نطاق ديديكيند

في الرياضيات ، يُعرف مجال ديديكيند أو حلقة ديديكيند ، نسبةً إلى ريتشارد ديديكيند ، بأنه مجال تكاملي يتحلل فيه كل مثالي حقيقي غير صفري إلى حاصل ضرب مثاليات أولية . ويمكن إثبات أن هذا التحليل يكون بالضرورة فريدًا حتى رتبة العوامل. وهناك ثلاث خصائص أخرى على الأقل لمجالات ديديكيند تُعتبر أحيانًا تعريفًا لها: انظر أدناه .

الحقل هو حلقة تبديلية لا تحتوي على مُثُل حقيقية غير تافهة، وبالتالي فإن أي حقل هو مجال ديديكيند، وإن كان ذلك بطريقة مبهمة نوعًا ما . ويضيف بعض المؤلفين شرطًا ألا يكون مجال ديديكيند حقلًا. ويذكر العديد من المؤلفين نظريات لمجالات ديديكيند مع اشتراط ضمني بأنها قد تتطلب تعديلات بسيطة في حالة الحقول.

من النتائج المباشرة لهذا التعريف أن كل مجال مثالي رئيسي (PID) هو مجال ديديكيند. في الواقع، يكون مجال ديديكيند مجال تحليل فريد (UFD) إذا وفقط إذا كان مجالًا مثاليًا رئيسيًا.

في القرن التاسع عشر، أصبح من الشائع استخدام حلقات الأعداد الجبرية ذات الدرجة الأعلى لفهم الحلول الصحيحة لمعادلات كثيرات الحدود . على سبيل المثال، لنفترض عددًا صحيحًا موجبًا.${\displaystyle m}$في محاولة لتحديد الأعداد الصحيحة التي يمثلها الشكل التربيعي${\displaystyle x^{2}+my^{2}}$من الطبيعي تحليل الشكل التربيعي إلى${\displaystyle (x+{\sqrt {-m}}y)(x-{\sqrt {-m}}y)}$، عملية التحليل التي تحدث في حلقة الأعداد الصحيحة للحقل التربيعي${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}})}$وبالمثل، بالنسبة لعدد صحيح موجب${\displaystyle n}$متعددة الحدود${\displaystyle z^{n}-y^{n}}$(وهو أمر ذو صلة بحل معادلة فيرما)${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$يمكن تحليل ) على الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$، أين${\displaystyle \zeta _{n}}$هو جذر أولي من الرتبة n للوحدة .

بالنسبة لبعض القيم الصغيرة من${\displaystyle m}$و${\displaystyle n}$تُعرف هذه الحلقات من الأعداد الصحيحة الجبرية باسم PIDs، ويمكن اعتبار ذلك تفسيراً للنجاحات الكلاسيكية لفيرما (${\displaystyle m=1,n=4}$) وأويلر (${\displaystyle m=2,3,n=3}$). بحلول هذا الوقت، توجد إجراءات لتحديد ما إذا كانت حلقة جميع الأعداد الصحيحة الجبرية لحقل تربيعي معين تنتمي إلى حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية لحقل تربيعي معين.${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}})}$كانت نظرية PID معروفة جيدًا لدى منظري الأشكال التربيعية. وعلى وجه الخصوص، درس غاوس حالة الحقول التربيعية التخيلية: فقد وجد تسع قيم بالضبط لـ${\displaystyle D<0}$حيث تُعتبر حلقة الأعداد الصحيحة حلقةً مثاليةً، وخمّن أنه لا توجد قيم أخرى. (أُثبتت تخمينات جاوس بعد أكثر من مئة عام على يد كورت هيجنر وآلان بيكر وهارولد ستارك ). مع ذلك، فُهم هذا (فقط) بلغة فئات التكافؤ للأشكال التربيعية، ولذلك يبدو أن التشابه بين الأشكال التربيعية ومعادلة فيرما لم يُدرك. في عام 1847، أعلن غابرييل لاميه عن حل لنظرية فيرما الأخيرة لجميع${\displaystyle n>2}$أي أن معادلة فيرما ليس لها حلول في الأعداد الصحيحة غير الصفرية، ولكن اتضح أن حله يعتمد على افتراض أن الحلقة الدائرية${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$هو اتحاد شركات. وقد أظهر إرنست كومر قبل ثلاث سنوات أن هذا لم يكن هو الحال بالفعل بالنسبة لـ${\displaystyle n=23}$(القائمة الكاملة والمحدودة للقيم التي${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$(وهو ما يُعرف الآن باسم UFD). في الوقت نفسه، طور كومر أساليب جديدة فعالة لإثبات نظرية فيرما الأخيرة، على الأقل لفئة كبيرة من الأسس الأولية .${\displaystyle n}$باستخدام ما ندركه الآن على أنه حقيقة أن الخاتم${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$هو مجال ديديكيند. في الواقع، لم يعمل كومر مع المُثُل العليا، بل مع " الأعداد المثالية "، وقد وضع ديديكيند التعريف الحديث للمثال الأعلى.

