مجموعة الدوران ثلاثية الأبعاد

في الميكانيكا والهندسة ، تُعرف مجموعة الدوران ثلاثية الأبعاد ، والتي يُرمز لها غالبًا بـ SO (3) ، بأنها مجموعة جميع الدورانات حول نقطة الأصل في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$في إطار عملية التركيب ، التي تجمع بين دورتين من خلال تنفيذ واحدة تلو الأخرى. ^{[ 1 ]}

الدوران حول نقطة هو تحويل يحافظ على تلك النقطة، مع الحفاظ أيضًا على المسافة الإقليدية بين أي نقطتين (لذا فهو تحويل متساوي القياس )، والاتجاه (أي اتجاه الفضاء). ينتج عن تركيب دورانين دوران آخر، ولكل دوران دوران عكسي فريد ، وتُحقق دالة التطابق تعريف الدوران. نظرًا للخصائص المذكورة أعلاه (إلى جانب خاصية التجميع للدورانات المركبة )، فإن مجموعة جميع الدورانات تُشكل زمرة تحت التركيب.

تُحدد كل دورة غير تافهة بمحور دورانها (خط يمر بنقطة الأصل) وزاوية دورانها. الدورات ليست تبادلية (على سبيل المثال، دوران R بزاوية 90° في المستوى xy متبوعًا بدوران S بزاوية 90° في المستوى yz ليس هو نفسه دوران S متبوعًا بدوران R )، مما يجعل زمرة الدوران ثلاثية الأبعاد زمرة غير تبديلية . علاوة على ذلك، تتمتع زمرة الدوران ببنية طبيعية كمتشعب تكون عمليات الزمرة فيه قابلة للتفاضل بسلاسة ، لذا فهي في الواقع زمرة لي . وهي زمرة متراصة ذات بُعد 3.

الدورانات هي تحويلات خطية لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$وبالتالي يمكن تمثيلها بواسطة المصفوفات بمجرد وجود أساس ( متجهات الوحدة المتعامدة الثلاثة للمحاور x و y و z)${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$تم اختيارها. على وجه التحديد، إذا اخترنا أساسًا متعامدًا من${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$تُوصَف كل عملية دوران بمصفوفة متعامدة 3 × 3 (أي مصفوفة 3 × 3 ذات عناصر حقيقية، والتي عند ضربها بمنقولتها تُعطي مصفوفة الوحدة ) ومحددها يساوي 1. وبالتالي، يمكن تعريف المجموعة SO(3) بأنها مجموعة هذه المصفوفات تحت عملية ضرب المصفوفات . تُعرف هذه المصفوفات باسم "المصفوفات المتعامدة الخاصة"، وهو ما يفسر استخدام الرمز SO(3).

تُستخدم المجموعة SO(3) لوصف التناظرات الدورانية الممكنة لجسم ما، بالإضافة إلى التوجهات الممكنة لهذا الجسم في الفضاء. وتُعدّ تمثيلاتها مهمة في الفيزياء، حيث تُنتج الجسيمات الأولية ذات اللف المغزلي الصحيح .

إلى جانب الحفاظ على الطول، تحافظ عمليات الدوران أيضًا على الزوايا بين المتجهات. وينتج هذا عن حقيقة أن الضرب القياسي بين متجهين u و v يمكن كتابته بدلالة الطول فقط (انظر قانون جيب التمام ): $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ={\tfrac {1}{2}}\left(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} \|^{2}-\|\mathbf {v} \|^{2}\right).}$$

ويترتب على ذلك أن كل تحويل خطي يحافظ على الطول في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يحافظ على الضرب القياسي، وبالتالي الزاوية بين المتجهات. غالبًا ما تُعرَّف الدورانات على أنها تحويلات خطية تحافظ على الضرب الداخلي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$وهذا يعادل اشتراط الحفاظ على الطول. انظر إلى المجموعة الكلاسيكية لمعالجة هذا النهج الأكثر عمومية، حيث تظهر SO(3) كحالة خاصة.

كل عملية دوران ترسم أساسًا متعامدًا لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$إلى أساس متعامد معياري آخر. مثل أي تحويل خطي لفضاءات متجهة _ذات أبعاد محدودة ، يمكن دائمًا تمثيل الدوران بمصفوفة . ليكن R دورانًا معطى. بالنسبة للأساس القياسي e1 _، e2 _، e3 لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$تُعطى أعمدة R بالصيغة ( R e ₁ , R e ₂ , R e ₃ ) . وبما أن الأساس القياسي متعامد، وبما أن R يحافظ على الزوايا والطول، فإن أعمدة R تُشكل أساسًا متعامدًا آخر. ويمكن التعبير عن شرط التعامد هذا بالشكل التالي:

${\displaystyle R^{\mathsf {T}}R=RR^{\mathsf {T}}=I,}$

حيث يرمز R ^T إلى منقولة المصفوفة R ، و I هي مصفوفة الوحدة من الرتبة 3×3 . تُسمى المصفوفات التي تحقق هذه الخاصية بالمصفوفات المتعامدة . يُرمز إلى مجموعة جميع المصفوفات المتعامدة من الرتبة 3×3 بالرمز O(3) ، وهي تتكون من جميع الدورانات الصحيحة وغير الصحيحة.

