خريطة حدوة الحصان

في رياضيات نظرية الفوضى ، تُعرف خريطة حدوة الحصان بأنها أي خريطة من فئة الخرائط الفوضوية التي تُحوّل المربع إلى نفسه. وهي مثال أساسي في دراسة الأنظمة الديناميكية . وقد قدّم ستيفن سميل هذه الخريطة أثناء دراسته لسلوك مدارات مذبذب فان دير بول . ويتم تعريف عمل الخريطة هندسيًا عن طريق ضغط المربع، ثم تمديد الناتج إلى شريط طويل، وأخيرًا طي الشريط على شكل حدوة حصان.

تغادر معظم النقاط المربع في نهاية المطاف بفعل الخريطة. وتتجه إلى الأطراف الجانبية حيث تتقارب، مع التكرار، إلى نقطة ثابتة في أحد هذه الأطراف. أما النقاط التي تبقى في المربع مع التكرار المتكرر فتشكل مجموعة كسورية ، وهي جزء من المجموعة الثابتة للخريطة.

يُعدّ انضغاط وتمدد وانطواء خريطة حدوة الحصان من السمات المميزة للأنظمة الفوضوية، ولكنه ليس ضرورياً أو حتى كافياً. ^{[ 1 ]}

في خريطة حدوة الحصان، يكون الانضغاط والتمدد متساويين، ويعوض كل منهما الآخر بحيث لا تتغير مساحة المربع. ويتم الطي بدقة، مما يسمح بوصف المسارات التي تبقى داخل المربع بشكل دائم ببساطة.

للحصول على خريطة حدوة الحصان:

• يوجد عدد لا نهائي من المدارات الدورية؛
• توجد مدارات دورية ذات فترات طويلة بشكل تعسفي؛
• يزداد عدد المدارات الدورية بشكل أُسّي مع الدورة؛ و
• بالقرب من أي نقطة من مجموعة الثوابت الكسورية توجد نقطة مدار دوري.

التطبيق f على شكل حدوة حصان هو تطبيق تماثلي معرف من منطقة S في المستوى إلى نفسها. المنطقة S عبارة عن مربع مغطى بنصفي قرص. المجال المقابل لـ  ${\displaystyle f}$(شكل "حدوة الحصان") هو مجموعة جزئية مناسبة من مجاله${\displaystyle S}$يُعرَّف تأثير الدالة f من خلال تركيب ثلاث تحويلات هندسية. أولًا، يُصغَّر المربع عموديًا بمعامل a < 1/2 . تُصغَّر الأطراف بحيث تبقى أنصاف أقراص متصلة بالمستطيل الناتج. يضمن التصغير بمعامل أقل من النصف وجود فجوة بين فروع حدوة الحصان. ثانيًا، يُمدَّد المستطيل أفقيًا بمعامل 1 /a ؛ وتبقى الأطراف دون تغيير. أخيرًا ، يُطوى الشريط الناتج على شكل حدوة حصان ويُعاد وضعه في S.  

يكمن الجانب المثير للاهتمام في هذه الديناميكيات في صورة المربع داخل نفسه. بمجرد تحديد هذا الجزء، يمكن توسيع الدالة لتصبح تماثلًا تفاضليًا بتحديد تأثيرها على الأغطية. تُجبر الأغطية على الانكماش، وفي النهاية تُسقط داخل أحد الأغطية (الغطاء الأيسر في الشكل). يُضيف توسيع الدالة f إلى الأغطية نقطة ثابتة إلى المجموعة غير المتجولة للدالة. ولتبسيط فئة دوال حدوة الحصان، يجب ألا تُسقط المنطقة المنحنية من حدوة الحصان مرة أخرى داخل المربع.

إن خريطة حدوة الحصان هي واحدة لواحد، مما يعني أن هناك دالة عكسية f ⁻¹ عند تقييدها بصورة S تحت f . 

من خلال طي المربع المنكمش والممتد بطرق مختلفة، تصبح أنواع أخرى من خرائط حدوة الحصان ممكنة.

لضمان بقاء الخريطة متطابقة، يجب ألا يتداخل المربع المنكمش مع نفسه. عند تمديد التأثير على المربع إلى تحويل تماثلي، لا يمكن دائمًا إجراء التمديد في المستوى. على سبيل المثال، تحتاج الخريطة على اليمين إلى التمديد إلى تحويل تماثلي للكرة باستخدام "غطاء" يلتف حول خط الاستواء.