بحلول القرن العشرين، أدرك علماء الجبر ونظرية الأعداد أن شرط كون مجال ما مجالًا متعدد الأعداد ومحددًا (PID) دقيق للغاية، بينما شرط كونه مجال ديديكيند قوي جدًا. على سبيل المثال، حلقة الأعداد الصحيحة العادية هي مجال متعدد الأعداد ومحددًا (PID)، ولكن كما رأينا أعلاه، فإن الحلقة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$الأعداد الصحيحة الجبرية في حقل عددي${\displaystyle K}$ليس بالضرورة أن يكون نظامًا معرفًا أوليًا. في الواقع، على الرغم من أن غاوس افترض أيضًا وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية${\displaystyle p}$بحيث تكون حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$إذا كان PID، فليس من المعروف بعد ما إذا كان هناك عدد لا نهائي من حقول الأرقام${\displaystyle K}$(من درجة عشوائية) بحيث${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$هو PID. من ناحية أخرى، فإن حلقة الأعداد الصحيحة في حقل عددي هي دائمًا مجال ديديكيند.

ومن الأمثلة الأخرى على ثنائية الدقة/الصلابة أن كون المجال من نوع ديديكيند، من بين المجالات النويثرية ، هو خاصية محلية : مجال نويثري${\displaystyle R}$هو Dedekind IF لكل المثل الأعلى${\displaystyle M}$ل${\displaystyle R}$التوطين​${\displaystyle R_{M}}$هي حلقة ديديكيند. لكن المجال المحلي هو حلقة ديديكيند إذا وفقط إذا كان حلقة تقييم منفصلة (DVR)، لذا لا يمكن تطبيق نفس التوصيف المحلي على حلقات التقييم المنفصلة: بل يمكن القول إن مفهوم حلقة ديديكيند هو تعميم لمفهوم حلقة التقييم المنفصلة.

بالنسبة للمجال التكاملي${\displaystyle R}$إذا لم يكن حقلاً، فإن جميع الشروط التالية متكافئة: ^{[ 1 ]}

(DD1) كل مثالي حقيقي غير صفري يتحلل إلى أعداد أولية.

(DD2)${\displaystyle R}$هي نوثرية، والتوطين عند كل مثال أقصى هو حلقة تقييم منفصلة.

(DD3) كل مثالي كسري غير صفري من${\displaystyle R}$قابلة للعكس.

(DD4)${\displaystyle R}$هي مجال مغلق بشكل متكامل ، نوثيري ذو بُعد كرول واحد (أي أن كل مثالي أولي غير صفري هو مثالي أقصى).