إضافةً إلى الحفاظ على الطول، يجب أن تحافظ عمليات الدوران الصحيحة أيضًا على الاتجاه. تحافظ المصفوفة على اتجاهها أو تعكسه تبعًا لما إذا كان محددها موجبًا أم سالبًا. بالنسبة للمصفوفة المتعامدة R ، لاحظ أن det R ^T = det R يستلزم (det R ) ² = 1 ، وبالتالي det R = ±1 . تُسمى المجموعة الفرعية من المصفوفات المتعامدة ذات المحدد +1 بالمجموعة المتعامدة الخاصة ، ويُرمز لها بـ SO(3) .

وبالتالي، يمكن تمثيل كل دوران بشكل فريد بواسطة مصفوفة متعامدة ذات محدد يساوي واحدًا. علاوة على ذلك، بما أن تركيب الدورانات يقابل ضرب المصفوفات ، فإن مجموعة الدورانات متماثلة مع المجموعة المتعامدة الخاصة SO(3) .

تتوافق الدورانات غير الصحيحة مع المصفوفات المتعامدة ذات المحدد -1 ، وهي لا تشكل مجموعة لأن حاصل ضرب دورانين غير صحيحين هو دوران صحيح.

مجموعة الدوران هي مجموعة تحت تركيب الدوال (أو ما يعادلها، حاصل ضرب التحويلات الخطية ). وهي مجموعة جزئية من المجموعة الخطية العامة التي تتكون من جميع التحويلات الخطية القابلة للعكس في الفضاء الحقيقي ثلاثي الأبعاد.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$[ ^{2 ]​}

علاوة على ذلك، فإن مجموعة الدوران غير تبديلية . أي أن ترتيب الدورانات يُحدث فرقًا. على سبيل المثال، ربع دورة حول المحور السيني الموجب متبوعة بربع دورة حول المحور الصادي الموجب تُعدّ دورانًا مختلفًا عن الدوران الناتج عن الدوران أولًا حول المحور الصادي ثم حول المحور السيني .

تتولد المجموعة المتعامدة، التي تتكون من جميع الدورانات الصحيحة وغير الصحيحة، عن طريق الانعكاسات. كل دوران صحيح هو تركيب لانعكاسين، وهي حالة خاصة من نظرية كارتان-ديودونيه .

كل دوران صحيح غير تافه في ثلاثة أبعاد يحدد فضاءً فرعيًا خطيًا فريدًا أحادي البعد من${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يُسمى هذا المحور محور الدوران (وهذه هي نظرية أويلر للدوران ). يعمل كل دوران من هذا النوع كدوران ثنائي الأبعاد عادي في المستوى العمودي على هذا المحور. وبما أن كل دوران ثنائي الأبعاد يمكن تمثيله بزاوية φ ، فإنه يمكن تحديد أي دوران ثلاثي الأبعاد بمحور دوران وزاوية دوران حول هذا المحور. (من الناحية الفنية، يجب تحديد اتجاه المحور وما إذا كان الدوران باتجاه عقارب الساعة أو عكسها بالنسبة لهذا الاتجاه).

على سبيل المثال، يُعطى الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحور z الموجب بزاوية φ بالعلاقة التالية:

${\displaystyle R_{z}(\phi )={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$

بفرض متجه وحدة n في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$وزاوية φ ، ليكن R ( φ , n ) يمثل دورانًا عكس اتجاه عقارب الساعة حول المحور المار بالنقطة n (مع تحديد الاتجاه بواسطة n ). عندئذٍ

• R (0, n ) هو التحويل المحايد لأي قيمة لـ n
• ر ( φ , n ) = ر (− φ , − n )
• ر ( π + φ , n ) = ر ( π − φ , − n ).

باستخدام هذه الخصائص، يمكن إثبات أن أي دوران يمكن تمثيله بزاوية فريدة φ في النطاق 0 ≤ φ ≤ π ومتجه وحدة n بحيث

• تكون قيمة n اختيارية إذا كانت φ = 0
• تكون قيمة n فريدة إذا كانت 0 < φ < π
• يكون n فريدًا حتى إشارة إذا كان φ = π (أي أن الدورانات R ( π , ± n ) متطابقة).

في القسم التالي، يتم استخدام هذا التمثيل للدوران لتحديد SO(3) طوبولوجيًا مع الفضاء الإسقاطي الحقيقي ثلاثي الأبعاد.

