خريطة هينون

خريطة هينون هي تحويل تماثلي ثنائي الأبعاد بمحدد جاكوبي ثابت . مصفوفة جاكوبي لهذه الخريطة هي:$${\displaystyle J={\begin{bmatrix}-2ax&1\\b&0\end{bmatrix}}}$$محدد هذه المصفوفة هو${\displaystyle det(J)=-b}$بما أن الخريطة تبديدية (أي أن الأحجام تتقلص مع التكرار)، يجب أن يكون المحدد بين -1 و1. خريطة هينون تبديدية عندما يكون المحدد 1. [ ^{4 ] بالنسبة} للمعاملات الكلاسيكية${\displaystyle a=1.4,b=0.3}$بما أن قيمة المحدد تساوي -0.3، فإن الخريطة تُقلّص المساحات بمعدل ثابت. في كل تكرار، تُقلّص المساحات بمعامل 0.3.

يُؤدي هذا الانكماش، بالإضافة إلى عملية التمدد والطي، إلى تكوين البنية الكسورية المميزة لجاذب هينون. بالنسبة للمعاملات الكلاسيكية، تُؤدي معظم الشروط الابتدائية إلى مسارات تُحدد هذا الشكل الشبيه بالبوميرانج. يحتوي الجاذب على عدد لا نهائي من المدارات الدورية غير المستقرة، والتي تُعد أساسية لبنيته. ^{[ 5 ]}

للخريطة نقطتان ثابتتان ، لا تتغيران بتأثير التحويل. يتم إيجاد هاتين النقطتين بحل المعادلتين x = 1 - ax² + y و y = bx . وبالتعويض بالمعادلة الثانية في الأولى، نحصل على المعادلة التربيعية التالية ^:$${\displaystyle ax^{2}+(1-b)x-1=0}$$الحلول (الإحداثيات السينية للنقاط الثابتة) هي:$${\displaystyle x={\frac {-(1-b)\pm {\sqrt {(1-b)^{2}+4a}}}{2a}}}$$بالنسبة للمعاملات الكلاسيكية a = 1.4 و b = 0.3 ، فإن النقطتين الثابتتين هما:

${\displaystyle x_{1}\approx 0.631,\quad y_{1}\approx 0.189}$

${\displaystyle x_{2}\approx -1.131,\quad y_{2}\approx -0.339}$

تُحدد استقرارية هذه النقاط بواسطة القيم الذاتية لمصفوفة جاكوبي J المحسوبة عند النقاط الثابتة. بالنسبة للخريطة الكلاسيكية، تُعد النقطة الثابتة الأولى نقطة سرجية (غير مستقرة)، بينما تُعد النقطة الثابتة الثانية نقطة طاردة (غير مستقرة أيضًا). ^{[ 6 ]} يُعد التشعب غير المستقر للنقطة الثابتة الأولى عنصرًا أساسيًا يُولد الجاذب الغريب نفسه. ^{[ 6 ]}

تُظهر خريطة هينون سلوكًا معقدًا عند تغيير معاييرها. ومن الطرق الشائعة لتصوير ذلك استخدام مخطط التشعب . فإذا ثُبِّتت قيمة b (مثلًا عند 0.3) وتغيرت قيمة a ، فإن الخريطة تنتقل من سلوك منتظم (دوري) إلى سلوك فوضوي. ويحدث هذا الانتقال من خلال سلسلة من مضاعفة الدورات ، على غرار خريطة لوجستية . ^{[ 4 ]}

بالنسبة للقيم الصغيرة لـ a ، يتقارب النظام إلى نقطة ثابتة مستقرة واحدة. ومع ازدياد قيمة a ، تصبح هذه النقطة غير مستقرة وتنقسم إلى دورة مستقرة ثنائية. ثم تصبح هذه الدورة غير مستقرة وتنقسم إلى دورة رباعية، ثم دورة ثمانية، وهكذا، حتى يتم الوصول إلى قيمة حرجة لـ a حيث يصبح النظام فوضويًا تمامًا. ضمن المنطقة الفوضوية، توجد أيضًا "نوافذ" دورية تظهر فيها مدارات مستقرة من جديد لنطاقات معينة من a . ^{[ 6 ]}