(DD5) لأي مثاليين${\displaystyle I}$و${\displaystyle J}$في${\displaystyle R}$،${\displaystyle I}$يحتوي على${\displaystyle J}$إذا وفقط إذا${\displaystyle J}$ يقسم${\displaystyle I}$باعتبارها مُثُلاً عليا. أي أن هناك مُثُلاً عليا موجودة${\displaystyle H}$بحيث${\displaystyle I=JH}$تُسمى الحلقة التبديلية (ليست بالضرورة مجالًا) التي تحتوي على عنصر محايد وتُحقق هذا الشرط حلقة الاحتواء والتقسيم (CDR). ^{[ 2 ]}

وبالتالي، فإن مجال ديديكيند هو مجال إما أن يكون حقلاً، أو يحقق أحد الشروط الخمسة (DD1) إلى (DD5)، ومن ثم جميعها. لذا، فإن اختيار أحد هذه الشروط كتعريف هو مسألة ذوق شخصي. عملياً، غالباً ما يكون التحقق من الشرط (DD4) هو الأسهل.

أي مثالي في مجال ديديكيند يُولَّد بواسطة عنصرين على الأكثر. ^{[ 3 ]} في الواقع، يُعطي شرط أقوى توصيفًا آخر لمجالات ديديكيند: مجال تكاملي${\displaystyle R}$يكون مجال ديديكيند إذا وفقط إذا كان لأي مثالي غير صفري${\displaystyle I\subset R}$وغير صفري${\displaystyle a\in I}$يوجد${\displaystyle b\in I}$بحيث${\displaystyle I=(a,b)}$[ ^{4 ] [ 5 ]​}

يُعدّ نطاق كرول نظيرًا ذا أبعاد أعلى لنطاق ديديكيند: فنطاق ديديكيند الذي لا يُمثّل حقلًا هو نطاق كرول ذو بُعد 1. يُمكن استخدام هذا المفهوم لدراسة مختلف خصائص نطاق ديديكيند. في الواقع، هذا هو تعريف نطاق ديديكيند المُستخدم في كتاب بورباكي "الجبر التبادلي".

يمكن أيضًا وصف مجال ديديكيند باستخدام الجبر الهومولوجي : المجال التكاملي هو مجال ديديكيند إذا وفقط إذا كان حلقة وراثية ؛ أي أن كل وحدة فرعية من وحدة إسقاطية فوقه تكون إسقاطية. وبالمثل، يكون المجال التكاملي مجال ديديكيند إذا وفقط إذا كانت كل وحدة قابلة للقسمة فوقه حقنية . ^{[ 6 ]}

جميع المجالات المثالية الرئيسية، وبالتالي جميع حلقات التقييم المنفصلة، ​​هي مجالات ديديكيند.

الخاتم${\displaystyle R={\mathcal {O}}_{K}}$إنّ حقل الأعداد الجبرية K هو حقل نوثري، مغلق تكامليًا، وذو بُعد واحد: ولإثبات هذه الخاصية الأخيرة، نلاحظ أنه لأي مثالي أولي غير صفري I في R ، فإن R / I مجموعة منتهية، ونتذكر أن المجال التكاملي المنتهي هو حقل؛ لذا، وفقًا للمعادلة (DD4)، فإن R هو مجال ديديكيند. وكما ذُكر سابقًا، يشمل هذا جميع الأمثلة التي تناولها كومر وديديكيند، وكان هذا هو الدافع وراء التعريف العام، ولا تزال هذه الأمثلة من بين أكثر الأمثلة دراسةً.

هناك فئة أخرى من حلقات ديديكيند، لا تقل أهميةً عن سابقتها، تأتي من الهندسة: ليكن C منحنى جبريًا أفينيًا متكاملًا هندسيًا غير منفرد على حقل k . عندئذٍ، تكون حلقة الإحداثيات k [ C ] للدوال المنتظمة على C مجال ديديكيند. ويتضح هذا جليًا بمجرد ترجمة المصطلحات الهندسية إلى جبر: فحلقة الإحداثيات لأي صنف أفيني هي، بحكم تعريفها، جبر k مولد نهائيًا ، وبالتالي نوثرية؛ علاوة على ذلك، فإن المنحنى يعني البعد الواحد ، وعدم الانفراد يستلزم (ويكافئ في البعد الواحد) أن يكون طبيعيًا ، وهو ما يعني بحكم تعريفه أنه مغلق تكامليًا .

