أحد عشر ضلعًا

في الهندسة ، يُعرف المضلع ذو الأحد عشر ضلعًا (ويُسمى أيضًا المضلع ذو الأحد عشر ضلعًا ^{[ 1 ] [ 2 ]} أو المضلع ذو الأحد عشر ضلعًا ^{[ 3 ]} ) أو المضلع ذو الأحد عشر ضلعًا . ( يُفضل استخدام اسم المضلع ذو الأحد عشر ضلعًا، المشتق من الكلمتين اليونانيتين "hendeka" بمعنى "أحد عشر" و " gon " بمعنى "زاوية")، على الاسم الهجين "المضلع ذو الأحد عشر ضلعًا" ، الذي يتكون جزؤه الأول من الكلمة اللاتينية " undecim " بمعنى "أحد عشر". ^{[ 4 ]} )

يتم تمثيل الشكل الهندسي المنتظم برمز شلايفلي {11}.

يحتوي الشكل المنتظم ذو الأحد عشر ضلعًا على زوايا داخلية قياسها 147.27 درجة ( =147${\displaystyle {\tfrac {3}{11}}}$^{[ 5 ]} مساحة الشكل المنتظم ذي الأحد عشر ضلعًا بطول ضلع a تُعطى بالعلاقة ^{[ 2 ]}

${\displaystyle A={\frac {11}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{11}}\simeq 9.36564\,a^{2}.}$

بما أن العدد 11 ليس عددًا أوليًا من أعداد فيرما ، فإن الشكل الهندسي المنتظم ذو الأحد عشر ضلعًا لا يمكن إنشاؤه باستخدام الفرجار والمسطرة . ^{[ 6 ]} ولأن العدد 11 ليس عددًا أوليًا من أعداد بيربونت ، فإن إنشاء شكل هندسي منتظم ذو أحد عشر ضلعًا يظل مستحيلاً حتى مع استخدام منصف الزاوية .

يمكن إنشاء أشكال تقريبية قريبة من الشكل الهندسي المنتظم ذي الأحد عشر ضلعًا. على سبيل المثال، قدّر علماء الرياضيات اليونانيون القدماء طول ضلع الشكل الهندسي ذي الأحد عشر ضلعًا المرسوم داخل دائرة الوحدة بـ 14/25 وحدة. ^{[ 7 ]}

يمكن بناء الشكل ذي الأحد عشر ضلعاً بدقة عن طريق بناء النيوسيس ^{[ 8 ]} وأيضًا عن طريق الأوريغامي المزدوج. ^{[ 9 ]}

شكلٌ ذو أحد عشر ضلعًا محفورٌ داخل دائرة، وهو امتدادٌ للبنية الأساسية التي وضعها ت. دروموند كرسوم متحركة. ويتوافق هذا الشكل مع النقش النحاسي الذي أنجزه أنطون إرنست بوركهارد من بيركنشتاين.

هنديكاجون، نقش على النحاس بحلول عام 1698 بواسطة أنطون إرنست بوركهارد من بيركنشتاين

تم تقديم وصف البناء التالي بواسطة تي. دروموند من عام 1800: ^{[ 10 ]}

ارسم نصف القطر AB ، ثم قسمه إلى نصفين في النقطة C - بفتحة فرجار تساوي نصف نصف القطر، وارسم القوسين CDI و AD على النقطتين A و C كمركزين - وارسم القوس DO على المسافة ID على النقطة I، ثم ارسم الخط CO ، والذي سيكون امتداد أحد أضلاع الشكل ذي الأحد عشر ضلعًا بدقة كافية للتدريب.

على دائرة الوحدة:

• طول ضلع المضلع الأحد عشري المبني${\displaystyle b=0.563692\ldots }$
• الطول النظري لضلع أحد عشر ضلعًا${\displaystyle a=2\sin({\frac {\pi }{11}})=0.563465\ldots }$
• الخطأ المطلق${\displaystyle \delta =b-a=2.27\ldots \cdot 10^{-4}}$– إذا كان AB يساوي 10  م، فإن هذا الخطأ يبلغ حوالي 2.3  مم.

يتمتع الشكل الهندسي المنتظم ذو الأحد عشر ضلعًا بتناظر Dih ₁₁ ، من الرتبة 22. وبما أن 11 عدد أولي ، فهناك مجموعة فرعية واحدة ذات تناظر ثنائي السطوح: Dih ₁ ، وتناظران دوريان للمجموعة : Z ₁₁ و Z ₁ .

يمكن ملاحظة هذه التناظرات الأربعة في أربعة تناظرات مميزة على المضلع ذي الأحد عشر ضلعًا. وقد صنّفها جون كونواي بحرف وترتيب المجموعة. ^{[ 11 ]} التناظر الكامل للشكل المنتظم هو r22 ، بينما يُرمز لعدم وجود تناظر بـ a1 . تُقسّم التناظرات ثنائية السطوح بناءً على مرورها عبر الرؤوس ( d للقطر) أو الحواف ( p للعمودي)، و i عندما تمر خطوط الانعكاس عبر كل من الحواف والرؤوس. أما التناظرات الدورية في العمود الأوسط، فتُرمز لها بـ g نسبةً إلى رتب دورانها المركزية.

يُتيح تناظر كل مجموعة فرعية درجة حرية واحدة أو أكثر للأشكال غير المنتظمة. المجموعة الفرعية g11 فقط هي التي لا تملك أي درجات حرية، ولكن يمكن اعتبارها حوافًا موجهة .

العملة الكندية ، المعروفة باسم "لوني" ، تشبه المنشور الأحد عشري المنتظم ، ولكنها ليست مطابقة له تمامًا، ^{[ 12 ]} وكذلك العملة الهندية من فئة روبيتين ^{[ 13 ]} والعديد من العملات الأخرى الأقل استخدامًا في دول أخرى. ^{[ 14 ]} المقطع العرضي للوني هو في الواقع شكل رولو الأحد عشري . أما دولار سوزان بي. أنتوني الأمريكي ، فيحتوي على شكل أحد عشري على طول حوافه الداخلية. ^{[ 15 ]}

يشترك الشكل الهندسي ذو الأحد عشر رأسًا في نفس مجموعة الرؤوس الـ 11 مع أربعة أشكال هندسية منتظمة ذات أحد عشر رأسًا :

{11/2}

{11/3}

{11/4}

{11/5}

• يمكن اعتبار الشكل العشري البسيط رسمًا بيانيًا كاملاً في إسقاط متعامد منتظم ذي أحد عشر ضلعًا.

• خصائص الشكل ذي الأحد عشر ضلعًا (هينديكاغون) مع رسوم متحركة تفاعلية
• وايسشتاين، إريك دبليو. "هيندي-إيكاغون" . عالم الرياضيات .
• أشكال هندسية منتظمة من أحد عشر ضلعًا
• الشكل الهندسي المنتظم ذو الأحد عشر ضلعًا، وهو شكل هندسي تقريبي
• البناء الدقيق عن طريق التقسيم الخماسي