ضع في اعتبارك الكرة الصلبة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$نصف قطره π (أي جميع نقاط${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$(على مسافة π أو أقل من نقطة الأصل). بناءً على ما سبق، لكل نقطة على هذه الكرة دوران، محوره يمر بالنقطة ونقطة الأصل، وزاوية الدوران تساوي بُعد النقطة عن نقطة الأصل. الدوران المتطابق يُقابل النقطة في مركز الكرة. الدورانات بزاوية 𝜃 بين 0 و π (باستثناء أي منهما) تكون على نفس المحور وعلى نفس المسافة. الدورانات بزوايا بين 0 و − π تُقابل النقطة على نفس المحور وعلى نفس المسافة من نقطة الأصل ولكن على الجانب المقابل لها. المسألة المتبقية هي أن الدورانين بزاوية π وزاوية − π متطابقان. لذلك نُحدد (أو "نلصق") النقاط المتقابلة على سطح الكرة. بعد هذا التحديد، نصل إلى فضاء طوبولوجي متماثل مع مجموعة الدوران.

في الواقع، الكرة ذات النقاط السطحية المتقابلة المحددة هي فضاء متعدد الشعب أملس ، وهذا الفضاء متعدد الشعب متماثل مع مجموعة الدوران. كما أنه متماثل مع الفضاء الإسقاطي ثلاثي الأبعاد الحقيقي.${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ),}$لذا يمكن أن يكون الأخير بمثابة نموذج طوبولوجي لمجموعة الدوران.

توضح هذه التحديدات أن SO(3) متصل ولكنه ليس اتصالًا بسيطًا . بالنسبة للحالة الأخيرة، في الكرة ذات النقاط السطحية المتقابلة المحددة، تخيل المسار الممتد من "القطب الشمالي" مباشرةً عبر الداخل وصولًا إلى القطب الجنوبي. هذه حلقة مغلقة، نظرًا لتحديد القطبين الشمالي والجنوبي. لا يمكن تقليص هذه الحلقة إلى نقطة، لأنه مهما تشوهت، يجب أن تظل نقطتا البداية والنهاية متقابلتين، وإلا ستنفتح الحلقة. من حيث الدوران، تمثل هذه الحلقة سلسلة متصلة من الدورانات حول المحور z، تبدأ (على سبيل المثال) من نقطة التطابق (مركز الكرة)، مرورًا بالقطب الجنوبي، ثم الانتقال إلى القطب الشمالي، وتنتهي مرة أخرى عند نقطة التطابق (أي سلسلة من الدوران بزاوية φ حيث تتراوح φ من 0 إلى 2π ) .

بشكلٍ مُثير للدهشة، فإنّ تكرار المسار مرتين، أي من القطب الشمالي إلى القطب الجنوبي، ثم العودة إلى القطب الشمالي (باستخدام حقيقة تحديد القطبين الشمالي والجنوبي)، ثم تكراره مرة أخرى من القطب الشمالي إلى القطب الجنوبي، بحيث تتراوح قيمة φ من 0 إلى 4π ، يُعطي حلقةً مُغلقة يُمكن تقليصها إلى نقطة واحدة: أولًا، نُحرّك المسارات بشكلٍ مُستمر إلى سطح الكرة، مع الاستمرار في توصيل القطب الشمالي بالقطب الجنوبي مرتين. يُمكن بعد ذلك عكس المسار الثاني إلى الجانب المُقابل دون تغيير المسار على الإطلاق. الآن لدينا حلقة مُغلقة عادية على سطح الكرة، تُوصّل القطب الشمالي بنفسه على طول دائرة عظمى . يُمكن تقليص هذه الدائرة إلى القطب الشمالي دون مشاكل. تُوضّح خدعة الصفيحة والخدع المُشابهة ذلك عمليًا.

يمكن تطبيق نفس الحجة بشكل عام، وهي تُظهر أن المجموعة الأساسية لـ SO(3) هي المجموعة الدورية من الرتبة 2 (مجموعة تحتوي على عنصرين).

الغطاء الشامل لـ SO(3) هو زمرة لي تُسمى Spin(3) . الزمرة Spin(3) متماثلة مع الزمرة الوحدوية الخاصة SU(2)؛ وهي أيضًا متماثلة تفاضليًا مع الكرة الثلاثية S3 ^، ويمكن فهمها على أنها زمرة المتجهات ( الأعداد الرباعية ذات القيمة المطلقة 1). يُشرح الارتباط بين الأعداد الرباعية والدورانات، والذي يُستغل عادةً في رسومات الحاسوب ، في قسم الأعداد الرباعية والدورانات المكانية . التطبيق من S3 إلى SO(3) الذي يُحدد النقاط المتقابلة لـ ^S3 هو تشاكل شامل لزمر لي، بنواة {±1}. ^{من الناحية الطوبولوجية، هذا التطبيق هو} تطبيق تغطية ثنائي إلى أحادي .

في تطبيقات الفيزياء ، وخاصة ميكانيكا الكم ، يسمح هذا الغطاء المزدوج بوجود أجسام تُعرف باسم السبينورات ، وهو أداة مهمة في تطوير نظرية الإحصاء الدوراني . (انظر أيضًا السبينورات في ثلاثة أبعاد ).