يمكن اعتبار كلا هذين التركيبين حالتين خاصتين من النتيجة الأساسية التالية:

نظرية : ليكن R نطاق ديديكيند مع حقل كسري K. وليكن L امتدادًا حقليًا من الدرجة المحدودة لـ K، ولنرمز بـ S إلى الإغلاق التكاملي لـ R في L. عندئذٍ، يكون S نفسه نطاق ديديكيند. ^{[ 7 ]}

بتطبيق هذه النظرية عندما تكون R نفسها مجالًا خطيًا متعدد الأعداد (PID)، نحصل على طريقة لبناء مجالات ديديكيند من مجالات خطية متعددة الأعداد. بأخذ R = Z ، يُشير هذا البناء تحديدًا إلى أن حلقات الأعداد الصحيحة لحقول الأعداد هي مجالات ديديكيند. بأخذ R = k [ t ]، نحصل على الحالة المذكورة أعلاه للمنحنيات الأفينية غير المنفردة كأغطية متفرعة للخط الأفيني.

أُعجب زاريسكي وصموئيل بهذا البناء لدرجةٍ دفعتهما إلى التساؤل عما إذا كان كل مجال ديديكيند ينشأ منه؛ أي بالبدء بمجال ديديكيند متكامل (PID) وأخذ الإغلاق التكاملي في امتداد حقل ذي درجة منتهية. ^{[ 8 ]} وقدّم ل. كلابورن إجابةً سلبيةً بسيطةً بشكلٍ مُفاجئ. ^{[ 9 ]}

إذا كان الوضع كما سبق، ولكن الامتداد L لـ K جبري من درجة لانهائية، فإنه لا يزال من الممكن أن يكون الإغلاق التكاملي S لـ R في L مجال ديديكيند، ولكن هذا ليس مضمونًا. على سبيل المثال، لنأخذ R = Z و K = Q مرة أخرى ، ولنعتبر L هو الحقل.${\displaystyle {\overline {\textbf {Q}}}}$من جميع الأعداد الجبرية. الإغلاق التكاملي هو الحلقة${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$من بين جميع الأعداد الصحيحة الجبرية. بما أن الجذر التربيعي لعدد صحيح جبري هو أيضًا عدد صحيح جبري، فإنه لا يمكن تحليل أي عدد صحيح جبري غير صفري وغير وحدوي إلى حاصل ضرب منتهٍ من عناصر غير قابلة للاختزال، مما يعني أن${\displaystyle {\overline {\textbf {Z}}}}$ليست حتى نوثرية. بشكل عام، الإغلاق التكاملي لمجال ديديكيند في امتداد جبري لانهائي هو مجال بروفر ؛ اتضح أن حلقة الأعداد الصحيحة الجبرية أكثر خصوصية من ذلك بقليل: إنها مجال بيزو .

ليكن R مجالًا تكامليًا مع حقل كسري K. المثالي الكسري هو وحدة فرعية غير صفرية من R إلى K ، I، بحيث يوجد عدد غير صفري x في K بحيث${\displaystyle xI\subset R.}$

بفرض وجود مثاليين كسريين I و J ، يُعرَّف حاصل ضربهما IJ بأنه مجموعة جميع المجاميع المنتهية.${\displaystyle \sum _{n}i_{n}j_{n},\,i_{n}\in I,\,j_{n}\in J}$إن حاصل الضرب IJ هو مرة أخرى مثالي كسري. مجموعة Frac( R ) لجميع المثاليات الكسرية المزودة بحاصل الضرب المذكور أعلاه هي شبه زمرة تبديلية ، وهي في الواقع أحادي : عنصرها المحايد هو المثالي الكسري R.

