المجال (نظرية الحلقة)

في الجبر ، المجال هو حلقة غير صفرية يكون فيها ab = 0، مما يعني أن a = 0 أو b = 0. ^{[ 1 ]} (يُقال أحيانًا أن هذه الحلقة "تتمتع بخاصية الضرب الصفري "). وبالمثل، المجال هو حلقة يكون فيها الصفر هو القاسم الصفري الأيسر الوحيد (أو، بشكل مكافئ، القاسم الصفري الأيمن الوحيد). يُسمى المجال التبادلي مجالًا تكامليًا . ^{[ 1 ] [ 2 ]} تحتوي المراجع الرياضية على صيغ متعددة لتعريف "المجال". ^{[ 3 ]}

• الخاتم${\displaystyle \mathbb {Z} /6\mathbb {Z} }$ليست مجالًا، لأن صور العددين 2 و3 في هذه الحلقة عناصر غير صفرية حاصل ضربها يساوي صفرًا. وبشكل أعم، بالنسبة لعدد صحيح موجب${\displaystyle n}$الخاتم${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$تكون مجالًا إذا وفقط إذا${\displaystyle n}$هو عدد أولي.
• المجال المحدود هو حقل محدود تلقائيًا ، وفقًا لنظرية ويدربورن الصغيرة .
• تشكل الأعداد الرباعية مجالاً غير تبادلي. وبشكل أعم، فإن أي حلقة قسمة هي مجال، لأن كل عنصر غير صفري فيها قابل للعكس .
• مجموعة جميع الكواترنيونات الليبشيتزية ، أي الكواترنيونات من الشكل${\displaystyle a+bi+cj+dk}$حيث a و b و c و d أعداد صحيحة، فهي حلقة فرعية غير تبادلية من الكواترنيونات، وبالتالي فهي مجال غير تبادلي.
• وبالمثل، فإن مجموعة جميع الكواترنيونات الهورويتزية ، أي الكواترنيونات من الشكل${\displaystyle a+bi+cj+dk}$حيث a و b و c و d إما جميعها أعداد صحيحة أو جميعها أنصاف أعداد صحيحة ، فإن المجال غير تبادلي.
• حلقة المصفوفات M _n ( R ) لـ n ≥ 2 لا تكون مجالًا أبدًا: إذا كانت R غير صفرية، فإن حلقة المصفوفات هذه تحتوي على قواسم صفرية غير صفرية وعناصر نيلبوتنتية زوجية غير صفرية. على سبيل المثال، مربع وحدة المصفوفة E ₁₂ يساوي 0.
• الجبر الموتري للفضاء المتجهي ، أو ما يعادله، جبر كثيرات الحدود في المتغيرات غير التبادلية على حقل،${\displaystyle \mathbb {K} \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle ,}$هي مجال. يمكن إثبات ذلك باستخدام ترتيب على أحاديات الحدود غير التبادلية.
• إذا كانت R نطاقًا و S امتدادًا لـ R فإن S نطاق.
• جبر ويل هو مجال غير تبادلي.
• الجبر الشامل لأي جبر لي على حقل ما هو مجال. يستخدم البرهان الترشيح القياسي على الجبر الشامل ونظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت .

لنفترض أن G زمرة و K حقل . هل حلقة الزمر R = K [ G ] مجال ؟ العنصر المحايد

${\displaystyle (1-g)(1+g+\cdots +g^{n-1})=1-g^{n},}$

يُبين هذا أن العنصر g ذو الرتبة المحدودة n > 1 يُنتج قاسمًا صفريًا 1 − g في R. وتتساءل مسألة القاسم الصفري عما إذا كان هذا هو العائق الوحيد؛ بعبارة أخرى،

بالنظر إلى حقل K ومجموعة خالية من الالتواء G ، هل صحيح أن K [ G ] لا تحتوي على قواسم صفرية؟

لا توجد أمثلة مضادة معروفة، لكن المشكلة لا تزال مفتوحة بشكل عام (حتى عام 2017).

بالنسبة للعديد من الفئات الخاصة من الزمر، تكون الإجابة بالإيجاب. أثبت فاركاس وسنايدر في عام 1976 أنه إذا كانت G زمرة متعددة الحلقات منتهية وخالية من الالتواء، وكانت خاصية K تساوي صفرًا، فإن حلقة الزمرة K [ G ] هي مجال. وفي وقت لاحق (1980)، أزال كليف القيد المفروض على خاصية الحقل. وفي عام 1988، عمم كروفولر ولينيل ومودي هذه النتائج لتشمل حالة الزمر القابلة للحل والزمر القابلة للحل منتهية والخالية من الالتواء. وقد تناول عمل سابق (1965) لميشيل لازارد ، الذي لم يُقدّر المتخصصون في هذا المجال أهميته إلا بعد حوالي 20 عامًا، الحالة التي تكون فيها K حلقة الأعداد الصحيحة p-adic و G الزمرة الجزئية التوافقية من الرتبة p من GL ( n , Z ) .

للقواسم الصفرية تفسير طوبولوجي، على الأقل في حالة الحلقات التبديلية: الحلقة R هي مجال تكاملي إذا وفقط إذا كانت مختزلة وكان طيفها Spec R فضاءً طوبولوجيًا غير قابل للاختزال . غالبًا ما تُعتبر الخاصية الأولى مُشفِّرة لمعلومات متناهية الصغر، بينما تُعتبر الثانية ذات طابع هندسي.

مثال: الحلقة k [ x , y ]/( xy ) ، حيث k حقل، ليست مجالًا، لأن صورتي x و y في هذه الحلقة قواسم للصفر. هندسيًا، يتوافق هذا مع حقيقة أن طيف هذه الحلقة، وهو اتحاد الخطين x = 0 و y = 0 ، ليس غير قابل للاختزال. في الواقع، هذان الخطان هما مكوناته غير القابلة للاختزال.

• قاسم الصفر
• خاصية الضرب الصفري
• القاسم (نظرية الحلقات)
• المجال التكاملي

• لام، تسيت-يوين (2001). مدخل إلى الحلقات غير التبادلية (  الطبعة الثانية). برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-95325-0MR 1838439 .​ 
• تشارلز لانسكي (2005). مفاهيم في الجبر المجرد . مكتبة ايه ام اس. رقم ISBN 0-534-42323-X.
• سيزار بولسينو ميليس؛ سودارشان ك. سيغال (2002). مقدمة في حلقات الزمر . سبرينغر. ISBN 1-4020-0238-6.
• ناثان جاكوبسون (2009). الجبر الأساسي 1. دوفر. ISBN 978-0-486-47189-1.
• لويس هالي روين (1994). الجبر: المجموعات، والحلقات، والحقول . إيه كيه بيترز . رقم ISBN 1-56881-028-8.