في هذا القسم، نقدم بنيتين مختلفتين لتشاكل ثنائي إلى واحد وشامل من SU(2) إلى SO(3).

باستخدام تحويلات موبيوس

المرجع العام لهذا القسم هو جيلفاند، مينلوس وشابيرو (1963) . النقاط P على الكرة

${\displaystyle \mathbf {S} =\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}={\tfrac {1}{4}}\right\}}$

يمكن ، باستثناء القطب الشمالي N ، وضع إسقاط S في تقابل أحادي مع النقاط S ( P ) = P' على المستوى M المحدد بالمعادلة z = −1/2 ، انظر الشكل . يُسمى هذا الإسقاط S إسقاطًا مجسمًا .

لنفترض أن إحداثيات النقطة M هي ( ξ , η ) . يمكن تمثيل الخط L المار بالنقطتين N و P بالمعادلة التالية:

${\displaystyle L(t)=N+t(N-P)=\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)+t\left(\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)-(x,y,z)\right),\quad t\in \mathbb {R} .}$

يطالب بأن يكون الإحداثي z لـ${\displaystyle L(t_{0})}$يساوي − 1 / 2 ، نجد​

${\displaystyle t_{0}={\frac {1}{z-{\frac {1}{2}}}}.}$

لدينا${\displaystyle L(t_{0})=(\xi ,\eta ,-1/2).}$ومن هنا الخريطة

${\displaystyle {\begin{cases}S:\mathbf {S} \to M\\P=(x,y,z)\longmapsto P'=(\xi ,\eta )=\left({\dfrac {x}{{\tfrac {1}{2}}-z}},{\dfrac {y}{{\tfrac {1}{2}}-z}}\right)\equiv \zeta =\xi +i\eta \end{cases}}}$

حيث يتم تعريف المستوى M، لأغراض التسهيل لاحقاً، على أنه المستوى المركب${\displaystyle \mathbb {C} .}$

وللعكس، اكتب L على النحو التالي:

${\displaystyle L=N+s(P'-N)=\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)+s\left(\left(\xi ,\eta ,-{\tfrac {1}{2}}\right)-\left(0,0,{\tfrac {1}{2}}\right)\right),}$

ونطلب x² + y² + z² = ^1/4 لإيجاد s = 1/1 + ξ² + ^η² ، وبالتالي^​​​​​​​​​^​​

${\displaystyle {\begin{cases}S^{-1}:M\to \mathbf {S} \\P'=(\xi ,\eta )\longmapsto P=(x,y,z)=\left({\dfrac {\xi }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\dfrac {\eta }{1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}},{\dfrac {-1+\xi ^{2}+\eta ^{2}}{2+2\xi ^{2}+2\eta ^{2}}}\right)\end{cases}}}$

إذا كانت g ∈ SO(3) عبارة عن دوران، فإنها ستنقل النقاط على S إلى نقاط على S بواسطة فعلها القياسي Π _s ( g ) على فضاء التضمين${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$بتركيب هذا الفعل مع S ، نحصل على تحويل S ∘ Π _s ( g ) ∘ S ⁻¹ لـ M ،

${\displaystyle \zeta =P'\longmapsto P\longmapsto \Pi _{s}(g)P=gP\longmapsto S(gP)\equiv \Pi _{u}(g)\zeta =\zeta '.}$

وبالتالي فإن Π _u ( g ) هو تحويل لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$مرتبط بالتحويل Π _s ( g ) لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

اتضح أن g ∈ SO(3) المُمثلة بهذه الطريقة بواسطة Π _u ( g ) يمكن التعبير عنها كمصفوفة Π _u ( g ) ∈ SU(2) (حيث يتم إعادة استخدام الترميز لاستخدام نفس اسم المصفوفة كما هو الحال بالنسبة لتحويل${\displaystyle \mathbb {C} }$(يمثل ذلك). لتحديد هذه المصفوفة، ضع في اعتبارك أولاً دوران g _φ حول المحور z بزاوية φ ،

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cos \phi -y\sin \phi ,\\y'&=x\sin \phi +y\cos \phi ,\\z'&=z.\end{aligned}}}$

لذلك

${\displaystyle \zeta '={\frac {x'+iy'}{{\tfrac {1}{2}}-z'}}={\frac {e^{i\phi }(x+iy)}{{\tfrac {1}{2}}-z}}=e^{i\phi }\zeta ={\frac {e^{\frac {i\phi }{2}}\zeta +0}{0\zeta +e^{-{\frac {i\phi }{2}}}}},}$

_{وهو، كما هو} متوقع، دوران في المستوى المركب. وبالمثل، إذا كان gθ دورانًا حول المحور x بزاوية θ ، فإن

${\displaystyle w'=e^{i\theta }w,\quad w={\frac {y+iz}{{\frac {1}{2}}-x}},}$

والتي، بعد إجراء بعض العمليات الجبرية، تصبح

${\displaystyle \zeta '={\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}\zeta +i\sin {\frac {\theta }{2}}}{i\sin {\frac {\theta }{2}}\zeta +\cos {\frac {\theta }{2}}}}.}$

هاتان الدورتان،${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta },}$وبالتالي تتوافق مع التحويلات الثنائية الخطية لـ R ² ≃ C ≃ M ، أي أنها أمثلة على تحويلات موبيوس .