لأي مثالي كسري I ، يمكن تعريف المثالي الكسري

${\displaystyle I^{*}=(R:I)=\{x\in K\mid xI\subset R\}.}$

وبالتالي، يكون المرء قد توصل إلى استنتاج منطقي.${\displaystyle I^{*}I\subset R}$في الواقع، تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان العنصر I ، كعنصر من أحادي Frac( R )، قابلاً للعكس. بعبارة أخرى، إذا كان للعنصر I أي معكوس، فإن هذا المعكوس يجب أن يكون${\displaystyle I^{*}}$.

المثالي الكسري الرئيسي هو أحد الأشكال${\displaystyle xR}$لبعض القيم غير الصفرية x في K. لاحظ أن كل مثالي كسري رئيسي قابل للعكس، وهو معكوس${\displaystyle xR}$أن تكون ببساطة${\displaystyle {\frac {1}{x}}R}$. نرمز إلى المجموعة الفرعية من المثاليّات الكسرية الرئيسية بـ Prin( R ).

يكون المجال R مجالًا مثاليًا رئيسيًا (PID) إذا وفقط إذا كان كل مثالي كسري رئيسيًا. في هذه الحالة، يكون لدينا Frac( R ) = Prin( R ) =${\displaystyle K^{\times }/R^{\times }}$، نظرًا لوجود مثاليين كسريين رئيسيين${\displaystyle xR}$و${\displaystyle yR}$تكون متساوية إذا وفقط إذا${\displaystyle xy^{-1}}$هي وحدة في لغة البرمجة R.

بالنسبة لمجال عام R ، من المفيد حساب خارج قسمة شبه المونويد Frac( R ) لجميع المُثُل الكسرية على شبه المونويد Prin( R ) للمُثُل الكسرية الرئيسية. مع ذلك، فإن هذا الخارج نفسه عادةً ما يكون مونويدًا فقط. في الواقع، من السهل ملاحظة أن فئة المُثُل الكسرية I في Frac( R )/Prin( R ) قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت I نفسها قابلة للعكس.

الآن يمكننا أن نفهم (DD3): في مجال ديديكيند (وفقط في مجال ديديكيند) يكون كل مثالي كسري قابلاً للعكس. وبالتالي، فهذه هي تحديدًا فئة المجالات التي يشكل فيها Frac( R )/Prin( R ) زمرة ، وهي زمرة فئة المثالي Cl( R ) لـ R. هذه الزمرة تافهة إذا وفقط إذا كان R مجالًا مثاليًا جزئيًا (PID)، لذا يمكن اعتبارها بمثابة تحديد كمي للعائق أمام كون مجال ديديكيند العام مجالًا مثاليًا جزئيًا.

بالنسبة لأي مجال، يمكن تعريف زمرة بيكارد Pic( R ) على أنها زمرة المُثُل الكسرية القابلة للعكس Inv( R ) بتردد الزمرة الجزئية للمُثُل الكسرية الرئيسية. بالنسبة لمجال ديديكيند، فإن هذا التعريف يُطابق بالطبع زمرة فئات المُثُل. مع ذلك، في فئة أعم من المجالات، بما في ذلك المجالات النويثرية ومجالات كرول، تُبنى زمرة فئات المُثُل بطريقة مختلفة، ويوجد تماثل قانوني.

Pic( R ) → Cl( R )

وهو مع ذلك ليس عمومًا أحاديًا ولا شاملًا . وهذا نظير تآلفي للتمييز بين قواسم كارتييه وقواسم ويل على صنف جبري مفرد.

