbf {q} ={\frac {m}{2}}\int f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)\,v^{2}\mathbf {v} \,d\mathbf {v} }$وُجد أنه يخضع لقانون فورييه لتوصيل الحرارة ، ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle \mathbf {q} =-\lambda \nabla T,}$$

وموتر تدفق الزخم${\textstyle \mathbf {\sigma } =m\int (\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})^{\mathsf {T}}f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)\,d\mathbf {v} }$وهو ما يشبه السائل النيوتوني ، ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle \mathbf {\sigma } =p\mathbb {I} -\mu \left(\nabla \mathbf {v_{0}} +\nabla \mathbf {v_{0}} ^{T}\right)+{\frac {2}{3}}\mu (\nabla \cdot \mathbf {v_{0}} )\mathbb {I} ,}$$

مع${\displaystyle \mathbb {I} }$موتر الهوية. هنا،${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \mu }$تمثل α الموصلية الحرارية وβ اللزوجة. ويمكن حسابهما بشكل صريح بدلالة المعاملات الجزيئية عن طريق حل معادلة تكاملية خطية؛ ويلخص الجدول أدناه النتائج لبعض النماذج الجزيئية المهمة (${\displaystyle m}$كتلة الجزيء و${\displaystyle k_{\text{B}}}$(ثابت بولتزمان). ^{[ 8 ]}

الجدول 1: التعبيرات المتوقعة للتوصيل الحراري واللزوجة.

نموذج	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \lambda }$	ملحوظات
كرات مرنة صلبة قطرها${\displaystyle \sigma }$	${\displaystyle 1.016\cdot {\frac {5}{16\sigma ^{2}}}\left({\frac {k_{\text{B}}mT}{\pi }}\right)^{1/2}}$	${\displaystyle 2.522\cdot {\frac {3}{2}}{\frac {k_{\text{B}}}{m}}\cdot \mu }$	صحح إلى 3 منازل عشرية.
جزيئات ذات قوة تنافرية${\displaystyle \kappa /r^{\nu }}$	${\displaystyle {\frac {5}{8}}{\frac {1}{A_{2}(\nu )\Gamma {\left(4-{\frac {2}{\nu -1}}\right)}}}\left({\frac {k_{\text{B}}mT}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {2k_{\text{B}}T}{\kappa }}\right)^{2/(\nu -1)}}$	${\displaystyle {\frac {15}{4}}{\frac {k_{\text{B}}}{m}}\cdot \mu }$	${\displaystyle \Gamma }$يرمز إلى دالة غاما ، و${\displaystyle A_{2}(\nu )}$هو عامل عددي. وقد ذكر تشابمان وكاولينغ عدة قيم لهذا العامل، على سبيل المثال${\displaystyle A_{2}(5)=0.436}$و${\displaystyle A_{2}(11)=0.319}$[ 9 ]​
إمكانات لينارد-جونز :${\displaystyle V(r)=4\varepsilon \left[{\left({\frac {\sigma }{r}}\right)}^{12}-{\left({\frac {\sigma }{r}}\right)}^{6}\right]}$	${\displaystyle {\frac {5}{16\sigma ^{2}}}\left({\frac {k_{\text{B}}mT}{\pi }}\right)^{1/2}\cdot {\frac {1}{{\mathcal {W}}_{1}^{(2)}(2)}}}$	${\displaystyle {\frac {15}{4}}{\frac {k_{\text{B}}}{m}}\cdot \mu }$	${\displaystyle {\mathcal {W}}_{1}^{(2)}(2)}$هي وظيفة من${\displaystyle k_{\text{B}}T/\varepsilon }$والتي يمكن حسابها عددياً. وهي تختلف من${\displaystyle 5.682}$ل${\displaystyle k_{\text{B}}T/\varepsilon =0.3}$ل${\displaystyle 1.1738}$ل${\displaystyle k_{\text{B}}T/\varepsilon =100}$[ 10 ]​