يُعطى تحويل موبيوس العام بالصيغة التالية

${\displaystyle \zeta '={\frac {\alpha \zeta +\beta }{\gamma \zeta +\delta }},\quad \alpha \delta -\beta \gamma \neq 0.}$

الدورات،${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$تُنتج جميع عناصر SO(3) ، وتُظهر قواعد تركيب تحويلات موبيوس أن أي تركيب من${\displaystyle g_{\phi },g_{\theta }}$يُترجم ذلك إلى التركيب المقابل لتحويلات موبيوس. ويمكن تمثيل تحويلات موبيوس بواسطة المصفوفات.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},\qquad \alpha \delta -\beta \gamma =1,}$

بما أن العامل المشترك α , β , γ , δ يلغي.

وللسبب نفسه، فإن المصفوفة غير مُعرَّفة تعريفًا فريدًا، إذ أن الضرب في −I لا يؤثر على المحدد أو على تحويل موبيوس. ويتبع قانون تركيب تحويلات موبيوس قانون تركيب المصفوفات المناظرة. والخلاصة أن كل تحويل موبيوس يُقابل مصفوفتين g و −g ∈ SL(2, C ) .

باستخدام هذه المراسلات، يمكن للمرء أن يكتب

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{u}(g_{\phi })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}},\\\Pi _{u}(g_{\theta })&=\Pi _{u}\left[{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}\right]=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

هذه المصفوفات وحدوية، وبالتالي فإن Π _u (SO(3)) ⊂ SU(2) ⊂ SL(2, C ) . وباستخدام زوايا أويلر ^{[ ملاحظة 1 ]} ، نجد أنه بالنسبة للدوران العام

${\displaystyle {\begin{aligned}g(\phi ,\theta ,\psi )=g_{\phi }g_{\theta }g_{\psi }&={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0\\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos \phi \cos \psi -\cos \theta \sin \phi \sin \psi &-\cos \phi \sin \psi -\cos \theta \sin \phi \cos \psi &\sin \phi \sin \theta \\\sin \phi \cos \psi +\cos \theta \cos \phi \sin \psi &-\sin \phi \sin \psi +\cos \theta \cos \phi \cos \psi &-\cos \phi \sin \theta \\\sin \psi \sin \theta &\cos \psi \sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

1

يمتلك المرء ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{u}(g(\phi ,\theta ,\psi ))&=\pm {\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\phi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\phi }{2}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}&-i\sin {\frac {\theta }{2}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}&\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{i{\frac {\psi }{2}}}&0\\0&e^{-i{\frac {\psi }{2}}}\end{pmatrix}}\\&=\pm {\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\phi +\psi }{2}}}&-i\sin {\frac {\theta }{2}}e^{i{\frac {\phi -\psi }{2}}}\\i\sin {\frac {\theta }{2}}e^{-i{\frac {\phi -\psi }{2}}}&\cos {\frac {\theta }{2}}e^{-i{\frac {\phi +\psi }{2}}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

2

أما بالنسبة للعكس، فضع في اعتبارك مصفوفة عامة

${\displaystyle \pm \Pi _{u}(g_{\alpha ,\beta })=\pm {\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\-{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}\in \operatorname {SU} (2).}$

قم بإجراء الاستبدالات

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\tfrac {\theta }{2}}&=|\alpha |,&\sin {\tfrac {\theta }{2}}&=|\beta |,&(0\leq \theta \leq \pi ),\\{\tfrac {1}{2}}(\phi +\psi )&=\arg \alpha ,&{\tfrac {1}{2}}(\psi -\phi )&=\arg \beta .&\end{aligned}}}$

بإجراء هذه الاستبدالات، تأخذ Π( gα _{, β} ) شكل الطرف الأيمن ( RHS ) من المعادلة ( ₂ ) ، والذي يقابل تحت تأثير _Πu مصفوفة على شكل الطرف الأيمن من المعادلة ( 1 ) بنفس قيم φ و θ و ψ . بدلالة المعاملات المركبة α و β ،

${\displaystyle g_{\alpha ,\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}-{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {i}{2}}\left(-\alpha ^{2}-\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\\{\frac {i}{2}}\left(\alpha ^{2}-\beta ^{2}-{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+{\overline {\alpha ^{2}}}+{\overline {\beta ^{2}}}\right)&-i\left(+\alpha \beta -{\overline {\alpha }}{\overline {\beta }}\right)\\\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta &i\left(-\alpha {\overline {\beta }}+{\overline {\alpha }}\beta \right)&\alpha {\overline {\alpha }}-\beta {\overline {\beta }}\end{pmatrix}}.}$

للتحقق من ذلك، استبدل α و β بعناصر المصفوفة في الطرف الأيمن من المعادلة ( 2 ). بعد بعض التعديلات، تأخذ المصفوفة شكل الطرف الأيمن من المعادلة ( 1 ).