تنص نظرية ل. كلابورن ^{[ 10 ]} على أنه لأي زمرة أبيلية G ، يوجد مجال ديديكيند R تكون زمرة فئاته المثالية متماثلة مع G. لاحقًا، أثبت سي. آر. ليدهام-غرين أنه يمكن إنشاء R كإغلاق تكاملي لمجال ديديكيند مثالي في امتداد حقل تربيعي. ^{[ 11 ]} في عام 1976، بيّن م. روزن كيفية تحقيق أي زمرة أبيلية قابلة للعد كزمرة فئات مجال ديديكيند الذي يمثل حلقة فرعية من حقل الدوال الكسرية لمنحنى إهليلجي ، وافترض أن مثل هذا البناء "الإهليلجي" ممكن لزمرة أبيلية عامة. ^{[ 12 ]} وقد أثبت بي. إل. كلارك فرضية روزن في عام 2008. ^{[ 13 ]}

في المقابل، تنص إحدى النظريات الأساسية في نظرية الأعداد الجبرية على أن زمرة الفئات لحلقة الأعداد الصحيحة لحقل عددي هي زمرة منتهية. ويُطلق على عدد عناصرها اسم عدد الفئات .

بالنظر إلى نظرية البنية المعروفة والمفيدة للغاية للوحدات المولدة بشكل محدود على مجال مثالي رئيسي (PID)، فمن الطبيعي أن نطلب نظرية مقابلة للوحدات المولدة بشكل محدود على مجال ديديكيند.

دعونا نستذكر بإيجاز نظرية البنية في حالة وحدة مولدة بشكل نهائي${\displaystyle M}$عبر PID${\displaystyle R}$نُعرّف الوحدة الفرعية للالتواء .${\displaystyle T}$أن تكون مجموعة العناصر${\displaystyle m}$ل${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle rm=0}$لبعض الأشياء غير الصفرية${\displaystyle r}$في${\displaystyle R}$. ثم:

(M1)${\displaystyle T}$يمكن تحليلها إلى مجموع مباشر لوحدات الالتواء الدوري ، كل منها على شكل${\displaystyle R/I}$من أجل بعض المثالي غير الصفري${\displaystyle I}$ل${\displaystyle R}$بحسب نظرية الباقي الصينية ، كل${\displaystyle R/I}$ويمكن تقسيمها كذلك إلى مجموع مباشر من الوحدات الفرعية على النحو التالي:${\displaystyle R/P^{i}}$، أين${\displaystyle P^{i}}$هي قوة من قوة مثال أولي. لا يشترط أن يكون هذا التفكيك فريدًا، بل أي تفكيكين

${\displaystyle T\cong R/P_{1}^{a_{1}}\oplus \cdots \oplus R/P_{r}^{a_{r}}\cong R/Q_{1}^{b_{1}}\oplus \cdots \oplus R/Q_{s}^{b_{s}}}$

لا تختلف إلا في ترتيب العوامل.

(M2) وحدة الالتواء هي وحدة فرعية مباشرة. أي أن هناك وحدة فرعية مكملة لها.${\displaystyle P}$ل${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle M=T\oplus P}$.

(M3PID)${\displaystyle P}$متماثل مع${\displaystyle R^{n}}$لعدد صحيح غير سالب محدد بشكل فريد${\displaystyle n}$. بخاصة،${\displaystyle P}$هو وحدة نمطية مجانية يتم إنشاؤها بشكل محدود.

والآن لنبدأ${\displaystyle M}$ليكن وحدة نمطية مولدة بشكل نهائي على مجال ديديكيند عشوائي${\displaystyle R}$إذن، فإن (M1) و(M2) صحيحتان حرفيًا. ومع ذلك، يترتب من (M3PID) أن وحدة خالية من الالتواء مولدة بشكل محدود${\displaystyle P}$على مُثُلٍ كسريةٍ مُتكاملةٍ (PID)، يكون الأمر مجانيًا. وعلى وجه الخصوص، يُؤكد أن جميع المُثُل الكسرية هي مُثُل رئيسية، وهو بيان خاطئ كلما${\displaystyle R}$ليس معرّفًا ثابتًا. بعبارة أخرى، عدم تفاهية مجموعة الفئات${\displaystyle Cl(R)}$يؤدي ذلك إلى فشل (M3PID). ومن اللافت للنظر أن البنية الإضافية في الوحدات النمطية المولدة نهائيًا والخالية من الالتواء على نطاق ديديكيند عشوائي يتم التحكم فيها بدقة بواسطة مجموعة الفئات، كما سنوضح الآن. على نطاق ديديكيند عشوائي، يكون لدينا

