جعبة (رياضيات)

في الرياضيات ، وخاصةً في نظرية التمثيل ، يُعرف الرسم البياني الموجه المتعدد (multidigraph ) باسم " الرسم البياني الموجه" ( quiver )؛ أي الرسم البياني الموجه الذي يسمح بوجود حلقات وأسهم متعددة بين رأسين . تُستخدم الرسوم البيانية الموجهة المتعددة (quivers) بشكل شائع في نظرية التمثيل: حيث يُخصص تمثيل V للرسم البياني الموجه المتعدد (quiver ) فضاءً متجهيًا V ( x ) لكل رأس x من رؤوس الرسم البياني الموجه المتعدد (quiver)، ودالة خطية V ( a ) لكل سهم a .     

في نظرية الفئات ، يمكن فهم الرسم البياني الموجه (quiver) على أنه البنية الأساسية لفئة صغيرة ، ولكن دون تركيب أو تحديد لتشاكلات الهوية. أي أن هناك دالة نسيان من Cat ( فئة الفئات الصغيرة ) إلى Quiv (فئة الرسوم البيانية المتعددة). مرافقها الأيسر هو دالة حرة ، والتي تُنشئ، انطلاقًا من الرسم البياني الموجه، الفئة الحرة المقابلة .

يتكون الجعبة Γ من:

• مجموعة الرؤوس V لـ Γ
• مجموعة الحواف E لـ Γ
• وظيفتان :${\displaystyle s:E\to V}$تحديد بدايةأو مصدر الحافة، ووظيفة أخرى ،${\displaystyle t:E\to V}$إعطاء الهدف الأفضلية .

هذا التعريف مطابق لتعريف الرسم البياني متعدد الاتجاهات الذي يحتوي على حواف ذات هوية مميزة خاصة بها.

التشاكل بين المخططات هو دالة من الرؤوس إلى الرؤوس تأخذ الحواف الموجهة إلى الحواف الموجهة. بصورة رسمية، إذا${\displaystyle \Gamma =(V,E,s,t)}$و${\displaystyle \Gamma '=(V',E',s',t')}$هما سهمان، ثم تشاكل${\displaystyle m=(m_{v},m_{e})}$تتكون الجعب من وظيفتين${\displaystyle m_{v}:V\to V'}$و${\displaystyle m_{e}:E\to E'}$بحيث تكون المخططات التالية قابلة للتبادل :

إنه،

${\displaystyle m_{v}\circ s=s'\circ m_{e}}$

و

${\displaystyle m_{v}\circ t=t'\circ m_{e}}$

يستند التعريف أعلاه إلى نظرية المجموعات ؛ ويعمم التعريف القائم على نظرية الفئات هذا إلى دالة من السهم الحر إلى فئة المجموعات .

السهم الحر (يُسمى أيضًا السهم المتحرك ، أو سهم كرونكر ، أو سهم كرونكر الثنائي ، أو فئة كرونكر ) Q هو فئة تحتوي على كائنين وأربعة تشاكلات: الكائنان هما V و E. التشاكلات الأربعة هي${\displaystyle s:E\to V,}$⁠ ⁠${\displaystyle t:E\to V,}$والتشاكلات التطابقية ​​${\displaystyle \mathrm {id} _{V}:V\to V}$و​​${\displaystyle \mathrm {id} _{E}:E\to E.}$أي أن الجعبة الحرة هي الفئة

${\displaystyle E\;{\begin{matrix}s\\[-6pt]\rightrightarrows \\[-4pt]t\end{matrix}}\;V}$

إذن ، فإن الجعبة هي دالة${\displaystyle \Gamma :Q\to \mathbf {Set} }$. (أي،${\displaystyle \Gamma }$حدد مجموعتين${\displaystyle \Gamma (V)}$و${\displaystyle \Gamma (E)}$ووظيفتين${\displaystyle \Gamma (s),\Gamma (t)\colon \Gamma (E)\longrightarrow \Gamma (V)}$هذا هو المدى الكامل لما يعنيه أن تكون دالة من${\displaystyle Q}$ل${\displaystyle \mathbf {Set} }$.)

وبشكل أعم، فإن السهم في الفئة C هو دالة .${\displaystyle \Gamma :Q\to C.}$⁠ فئة Quiv ( C ) للرسوم البيانية في C هي فئة الدالة حيث:

• الكائنات هي دوال${\displaystyle \Gamma :Q\to C,}$⁠
• التشاكلات هي تحويلات طبيعية بين الدوال.

لاحظ أن Quiv هي فئة الحزم المسبقة على الفئة المقابلة Q ^op .

إذا كانت Γ عبارة عن رسم بياني متحرك، فإن المسار في Γ هو سلسلة من الأسهم

${\displaystyle a_{n}a_{n-1}\dots a_{3}a_{2}a_{1}}$

بحيث يكون رأس المسار a _{i + 1} هو ذيل المسار a _i ، حيث i = 1، ...، n − 1 ، وذلك باستخدام اصطلاح ربط المسارات من اليمين إلى اليسار. تجدر الإشارة إلى أن تعريف المسار في نظرية المخططات أكثر دقة، وأن هذا المفهوم يتطابق مع ما يُسمى في نظرية المخططات بـ " المشي" .

