مفارقات نظرية المجموعات

تفترض نظرية المجموعات، كما وضعها جورج كانتور، وجود مجموعات لانهائية. ولأن هذا الافتراض لا يمكن إثباته من المبادئ الأساسية، فقد أُدخل في نظرية المجموعات البديهية من خلال بديهية اللانهاية ، التي تؤكد وجود مجموعة الأعداد الطبيعية N. كل مجموعة لانهائية يمكن تعدادها بالأعداد الطبيعية لها نفس حجم (عدد عناصر) N ، ويُقال إنها قابلة للعد. من أمثلة المجموعات اللانهائية القابلة للعد: الأعداد الطبيعية، والأعداد الزوجية، والأعداد الأولية ، وكذلك جميع الأعداد النسبية ، أي الكسور. تشترك هذه المجموعات في أن العدد الأصلي | N | =${\displaystyle \aleph _{0}}$(ألف-صفر)، وهو عدد أكبر من كل عدد طبيعي.

يمكن تعريف الأعداد الأصلية كما يلي: لنفترض أن مجموعتين لهما نفس الحجم ، حيث يوجد تقابل بينهما (تناظر واحد لواحد بين عناصرهما). عندئذٍ، يكون العدد الأصلي، بحسب التعريف، فئةً تتكون من جميع المجموعات ذات الحجم نفسه. تساوي الحجم علاقة تكافؤ ، والأعداد الأصلية هي فئات التكافؤ .

إلى جانب العدد الأصلي، الذي يصف حجم المجموعة، تُعدّ المجموعات المرتبة أيضًا موضوعًا من مواضيع نظرية المجموعات. تضمن بديهية الاختيار أن كل مجموعة يمكن أن تكون مرتبة ترتيبًا جيدًا ، مما يعني أنه يمكن فرض ترتيب كلي على عناصرها بحيث تحتوي كل مجموعة جزئية غير فارغة على عنصر أول وفقًا لهذا الترتيب. يُوصف ترتيب المجموعة المرتبة ترتيبًا جيدًا بعدد ترتيبي . على سبيل المثال، 3 هو العدد الترتيبي للمجموعة {0، 1، 2} بالترتيب المعتاد 0 < 1 < 2؛ وω هو العدد الترتيبي لمجموعة جميع الأعداد الطبيعية المرتبة بالطريقة المعتادة. بإهمال الترتيب، يتبقى لدينا العدد الأصلي | N |  =  |ω|  = ${\displaystyle \aleph _{0}}$.

يمكن تعريف الأعداد الترتيبية بنفس طريقة تعريف الأعداد الأصلية. لنفترض أن مجموعتين مرتبتين ترتيبًا جيدًا لهما نفس نوع الترتيب ، حيث يوجد تقابل بين المجموعتين يحافظ على الترتيب: أي أن العناصر الأصغر تُقابل عناصر أصغر. إذن، العدد الترتيبي، بحسب التعريف، هو فئة تتكون من جميع المجموعات المرتبة ترتيبًا جيدًا من نفس نوع الترتيب. إن امتلاك نفس نوع الترتيب هو علاقة تكافؤ على فئة المجموعات المرتبة ترتيبًا جيدًا، والأعداد الترتيبية هي فئات التكافؤ.

مجموعتان من نفس نوع الترتيب لهما نفس العدد الأصلي. لكن العكس ليس صحيحاً بشكل عام بالنسبة للمجموعات غير المنتهية: فمن الممكن فرض ترتيبات جيدة مختلفة على مجموعة الأعداد الطبيعية ينتج عنها أعداد ترتيبية مختلفة.

يوجد ترتيب طبيعي للأعداد الترتيبية، وهو في حد ذاته ترتيب جيد. بفرض أي عدد ترتيبي α، يمكننا اعتبار مجموعة جميع الأعداد الترتيبية الأصغر من α. يتضح أن هذه المجموعة تحتوي على العدد الترتيبي α. تُستخدم هذه الملاحظة لطريقة مختلفة لتقديم الأعداد الترتيبية، حيث يُساوى العدد الترتيبي بمجموعة جميع الأعداد الترتيبية الأصغر منه. وبالتالي، يُعد هذا الشكل من الأعداد الترتيبية ممثلاً نموذجياً للشكل السابق لفئة التكافؤ.