باستخدام هذه النتائج، يصبح من السهل الحصول على معادلات نافيير-ستوكس. وبأخذ عزوم السرعة لمعادلة بولتزمان، نحصل على معادلات التوازن الدقيقة للحقول الهيدروديناميكية.${\displaystyle n(\mathbf {r} ,t)}$،${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)}$، و${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial n}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(n\mathbf {v} _{0}\right)&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} _{0}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{0}\cdot \nabla \mathbf {v} _{0}-{\frac {\mathbf {F} }{m}}+{\frac {1}{n}}\nabla \cdot \mathbf {\sigma } &=0\\{\frac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {v} _{0}\cdot \nabla T+{\frac {2}{3k_{\text{B}}n}}\left(\mathbf {\sigma$$ :} \nabla \mathbf {v} _{0}+\nabla \cdot \mathbf {q} \right)&=0.\end{aligned}}}

كما في القسم السابق، تشير النقطتان الرأسيتان إلى حاصل الضرب النقطي المزدوج .${\textstyle \mathbb {T}$ :\mathbb {T'} =\sum _{i,j}T_{ij}T'_{ji}} . باستبدال تعبيرات تشابمان-إنسكوغ لـ${\displaystyle \mathbf {q} }$و${\displaystyle \sigma }$، ومن ثم نصل إلى معادلات نافيير-ستوكس.

مقارنة بالتجربة

من أهم تنبؤات نظرية تشابمان-إنسكوج أن اللزوجة،${\displaystyle \mu }$وهي مستقلة عن الكثافة (يمكن ملاحظة ذلك لكل نموذج جزيئي في الجدول 1، ولكنها في الواقع مستقلة عن النموذج). تعود هذه النتيجة غير البديهية إلى جيمس كلارك ماكسويل ، الذي استنتجها عام 1860 بناءً على حجج حركية أبسط. ^{[ 11 ]} وقد تم التحقق منها تجريبياً بشكل جيد للغازات ذات الكثافات العادية.

الجدول 2: القيم المقاسة تجريبياً لـ${\displaystyle f=\lambda /\mu c_{v}}$بالنسبة للغازات النبيلة الخمسة الأولى. ^{[ 12 ]}

الهيليوم	2.45
نيون	2.52
الأرجون	2.48
كريبتون	2.535
زينون	2.58

من ناحية أخرى، تتنبأ النظرية بأن${\displaystyle \mu }$يعتمد ذلك على درجة الحرارة. بالنسبة للكرات المرنة الصلبة، يكون التناسب المتوقع هو${\displaystyle \mu \propto T^{1/2}}$بينما تُظهر النماذج الأخرى عادةً تباينًا أكبر مع درجة الحرارة. على سبيل المثال، بالنسبة للجزيئات التي تتنافر مع بعضها البعض بقوة${\displaystyle \propto r^{-\nu }}$القياس المتوقع هو${\displaystyle \mu \propto T^{s}}$، أين${\displaystyle s=1/2+2/(\nu -1)}$أخذ${\displaystyle s=0.668}$، بما يتوافق مع${\displaystyle \nu \approx 12.9}$يُظهر توافقًا معقولًا مع القياسات التجريبية المُلاحظة للهيليوم. أما بالنسبة للغازات الأكثر تعقيدًا، فإن التوافق ليس جيدًا، ويرجع ذلك على الأرجح إلى إهمال قوى التجاذب. ^{[ 13 ]} في الواقع، يمكن جعل نموذج لينارد-جونز ، الذي يتضمن قوى التجاذب، أكثر توافقًا مع التجربة (وإن كان ذلك على حساب زيادة الغموض).${\displaystyle T}$(انظر مدخل لينارد-جونز في الجدول 1). ^{[ 14 ]} وللحصول على توافق أفضل مع البيانات التجريبية مقارنةً بما تم الحصول عليه باستخدام نموذج لينارد-جونز ، تم استخدام جهد مي الأكثر مرونة ، ^{[ 15 ]} تسمح المرونة الإضافية لهذا الجهد بالتنبؤ الدقيق بخصائص النقل لخلائط مجموعة متنوعة من الجزيئات المتناظرة كرويًا.

