مثال هيروناكا

تُعدّ مُتنوّعة هيروناكا مُتنوّعة كاملة ثلاثية الأبعاد سلسة، لكنها ليست إسقاطية لأن لها منحنى غير تافه مُكافئ جبريًا للصفر. أي مُتنوّعة كاملة ثنائية الأبعاد سلسة هي إسقاطية، لذا فإن 3 هو أصغر بُعد مُمكن لمثل هذا المثال. هناك العديد من المُتشعبات المُعقدة ثنائية الأبعاد غير الجبرية، مثل أسطح هوبف (غير كاهلر) والحلقات غير الجبرية (كاهلر).

في التنوع الإسقاطي ، يكون للدورة الفعالة غير الصفرية درجة غير صفرية، لذا لا يمكن أن تكون مكافئة جبريًا للصفر. في مثال هيروناكا، تكون الدورة الفعالة المكونة من المنحنيين الاستثنائيين مكافئة جبريًا للصفر.

إذا سُمح لأحد المنحنيات D في بناء هيروناكا بالتغير ضمن عائلة بحيث لا تتقاطع معظم منحنيات هذه العائلة مع D ، فسنحصل على عائلة من المتشعبات يكون معظمها إسقاطيًا، بينما يكون أحدها غير إسقاطي. وعلى الأعداد المركبة، يُعطي هذا تشويهًا لمتشعبات كاهلر الملساء (الإسقاطية في الواقع) غير كاهلرية. هذه العائلة تافهة في الفئة الملساء، ولذلك توجد على وجه الخصوص متشعبات مركبة ثلاثية الأبعاد ملساء، كاهلرية وغير كاهلرية، ومتراصة، ومتماثلة .

اختر C و D بحيث يكون للفضاء P تشاكل ذاتي σ من الرتبة 2 يؤثر بحرية على P ويبدل C و D ، وكذلك يبدل c و d . عندئذٍ، يكون خارج قسمة V بفعل σ فضاءً جبريًا ثلاثي الأبعاد أملسًا بمنحنى غير قابل للاختزال مكافئ جبريًا للصفر. هذا يعني أن خارج القسمة هو فضاء جبري ثلاثي الأبعاد أملس ليس مخططًا .

إذا تم بناء النموذج السابق باستخدام مشعبات مركبة بدلاً من الفضاءات الجبرية، فإنه يُعطي مثالاً على مشعب مويشيزون ثلاثي الأبعاد مضغوط أملس، وهو ليس تنوعًا مجردًا. مشعب مويشيزون ذو بُعد لا يتجاوز 2 هو بالضرورة إسقاطي، لذا فإن 3 هو الحد الأدنى الممكن للبُعد في هذا المثال.

هذا يُشابه إلى حد كبير المثالين السابقين. يوجد ناتج القسمة كخطة إذا كان كل مدار مُحتوى في مخطط فرعي مفتوح أفيني؛ ويُبين المثال المضاد أعلاه أنه لا يُمكن حذف هذا الشرط التقني.

بالنسبة للمتنوعات شبه الإسقاطية، من البديهي أن أي مجموعة جزئية منتهية تقع ضمن تنوع فرعي أفيني مفتوح. لكن هذه الخاصية لا تنطبق على مثال هيروناكا: فمجموعة نقطتين تتكون من نقطة في كل منحنى من المنحنيات الاستثنائية لا تقع ضمن أي تنوع فرعي أفيني مفتوح.

بالنسبة لمتنوعة هيروناكا V على الأعداد المركبة ذات التماثل الذاتي من الرتبة 2 كما سبق، فإن دالة هيلبرت Hilb _{V / C} للمخططات الفرعية المغلقة لا يمكن تمثيلها بمخطط، وذلك أساسًا لأن خارج القسمة على المجموعة من الرتبة 2 غير موجود كمخطط ( نيتسور 2005 ، ص 112) . بعبارة أخرى، هذا مثال على متنوعة كاملة ملساء لا يوجد لها مخطط هيلبرت . وقد أثبت غروتينديك أن مخطط هيلبرت موجود دائمًا للمتنوعات الإسقاطية.

اختر مُولِّدًا غير تافه من الرتبة Z /2Z ، ^B →  A ؛ على سبيل المثال، في خاصية لا تساوي 2، يمكن اعتبار A و B خطًا أفينيًا ناقصًا نقطة الأصل، مع وجود تطبيق من B إلى A يُعطى بالعلاقة x → x² . اعتبر B غطاءً مفتوحًا لـ U في طوبولوجيا إيتال . إذا كان V مخططًا كاملًا ذا تأثير خالٍ من النقاط الثابتة لمجموعة من الرتبة 2، فإن بيانات النزول للتطبيق V × B → B تُعطى بتشاكل مناسب من V × C إلى نفسه، حيث C = B × _A، و B = B × Z / 2Z . يُعطى هذا التشاكل بفعل Z / 2Z على V و C. إذا كانت بيانات النزول هذه فعّالة، فإن ألياف النزول على U ستعطي خارج قسمة V بفعل Z /2Z . لذا، إذا لم يكن خارج القسمة هذا موجودًا كمخطط (كما في المثال أعلاه)، فإن بيانات النزول تكون غير فعّالة. انظر فيستولي ( 2005 ، صفحة 103) .              

إذا كان X مخططًا من النوع المحدود على حقل، فإنه يوجد تطبيق طبيعي من القواسم إلى حزم الخطوط. إذا كان X إسقاطيًا أو مختزلًا، فإن هذا التطبيق يكون شاملًا. وجد كلايمان مثالًا على X غير مختزل وغير إسقاطي، حيث لا يكون هذا التطبيق شاملًا، كما يلي: لنأخذ مثال هيروناكا لمتنوعة ذات منحنيين كسريين A و B بحيث يكون A + B مكافئًا عدديًا للصفر. عندئذٍ، يُعطى X باختيار النقطتين a و b على A و B وإدخال عناصر معدومة القوة عند هاتين النقطتين.