خريطة حدوة الحصان هي تحويل تماثلي من البديهيات A يعمل كنموذج للسلوك العام عند نقطة متماثلة عرضية ، حيث تتقاطع المتشعبات المستقرة وغير المستقرة لنقطة دورية.

صُممت خريطة حدوة الحصان لمحاكاة الديناميكيات الفوضوية لتدفق في جوار مدار دوري مُحدد. تم اختيار هذا الجوار ليكون قرصًا صغيرًا عموديًا على المدار . مع تطور النظام، تبقى النقاط في هذا القرص قريبة من المدار الدوري المُحدد، راسمةً مدارات تتقاطع في النهاية مع القرص مرة أخرى. أما المدارات الأخرى فتتباعد.

يمكن تحديد سلوك جميع المدارات في القرص من خلال دراسة ما يحدث للقرص نفسه. يتقاطع القرص مع المدار الدوري المحدد، ويعود إلى نفسه في كل دورة من دورات المدار، وكذلك النقاط المجاورة له. عند عودة هذه النقاط، يتغير شكلها. من بين النقاط التي تعود إلى داخل القرص، توجد نقاط ستغادر نطاق القرص، وأخرى ستستمر في العودة. تشكل مجموعة النقاط التي لا تغادر نطاق المدار الدوري المحدد شكلاً كسريًا.

يمكن إطلاق اسم رمزي على جميع المدارات المتبقية في المنطقة المجاورة. ويمكن تقسيم قرص المنطقة المجاورة الأولي إلى عدد قليل من المناطق. إن معرفة تسلسل زيارة المدار لهذه المناطق يسمح بتحديد موقعه بدقة. يوفر تسلسل زيارة المدارات تمثيلاً رمزياً للديناميكيات، يُعرف بالديناميكيات الرمزية .

تكرار المربع

في عمليات التكرار الأمامي لخريطة حدوة الحصان، يُحوّل المربع الأصلي إلى سلسلة من الشرائط الأفقية. وتأتي النقاط في هذه الشرائط الأفقية من الشرائط الرأسية في المربع الأصلي. لنفترض أن S₀ هو المربع الأصلي، ونُجري عليه عملية التكرار الأمامي n مرة، ونأخذ في الاعتبار فقط النقاط التي تعود إلى المربع S₀ _، وهو عبارة عن مجموعة من الشرائط الأفقية _.

${\displaystyle H_{n}=f^{n}(S_{0})\cap S_{0}.}$

النقاط الموجودة في الخطوط الأفقية ناتجة عن الخطوط الرأسية.

${\displaystyle V_{n}=f^{-n}(H_{n})}$،

وهي عبارة عن الشرائح الأفقية H _n التي تم عكسها n مرة. أي أن نقطة في V _n ستنتهي، بعد n تكرار لشكل حدوة الحصان، في مجموعة الشرائح الرأسية H _{n .}

مجموعة ثابتة

إذا أرادت نقطة ما البقاء داخل المربع إلى أجل غير مسمى، فلا بد أن تنتمي إلى مجموعة Λ تُسقط على نفسها. ويجب تحديد ما إذا كانت هذه المجموعة فارغة أم لا. تُسقط الشرائح الرأسية _{V1 على} الشرائح الأفقية H1 ، ولكن ليس كل نقاط V1 تُسقط على V1 . فقط النقاط الواقعة عند _تقاطع V1 و H1 _قد تنتمي إلى Λ ، ويمكن التحقق _{من ذلك} بتتبع النقاط خارج التقاطع لدورة أخرى.

يمثل تقاطع الخطوط الأفقية والرأسية، H _n ∩ V _n ، مربعات تتقارب، في حالة n → ∞، إلى المجموعة الثابتة Λ (وهي تقاطع مجموعة كانتور للخطوط الرأسية مع مجموعة كانتور للخطوط الأفقية ^{[ 2 ]} ). ويمكن فهم بنية هذه المجموعة بشكل أفضل من خلال إدخال نظام من التسميات لجميع التقاطعات - أي الديناميكية الرمزية.