تتنبأ نظرية تشابمان-إنسكوج أيضاً بعلاقة بسيطة بين الموصلية الحرارية،${\displaystyle \lambda }$واللزوجة،${\displaystyle \mu }$، بالشكل${\displaystyle \lambda =f\mu c_{v}}$، أين${\displaystyle c_{v}}$هي الحرارة النوعية عند حجم ثابت و${\displaystyle f}$هو عامل عددي بحت. بالنسبة للجزيئات المتناظرة كرويًا، من المتوقع أن تكون قيمته قريبة جدًا من${\displaystyle 2.5}$بطريقة تعتمد قليلاً على النموذج. على سبيل المثال، الكرات المرنة الصلبة لها${\displaystyle f\approx 2.522}$والجزيئات ذات القوة التنافرية${\displaystyle \propto r^{-13}}$يملك${\displaystyle f\approx 2.511}$(تم تجاهل الانحراف الأخير في الجدول 1). الحالة الخاصة لجزيئات ماكسويل (قوة التنافر)${\displaystyle \propto r^{-5}}$) لديه${\displaystyle f=2.5}$ بالضبط. ^{[ 16 ]} منذ${\displaystyle \lambda }$،${\displaystyle \mu }$، و${\displaystyle c_{v}}$يمكن قياسها مباشرة في التجارب، ويتمثل أحد الاختبارات التجريبية البسيطة لنظرية تشابمان-إنسكوج في قياس${\displaystyle f}$بالنسبة للغازات النبيلة ذات التناظر الكروي . يوضح الجدول 2 وجود توافق معقول بين النظرية والتجربة. ^{[ 12 ]}

يمكن توسيع المبادئ الأساسية لنظرية تشابمان-إنسكوغ لتشمل نماذج فيزيائية أكثر تنوعًا، بما في ذلك مخاليط الغازات والجزيئات ذات درجات الحرية الداخلية. في نطاق الكثافة العالية، يمكن تكييف النظرية لحساب انتقال الزخم والطاقة أثناء التصادم، أي الانتقال عبر قطر الجزيء أثناء التصادم، بدلًا من الانتقال عبر المسار الحر المتوسط ​​( بين التصادمات). يتنبأ تضمين هذه الآلية باعتماد اللزوجة على الكثافة عند كثافة عالية كافية، وهو ما يُلاحظ تجريبيًا أيضًا. يُعد الحصول على التصحيحات المستخدمة لحساب الانتقال أثناء التصادم للجزيئات اللينة (مثل جزيئات لينارد-جونز أو مي ) أمرًا معقدًا بشكل عام، ولكن تم تحقيق نجاح في تطبيق نظرية باركر-هندرسون للاضطراب لوصف هذه التأثيرات بدقة حتى الكثافة الحرجة لمختلف مخاليط السوائل. ^{[ 15 ]}

يمكن أيضًا تطبيق النظرية على رتبة أعلى في عدد كنودسن. وعلى وجه الخصوص، المساهمة من الرتبة الثانية${\displaystyle f^{(2)}}$تم حسابها بواسطة بورنيت. ^{[ 17 ]} مع ذلك، في الظروف العامة، قد لا تُحسّن هذه التصحيحات ذات الرتبة الأعلى نظرية الرتبة الأولى تحسينًا موثوقًا، نظرًا لأن متسلسلة تشابمان-إنسكوغ لا تتقارب دائمًا. ^{[ 18 ]} (من ناحية أخرى، يُعتقد أن المتسلسلة على الأقل مقاربة لحلول معادلة بولتزمان، وفي هذه الحالة، يُعطي الاقتطاع عند الرتبة المنخفضة نتائج دقيقة.) ^{[ 19 ]} حتى لو حسّنت التصحيحات ذات الرتبة الأعلى نظامًا معينًا، فإن تفسير المعادلات الهيدروديناميكية المقابلة لا يزال محل نقاش. ^{[ 20 ]}

• ظواهر النقل
• النظرية الحركية للغازات
• معادلة بولتزمان
• معادلات نافيير-ستوكس
• قانون فورييه
• سائل نيوتوني

الدراسة الكلاسيكية حول هذا الموضوع:

• تشابمان، سيدني؛ كاولينج، تي جي (1970)، النظرية الرياضية للغازات غير المتجانسة (  الطبعة الثالثة)، مطبعة جامعة كامبريدج

يحتوي على مقدمة تقنية للحلول العادية لمعادلة بولتزمان:

• غراد، هارولد ( 1958)، "مبادئ النظرية الحركية للغازات"، في فلوغه، س. (محرر)، موسوعة الفيزياء ، المجلد  الثاني عشر، سبرينغر-فيرلاغ، الصفحات 205-294