نظام هيلبرت المتري

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 5 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرف مقياس هيلبرت ، أو مقياس هيلبرت الإسقاطي ، بأنه دالة مسافة مُعرَّفة صراحةً على مجموعة جزئية محدبة محدودة من الفضاء الإقليدي ذي البعد n، Rⁿ . وقد قدّمه ديفيد هيلبرت ( 1895 ) كتعميم لصيغة كايلي للمسافة في نموذج كايلي-كلاين للهندسة الزائدية ، حيث المجموعة المحدبة هي كرة الوحدة المفتوحة ذات البعد n . وقد طُبِّق مقياس هيلبرت على نظرية بيرون-فروبينيوس وعلى بناء فضاءات غروموف الزائدية . 

تعريف

ليكن Ω نطاقًا مفتوحًا محدبًا في فضاء إقليدي لا يحتوي على خط مستقيم. إذا كانت لدينا نقطتان مختلفتان A و B على Ω ، ولتكن X و Y النقطتين اللتين يتقاطع عندهما الخط المستقيم AB مع حدود Ω ، حيث يكون ترتيب النقاط X ، A ، B ، Y. عندئذٍ، تكون مسافة هيلبرت d ( A , B ) هي لوغاريتم النسبة التبادلية لهذه المجموعة الرباعية من النقاط.

د(أ،ب)=سجل⁡(|Yأ||Yب||Xب||Xأ|).{\displaystyle d(A,B)=\log \left({\frac {|YA|}{|YB|}}{\frac {|XB|}{|XA|}}\right).}

تُعمَّم الدالة d على جميع أزواج النقاط بجعل d ( A , A ) = 0 ، وتُعرِّف مقياسًا على Ω . إذا كانت إحدى النقطتين A و B تقع على حدود Ω، فيمكن تعريف d  رسميًا على أنها +∞، وهو ما يُقابل حالة حدية للصيغة أعلاه عندما يكون أحد المقامين صفرًا.

يظهر شكلٌ مُختلفٌ من هذا البناء لمخروطٍ مُحدبٍ مُغلق K في فضاء باناخ V (ربما لانهائي الأبعاد). إضافةً إلى ذلك، يُفترض أن يكون المخروط K مُدببًا ، أي K ∩ ( − K ) = {0} ، وبالتالي يُحدد K ترتيبًا جزئيًا.≤ك{\displaystyle \leq _{K}}على V. بالنظر إلى أي متجهين v و w في K ∖ {0} ، يتم أولاً تعريف

م(v/w)=معلومات{λ:v≤كλw}،م(v/w)=رشفة{μ:μw≤كv}.{\displaystyle M(v/w)=\inf\{\lambda :v\leq _{K}\lambda w\},\quad m(v/w)=\sup\{\mu :\mu w\leq _{K}v\}.}

يُعرَّف شبه المقياس الهيلبرتي على K ∖ {0} بالصيغة التالية:

د(v،w)=سجل⁡م(v/w)م(v/w).{\displaystyle d(v,w)=\log {\frac {M(v/w)}{m(v/w)}}.}

يظل هذا المقياس ثابتًا عند إعادة قياس v و w بثوابت موجبة، وبالتالي يؤول إلى مقياس على فضاء أشعة K ، والذي يُفسَّر على أنه إسقاط K (لكي تكون قيمة d محدودة، يجب حصرها في باطن K ) . علاوة على ذلك، إذا كان K ⊂ R × V هو المخروط فوق مجموعة محدبة Ω ، 

ك={(ت،تx):ت∈R،x∈Ω}،{\displaystyle K=\{(t,tx):t\in \mathbb {R} ,x\in \Omega \},}

عندئذٍ، يكون فضاء الأشعة في K متماثلاً قانونياً مع Ω . إذا كان v و w متجهين في الأشعة في K يناظران النقطتين A و B ∈ Ω ، فإن هاتين الصيغتين لـ d تعطيان نفس قيمة المسافة.

أمثلة

  • في الحالة التي يكون فيها المجال Ω عبارة عن كرة وحدة في R n ، فإن صيغة d تتطابق مع التعبير عن المسافة بين النقاط في نموذج Cayley-Klein للهندسة الزائدية ، حتى ثابت ضربي.
  • إذا كان المخروط K هو الربع الموجب في R n، فإن المقياس المستحث على إسقاط K يُسمى غالبًا ببساطة مقياس هيلبرت الإسقاطي . يتوافق هذا المخروط مع مجال Ω وهو عبارة عن مُجَسَّم منتظم ذي بُعد n − 1.   

الدافع والتطبيقات

  • قدّم هيلبرت مقياسه بهدف بناء هندسة مترية بديهية، حيث توجد مثلثات ABC رؤوسها A و B و C ليست على استقامة واحدة ، ومع ذلك فإن أحد أضلاعها يساوي مجموع الضلعين الآخرين. ويترتب على ذلك أن أقصر مسار يربط بين نقطتين ليس وحيدًا في هذه الهندسة. ويحدث هذا تحديدًا عندما تكون المجموعة المحدبة Ω مثلثًا إقليديًا ، ولا تتقاطع امتدادات الخطوط المستقيمة للقطع المستقيمة AB و BC و AC مع داخل أحد أضلاع Ω .
  • استخدم غاريت بيركوف مقياس هيلبرت ومبدأ باناش للانكماش لإعادة اشتقاق نظرية بيرون-فروبينيوس في الجبر الخطي ذي الأبعاد المحدودة ونظائرها للمؤثرات التكاملية ذات النوى الموجبة. وقد طُوّرت أفكار بيركوف لاحقًا ووُظّفت لتأسيس تعميمات غير خطية متنوعة لنظرية بيرون-فروبينيوس، والتي وجدت تطبيقات مهمة في علوم الحاسوب، وعلم الأحياء الرياضي، ونظرية الألعاب، ونظرية الأنظمة الديناميكية، ونظرية الإرجودية.
  • بتعميم النتائج السابقة لأندرس كارلسون وغينادي نوسكوف، حدد إيف بينوا نظامًا من الشروط الضرورية والكافية لمجال محدب محدود في R n ، مزود بمقياس هيلبرت الخاص به ، ليكون فضاء غروموف الزائدي .
  • أظهر كل من سي. فيرنيكوس وسي. والش أن الكرات في مقياس هيلبرت والكرات التقاربية متكافئة تقريبًا حتى عوامل ثابتة.
  • أظهر كل من سي. فيرنيكوس وسي. والش، ثم قام ديفيد ماونت وأحمد عبد القادر بتوسيع نطاق بحثهما، أن الكرات في منطقتي هيلبرت المتري وماكبيث متكافئة تقريبًا حتى عوامل ثابتة.

مراجع