إذا كان K حقلاً ، فإن جبر السهم أو جبر المسار KΓ يُعرَّف على أنه فضاء متجهي يحتوي على جميع المسارات (ذات الطول  ≥  0) في السهم كأساس (بما في ذلك، لكل رأس i من السهم Γ ، مسار تافه eᵢ طوله 0؛ ولا يُفترض أن تكون هذه المسارات متساوية لرؤوس i المختلفة )، وعملية الضرب فيه تتم عن طريق دمج المسارات. إذا تعذر دمج مسارين لأن رأس نهاية الأول لا يساوي رأس بداية الثاني، فإن حاصل ضربهما يُعرَّف بأنه يساوي صفرًا. هذا يُعرِّف _جبرًا ترابطيًا على K. يحتوي هذا الجبر على عنصر وحدة إذا وفقط إذا كان للسهم عدد محدود من الرؤوس. في هذه الحالة، تُعرَّف الوحدات النمطية على KΓ بشكل طبيعي مع تمثيلات Γ . إذا كان للسهم عدد لا نهائي من الرؤوس، فإن KΓ له عنصر هوية تقريبي يُعطى بواسطة${\textstyle e_{F}:=\sum _{v\in F}1_{v}}$حيث تتراوح F على مجموعات فرعية محدودة من مجموعة رؤوس Γ .

إذا كان للرسم البياني عدد محدود من الرؤوس والأسهم، وكان رأس النهاية ورأس البداية لأي مسار متميزين دائمًا (أي أن الرسم البياني لا يحتوي على دورات موجهة)، فإن K Γ هو جبر وراثي محدود الأبعاد فوق K. وعلى العكس من ذلك، إذا كان K مغلقًا جبريًا، فإن أي جبر وراثي ترابطي محدود الأبعاد فوق K يكون مكافئًا لموريتا لجبر المسار لرسمه البياني الممتد (أي أن لهما فئات وحدات متكافئة).

إن تمثيل السهم Q هو ارتباط بين وحدة R وكل رأس من رؤوس Q ، وتشكل بين كل وحدة لكل سهم.

يُقال إن تمثيل V لمجموعة الأسهم Q تافه إذا${\displaystyle V(x)=0}$لكل الرؤوس x في Q. 

التشكل ، ⁠​${\displaystyle f:V\to V',}$بين تمثيلات الرسم البياني Q ، توجد مجموعة من الخرائط الخطية .${\displaystyle f(x):V(x)\to V'(x)}$بحيث يكون لكل سهم a في Q من x إلى y ،${\displaystyle V'(a)f(x)=f(y)V(a),}$أي أن المربعات التي تشكلها الدالة f مع أسهم V و V' جميعها تبادلية. التشاكل f هو تشاكل إذا كانت f ( x ) قابلة للعكس لجميع الرؤوس x في الرسم البياني. وبناءً على هذه التعريفات، تُشكل تمثيلات الرسم البياني فئةً .

إذا كان V و W تمثيلين لمجموعة أسهم Q ، فإن المجموع المباشر لهذين التمثيلين،${\displaystyle V\oplus W,}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle (V\oplus W)(x)=V(x)\oplus W(x)}$لكل الرؤوس x في Q و${\displaystyle (V\oplus W)(a)}$هو المجموع المباشر للتحويلات الخطية V ( a ) و W ( a ) . 

يقال إن التمثيل قابل للتحليل إذا كان متماثلاً مع المجموع المباشر للتمثيلات غير الصفرية.

يمكن أيضًا تقديم تعريف فئوي لتمثيل السهم. يُمكن اعتبار السهم نفسه فئة، حيث تمثل الرؤوس كائنات والمسارات تشاكلات. عندئذٍ، يكون تمثيل السهم مجرد دالة متغيرة من هذه الفئة إلى فئة الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة . تشاكلات تمثيلات السهم هي تحويلات طبيعية بين الدوال المناظرة.

بالنسبة لرسم بياني محدود Γ (رسم بياني ذو عدد محدود من الرؤوس والحواف)، ليكن K Γ جبر المسارات الخاص به. ولنرمز بـ e _i إلى المسار التافه عند الرأس i . عندئذٍ ، يمكننا ربط الرأس i بوحدة K Γ الإسقاطية K Γ e _i، والتي تتكون من تراكيب خطية للمسارات التي تبدأ من الرأس i . وهذا يُطابق تمثيل Γ الناتج عن وضع نسخة من K عند كل رأس يقع على مسار يبدأ من i ، ووضع صفر عند كل رأس آخر. ونربط بكل حافة تصل بين نسختين من K دالة التطابق.   