تشكل جميع المجموعات الجزئية من مجموعة S (أي جميع الخيارات الممكنة لعناصرها) مجموعة القوى P ( S ). وقد أثبت جورج كانتور أن مجموعة القوى أكبر دائمًا من المجموعة S، أي أن | P ( S )| > | S |. ومن الحالات الخاصة لنظرية كانتور أن مجموعة الأعداد الحقيقية R لا يمكن حصرها بالأعداد الطبيعية، أي أن R غير قابلة للعد: | R | > | N |.

قبل ظهور نظرية المجموعات، كان مفهوم حجم المجموعة يمثل إشكالية. وقد ناقشه غاليليو غاليلي وبرنارد بولزانو ، وغيرهما. هل يوجد عدد من الأعداد الطبيعية يساوي مربعات الأعداد الطبيعية عند قياسها بطريقة التعداد؟

• الجواب هو نعم، لأنه لكل عدد طبيعي n يوجد عدد مربع n ² ، والعكس صحيح.
• الجواب هو لا، لأن المربعات هي مجموعة جزئية حقيقية من الأعداد الطبيعية: كل مربع هو عدد طبيعي ولكن هناك أعداد طبيعية، مثل 2، ليست مربعات لأعداد طبيعية.

يمكن حلّ هذه المسألة بتحديد حجم المجموعة بدلالة عدد عناصرها. وبما أن هناك تقابلاً بين المجموعتين، فإنهما تمتلكان نفس عدد العناصر بحكم التعريف.

تُجسّد مفارقة هيلبرت في فندق غراند المزيد من مفارقات التعداد.

"أراه لكنني لا أصدقه"، كتب كانتور إلى ريتشارد ديديكيند بعد أن أثبت أن مجموعة نقاط المربع لها نفس عدد العناصر مثل عدد العناصر الموجودة على حافة المربع فقط: عدد عناصر المتصل .

يُبيّن هذا أن "حجم" المجموعات، كما يُحدّد بعدد عناصرها فقط، ليس الطريقة الوحيدة المفيدة لمقارنة المجموعات. تُقدّم نظرية القياس نظريةً أكثر دقةً للحجم، تتوافق مع حدسنا بأن الطول والمساحة مقياسان غير متوافقين للحجم.

تشير الأدلة بقوة إلى أن كانتور كان واثقًا تمامًا من النتيجة نفسها، وأن تعليقه على ديديكيند يشير بدلًا من ذلك إلى مخاوفه التي كانت لا تزال قائمة آنذاك بشأن صحة برهانه عليها. ^{[ 1 ]} ومع ذلك، فإن ملاحظة كانتور تُعبّر أيضًا بشكلٍ جيد عن الدهشة التي شعر بها العديد من علماء الرياضيات من بعده عند مواجهة نتيجةٍ تخالف الحدس إلى هذا الحد.

في عام 1904، أثبت إرنست زيرميلو، باستخدام بديهية الاختيار (التي وُضعت لهذا الغرض)، أن كل مجموعة يمكن ترتيبها ترتيبًا جيدًا. وفي عام 1963، بيّن بول ج. كوهين أنه في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات، لا يمكن إثبات وجود ترتيب جيد للأعداد الحقيقية دون بديهية الاختيار.

مع ذلك، فإن القدرة على ترتيب أي مجموعة ترتيبًا جيدًا تسمح بإجراء بعض الإنشاءات التي وُصفت بالمتناقضة. ومن الأمثلة على ذلك مفارقة باناخ-تارسكي ، وهي نظرية تُعتبر على نطاق واسع غير بديهية. تنص هذه النظرية على أنه من الممكن تقسيم كرة ذات نصف قطر ثابت إلى عدد محدود من القطع، ثم تحريك هذه القطع وإعادة تجميعها عن طريق عمليات الإزاحة والدوران العادية (دون تغيير الحجم) للحصول على نسختين من النسخة الأصلية. يتطلب إنشاء هذه القطع بديهية الاختيار؛ فالقطع ليست مناطق بسيطة من الكرة، بل هي مجموعات جزئية معقدة .

يكتب تريسترام شاندي ، بطل رواية لورانس ستيرن ، سيرته الذاتية بضمير حيّ لدرجة أنه يستغرق عامًا كاملًا لتدوين أحداث يوم واحد. لو كان فانياً لما استطاع التوقف عن الكتابة؛ أما لو كان خالداً لما بقي جزء من يومياته دون كتابة، إذ سيقابل كل يوم من حياته عامٌ كامل مخصص لوصف ذلك اليوم.