يتضح من الصيغة الصريحة بدلالة زوايا أويلر أن الخريطة

${\displaystyle {\begin{cases}p:\operatorname {SU} (2)\to \operatorname {SO} (3)\\\pm \Pi _{u}(g_{\alpha \beta })\mapsto g_{\alpha \beta }\end{cases}}}$

إنّ ما وُصف للتو هو تشاكل زمر سلس، من الرتبة 2:1، وشامل . وبالتالي، فهو وصف صريح للفضاء الشامل للتغطية SO(3) من زمرة التغطية الشاملة SU(2) .

يرتبط بكل زمرة لي جبر لي خاص بها، وهو فضاء خطي له نفس بُعد زمرة لي، مغلق تحت جداء ثنائي خطي متناوب يُسمى قوس لي . جبر لي لـ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ويتكون من جميع المصفوفات المتناظرة المائلة 3 × 3. ^{[ 6 ]} ويمكن ملاحظة ذلك من خلال تفاضل شرط التعامد .${\displaystyle A^{T}A=I,\ A\in \operatorname {SO} (3)}$[ ^{ملاحظة 2 ] قوس} لي لعنصرين من${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$أما بالنسبة لجبر لي لكل مجموعة مصفوفات، فيتم إعطاؤه بواسطة مبدل المصفوفات ،${\displaystyle [A_{1},A_{2}]=A_{1}A_{2}-A_{2}A_{1}}$وهي بدورها مصفوفة متناظرة معكوسة. يجسد قوس جبر لي جوهر ضرب زمرة لي بمعنى محدد بدقة بواسطة صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف .

عناصر${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$هي "المولدات المتناهية الصغر" للدوران، أي أنها عناصر الفضاء المماسي للمتشعب${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$عند عنصر الهوية. إذا${\displaystyle R(\phi ,{\boldsymbol {n}})}$يشير إلى دوران عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية${\displaystyle \phi }$حول المحور المحدد بواسطة متجه الوحدة${\displaystyle {\boldsymbol {n}},}$ثم

${\displaystyle \forall {\boldsymbol {u}}\in \mathbb {R} ^{3}:\qquad \left.{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \phi }}\right|_{\phi =0}R(\phi ,{\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {u}}.}$

يمكن استخدام هذا لإثبات أن جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$(مع المُبدِّل) متماثل مع جبر لي${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$(مع الضرب الاتجاهي ). في ظل هذا التشاكل، متجه أويلر${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\in \mathbb {R} ^{3}}$يتوافق مع الخريطة الخطية${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}}$محدد بواسطة${\displaystyle {\widetilde {\boldsymbol {\omega }}}({\boldsymbol {u}})={\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {u}}.}$

وبمزيد من التفصيل، غالباً ما يكون ذلك أساساً مناسباً لـ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$باعتبارها فضاءً متجهيًا ثلاثي الأبعاد

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}},\quad {\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

علاقات التبادل لهذه العناصر الأساسية هي:

${\displaystyle [{\boldsymbol {L}}_{x},{\boldsymbol {L}}_{y}]={\boldsymbol {L}}_{z},\quad [{\boldsymbol {L}}_{z},{\boldsymbol {L}}_{x}]={\boldsymbol {L}}_{y},\quad [{\boldsymbol {L}}_{y},{\boldsymbol {L}}_{z}]={\boldsymbol {L}}_{x}}$

والتي تتفق مع علاقات متجهات الوحدة القياسية الثلاثة لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$تحت الضرب الاتجاهي.

كما أُعلن أعلاه، يمكن تحديد أي مصفوفة في جبر لي هذا باستخدام متجه أويلر${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3},}$^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}\cdot {\boldsymbol {L}}=x{\boldsymbol {L}}_{x}+y{\boldsymbol {L}}_{y}+z{\boldsymbol {L}}_{z}={\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\in {\mathfrak {so}}(3).}$

يُطلق على هذا التصنيف أحيانًا اسم خريطة القبعات . ^{[ 8 ]} وبموجب هذا التصنيف، فإن${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$يتوافق القوس مع${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$إلى الضرب الاتجاهي ،

${\displaystyle \left[{\widehat {\boldsymbol {u}}},{\widehat {\boldsymbol {v}}}\right]={\widehat {{\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}}.}$

المصفوفة المحددة بواسطة متجه${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$يمتلك الخاصية التي

${\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {u}}}{\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}},}$

حيث نجري عملية ضرب المصفوفات العادية على الجانب الأيسر. وهذا يعني${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$يقع في الفضاء الصفري للمصفوفة المتناظرة المائلة التي يُعرَّف بها، لأن${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}.}$

بما أن SO(3) هي زمرة لي مصفوفية، فإن خريطتها الأسية تُعرَّف باستخدام متسلسلة الأسية المصفوفية القياسية .

