خاتم وراثي

في الرياضيات ، وخاصة في مجال الجبر المجرد المعروف بنظرية الوحدات ، تُسمى الحلقة R وراثية إذا كانت جميع الوحدات الفرعية للوحدات الإسقاطية على R إسقاطية أيضًا. وإذا كان هذا الشرط مطلوبًا فقط للوحدات الفرعية المولدة نهائيًا ، فتُسمى شبه وراثية .

بالنسبة لحلقة غير تبديلية R ، تُستخدم مصطلحات "وراثي يساري" و "شبه وراثي يساري" ونظائرها اليمنى لتمييز الخاصية على جانب واحد من الحلقة. لكي تكون الحلقة وراثية يسارية (أو شبه وراثية)، يجب أن تكون جميع الوحدات الفرعية (المولدة نهائيًا) للوحدات الفرعية الإسقاطية اليسارية R إسقاطية، وبالمثل لكي تكون وراثية يمينية (أو شبه وراثية)، يجب أن تكون جميع الوحدات الفرعية (المولدة نهائيًا) للوحدات الفرعية الإسقاطية اليمينية R إسقاطية. من الممكن أن تكون الحلقة وراثية يسارية (أو شبه وراثية) ولكن ليست وراثية يمينية (أو شبه وراثية)، والعكس صحيح.

• تكون الحلقة R وراثية (شبه) يسارية إذا وفقط إذا كانت جميع المُثُل اليسارية ( المولدة نهائيًا ) في R عبارة عن وحدات إسقاطية. ^{[ 1 ] [ 2 ]}
• تكون الحلقة R وراثية يسارية إذا وفقط إذا كانت جميع الوحدات النمطية اليسرى لها حلول إسقاطية بطول لا يتجاوز 1. وهذا يكافئ القول بأن البعد العالمي الأيسر لا يتجاوز 1. ومن ثم فإن الدوال المشتقة المعتادة مثل${\displaystyle \mathrm {Ext} _{R}^{i}}$و${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}}$تافهة بالنسبة لـ${\displaystyle i>1}$.

• تُعتبر الحلقات شبه البسيطة وراثية يسارية ويمينية وفقًا للتعريفات المكافئة: فجميع المثاليات اليسارية واليمينية هي عناصر مجموع في R ، وبالتالي فهي إسقاطية. وبالمثل، في حلقة فون نيومان المنتظمة ، يكون كل مثالي يساري ويميني مولد نهائيًا عنصر مجموع مباشر في R ، ولذلك فإن حلقات فون نيومان المنتظمة شبه وراثية يسارية ويمينية.
• لأي عنصر غير صفري x في المجال R ،${\displaystyle R\cong xR}$عبر الخريطة${\displaystyle r\mapsto xr}$وبالتالي، في أي مجال، يكون المثالي الأيمن الرئيسي حرًا ، ومن ثم إسقاطيًا. وهذا يعكس حقيقة أن المجالات هي حلقات ريكارت يمنى . ويترتب على ذلك أنه إذا كان R مجال بيزو يمنى ، بحيث تكون المثاليات اليمنى المولدة نهائيًا رئيسية، فإن R يحتوي على جميع المثاليات اليمنى المولدة نهائيًا إسقاطية، وبالتالي فإن R شبه وراثية يمنى. وأخيرًا، إذا افترضنا أن R مجال مثالي أيمن رئيسي ، فإن جميع المثاليات اليمنى تكون إسقاطية، ويكون R وراثيًا يمنى.
• يُطلق على المجال التكاملي الوراثي التبادلي اسم مجال ديديكيند . ويُطلق على المجال التكاملي شبه الوراثي التبادلي اسم مجال بروفر .
• من الأمثلة المهمة على الحلقة الوراثية (اليسرى) جبر المسار للرسم البياني . وهذا نتيجة لوجود التحليل القياسي (الذي يبلغ طوله 1) للوحدات النمطية فوق جبر المسار.
• حلقة المصفوفة المثلثية${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$هو وراثي من اليمين وشبه وراثي من اليسار ولكنه ليس وراثيًا من اليسار.
• إذا كانت S حلقة فون نيومان منتظمة ذات مثالي I ليس مجموعًا مباشرًا، فإن حلقة المصفوفات المثلثية${\displaystyle {\begin{bmatrix}S/I&S/I\\0&S\end{bmatrix}}}$هو شبه وراثي في ​​الجانب الأيسر ولكنه ليس شبه وراثي في ​​الجانب الأيمن.

• بالنسبة لحلقة وراثية يسارية R ، فإن كل وحدة فرعية من وحدة R يسارية حرة متماثلة مع المجموع المباشر للمثالي اليساري لـ R ، وبالتالي فهي إسقاطية. ^{[ 2 ]}

• كراولي-بويفي، ويليام ، ملاحظات حول تمثيل الجعبة (ملف PDF) ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 2 مايو 2003
• لام، تسيت-يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات رقم 189، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-98428-5، MR 1653294 ، Zbl 0911.16001  
• أوزبورن، إم. سكوت (2000)، الجبر التماثلي الأساسي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  196، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-98934-X، Zbl 0948.18001 
• راينر، آي. (2003)، الرتب القصوى ، سلسلة دراسات الجمعية الرياضية بلندن، المجلد  28، مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 0-19-852673-3، Zbl 1024.16008 
• ويبل، تشارلز أ. (1994)، مقدمة في الجبر التماثلي ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  38، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 0-521-43500-5، Zbl 0797.18001