يُحوّل إصدار مُوسّع من هذا النوع من المفارقات النهاية البعيدة جدًا إلى زمن محدود. املأ خزانًا ضخمًا بكرات مُرقّمة من 1 إلى 10، ثم أزل الكرة رقم 1. بعد ذلك، أضف الكرات المُرقّمة من 11 إلى 20، ثم أزل الكرة رقم 2. استمر في إضافة الكرات المُرقّمة من 10ⁿ - 9 إلى 10ⁿ ، وأزل الكرة رقم n لجميع الأعداد الطبيعية n = 3، 4، 5، ... . لنفترض أن العملية الأولى تستغرق نصف ساعة، والثانية ربع ساعة، وهكذا، بحيث تنتهي جميع العمليات بعد ساعة واحدة. من الواضح أن مجموعة الكرات في الخزان تتزايد بلا حدود. ومع ذلك، بعد ساعة واحدة، يصبح الخزان فارغًا لأن وقت إزالة كل كرة معروف.

تزداد المفارقة تعقيداً بأهمية ترتيب إزالة الكرات. فإذا لم تُزل الكرات بالتسلسل 1، 2، 3، ... بل بالتسلسل 1، 11، 21، ... فبعد ساعة واحدة، سيمتلئ الخزان بعدد لا نهائي من الكرات، على الرغم من أن كمية المادة التي أُزيلت هي نفسها كما كانت من قبل.

في عام 1897، اكتشف عالم الرياضيات الإيطالي تشيزاري بورالي فورتي ما يُعرف الآن بمفارقة بورالي فورتي : مجموعة جميع الأعداد الترتيبية غير موجودة. لو كانت موجودة، لكانت مرتبة ترتيبًا جيدًا، وبالتالي لكانت ستحدد عددًا ترتيبيًا Ω، مما يؤدي إلى التناقض Ω < Ω.

بحلول نهاية القرن التاسع عشر، كان كانتور على دراية بعدم وجود مجموعة الأعداد الأصلية ومجموعة الأعداد الترتيبية. وفي رسائل إلى ديفيد هيلبرت وريتشارد ديديكيند ، كتب عن المجموعات غير المتسقة، التي لا يمكن اعتبار عناصرها مجتمعة، واستخدم هذه النتيجة لإثبات أن كل مجموعة متسقة تحتوي على عدد أصلي.

وصف برتراند راسل ما يُعرف الآن بمفارقة راسل في رسالة عام ١٩٠٢: مجموعة جميع المجموعات التي لا تحتوي على نفسها، { x | x ليس عنصرًا من x }، لا يمكن أن توجد. فلو وُجدت، لكان افتراض احتواءها على نفسها، وافتراض عدم احتواءها عليها، سيؤديان إلى تناقض. وقد شرح راسل نفسه هذه الفكرة المجردة من خلال بعض الصور الملموسة. أحد الأمثلة، المعروف بمفارقة الحلاق ، ينص على ما يلي: الحلاق الذي يحلق ذقن جميع الرجال الذين لا يحلقون ذقونهم، لا يحلق ذقنه إلا إذا لم يحلق ذقنه.

هناك أوجه تشابه وثيقة بين مفارقة راسل في نظرية المجموعات ومفارقة جريلينج-نيلسون ، التي توضح مفارقة في اللغة الطبيعية.

استنادًا إلى عمل عالم الرياضيات الألماني ليوبولد لوفنهايم (1915)، بيّن عالم المنطق النرويجي ثورالف سكوليم في عام 1922 أن كل نظرية متسقة لحساب التفاضل والتكامل من الرتبة الأولى ، مثل نظرية المجموعات، لها نموذج قابل للعد على الأكثر . ومع ذلك، تُثبت نظرية كانتور وجود مجموعات غير قابلة للعد. يكمن أصل هذه المفارقة الظاهرية في أن قابلية المجموعة للعد أو عدم قابليتها له ليست مطلقة دائمًا ، بل قد تعتمد على النموذج الذي تُقاس فيه عناصر المجموعة. فمن الممكن أن تكون مجموعة ما غير قابلة للعد في نموذج معين من نظرية المجموعات، ولكنها قابلة للعد في نموذج أكبر (لأن التقابلات التي تُثبت قابلية العد موجودة في النموذج الأكبر، ولكنها غير موجودة في النموذج الأصغر).