(M3DD)${\displaystyle P}$متماثل مع مجموع مباشر لوحدات إسقاطية من الرتبة الأولى:${\displaystyle P\cong I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}}$علاوة على ذلك، بالنسبة لأي وحدات إسقاطية من الرتبة الأولى${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{r},J_{1},\ldots ,J_{s}}$، لدى المرء

${\displaystyle I_{1}\oplus \cdots \oplus I_{r}\cong J_{1}\oplus \cdots \oplus J_{s}}$

إذا وفقط إذا

${\displaystyle r=s}$

و

${\displaystyle I_{1}\otimes \cdots \otimes I_{r}\cong J_{1}\otimes \cdots \otimes J_{s}.\,}$

يمكن تحديد الوحدات الإسقاطية من الرتبة الأولى بالمثاليّات الكسرية، ويمكن إعادة صياغة الشرط الأخير على النحو التالي:

${\displaystyle [I_{1}\cdots I_{r}]=[J_{1}\cdots J_{s}]\in Cl(R).}$

وبالتالي، فإن وحدة خالية من الالتواء مولدة بشكل محدود من الرتبة${\displaystyle n>0}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي${\displaystyle R^{n-1}\oplus I}$، أين${\displaystyle I}$هو وحدة إسقاطية من الرتبة الأولى. فئة شتاينيتز لـ${\displaystyle P}$زيادة${\displaystyle R}$هو الفصل${\displaystyle [I]}$ل${\displaystyle I}$في${\displaystyle Cl(R)}$وهو محدد بشكل فريد. ^{[ 14 ]} ومن نتائج ذلك ما يلي:

نظرية: ليكن${\displaystyle R}$أن يكون نطاق ديديكيند. ثم${\displaystyle K_{0}(R)\cong \mathbb {Z} \oplus Cl(R)}$، أين${\displaystyle K_{0}(R)}$هي زمرة غروتينديك للزمرة التبادلية للزمرة الإسقاطية المولدة نهائياً${\displaystyle R}$الوحدات.

وقد توصل إرنست شتاينيتز إلى هذه النتائج في عام 1912.

ومن النتائج الإضافية لهذا الهيكل، والتي ليست ضمنية في النظرية السابقة، أنه إذا كان للوحدتين الإسقاطيتين على مجال ديديكيند نفس الفئة في مجموعة غروتينديك، فإنهما في الواقع متماثلتان تجريديًا.

توجد مجالات تكاملية${\displaystyle R}$التي تكون محلية ولكن ليست عالمية ديديكيند: توطين${\displaystyle R}$يوجد في كل مثال أقصى حلقة ديديكيند (أو ما يعادلها، DVR) ولكن${\displaystyle R}$ليست هذه الحلقة من نوع ديديكيند. وكما ذُكر سابقًا، لا يمكن أن تكون هذه الحلقة من نوع نوثرية. ويبدو أن أولى الأمثلة على هذه الحلقات قد بناها ن. ناكانو عام ١٩٥٣. وفي الأدبيات العلمية، تُسمى هذه الحلقات أحيانًا "حلقات ديديكيند شبه حقيقية".

• دافنبورت كونستانت

• إدواردز، هارولد م. (1990)، نظرية القواسم ، بوسطن: دار نشر بيركهاوزر، رقم ISBN 0-8176-3448-7، Zbl 0689.12001 

• "حلقة ديديكيند" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]