يُعدّ استخدام طريقة مُؤثر كوبمان طريقةً بديلةً لتحليل الأنظمة الديناميكية، مثل خريطة هينون . يُقدّم هذا النهج منظورًا خطيًا للديناميكيات غير الخطية. فبدلًا من دراسة تطور النقاط الفردية في فضاء الطور، يُنظر إلى تأثير النظام على فضاء الدوال "القابلة للملاحظة"، g ( x , y ) . مُؤثر كوبمان، U ، هو مُؤثر خطي يُحوّل قيمة الدالة g القابلة للملاحظة إلى قيمتها في الخطوة الزمنية التالية.$${\displaystyle (Ug)(\mathbf {x} _{n})=g(\mathbf {x} _{n+1})=g(1-ax_{n}^{2}+y_{n},bx_{n})}$$_{على الرغم من} أن المؤثر U خطي، إلا أنه يعمل على فضاء دوال لا نهائي الأبعاد. يكمن مفتاح التحليل في إيجاد الدوال الذاتية φk والقيم الذاتية λk لهذا المؤثر، والتي تحقق المعادلة U φk = λk _φk . تحتوي هذه الدوال الذاتية، المعروفة أيضًا باسم أنماط كوبمان _{، وقيمها الذاتية المقابلة على معلومات مهمة حول ديناميكيات} النظام. ^{[ 7 ]}

بالنسبة للأنظمة الفوضوية مثل خريطة هينون، تكون الدوال الذاتية عادةً دوالًا معقدة تشبه الدوال الكسورية. لا يمكن إيجادها تحليليًا، بل يجب حسابها عدديًا، غالبًا باستخدام طرق مثل تحليل الأنماط الديناميكية (DMD) . ^{[ 8 ]} يمكن لمجموعات مستويات أنماط كوبمان أن تكشف عن البنى الثابتة للنظام، مثل المتشعبات المستقرة وغير المستقرة وحوض الجذب، مما يوفر صورة شاملة للديناميكيات. ^{[ 9 ]}

تم اقتراح تعميم ثلاثي الأبعاد لخريطة هينون بواسطة هيتزل وزيل: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \mathbf {s} (n+1)={\begin{bmatrix}s_{1}(n+1)\\s_{2}(n+1)\\s_{3}(n+1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-\alpha s_{1}^{2}(n)+s_{3}(n)\\-\beta s_{1}(n)\\\beta s_{1}(n)+s_{2}(n)\end{bmatrix}}}$

بالنسبة لبعض المعايير (على سبيل المثال،${\displaystyle \alpha =1.07}$و${\displaystyle \beta =0.3}$)، تُولّد هذه الخريطة جاذبًا فوضويًا. ^{[ 13 ]}

يمكن تمثيل خريطة هينون في فضاء رباعي الأبعاد بمعاملة معامليها، a و b ، كمحاور إضافية. يتيح ذلك تصور سلوك الخريطة عبر كامل نطاق المعاملات. إحدى طرق تصور هذا الهيكل رباعي الأبعاد هي عرض سلسلة من الشرائح ثلاثية الأبعاد، حيث تمثل كل شريحة قيمة ثابتة لمعامل واحد (مثل a )، بينما تُعرض المعاملات الثلاثة الأخرى ( x و y و b ). ثم يُغيّر المعامل الرابع كمتغير زمني، مما يُنشئ فيديو للهيكل ثلاثي الأبعاد المتطور.

تتضمن التعميمات الأخرى إدخال حلقات تغذية راجعة مع مرشحات رقمية لإنشاء إشارات فوضوية معقدة ومحدودة النطاق. ^{[ 14 ] [ 15 ]}