وقد تم ربط هذه النظرية بجبر المجموعات بواسطة ديركسن، وويمان، وزيلفينسكي. ^{[ 1 ]}

لفرض خاصية التبادلية لبعض المربعات داخل مخطط سهمي، يُستخدم مفهوم المخططات السهمية ذات العلاقات (وتُسمى أيضًا المخططات السهمية المقيدة). العلاقة على مخطط سهمي Q هي K توليفة خطية من المسارات من Q. المخطط السهمي ذو العلاقة هو زوج ( Q ، I ) حيث Q مخطط سهمي و${\displaystyle I\subseteq K\Gamma }$مثالي لجبر المسار. الكسر K Γ / I هو جبر المسار لـ ( Q , I ) .

يكون الرسم البياني من النوع المحدود إذا كان يحتوي على عدد محدود فقط من فئات التشاكل للتمثيلات غير القابلة للتحليل . صنف غابرييل (1972) جميع الرسوم البيانية من النوع المحدود، وكذلك تمثيلاتها غير القابلة للتحليل. وبشكل أدق، تنص نظرية غابرييل على ما يلي:

1. يكون الرسم البياني (المتصل) من النوع المحدود إذا وفقط إذا كان الرسم البياني الأساسي الخاص به (عند تجاهل اتجاهات الأسهم) هو أحد مخططات ADE Dynkin : A _n ، D _n ، E ₆ ، E ₇ ، E ₈ .
2. التمثيلات غير القابلة للتحليل تتطابق بشكل فردي مع الجذور الموجبة لنظام الجذر في مخطط دينكين.

توصل دلاب ورينجل (1973) إلى تعميم لنظرية غابرييل، حيث تظهر جميع مخططات دينكين لجبر لي شبه البسيط ذي الأبعاد المحدودة. وقد عمم فيكتور كاك هذا التعميم ليشمل جميع المخططات السهمية وجبر كاك-مودي المقابل لها.

• تصنيف ADE
• فئة المواد اللاصقة
• نظرية التجميع
• جبر الرسوم البيانية
• حلقة المجموعة
• جبر الحوادث
• مخطط جعبة الأسهم
• شبه ثابت للجعبة
• نوع توريك
• الهندسة الجبرية غير التبادلية المشتقة - تساعد المخططات البيانية في ترميز بيانات المخططات غير التبادلية المشتقة

• ديركسن، هارم؛ ويمَن، جيرزي (فبراير 2005)، "تمثيلات السهم" (PDF) ، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 52 (2)
• دلاب، فلاستيميل؛ رينجل، كلاوس مايكل (1973)، حول جبر النوع التمثيلي المحدود ، ملاحظات كارلتون الرياضية، المجلد  2، قسم الرياضيات، جامعة كارلتون، أوتاوا، أونتاريو، MR 0347907 
• كراولي-بوفي، ويليام (1992)، ملاحظات حول تمثيلات الجعبة (ملف PDF) ، جامعة أكسفورد ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 24-07-2011 ، تم استرجاعه بتاريخ 17-02-2007
• غابرييل ، بيتر (1972)، “Unzerlegbare Darstellungen. I”، مخطوطة الرياضيات ، 6 (1): 71– 103، دوى : 10.1007 / BF01298413 ، ISSN 0025-2611 ، MR 0332887  .
• فيكتور كاك، "أنظمة الجذور، وتمثيلات المخططات البيانية، ونظرية الثوابت" . نظرية الثوابت (مونتيكاتيني، 1982) ، الصفحات 74-108، سلسلة محاضرات في الرياضيات 996، سبرينغر-فيرلاغ، برلين 1983. ISBN 3-540-12319-9^{[ 1 ]}
• كينغ، ألاستير (1994)، "معاملات تمثيلات الجبر ذي الأبعاد المحدودة"، المجلة الفصلية للرياضيات ، 45 (180): 515-530 ، doi : 10.1093/qmath/45.4.515
• سافاج، أليستير (2006) [2005]، "الجبر والرسوم البيانية ذات الأبعاد المحدودة"، في فرانسواز، جيه-بي؛ نابر، جي إل؛ تسو، إس تي (محررون)، موسوعة الفيزياء الرياضية ، المجلد  2، إلسيفير، الصفحات 313-320 ، arXiv : math/0505082 ، Bibcode : 2005math......5082S 
• سيمسون، دانيال؛ سكوفرونسكي، أندريه؛ عاصم، إبراهيم (2007)، عناصر نظرية تمثيل الجبر الترابطي ، مطبعة جامعة كامبريدج ، ISBN 978-0-521-88218-7
• برنشتاين، آي إن؛ جيلفاند، آي إم؛ بونوماريف، في إيه، "دوال كوكسيتر، ونظرية غابرييل" (بالروسية)، أوسبيخي مات. ناوك 28 (1973)، العدد 2 (170)، 19-33. الترجمة موجودة على موقع برنشتاين الإلكتروني .
• كويفر آت ذا إن لاب