مفارقة هاوسدورف

مفارقة هاوسدورف هي مفارقة في الرياضيات سميت على اسم فيليكس هاوسدورف . وهي تتضمن الكرة (سطح الكرة ثلاثية الأبعاد في ). وتنص على أنه إذا تمت إزالة مجموعة فرعية معينة قابلة للعد من ، فيمكن تقسيم الباقي إلى ثلاث مجموعات فرعية منفصلة بحيث تكون و جميعها متطابقة . وعلى وجه الخصوص، يتبع ذلك أنه لا يوجد مقياس إضافي محدود محدد على جميع المجموعات الفرعية بحيث يكون مقياس المجموعات المتطابقة متساويًا (لأن هذا يعني أن مقياس هو في نفس الوقت ، ، و من مقياس غير الصفر للكرة بأكملها). ${\displaystyle {S^{2}}}$${\displaystyle {\mathbb {R} ^{3}}}$${\displaystyle {S^{2}}}$${\displaystyle {أ،ب}}$${\displaystyle {C}}$${\displaystyle {أ،ب،ج}}$${\displaystyle {B\c}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle {B\c}}$${\displaystyle 1/3}$${\displaystyle 1/2}$${\displaystyle 2/3}$

نُشرت المفارقة في مجلة Mathematische Annalen عام 1914، كما نُشرت أيضًا في كتاب هاوسدورف، Grundzüge der Mengenlehre ، في نفس العام. يعتمد إثبات مفارقة باناخ-تارسكي الأكثر شهرة على أفكار هاوسدورف. يعتمد إثبات هذه المفارقة على بديهية الاختيار .

تُظهر هذه المفارقة أنه لا يوجد مقياس إضافي محدود على كرة محددة في جميع المجموعات الفرعية والتي تكون متساوية في القطع المتطابقة. (أظهر هاوسدورف أولاً في نفس الورقة النتيجة الأسهل التي مفادها أنه لا يوجد مقياس إضافي قابل للعد محدد في جميع المجموعات الفرعية.) تلعب بنية مجموعة الدورات على الكرة دورًا حاسمًا هنا - العبارة ليست صحيحة على المستوى أو الخط. في الواقع، كما أظهر باناخ لاحقًا ، ^[1] من الممكن تحديد "مساحة" لجميع المجموعات الفرعية المحدودة في المستوى الإقليدي (وكذلك "الطول" على الخط الحقيقي) بطريقة تجعل المجموعات المتطابقة لها "مساحة" متساوية. ( ومع ذلك، فإن مقياس باناخ هذا هو جمعي محدود فقط، وبالتالي فهو ليس مقياسًا بالمعنى الكامل، ولكنه يساوي مقياس ليبيج على المجموعات التي يوجد لها الأخير.) وهذا يعني أنه إذا كانت مجموعتان فرعيتان مفتوحتان من المستوى (أو الخط الحقيقي) قابلتين للتحلل بشكل متساوٍ، فإنهما تتمتعان بمساحة متساوية.

• مفارقة باناخ-تارسكي  – نظرية هندسية
• مفارقات نظرية المجموعات

• هاوسدورف، فيليكس (1914). "Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen". الرياضيات أنالن . 75 (3): 428-434. دوى :10.1007/bf01563735. S2CID  123243365.(المقالة الأصلية؛ باللغة الألمانية)
• هاوسدورف، فيليكس (1914). Grundzüge der Mengenlehre (في المانيا).

• مفارقة هاوسدورف على ProofWiki