الديناميكا الرمزية

بما أن _Hₙ ∩ _Vₙ ⊂ V₁ ، _{فإن أي} نقطة تقع في Λ أثناء التكرار يجب أن تقع إما في الشريط الرأسي الأيسر A من V₁ ، أو على الشريط الرأسي الأيمن B. الشريط الأفقي السفلي من H₁ هو صورة A _، والشريط الأفقي العلوي هو صورة B ، لذا H₁ = f(A) ∪ f(B) . يمكن استخدام الشريطين _A و B لتسمية المربعات الأربعة في تقاطع V₁ _و H₁ _.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{A\bullet A}&=f(A)\cap A\\\Lambda _{A\bullet B}&=f(A)\cap B\\\Lambda _{B\bullet A}&=f(B)\cap A\\\Lambda _{B\bullet B}&=f(B)\cap B\end{aligned}}}$

تتكون المجموعة Λ _B•A من نقاط من الشريط A كانت موجودة في الشريط B في التكرار السابق. تُستخدم نقطة لفصل المنطقة التي تقع فيها نقطة المدار عن المنطقة التي أتت منها تلك النقطة.

يمكن توسيع نطاق هذا الترميز ليشمل تكرارات أعلى لخريطة حدوة الحصان. ويمكن تسمية الشرائح الرأسية وفقًا لتسلسل زياراتها للشريحة A أو الشريحة B. على سبيل المثال، تتكون المجموعة ABB ⊂ V ₃ من النقاط من A التي ستستقر جميعها في B في تكرار واحد وتبقى في B في التكرار الذي يليه.

${\displaystyle ABB=\{x\in A\,|\,f(x)\in B\,\,\,\mathrm {and} \,\,\,f_{2}(x)\in B\}.}$

إن العمل عكسيًا من ذلك المسار يحدد منطقة صغيرة، وهي المجموعة ABB ، داخل V ₃ .

تُسمى الشرائط الأفقية نسبةً إلى صورها الأصلية للشرائط الرأسية. في هذا الترميز، يتكون تقاطع V ₂ و H ₂ من 16 مربعًا، أحدها هو

${\displaystyle \Lambda _{AB\bullet BB}=f_{2}(AB)\cap BB.}$

جميع النقاط في Λ _AB•BB موجودة في B وستبقى في B لدورة واحدة على الأقل. مسارها السابق قبل الاستقرار في BB كان A متبوعًا بـ B.

• خريطة بيكر
• خريطة هينون

• ديفيد رويل (2006). "ما هو الجاذب الغريب؟" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية . 53 (7): 764-765 .
• ستيفن سميل (1967). "الأنظمة الديناميكية القابلة للتفاضل" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 73 (6): 747-817 . doi : 10.1090/S0002-9904-1967-11798-1 .
• ب. سيفيتانوفيتش؛ ج. غوناراتني؛ إ. بروكاسيا (1988). "الخصائص الطوبولوجية والمترية للمُجتذبات الغريبة من نوع هينون". مجلة Physical Review A. 38 ( 3): 1503-1520 . Bibcode : 1988PhRvA..38.1503C . doi : 10.1103/PhysRevA.38.1503 . PMID 9900529 . 
• أندريه دي كارفاليو (1999). "جبهات التقليم وتشكيل حدوات الخيل". نظرية الإرجودية والأنظمة الديناميكية . 19 (4): 851-894 . arXiv : math/9701217 . doi : 10.1017/S0143385799133972 . S2CID 17153861 . 
• أندريه دي كارفاليو؛ توبي هول (2002). "كيفية تقليم حدوة حصان" (ملف PDF) . اللاخطية . 15 (3): R19– R68. رمز Bibcode : 2002Nonli..15R..19D . doi : 10.1088/0951-7715/15/3/201 . S2CID 53417965. مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 2019-03-02. 

• "حدوة حصان صغيرة" . موسوعة سكولاربيديا .
• يفغيني ديميدوف (2007). "البنى المتماثلة في الخريطة القياسية" . ibiblio.org . تاريخ الاسترجاع: 11 يوليو 2016 .
• ChaosBook.org الفصل "التمديد، الطي، التقليم"
• الفوضى 6 - فصل الفوضى وحدوة الحصان من فيلم الفوضى لجوس ليس وإتيان غيس وأوريليان ألفاريز
• ريتشسون، ديفيد (2022-03-02). "كيف يفهم علماء الرياضيات الفوضى" . مجلة كوانتا .