${\displaystyle {\begin{cases}\exp$ :{\mathfrak {so}}(3)\to \operatorname {SO} (3)\\A\mapsto e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\tfrac {1}{2}}A^{2}+\cdots .\end{cases}}}

لأي مصفوفة متناظرة معكوسة A ∈ 𝖘𝖔(3) ، فإن e ^A تنتمي دائمًا إلى SO(3) . يستخدم البرهان الخصائص الأساسية للدالة الأسية للمصفوفة

${\displaystyle \left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}}e^{A}=e^{A^{\textsf {T}}+A}=e^{-A+A}=e^{A-A}=e^{A}\left(e^{A}\right)^{\textsf {T}}=e^{0}=I.}$

بما أن المصفوفتين A و A ^T تبادليتان، يمكن إثبات ذلك بسهولة باستخدام شرط المصفوفة المتناظرة عكسيًا. هذا لا يكفي لإثبات أن 𝖘𝖔(3) هي جبر لي المقابل لـ SO(3) ، ويجب إثبات ذلك بشكل منفصل.

يعتمد مستوى صعوبة البرهان على كيفية تعريف جبر لي لمجموعة المصفوفات. يُعرّف هول (2003) جبر لي بأنه مجموعة المصفوفات

${\displaystyle \left\{A\in \operatorname {M} (n,\mathbb {R} )\left|e^{tA}\in \operatorname {SO} (3)\forall t\right.\right\},}$

وفي هذه الحالة يكون الأمر بديهيًا. يستخدم روسمان (2002) تعريفًا لمشتقات أجزاء المنحنيات الملساء في SO(3) من خلال المتطابقة المأخوذة عند المتطابقة، وفي هذه الحالة يكون الأمر أكثر صعوبة. ^{[ 10 ]}

بالنسبة لـ A ≠ 0 ثابتة ، فإن e ^tA , −∞ < t < ∞ هي زمرة فرعية ذات مُعامل واحد على طول خط جيوديسي في SO(3) . وينتج عن ذلك زمرة فرعية ذات مُعامل واحد مباشرةً من خصائص الدالة الأسية. ^{[ 11 ]}

تُوفّر الدالة الأسية تماثلاً تفاضلياً بين جوار نقطة الأصل في 𝖘𝖔(3) وجوار نقطة التطابق في SO(3) . ^{[ 12 ]} للاطلاع على البرهان، انظر نظرية الزمرة الجزئية المغلقة .

الدالة الأسية شاملة . وينتج هذا من حقيقة أن كل R ∈ SO(3) ، حيث أن كل دوران يُبقي أحد المحاور ثابتًا ( نظرية دوران أويلر )، وهي مترافقة مع مصفوفة قطرية كتلية من الشكل

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{pmatrix}}=e^{\theta L_{z}},}$

بحيث يكون A = BDB ⁻¹ ، و

${\displaystyle Be^{\theta L_{z}}B^{-1}=e^{B\theta L_{z}B^{-1}},}$

بالإضافة إلى حقيقة أن 𝖘𝖔(3) مغلقة تحت التأثير المرافق لـ SO(3) ، مما يعني أن BθL _z B ⁻¹ ∈ 𝖘𝖔(3) .

وهكذا، على سبيل المثال، يسهل التحقق من الهوية الشائعة

${\displaystyle e^{-\pi L_{x}/2}e^{\theta L_{z}}e^{\pi L_{x}/2}=e^{\theta L_{y}}.}$

كما هو موضح أعلاه، يرتبط كل عنصر A ∈ 𝖘𝖔(3) بمتجه ω = θ u ، حيث u = ( x , y , z ) متجه ذو مقدار وحدة. وبما أن u يقع في الفضاء الصفري لـ A ، فإذا تم تدوير المصفوفة إلى أساس جديد، عبر مصفوفة متعامدة أخرى O ، مع اعتبار u محور z ، فإن العمود والصف الأخيرين من مصفوفة الدوران في الأساس الجديد سيكونان صفرًا.

وبالتالي، نعلم مسبقًا من صيغة الدالة الأسية أن exp( OAO ^T ) يجب أن تُبقي u ثابتة. من المستحيل رياضيًا إيجاد صيغة مباشرة لمثل هذه القاعدة كدالة لـ u ، لأن وجودها سيُخالف نظرية الكرة المشعرة ؛ لكن الرفع الأسي المباشر ممكن، ويُعطي

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp({\tilde {\boldsymbol {\omega }}})&=\exp(\theta ({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}))=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\end{bmatrix}}\right)\\[4pt]&=I+s({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}})+(1-c)({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}})^{2}\\[4pt]&={\begin{bmatrix}c+x^{2}(1-c)&-zs+xy(1-c)&ys+xz(1-c)\\zs+yx(1-c)&c+y^{2}(1-c)&-xs+yz(1-c)\\-ys+zx(1-c)&xs+zy(1-c)&c+z^{2}(1-c)\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

أين${\textstyle c=\cos \theta }$و${\textstyle s=\sin \theta }$. يُعرف هذا بأنه مصفوفة للدوران حول المحور u بالزاوية θ : انظر صيغة دوران رودريغز .

بفرض أن R ∈ SO(3) ، فلنفترض${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}\left(R-R^{\mathrm {T} }\right)}$لنرمز إلى الجزء المتناظر عكسيًا ولندع${\textstyle \|A\|={\sqrt {-{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left(A^{2}\right)}}.}$ثم يتم إعطاء لوغاريتم R بواسطة ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \log R={\frac {\sin ^{-1}\|A\|}{\|A\|}}A.}$

ويتضح ذلك من خلال فحص شكل التناظر المختلط لصيغة رودريغز،

${\displaystyle e^{X}=I+{\frac {\sin \theta }{\theta }}X+2{\frac {\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}{\theta ^{2}}}X^{2},\quad \theta =\|X\|,}$

حيث يكون الحد الأول والأخير على الجانب الأيمن متناظرين.

${\displaystyle SO(3)}$تُغطى هذه المنطقة مرتين بواسطة مجموعة الكواترنيونات الوحدوية، وهي متماثلة مع الكرة ثلاثية الأبعاد. وبما أن مقياس هار على الكواترنيونات الوحدوية هو ببساطة مقياس المساحة ثلاثية الأبعاد في أربعة أبعاد، فإن مقياس هار على${\displaystyle SO(3)}$إنها مجرد خطوة للأمام في إجراء المناطق الثلاث.

وبالتالي، توليد دوران عشوائي منتظم في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يُعادل ذلك توليد نقطة عشوائية منتظمة على الكرة ثلاثية الأبعاد. ويمكن تحقيق ذلك من خلال ما يلي$${\displaystyle ({\sqrt {1-u_{1}}}\sin(2\pi u_{2}),{\sqrt {1-u_{1}}}\cos(2\pi u_{2}),{\sqrt {u_{1}}}\sin(2\pi u_{3}),{\sqrt {u_{1}}}\cos(2\pi u_{3}))}$$

أين${\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}}$هي عينات عشوائية منتظمة من${\displaystyle [0,1]}$[ ^{13 ]​}

لنفترض أن لدينا X و Y في جبر لي. دالتاهما الأسيتان، exp( X ) و exp( Y ) ، هما مصفوفتا دوران، ويمكن ضربهما. بما أن الدالة الأسية شاملة، فإنه بالنسبة لبعض Z في جبر لي، يكون exp( Z ) = exp( X ) exp( Y ) ، ويمكن كتابة ذلك مبدئيًا على النحو التالي:

${\displaystyle Z=C(X,Y),}$

بالنسبة لـ C، هناك تعبير ما في X و Y. عندما تتبادل مصفوفات الدوران exp( X ) و exp( Y ) (على سبيل المثال، يكون الدوران حول نفس المحور) فإن Z = X + Y ، مما يحاكي سلوك الأس المركب.

تُعطى الحالة العامة لعدم التبادلية بصيغة BCH الأكثر تفصيلاً ، وهي عبارة عن متسلسلة من أقواس لي المتداخلة. ^{[ 14 ]} بالنسبة للمصفوفات، فإن قوس لي هو نفس عملية المُبدِّل ، الذي يرصد عدم التبادلية في الضرب. ويتضح هذا التوسع العام كما يلي، ^{[ ملاحظة 4 ]}

${\displaystyle Z=C(X,Y)=X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\tfrac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots .}$

يؤدي التوسع اللانهائي في صيغة BCH لـ SO(3) إلى اختزالها إلى شكل مضغوط،

${\displaystyle Z=\alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y],}$

للحصول على معاملات دالة مثلثية مناسبة ( α ، β ، γ ) .

من المفيد كتابة مولد الدوران المركب هذا على النحو التالي:

${\displaystyle \alpha X+\beta Y+\gamma [X,Y]{\underset {{\mathfrak {so}}(3)}{=}}X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\tfrac {1}{12}}[Y,[X,Y]]+\cdots ,}$

للتأكيد على أن هذه متطابقة في جبر لي .

تنطبق المتطابقة المذكورة أعلاه على جميع التمثيلات الأمينة لـ 𝖘𝖔(3) . نواة تشاكل جبر لي هي مثالي ، ولكن 𝖘𝖔(3) ، لكونه بسيطًا ، لا يحتوي على مثاليات غير تافهة، وبالتالي فإن جميع التمثيلات غير التافهة أمينة. وينطبق هذا بشكل خاص على تمثيل الثنائي أو تمثيل السبينور. ومن ثم، يمكن استنتاج الصيغة الصريحة نفسها بطريقة أبسط من خلال مصفوفات باولي، انظر اشتقاق 2×2 لـ SU(2) .